CC BY
10ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И
ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N. 2, 2021 Электронный журнал, рег. Эл № ФС77-39410 от 15.04.2010 ISSN 1817-2172
http://diffjournal.spbu. ru/ e-mail: _ [email protected]
Теория нелинейных колебаний Компьютерное моделирование динамических систем
Качественный анализ уравнения движения системы «подвижная платформа с маятником»
Братищев А. В.
Донской государственный технический университет
Аннотация. В настоящей статье изучается свободное движение на горизонтальной плоскости платформы с закрепленным в центре масс сферическим маятником. Эта система рассматривается как система двух стационарно связанных материальных точек, одна из которых перемещается в плоскости. Подсистема дифференциальных уравнений, описывающая движение платформы, интегрируется в явном виде и решение является функцией переменных, описывающих движение этого маятника относительно платформы. В свою очередь в системе уравнений четвертого порядка движения маятника относительно платформы выделяется независимая автономная подсистема уравнений третьего порядка. Построен фазовый портрет последней системы. Это позволило дать полное описание движения системы «подвижная платформа с маятником» при любом её начальном состоянии.
Установлена зависимость в квадратурах между угловыми фазовыми координатами точек траекторий системы.
Ключевые слова: платформа, тележка, сферический маятник, уравнение движения, фазовый портрет.
1. Введение
Математическая модель «сферический маятник» появилась в первой половине 18 века, и в последующем изучалась и обобщалась в разных направлениях [1], [2]. Этому способствовало развитие техники и формирование теории управления. Так, одно из направлений - «сферический маятник на подвижной подвеске» - связано с проблемой управления вертолётом с внешней
подвеской [3] и задачей перемещения груза мостовым краном [4]. В статье [5] мы вывели уравнение свободного движения платформы с маятником. Там же проведены численные эксперименты с действующей S-моделью этой системы [6] и представлены характерные траектории движения платформы и колебаний маятника относительно платформы. В настоящей работе мы систематически изучаем уравнение свободного движения этой системы.
2. Уравнение свободного движения. Общие интегралы
Пусть в центре масс плоской платформы ма^ой M на горизонтальной плоскости шарнирно закреплён свободно колеблющийся маятник на невесомой упругой нити длины l с точечной массой m (Рис.1). Обозначим координаты центра масс платформы (x(t),y(t), 0}, а координаты конца маятника (в сферической системе координат)
(x(t) + I sin 0(t) cos (p(t),y(t) + I sin 0(t) sin (p(t), I cos 0(t)} .
z • t • • [0 • •
• • •У ' /
X .........
-- •
Рис.1. Подвижная платформа с маятником
В [5] получено такое уравнения Лагранжа движения этой системы
Г(М + ш)х'2 + ш/ cos х5 cos х7х'б — ш/ sin х5 sin х7 х'8 — ш/ sin х5 cos х7 х| —
— 2 ш/ cos Х5 sin Х7 Х6Х8 — ш/ sin Х5 cos Х7 X2 = 0 (М + ш)х'4 + ш/ cos х5 sin х7х'6 + ш/ sin х5 cos х7 х'8 — ш/ sin х5 sin Х7 х6 + + 2 ш/ cos Х5 cos Х7 Х6Х8 — ш/ sin Х5 sin Х7 X2 = 0 cos Х5 cos х7х'2 +cos Х5 sin Х7 х'4 + /х'6 — I sin Х5 cos Х5 X2 — д sin х5 = 0 < sin X5(sin Х7Х'2 —cos Х7 х'4 — I sin Х5 х'8 —2 I cos Х5 Х6Х8) = 0
где Хх := X, Х2 := х', Х3 := у, Х4 := у', Х5 := б, Х6 := б', Х7 := ф, Х8 := ф'.
ЗАМЕЧАНИЕ 1) В частном случае y(t) = 0, ^(t) = 0 второе и четвёртое уравнения системы становятся тождественными равенствами, а первое и третье преобразуются в уравнения свободного движения тележки с маятником.
