Канонические представления в сечениях линейных расслоений на плоскости Лобачевского Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

ние к предмету, содержанию, процессу, результату исследовательской деятельности. Этот принцип заключается в организации учебного процесса таким образом, чтобы можно было учесть успеваемость студентов, уровень знания предмета. Поэтому учебная работа ведется с учетом индивидуальных особенностей и способностей студентов. По своей объективности и сложности задачи должны соответствовать уровню развития учащихся. Задачи следует подбирать таким образом, чтобы, с одной стороны, способности, умения, навыки студента совершенствовались бы, с другой стороны, учитывались его способности и возможности.

Системы задач, построенные с учетом этих требований, стимулируют познавательный интерес студентов, повышают активность будущих инженеров-программистов. В процессе математической подготовки у студентов формируются исследовательские умения (наблюдать, сравнивать, анализировать, обобщать, доказывать или опровергать гипотезу), теоретический стиль мышления, приемы исследовательской познавательной деятельности, профессионально значимые качества личности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Канин Е.П., Нагибин Ф.Ф. Учебные математические задачи. Киров, 1980. 94с.

Гладышева Мария Михайловна Магнитогорский государственный технический ун-т Россия, Магнитогорск e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 27 апреля 2007 г.

КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В СЕЧЕНИЯХ ЛИНЕЙНЫХ РАССЛОЕНИЙ НА ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО 1

© Л. И. Грошева

Данная работа является развитием нашей работы [1], в которой мы изучали канонические и граничные представления группы О = ЯИ (1,1) на плоскости Лобачевского В. Канонические представления в [1] получаются деформацией квазирегулярного представления и группы О на В. Более общая задача состоит в изучении аналогичных деформаций представлений группы О в пространстве сечений линейных расслоений на В, или, что все равно, деформаций представлений группы О, индуцированных характерами максимальной компактной подгруппы К.

хРабота выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 05-01-00074а, №07-01-91209 ЯФ_а), научной программы «Развитие Научного Потенциала Высшей Школы» РНП. 2.1.1.351 и темплана №1.2.02.

Мы используем модель Пуанкаре плоскости Лобачевского. Это — единичный круг D : zz < 1 на комплексной плоскости с дробно-линейным действием группы G:

az + b fab

z ^ z ■ g = ----= , g = y -

bz + a у b a

Стационарная подгруппа точки z = 0 есть максимальная компактная подгруппа K группы G, состоящая из диагональных матриц:

к=(a a), «а=1, м

так что D = G/K.

Напомним описание основной неунитарной серии представлений группы G, которые являются тривиальными на центре. Представление Ta, а Е C, группы G действует в пространстве D(S), где S — окружность zz = 1, по формуле:

(Ta(g)V)(s) = Ф ■ g)\bs + a\2a.

Если а Е Z, то Ta неприводимо и эквивалентно T-a-\ (для а Е Z имеется «частичная эквивалентность»). Имеется 4 серии унитаризуемых неприводимых представлений: непрерывная серия (Re а = —1/2), дополнительная серия ( — 1 < а < 1), голоморфная и антиголоморфная серии (Т+a и Т a), состоящие из подфакторов представлений Ta при а Е Z.

Мы будем использовать обозначение

/У \ П z1 ,n = \zH z) , ЦЕ C, n Е Z.

\ z\

Пусть Л Е C, m Е Z. Мы рассматриваем представления группы G, индуцированные характером подгруппы K, который матрице (1) сопоставляет число a-2m. Соответствующие канонические представления R\,m действуют в пространстве D(D) по формуле:

(R\,m(g)f)(z) = (z ■ g)\bz + a\-2X-4’ 2m.

Мы можем считать, что m ^ 0. Как и в [1], канонические представления R\,m порождают граничные представления. Разложение канонических и граничных представлений делается аналогично [1]. Например, для Л из «центральной» полосы —3/2 < Re Л < —1/2 представления R\,m разлагаются в прямой интеграл представлений непрерывной серии и суммы m — 1 представлений голоморфной серии T+n, n = 0,... ,m — 1 (при m = 0 голоморфная серия отсутствует).

Решающую роль в разложении канонических и граничных представлений играют сплетающие операторы — преобразования Пуассона и Фурье и их мероморфная структура (по а). Преобразования Пуассона и Фурье определяются соответственно интегралами

(Px,m,°V (z) = p-X-2-a i (1 — Sz)2°-2mSmV(s)ds,

Js

(FX,m,af) (S) = S-m [ pX-°(1 — Sz)2CT’2mf (z)dxdy,

Jd

где z = x + iy, p = 1 — zz, ds = da для s = exp(ia). Преобразование Пуассона P\,m,a отображает D(S) в C^(D) и сплетает T-a-\ с R\,m. Преобразование Фурье F\,m,a отображает D(D) на D(S) и сплетает R\,m с Ta. Эти преобразования сопряжены друг другу:

(FX,m,af, <fi)s = (f, P—x-2,m;a V)d , в левой и правой частях стоят скалярные произведения по мерам ds и dxdy.

aa — bb = 1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Molchanov V.F, Grosheva L.I. Canonical and boundary representations on the Lobachevsky plane // Acta Appl. Math., 2002. V. 73. P. 59-77.

Грошева Лариса Игоревна Тамбовский государственный ун-т Россия, Тамбов e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 10 мая 2007 г.

О ФАКУЛЬТАТИВНОМ КУРСЕ ПО МЕТОДОЛОГИИ МАТЕМАТИКИ

© И. С. Гумеров

В системе непрерывного математического образования (включающего в себя, в первую очередь, среднюю школу, университет (вуз), аспирантуру) есть переходные этапы, на которых происходят существенные изменения в изучаемом математическом материале (по объему и глубине), в способах и методах обучения, в требованиях к уровню сформирован-ности навыков самостоятельной и исследовательской работы и т.д. Наиболее отчетливо это проявляется на этапе перехода из школы в вуз, так как:

• значительно увеличивается объем изучаемых математических понятий и фактов (как у студентов-математиков, так и у студентов нематематических специальностей); при этом изучение различных математических дисциплин обычно идет автономно, независимо друг от друга, а это приводит к тому, что математика представляется набором мало связанных друг с другом отдельных дисциплин;

• материал излагается логически строже и более интенсивно;

• кардинально изменяются формы проведения занятий и методика обучения; основной упор делается на самостоятельную работу студента.

К сожалению, нужно признать, что к обучению в этих новых условиях основная часть выпускников школ не готова. Одной из причин этого мы считаем недостаточное владение «математическим языком» и математическими методами исследования, отсутствие опыта самостоятельного математического исследования.

Частично эти проблемы может решить факультативный курс, который можно условно назвать «Введение в математику» (или «Введение в специальность» у студентов-математи-ков). Основная цель этого курса — ознакомление студентов первого курса с математическими методами исследования (элементами методологии математики), основами формальной