Канонические представления и надгруппы Текст научной статьи по специальности «Математика»

КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И НАДГРУППЫ

© В.Ф. Молчанов

Канонические представления на эрмитовых симметрических пространствах С/К могут быть получены ограничением на С представлений максимально вырожденной серии комплексификации С = С ~ группы С. Недавно Ю.А. Неретин [1] предложил интересную идею - найти взаимодействие всех операторов Ли ’’надгруппы” С! с планшерелевским разложением канонического представления группы С и привел результат для случая плоскости Лобачевского О = С/К, где С = 811(1,1). К - диагональная подгруппа. Результат формулируется фактически в терминах преобразования Фурье, связанного с каноническим представлением, см. ниже. Продумывание этой задачи показывает, что в сущности речь идет о взаимодействии операторов Ли надгруппы С и операторов, сплетающих каноническое представление с представлениями группы С, принадлежащими неунитарной серии, связанной с С/К. Мы называем эти сплетающие операторы преобразованиями Пуассона и Фурье, связанными с каноническими представлениями. Использование формулы Планшереля оказывается излишним. Более удобным для исследования этой задачи является преобразование Пуассона. Вычисления оказываются вполне естественными и прозрачными.

Для нашей С = Эи( 1, 1) надгруппа С есть 8Ь(2,(С). Рассмотрим представления А £ С, группы С, из аналитического продолжения дополнительной серии, которые действуют в функциях /(г), г 6 С, по формуле:

(ЯлЫ/)(*) = Я* • я)\$* + ¿Г2А-\ * ■ я = я = ( " '¡У

(1)

Группа С выделяется условиями {І = а, у = [). Она транзитивно действует на единичном круге I) : 22 < 1 и на его границе 5 : гг = 1. Каноническим представлением группы С мы называем представление «а, задаваемое формулой (1) с условием 6 = а, у = 3, на пространстве Т>(0), где Г) = О и 5.

Возьмем следующий базис в алгебре Ли д группы С :

, _ ( і/2 0 \ ( О -І/2 \ ( 0 1/2 \

0 V 0 —*/2 ) 1 V */2 о у ’ у 1/2 0 /

(2)

И ПОЛОЖИМ 1= ¿2 ± И'\ (это - элементы из д -).

В разложении представлений Яд участвуют представления Та, а 6 С, группы С, которые действуют

в Т>(3) по формуле (Тг7(у)(р)(и) = <р(и ■ д)\ри + п\2а. Соответствующие операторы Ли таковы: Та(1п)<р —

= <р', Т„(Ь±)(р = е±,а(ег<£>±

Преобразование Пуассона Р\:„ : Т>($) —► определяется формулой

(Р\,а<р)(г) = р~х~а~21 |1-2й|2Х«)^,« = е'л, (3)

5

где Р = 1 - 22. Оно сплетает Т-а-\ И Да. так ЧТО Нх(Ьк)Рх,а - Рх.еТ-а-Ли).

Дополним базис (2) до базиса в алгебре Ли д группы С матрицами Мк — -«¿л-, к = 0,1,2, и положим

М± = М\ г'Мо (это - элементы из ди).

Наш основной результат состоит в следующих формулах:

Ях(Мс)Рх,0 = и(А,(г)Ра,.+| о К^ + Ь(Х,а)Рх1а-1 оСМ\ (4)

где € 6 {0, +, —С‘ есть умножение на е‘,а,

.. . А + (т + 2 . (т(А — <х+1)

= (ТТОРТТТ)' ь(л'|,)= 2сг+1 ’

К^<р = <р" + (<т + 1)2<р, К(±]<р = е±,0,((р" ± »'(2(Г + 3)<^' - (<г + 1)(с + 2)ч>).

Операторы К могут быть выражены через операторы Ли Т-а-ч(1Л), Т_„_

Преобразование Фурье Fx.a :V(D) — T>(S) определяется формулой:

(^а,<7 /)(«) = I рЛ-<,|1 - zTi\2n f(z)dxdy, z = х + iy.

D

Оно сплетает Rд и Т„. Преобразования Пуассона и Фурье сопряжены друг другу:

(Fa<p)s = (/, Pjx_2<7?4>)d,

где ( , )s, ( , )d ~ это, соответственно, скалярные произведения из L'2 на S и D по евклидовой мере. Второе из них инвариантно относительно пары (Яд, R_j_2)- Это позволяет перенести формулы (4) на преобразование Фурье:

F\,cR(Mc) = —а( —А - 2,сг)К^_2 о Fx,a+l - 6(-А - 2,а)С^ о Fx,— i.

Наметим доказательство формул (4). Пусть |z| = г. Тогда Яд(Л/о) = г(д/дг) + А 4- 2. Применяя этот оператор к (3), получим:

R\(Mo)P\.a<P = -<rPx,„-i<p + (\ + (Т + ‘2)[2Рх+1.а<р - Р\,о<р]- (5)

С другой стороны, записывая P\<a+\ip" в виде (3) и интегрируя два раза по частям, получим:

Р\,о+\<?" = ~(о- + l)2P\i<7+\<p — а(а+ 1)Рд1<7_1^ + (а + 1)(2<т + l)[2Px+il<r<p — Р\,оФ\ (6)

Исключая Р\+\ а1р из (5) и (6), мы получим (4) с е = 0. Для доказательства (4) с £ = ± мы используем (4) с е = 0 и соотношение [Mo, L^] = —М±.

ЛИТЕРАТУРА

1. Неретин Ю.А. Действие надалгебры в планшерелевском разложении и операторы сдвига в мнимом направлении // Изв. РАН. Сер. Матем. (В печати).

ПРОСТРАНСТВО ФОКА НА ПЛОСКОСТИ ДУАЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО

0 В.Ф. Молчанов

В настоящей работе мы рассматриваем аналог пространства Фока на плоскости А дуального переменного 2 = х + 1у, г = 0, х, у 6 Ж. По поводу пространства Фока на комплексной плоскости см., например, [2]. Пространство Фока служит основой для построения виковского и антивиковского квантований.

Мы рассматриваем функции /(г) — и(х, у)+{ь(х, у) на А со значениями в А. Уравнения Коши Римана таковы: иТ = х>у, иу = 0. Следовательно, аналитическая функция есть /(г) = <р(х) + г[ч>'(х)у + 0(х-)] с дифференцируемыми у?, 1р. Производная (1/({г действует как д/дх, так что если / отвечает пара (9?, ф), то /' отвечает пара (97', ф1), если ^ дважды дифференцируема. Многочлен /(г) есть /(х) + >/'(х)у. Экспонента е* определяется как сумма ряда г”/п!, получаем ег = е*( 1 + ¡.у).

Назовем пространством Фока Ти на А совокупность аналитических на А функций /(2), для которых 4>(х) и Ф(х) содержатся в ¡./(Ж, е~г ^‘(1х), к > 0 - параметр (”постоянная Планка”). Определим в Ти ’’скалярное произведение” (эрмитову форму над А):

(/ь/г) = с I fi{z)f-,(z)c *3/h6(y)dxdy =

j **,hdx - 1 j I

V>i(*)

Ф'Л*)

e-*3,hdx