2) В случае x(t) = 0, y(t) = 0, ^(t) = 0 получаем уравнение плоского математического маятника.
Ввиду последнего уравнения система (1) распадается на две. Пусть сначала sin x5(t) = 0, то есть X5(t) = rcfc, x6(t) = x^(t) = 0. Подставляя эти значения в остальные уравнения системы, получаем x'2(t) = 0, x'4(t) = 0. То есть платформа движется прямолинейно и равномерно, а маятник при этом находится либо в верхнем, либо в нижнем положении равновесия.
Пусть теперь второй множитель последнего уравнения равен нулю. Разрешая систему (1) относительно производных, получим такую нормальную систему дифференциальных уравнений
(1)
х? =
х 1 =
ш/ sin Х5 cos Х7 ( 2 _ 2 7 ^
2 - „ , „„„ „:„?.„ 1Л6
^2, ■2 2 » (Xg + Sin2 Х5 Xg — у cos Х5)
'з = х4
, _( 2 , ■ 2 2 #
X-=M+msin2x5 (X6+Sin Х5Х2— TC0SX5j
(2)
М + ш sin2 х5
х'з = Х4
ш/ sin х5 sin Х7 ^ 2 _ 2 7 $
sinx5 / $(M + m)N х'6 = —-——( cosx5 (—mxg + Мх§) +----
х 5 = х6
( co
М + ш sin2 х5
х'7 = х8
cos х5 X 8 = — 2~
sinx5
Найдем первые интегралы системы.
Несложными выкладками проверяется, что второе и четвертое уравнения системы (1) сворачиваются к виду
|((М + ш)Х2 + rn/(sin Х5 cos x7)'t)'t = 0 t((M + m)x4 + m/(sinx5 sinx7)'t)'t = 0
Интегрируя их по одному разу получаем два таких первых интеграла
í(M + ш)х2 + ш/ cos х5 cosx7x6 — ш/ sin х5 sinx7x8 = с1 1(М + ш)х4 + ш/ cos х5 sinx7x6 + ш/ sin х5 cosx7x8 = с2"
Умножим последнее уравнение системы (1) на sin2 Х5, и свернём к виду (x8sin2 X5)'t = 0. Отсюда получаем общий интеграл
x8sin2 х5 = с4 . (4)
Умножим шестое уравнение системы (1) на 2х6(М + т sin2 х5), и перенесём первое из слагаемых правой части влево:
9 л ч 7 2#(М + т) (М + msin2 х5)2х6х 6 + ш2 sinx5 cosx5xg = М2 sinx5 cosx5x6x§ +----sinx5x6 .
Левую часть свернём, а правую сгруппируем и используем предыдущий общий интеграл:
((М + т sin2 x5)xg)'t = (M(sin2 х5)'х| + М sin2 х5х'8х8) — М sin2 х5 х8х'8 + + 2д(М+т) sinX5Xg = M(sin2 Х5 Х8)'Х8 — Мс4х'8 — ^В^М+т) (cosx5)' =
= —Мс4х'8 — 2g(^+m) (cos х5)' .
Отсюда получаем ещё один первый интеграл
, л _ 2#(М + т) (5) (М + т sin2 х5)х| + Мс4х8 +----cos х5 = с3.
В целом получаем 4 первых интеграла системы
' (М + ш)х2 + ш/ cos х5 cosx7x6 — ш/ sin х5 sinx7x8 = сх (М + ш)х4 + ш/ cos х5 sinx7x6 + ш/ sin х5 cosx7x8 = с2 ^
, Л , ,, 2#(М + т) .
