Пространство Фока на плоскости дуального переменного Текст научной статьи по специальности «Математика»

Преобразование Фурье : Т>( О) — Т>(5) определяется формулой:

(¿А,* /)(и) = Jрх~°|1 - гй|2<г/(г)(/хс/г/, г = х + гу. п

Оно сплетает Их и Т„. Преобразования Пуассона и Фурье сопряжены друг другу:

(*А.«г/, <р)б = (/, Р-х-2,*?)О'

где ( , )5. ( . )п ~ это, соответственно, скалярные произведения из I2 на 5 и О по евклидовой мере. Второе из них инвариантно относительно пары (Ял, Это позволяет перенести формулы (4) на

преобразование Фурье:

П,,Д(М,) = —«(—А - 2,а)К(‘1_2 О FA,<т+, - 6(-А - 2,<т)С(г) о

Наметим доказательство формул (4). Пусть |г| = г. Тогда &\(Мо) = г(д/дг) + А + 2. Применяя этот оператор к (3), получим:

Яа(Л7о)Рх,„<р = -(гРх,<,-1<р + (\ + <т + 2)[2Рх+1,„<р- Рх.аф]- (5)

С другой стороны, записывая Рх,о+1‘р" в виде (3) и интегрируя два раза по частям, получим:

Рх,о+1<р" = ~(<г + \)2Рх,а+\<Р - сг(сг+ \)Рх<а-\<р+{<Т-\- 1 )(2<т + 1)[2Рх+],а‘Р - Р\,а<р\ (6)

Исключая Р\+1,а^Р из (5) и (6), мы получим (4) с е = 0. Для доказательства (4) с £ = ± мы используем (4) с е = 0 и соотношение [Мо, ¿±] = —М±.

ЛИТЕРАТУРА

I. Неретин К).А. Действие надалгебры в планшерелевском разложении и операторы сдвига в мнимом направлении // Изв. РАН. Сер. Матем. (В печати).

ПРОСТРАНСТВО ФОКА НА ПЛОСКОСТИ ДУАЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО

© В.Ф. Молчанов

В настоящей работе мы рассматриваем аналог пространства Фока на плоскости А дуального переменного 2 — х + гу, г2 = 0, х,у Е Ж. По поводу пространства Фока на комплексной плоскости см., например, [2]. Пространство Фока служит основой для построения внковского и антнвиковского квантований.

Мы рассматриваем функции /(г) — и(х, у)+1ь{х, у) на А со значениями в А. Уравнения Коши Рпмана таковы: их = ьу, иу = 0. Следовательно, аналитическая функция есть /(г) = (р(х) + г[<р'(х)у + т/>(а;)] с дифференцируемыми <р, ф>. Производная Л/Лг действует как д/дх, так что если / отвечает пара (<р, Ф), то /' отвечает пара (¡р\ ф'), если <р дважды дифференцируема. Многочлен /(г) есть /(ж) 4- ¡/'(х)у. Экспонента е1 определяется как сумма ряда гп/п!, получаем е* = еГ(1 + гу).

Назовем пространством Фока Ти на А совокупность аналитических на А функций /(г), для которых <р(х) и Ф(х) соде])жатся в 7/*(1Й, е~г ^1,(1х), /» > 0 - параметр (’’постоянная Планка”). Определим в Т)х ’’скалярное произведение” (эрмитову форму над А):

(/1./2) = с у*/1 (г)Мг)с х3/1,6(у)(1хс1у = Л

X) оо

= с| У Ы^ЛФ^'^х-г I I

е-^'Ых

где 6 - дельта-функция Дирака, нормирующий множитель с = (ттк)~112 взят так, чтобы (1,1) = 1.

