Сферические функции на однополостном гиперболоиде Текст научной статьи по специальности «Математика»

где 6 - дельта-функция Дирака, нормирующий множитель с = (тг/»)-1/2 взят так, чтобы (1,1) = 1.

В отличие от обычного пространства Фока система {г"}, п — 0,1,2,..., не является ортогональной: (гп, гт) = 0 при нечетном п+т и (гп,гт) = 7Г-1/2Лп+тГ((п+т+1)/2) при четном 71+771. Ортогонализация этой системы приводит к ортогональной системе функций /„(г) = Нп(г/\/77), где Нп(.ч) - многочлены Эрмита [1] 10.13. Скалярный квадрат функции /„ равен А„ = 2П7»!. Всякая функция / из Ть разлагается в ряд по /„: / = «п/п 1 где я„ = (/, /П)/Ап.

Ядро Бергмана Ф(л,гП) = А„_1/п(г)/п(и>), отвечающее системе {/,,}, имеет следующее выражение:

Ф(г,й>) = у/пй |ех2/л6(х — и) + г ^уеи ^ + ье* Iй 6\х — и)|,

где 2 = х + 1у, и> — и + IV. Функция (обобщенная) Фйг(г) = Ф(г,ТО) обладает воспроизводящим свойством: (/, Фйг) = /(г/;). Таким образом, функция Ф(г,й7) является переполненной системой в Ти (системой когерентных состояний).

Рассмотрим в Тн ’’операторы рождения и уничтожения” а — г (умножение на г) и Ь = /|(с//с/г). Первый из них эрмитов: я* = я, для второго сопряженный есть 6* = 2г — /)(г//г/г). Следовательно, операторы А] = й и Хг = г — к(({/(1г) - косоэрмитовы. Коммутатор Аз = [А' 1, А'г] = */» коммутирует с А'1 и Ао. Следовательно, алгебра Ли, порожденная А[ и Аг, имеет базисом А1,А2,А'з и является алгеброй Ли группы Гейзенберга. Соответствующая группа Ли состоит из унитарных в Тн операторов. Однопараметрические подгруппы ехр(<А1), ехр(<А'г), ехр(/Аз) переводят /(2), соответственно, в е,и/(2), е~Н1 !2е,:/(г — 1й), е,1,1/(г). В терминах пар (у, V1) , см. выше, операторы А* действуют так: АьАг.Аз переводят пару (<р, гр), соответственно, в пару (0,яу>), (Ь<р,Ьф), (0,1кр), где /, = х — Л((//с/ж).

ЛИТЕРАТУРА

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: функции Бесселя, функции

параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, 1966.

2. Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.

СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ НА ОДНОПОЛОСТНОМ ГИПЕРБОЛОИДЕ

© В.Ф. Молчанов

Рассмотрим в В:Л билинейную форму [аг, у] = —Х\у\ + х-,у2 + ЖзУз- Однополостный гиперболоид А : [ж, ж] = 1 есть однородное пространство С/Н относительно линейного действия группы С = ЯОо( 1,2). Подгруппа Н есть стационарная подгруппа точки ж0 = (0,0,1). Большинство задач из гармонического анализа на А сводится к разложению различных обобщенных функций по сферическим функциям (//-инвариантным). Сферические функции могут быть определены как преобразования Пуассона //-инвариантов из представлений основной серии. В настоящей работе мы вычисляем все такие сферические функции. Часть этих функций (’’основные”, см. ниже) была вычислена в [1].

Основная (неунитарная) серия представлений Та, а £ (С, группы С действует в пространстве Р(.$’), где 5 - окружность « = (1,8ша,со8а), по формуле

(Т„(д)<р)(.ч) = <р (*</)?,

индекс 1 указывает первую координату.

Пространство //-инвариантов для Та в Р'(5) имеет размерность 2 для всех а € (С, кроме а = —п — 1, 7» € М, в последнем случае она равна 3. Базис для общего случая образуют обобщенные функции 0ас = [а:0,= «з’е, е = 0,1 (мы используем обозначение /<г,е = |<|<'В£й*<). Для а = —п — 1 базис состоит из обобщенных функций *зП-1, У(±«г)^,,^(*з)| где У (/ ) - функция Хевисайда; более удобен базис О-п-1,± = («з Т *0 • вг)""-1, й<п)Ы.

Каждый Я-инвариант в для Т„ порождает преобразование Пуассона Рд : Т>($) \—• (700(А’), сплетающее

Т-о-\ и квазирегулярное представление U, а именно,

2*

(Рв<р)(х) = J(T<7(g~'l)e)(s)^(s)dn, х = х°д. о

Обозначим через Рас преобразование Пуассона, порожденное вас. Для каждого <т 6 С, ст ф —п — 1, мы получаем четыре сферические функции = Ра<с^-а-\,х, где е, у. 6 {0,1}. Они - локально

интегрируемые функции на X, постоянные на Я-орбитах. Следовательно, они зависят от хз и еще от знака координаты х.\ и х2 соответственно при |гз| > 1 и |жз| < 1.

Они выражаются через функции Лежандра P„(z) и Q„(z). На разрезе z < 1 мы определяем эти функции как полусумму предельных значений сверху и снизу.

Мы имеем (<т £ 2) :

ЧW = —^-[Ра(-Х з) + (-1)£РЛ*3)],

Sin <77Г

'I'a.t.t+i = (2;r/sin<r?r)(cos<r;r - (-l)f) • sgn xt • (sgn z3)(+1 Р<т(|х3|) при |ж3| > 1,

= 0 при |гз| < 1.

Для а 6 Z мы получаем следующие сферические функции (п 6 N):

Фп,±(*) = (f’n.n+ifl-n-i.iH*) = 4Qn(x3 т i0 ■ х->),

= (Рп,п6м)(х) = 2п!(—1)"Р„(*3),

Ф'И = (Яп,п+1Й(п))(а;) = 2n!(-l)n+1-sgn ■ (sgn х3)п+1/п(*з) при |лт3| > 1,

= 0 при |*3| < 1.

Сферические функции и ^п,± участвуют в разложении представления U (назовем из

’’основными”), ’’Побочные” сферические функции Фяс£ + 1 и могут появиться в разложении

представлений и билинейных форм, связанных с обобщенными функциями на X, более сложными, чем дельта-функция й(з:), сосредоточенная в х° (разложение представления U эквивалентно разложению 6(х) по сферическим функциям).

ЛИТЕРАТУРА

1. Молчанов В.Ф. Формула Планшереля для пс.евдоримановых симметрических пространств универсальной накрывающей группы SL (2, К) // Сиб. матем. ж. 1984. Т. 24. No. 6. С. 89 - 105.

ОДНОРОДНЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ПЛОСКОСТИ ДУАЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО

© Л.М. Молчанова

Пусть А обозначает алгебру дуальных чисел г = х + Зу, х,у £Ш, у — 0. Ее элементы изображаются точками плоскости хОу. Мультипликативная группа А* алгебры А состоит из а = а + Зр, для которых а ф 0. Она изоморфна группе матриц

(; «)•

Характер \ группы А" (т. е. гомоморфизм в группу С* комплексных чисел без нуля по умножению) задается тройкой (<т,е,ц)у где <г, ц € С, е = 0,1, а именно:

*(«) = аа>‘е*р/а\

мы используем обозначение Х°'С =