(М + т sin2 х5)х6 + М sin2 х5 xg +----cos х5 = с3
I
2
X8sin Х5 — С4
3. Свободное движение тележки
Пусть траектория начинается в точке (х0, х0, х0, х0, х0, х6, х0, х0 ). Тогда последний интеграл примет вид х8 sin2 х5 — х0 sin2 х0 . Поэтому, если х0 — 0, х0 Ф rcfc, то x8(t) = 0. В этом случае система (1) упрощается до такой
\М + ш)х'2 + ш/ cos х5 cos х0 х'6 — ш/ sin х5 cos х0 х6 — 0 (М + ш)х'4 + ш/ cos х5 sin X0 х'6 — ш/ sin х5 sin X0 х| — 0 . , cos х5 cos х0 х'2 + cos х5 sin х0 x'4+Zx'6 — д sin х5 — 0
Повернём х^, х3 -плоскость на угол х0. Это соответствует такой замене переменных в последней системе:
ix1 — cosx0 хх — sinx0x3 [х3 — sin х0 хх + cos х0х3 '
Она преобразуется в следующую
(М + т)х'2 + ш/ cos х5 х'6 — ш/ sin х5 х| — 0 (М + ш)х'4 — 0 .
cosx5 х'2+/х'6 — д sinx5 —0
Первое и третье её уравнения совпадают с уравнением движения подвижной тележки с маятником вдоль оси x-l [6]. Второе уравнение показывает, что вся система движется с постоянной скоростью вдоль оси х3.
ВЫВОД Если в начальный момент времени горизонтальная угловая скорость маятника х0 — 0, то платформа с постоянной скоростью движется в направлении, перпендикулярном вектору (cosx0, sinx0}, а маятник колеблется в вертикальной плоскости, перпендикулярной этому направлению. Уравнение совпадает с уравнением тележки с теми же параметрами. Поэтому общий анализ системы в случае x8(t) = 0 совпадает с анализом частного случая x3(t) = 0, x7(t) = 0 системы уравнений «подвижная платформа с маятником»
х 1 — Х2 m/sinx5 / 7 д \
х'2 — т;-г^—(хб — т cosx5)
2 М + msm2x5 V 6 / V
х'5 — х6
sinx5 / $(M + m)
'6 — т;-г^— ( —ш cos х5 х£ +----
6 М + т sin2 х5 V 56 I ,
Последние три уравнения системы не содержат переменную хь и последняя является
интегралом от х2. Поэтому при исследовании фазового пространства системы можно ограничиться системой третьего порядка
ш/ sin х5 / 7 д х'-> = —-— (хг — — cos
2 = т;-— (хб — т cos х5)
2 М + rnsm2x5 V 6 I V
х'5 = Х6 , (7)
sinx5 / g(M + m)\
х'6 = 77-^-(—rncosx5x|+ , .
6 М + т sin2 х5 V 56 I /
что позволяет его визуализировать.
Система (7) имеет два первых интеграла (первый и третий интегралы (6))
(М + ш)х2 + ш/ cos х5 х6 = сх
_ Л _ 2#(М + т) .
(М + т sin2 x5)xg +----cos х5 = с3
Первый из них совпадает с законом сохранения импульса [7] по переменной x-l системы «подвижная тележка с маятником». Второй выводится из закона сохранения обобщенной энергии этой системы, если воспользоваться первым интегралом.
Проинтегрируем первый из интегралов с начальными данными (х0, х0, х0, х£):
(М + ш)хх + ш/ sin х5 = ((М + ш) х2 + ш/ cos X0 x0)t + (М + ш)х0 + m/sin х0
_ Л 2^(М + т) Пл П7 2#(М + т) .
(М + т sin2 х5)х 5 +----cos х5 = (М + т sin2 х0)х02 +----cos х0
ЗАМЕЧАНИЕ 1 Из первого интеграла следует, что при свободных движениях системы «подвижная тележка с маятником» движение тележки будет ограничено тогда и только тогда, когда параметры тележки и начальные данные системы связаны соотношением (М + ш) х0 + ш/ cos X0 х0 = 0 . При этом
Vt > 0 rn/(sin х0 — 1)/(М + m) < xx(t) — х0 < rn/(sin х0 + 1)/(М + ш) .