В отличие от обычного пространства Фока система {гп}, п — 0,1,2,..., не является ортогональной: (г", гт) = 0 при нечетном п+т и (гп, гт) = 7г_1/2Лп"*’т /"’((п+тН-1)/2) при четном п+ш. Ортогонализация этой системы приводит к ортогональной системе функций /„(г) = Яп(г/\/Л), где Я„(.ч) - многочлены Эрмита [1] 10.13. Скалярный квадрат функции /„ равен А„ = 2"п!. Всякая функция / из Тн разлагается в ряд по /„: / = £«»>/«> где «„ = (/,/П)/Ап.

Ядро Бергмана Ф(2,Ш) = 51А„_1/„(2)/п(и;), отвечающее системе {/„}, имеет следующее выражение:

Ф(г,Ш) = у/пй |ех^л6(х — и) + г уеи ^ + уех 6'(х - и)|,

где г = х + ¿у, ии = и + ¿V. Функция (обобщенная) Фцг(г) = Ф( л, Ш) обладает воспроизводящим свойством: (/. Ф«г) = /(«>). Таким образом, функция Ф(г,й?) является переполненной системой в Т\х (системой когерентных состояний).

Рассмотрим в Тн ’’операторы рождения и уничтожения” а = г (умножение на г) и Ь = Л(<//</г). Первый из них эрмитов: а' = а, для второго сопряженный есть 1>’ = 2г — /»(¿/¿г). Следовательно, операторы = iz и Х2 = г — к(Н/(1г) - косоэрмитовы. Коммутатор Хз = [Х^Хг] = ¿Л коммутирует с А_1 и Хп- Следовательно, алгебра Ли, порожденная Х\ и А'2, имеет базисом Х\,Х->,Хз и является алгеброй Ли группы Гейзенберга. Соответствующая группа Ли состоит из унитарных в Тн операторов. Однопараметрические подгруппы ехр(/А1), ехр(<Хг), ехр(< А’з) переводят /(г), соответственно, в е,и/(г), е-л* ^еи/(г — /»<), е,к‘/(г). В терминах пар (<р,ф>) , см. выше, операторы Хц-действуют так: ХьХг.Хз переводят пару (<£>, ф), соответственно, в пару (0, х<р), (Ь<р, Ьф), (0, 1ир), где Ь = х — 11(с1/(1х).

ЛИТЕРАТУРА

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: функции Бесселя, функции

параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, 1966.

2. Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.

СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ НА ОДНОПОЛОСТНОМ ГИПЕРБОЛОИДЕ

© В.Ф. Молчанов

Рассмотрим в Ш.'! билинейную форму [я,у] = —Х\у\ + Х2У2 + з-'.Шз• Однополостный гиперболоид X : [æ,a:]= 1 есть однородное пространство G'/Я относительно линейного действия группы 6' = SOo(l,2). Подгруппа Я есть стационарная подгруппа точки а:0 = (0,0,1). Большинство задач из гармонического анализа на X сводится к разложению различных обобщенных функций по сферическим функциям (Я-инвариантным). Сферические функции могут быть определены как преобразования Пуассона Я-инвариантов из представлений основной серии. В настоящей работе мы вычисляем все такие сферические функции. Часть этих функций (’’основные”, см. ниже) была вычислена в [1].

Основная (неунитарная) серия представлений Т„, а £ С, группы G действует в пространстве T>(S), где S - окружность s = (l,sina,cosa), по формуле

(ТвШ(в) = <р (**)?,

индекс 1 указывает первую координату.

Пространство Я-инвариантов для Т„ в V(S) имеет размерность 2 для всех а € С, кроме а = — п — 1, п € N, в последнем случае она равна 3. Базис для общего случая образуют обобщенные функции 9at — [х0,«]*’* = Sg’*, е = 0,1 (мы используем обозначение ta'c = l/^Sgn^i). Для (Г — —п — 1 базис состоит из обобщенных функций вз"-1, У(±«2)^"^(вз), где Y(I.) - функция Хевисайда; более удобен базис 0-п-1,± = («з ¥i0 • «г)-"-1! ¿(П)Ы-

Каждый Я-инвариант в для Т„ порождает преобразование Пуассона Pg : P(.S') 1—* С'00(А), сплетающее