Эти утверждения подтверждаются численным экспериментом на S-модели данной системы.
ЗАМЕЧАНИЕ 2 Фиксируем начальные данные ( х0, х0). Если при этих начальных данных маятник совершает хотя бы один полный оборот вокруг тележки, то из второго интеграла получаем 0 < (М + т sin2 х5)х'2 = (М + т sin2 x0)x02 + 2g(M + ш) (cos х0 — cos х5)//, откуда (М + т sin2 х0)х02 + 2#(М + m)(cos х0 — 1)// > 0 .
Обратно, при выполнении этого условия правая часть предыдущего равенства неотрицательна при любом значении Х5, а левая часть определяет соответствующее значение х6.
Сказанное позволяет предположить, что при свободных колебаниях системы «подвижная тележка с маятником» маятник будет вращаться вокруг тележки тогда и только тогда, когда параметры тележки и начальные данные системы связаны неравенством (М + т sin2 х0)х02 + 2^(M + rn)(cos X0 — 1)//> 0 . В случае равенства получаем такое явное уравнение сепаратрис в х5, х6 -фазовом пространстве
#(М+Ш) . Х5
Хб = ±2 |/(М+Ш sin2x5) 5ШТ' Х5 е
При этом неограниченные траектории пространства задаются семейством неявных функций
(М + т sm2x5)x2 — 4д(М + m)sm2(x5/2)/l = т, т > 0 , а циклы - семейством функций (М + т зш2х5)х6 —4 д(М + ш)sin2 4 д(М + т>т2( х5/2)/I =т, —4д(М + т)/1<т<0 Последние три утверждения проверены численными экспериментами на -модели данной системы при различных наборах параметров и начальных данных.
Пусть, например, М = 10, т = 2, I = 3 . Функции х6 = ±2^2д/(5+~^П2х5) зт^5 действительно задают сепаратрисы. Фазовый портрет имеет такой вид
Рис.2. Фазовый портрет движений маятника относительно тележки 4. Фазовый портрет системы «подвижная тележка с маятником». Пример
Будем считать фиксированными параметры M, m, I тележки с маятником, и рассмотрим 3-мерное фазовое пространство системы (8) с переменными х2, х$, х6 и Х5,Х6- горизонтальной плоскостью. Поверхность (M + т)х2 + ml COS Х5 Хб = 0 разделяет это пространство на две инвариантные области, для точек которых (начальных состояний) тележка неограниченно удаляется. Для начальных состояний на самой поверхности тележка движется на ограниченном участке хх-оси.
Вертикальная цилиндрическая поверхность (M + m sin2x5)x6 = 2д(М + т)( 1 — cosx5)/l также разделяет фазовое пространство на два инвариантных множества, для точек (начальных состояний) одного из которых маятник не совершает полных колебаний вокруг тележки, а для точек другого маятник вращается вокруг тележки. Поверхность является как бы пространственной сепаратрисой.
Пусть M = 10, m = 2, I = 3. Поверхность х6 = 4^(1 — cosx5)/(5 + sin2x5) представляет собой 2я -периодическую последовательность вертикальных цилиндров с образующей, параллельной оси х2. Они расположены вдоль оси Х5 и примыкают друг к другу.
Поверхность х2 = —0,5cosx5x6 также 2я -периодическая по переменной Х5. Её сечение вертикальными плоскостями х6 = с представляет собой косинусоиду с растущей по |с| амплитудой = 0,51 с |.
При указанных параметрах фрагмент фазового портрета системы «подвижная тележка с маятником» имеет следующий вид.
Рис. 3. Фазовый портрет системы «подвижная тележка с маятником»
Этот график позволяет сформулировать в терминах начальных условий 4 логически возможных поведения тележки с маятником.
1) Внутренность каждого цилиндра определяется неравенством
х| < 2$(М + т)(1 — cosx5)/(Z(M + m sin2x5)) . При этом для тех начальных данных, которые лежат внутри цилиндров и одновременно на поверхности
х2 = — micos Х5 х6/(М + т) тележка колеблется на ограниченном участке х^оси, а маятник не совершает полных колебаний вокруг тележки. А для остальных начальных данных, которые лежат внутри цилиндров и одновременно вне этой поверхности, тележка будет неограниченно удаляться, но маятник не совершает полных колебаний.
2) Внешность цилиндров определяется неравенством
х2 > 2$(М + ш)(1 — cosx5)/(Z(M + m sin2x5)) . При этом для тех начальных данных, которые лежат вне цилиндров и одновременно на
поверхности х2 = — micos х5 х6/(М + т),
тележка колеблется на ограниченном участке x-L-оси, а маятник вращается вокруг тележки. А для остальных начальных данных, которые лежат вне цилиндров и одновременно вне этой поверхности, тележка будет неограниченно удаляться, а маятник вращается вокруг тележки.
5. Анализ движений системы «подвижная платформа с маятником». Движения платформы
Интегрируя систему (3) два раза с начальными данными (х0, х0, х0, х0, х0, х0, х0, х0 ), получим
(М + т)хх + mZ sin х5 cosx7 = = ((М + т)х0 + mZ cosx0 cosx0x6 — mZsin x0sinx0x0 )t + (M + m)x0 + mZ sinx0cosx0
(M + m)x3 + mZ sin x5 sinx7 = = ((M + m)x0 + mZ cos x0 sinx0x0 + mZsin x0cosx0x0 )t + (M + m)x0 + mZ sinx0sinx0
Из этих равенств следует, что платформа совершает сложное движение, составленное из прямолинейного равномерного движения
ш/ \ ш/
0 + —-(cosx0 cosx0x0 — sin x0sinx0x0 ) ) t + x0 + —-
M + ш ) M + ш
= í*0 +--(cos X0 cosx0x0 — sin x0sinx0x0))t + X0 +--sinx0cosx0
I V 2 М + ш 5 76 5 7 8V 1 М + ш 5 7
X3(t) = ( x4 + —-(cos x0 sinx0x0 + sin x0cosx0x0 ) ) t + X0 + —-sinx0sinx0
\М+ш ) М + ш
и ограниченного вообще говоря непериодического движения (Рисунок 4)
— /
-ш/
(О = т;-sin х5 (t) cos х7 (t)
1 М + ш 5 7
—ш/ 1
*3(0 = -sinx5(t) sinx7(t)
М + ш
Рис.4 Траектория ограниченной составляющей движения платформы
ЗАМЕЧАНИЕ Для заданного начального состояния движение платформы:
1) происходит в ограниченной полосе | XjJ < С тогда и только тогда, когда начальные данные и параметры связаны соотношением
(М + ш)х0 + ш/ cos х0 cosx0x0 — ш/sin x0sinx0x0 = 0; (8)
2) происходит в ограниченной полосе | х3| < С тогда и только тогда, когда начальные данные и параметры связаны соотношением
(М + ш)х0 + ш/ cos X0 sinx0x0 + ш/sin x0cosx0x0 = 0; (9)
3) происходит в ограниченной области х-^ х3-плоскости тогда и только тогда, когда выполняются оба эти соотношения (8), (9);
4) в общем случае движение платформы происходит в х-^ х3 - плоскости в направлении вектора
{(М + ш)х2 + ш/ cosx0 cosx0x6 — ш/sin x0sinx0x0 , (M + ш)х0 + ш/ cosx0 sinx0x6 + ш/sin x0cosx0x0 } .
Эти утверждения подтверждаются вычислительным экспериментом на S-модели следующей системы (смотри рисунки 5-8)
(М + ш)хх + ш/ sin х5 cosx7 = = ((М + ш)х0 + ш/ cosx0 cosx0x6 — ш/sin x0sinx0x0 )t + (M + ш)х0 + ш/ sinx0cosx0
(M + ш)х3 + ш/ sin х5 sinx7 = = ((М + ш)х0 + ш/ cos X0 sinx0x0 + ш/sin x0cosx0x0 )t + (M + ш)х0 + ш/ sinx0sinx0
х 5 = х6
9 / 99 + Ш)\
(М + ш sin2 х5)х 6 = sin х5 lcosx5(-ШХ6 + Мх2) H----)
х 7 = х8
■ 2 0-20 X8sin2 Х5 = Х0 sin2x0
V
Рис.5. График хх(0, х3(0 при условия (8), (9) Рис.6. График хх(0, х3(0 при условии (9)
Рис.7. График хх(0, х3(0 при условия (8) Рис.8. График хх(0, х3(0 в общем случае
6. Анализ движений системы «подвижная платформа с маятником». Движения маятника относительно точки подвеса
Автономная система (2) обладает тем свойством, что последние четыре уравнения образуют независимую от переменных х-^ х2, х3, х4 систему
х'5 = х6
sinx5 / g(M + rn)\
х 6 = Т7-—( cosx5 (-шх6 + Mxg) +----)
6 M + rnsm2x5\ ^ 6 8 i j
х'7 = х8
cos Х5
X 8 = — 2 — Х6Х8
sinx5
и фактически описывают движения маятника относительно точки подвеса.
ЗАМЕЧАНИЕ Если числитель и знаменатель правой части второго уравнения разделить на М, и формально перейти к пределу при М ^ го, то получим систему
х '5 = Х6
' ■ 2,0 ■ X 6 = Sin х5 cos Х5 Xg + у Sin х5
х '7 = х8 cos х5
X 8 = — 2 — Х6Х8 sin Х5
которая совпадает с уравнением сферического маятника [7].
В предыдущей системе первое, второе и четвертое уравнения не содержат фазовую переменную х7, и последняя является интегралом от х8. Потому для описания движения маятника относительно точки подвеса достаточно изучить фазовое пространство следующей системы трех уравнений х8
х 5 = х6
sinx5 / g(M + rn)\
х б = т;-—( cosx5 (-mxg + Mxg) +----)
6 M + rnsm2x5\ 6 8 I /. (10)
cos х5
X 8 = — 2 — Х6Х8
sinx5
Эта система имеет два общих интеграла (4) и (5).
Функция х8 = С/sin2 Х5 не зависит от х6 и является я-периодической по переменной Х5. Она обращается в го на прямых Х5 = rcfc, к = 0, ±1,..., из горизонтальной Х5, х6 - плоскости.
Рассмотрим часть Х5, Х6, Х8 -фазового пространства пространстве R3 в вертикального полуслоях вида rcfc < х5 < + 1), х8 > 0 и вида rcfc < х5 < + 1), х8 < 0. В силу сказанного она расслаивается на инвариантные множества (поверхности), которые представляют собой горизонтальные цилиндры (каналы) с образующими х8 = С/sin2 Х5 .
На следующем графике изображены 4 таких цилиндрических поверхности в слое 0 < Х5 <
л\
Рис.9. Расслоение полуслоёв 0 < х5 < я, х8 > 0, и 0 < х5 < я, х8 < 0 на инвариантные поверхности
Теперь проанализируем интеграл (5). Из третьего уравнения системы (6) следует такое ограничение на параметр с3: с3 > — 2#(М + ш)Д
Разрешим (5) относительно х8: х8 = (с3 — 2$(М + m)cosx5/Z — (М + шsin2 х5)х|)/(Мс4).
На следующем графике изображены инвариантные поверхности в слое 0 < Х5 < я, соответствующие частным интегралам (4), (5) при с3 = 200, с4 = 10. Пересечение поверхностей представляет собой замкнутую кривую. То есть траектория является циклом.
Рис.10. Пересечение инвариантных поверхностей
Для траектории с началом в точке (х0, х0, х0 ) интеграл (5) принимает вид
1 / _ Л _ 2#(M + rn)
Х8 = Л/f 0 ' 2 0 ( —(М + т sin2 *5>6--;-cos Х5 +
Mx0sin2x0 \ í
9 П. П9 9 9 п 2а(М + ш) Л +(М + msm2*0)*62 + Mxlsrn2*0 +-¡-c°s*0 ) .
Данная функция является чётной и 2л"-периодической по переменной Х5, а также чётной по переменной х6 . Поэтому её график 2я -периодичен по переменной Х5 и симметричен как относительно х6, х8 -координатной плоскости, так и относительно Х5, х8-плоскости.
Если в х0 поменять знак, то инвариантная поверхность, на которой лежит соответствующая траектория будет симметрична данной относительно Х5, х6 -плоскости. Поэтому для её построения достаточно построить графики частных интегралов (5) в вертикальном полуслое —я < Х5 < я, х8 > 0, затем зеркально отразить их в Х5, х6-плоскости, и всё это транслировать с периодом 2я вдоль оси Х5.
Найдем состояния равновесия системы на инвариантном множестве х8 = С/sin2 Х5. Приравняем нулю правую часть второго уравнения (10) и подставим х6 = 0. Имеем М cosx5 х2 + ^(М + rn)/Z = 0. Подставляя в него C/sin2x5 вместо х8, получим такое алгебраического уравнение четвёртого порядка по cos Х5
g(M + rn) I
(1 — cos2 x5)2 + MC2 cos x5 = 0 .
(11)
Оно четное по X5, и вещественные решения должны удовлетворять условию cos Х5 < 0.
Докажем, что такие решения есть, для чего рассмотрим вспомогательную функцию /(и) := (и2 — 1)2 + ZMC2 u/(g(M + rn)) на отрезке [—1,0]. Простой анализ показывает, что функция монотонно возрастает на нём и на концах принимает значения разных знаков. Поэтому она имеет единственный нуль и(С) £ (—1,0). Но тогда уравнение (11) имеет на отрезке (я/2,я) единственное решение Х5(С) уравнения u(C) = cosx5. Все решения последнего уравнения, а значит и уравнения (11), имеют вид ±Х5(С) +
Имеем такие состояния равновесия сужения системы (10) на инвариантных множествах х8 = C/sin2 х5: (±х5(С) + 2л"&, 0, C/sin2 х5(С)).
Пусть М = 10, т = 2, Z = 3, С = 1. На соответствующих инвариантных множествах х8 = 1/sin2x5, —я < х5 < 0, 0 < х5 < я, лежат состояния равновесия (±2.419,0,2.288), определяемые из уравнения (cos2 х5 — 1)2 + 2,5cosx5/9,81 = 0.
На Рис. 11 показано расслоение поверхности х8 = 1/sin2 Х5 на циклы. Слева они заполняют эту поверхность в полуслое — п < Х5 < 0, х8 > 0, а справа - в полуслое 0 < Х5 < я, х8 > 0. Циклы симметричны относительно Х5, х8 - координатной плоскости, и «расползаются» по поверхности вдоль оси х6.
Рис.11.Расслоение инвариантных поверхностей на циклы
Остается транслировать эти графики с периодом 2я вдоль оси Х5, а полученное отразить в плоскости Х5, х6. И мы получаем фазовый портрет уравнения движений маятника относительно точки подвеса.
По аналогии с двумерными динамическими системами [8] плоскость х8 = 0 и семейство вертикальных плоскостей Х5 = rcfc можно было бы назвать скелетом этого 3-мерного фазового пространства, а полуслои - элементарными ячейками.
Каждая элементарная ячейка состоят из циклов и «кривой центров». Обозначим х8(С): = C/sin2 х5(С), и изучим ещё расположение кривой центров /(С): (х5(С), 0, х8(С)), С £ (0, го), например, в полуслое 0 < Х5 < я, х8 > 0.
Из уравнения (11) следует, что limc^+TOx5(C) = я, limc^0x5(C) = я/2. Отсюда и из равенства
х8(С) = 7- + m)/(ZM cosх5 (С)) получаем limc^0 /(С) = (я, + ш)/(/М) ),
lim /(С) = (-,0, + го ) .
w V2 /
В результате численного эксперимента получена качественная картина траекторий в элементарных ячейках, которая показана на графиках 12 и 13.
у -1-1-1-1
О 0.5 1 1.5 2 2.5 3-
Рис. 12. Вид инвариантных поверхностей и кривой центров «с торца»
60
Рис.13. Вид инвариантных поверхностей и кривой центров сбоку-сверху
ЗАМЕЧАНИЕ Перепишем уравнение (5) в виде (М + т sin2 х5)х| + М c4/sin2 х5 + +2д(М + ш) cos X5/Z = с3. Из него получаем такой закон движения изображающей точки по траектории
= J
М + т sin2 х5
d.
с3 — Mc|/sin2x5 — 2g(M + rn)cosx5/Z
Зависимость между угловыми координатами х5, х7 траекторий можно получить в квадратурах так же, как это сделано для уравнения сферического маятника [7]. Сделаем в последнем уравнении замену х6 = -— х8 = ---—— .
С1Х7 С1Х7 Sin Х5
2 2 2
.9ч ^4 С4 2#(М + ш)
(М + Ш Sin4 Х5) ( —-) -■;--+ М-=--1--;-COS Х5 = С3 .
Wx7/ Sin4 х5 Sin4 х5 I 53
t
Отсюда находим
Г I с|(М + rnsin2 х5)
7 J J(2,g(M + rn)//cos3 х5 — с3 cos2 х5 — 2,g>(M + rn)//cosx5 + с3 — Мс|) sin2 х5 5
Последний интеграл является эллиптическим [9].
7. Выводы
Проведен качественный анализ 8-мерной системы (1), (2) «подвижная платформа с маятником».
1. Оказалось, что последние 4 уравнения (2), описывающие движение маятника относительно платформы, не зависят от фазовых переменных, описывающих движение самой платформы в неподвижной системе координат. В свою очередь из этих уравнений можно выделить 3 уравнения (10), которые по существу описывают движения маятника. Это позволило визуализировать движения и описать фазовое пространство системы в переменных Х5, х6, х8.
1. Если начальное состояние лежит в горизонтальной фазовой плоскости х8 = 0, то
платформа с маятником будет двигаться в фиксированной вертикальной плоскости. И её движение описывается известным уравнением движения тележки с маятником. Получен фазовый портрет последней (Рис.3).
2. Если начальное состояние лежит в вертикальных фазовых плоскостях Х5 = к £ 7, то платформа движется прямолинейно и равномерно, а маятник при этом находится либо в верхнем, либо в нижнем положении равновесия.
3. Плоскости предыдущих пунктов образуют скелет фазового пространства. Каждый пространственный полуслой вида < Х5 < + 1), х8 > 0 и вида < Х5 < + 1), х8 < 0, расслаивается на инвариантные поверхности х8 = СДт2х5, С Ф 0 (Рис.9). В свою очередь эти инвариантные поверхности состоят из центра и охватывающих его циклов (Рис.11, 13). Составлен программный код на языке МЛТЪЛВ построения кривой центров (Рис. 12).
2. Первые 4 уравнения системы (2), описывающие движение тележки, интегрируются
в явном виде, и получается закон движения тележки в терминах фазовых переменных (углов) Х5(0,Х7(0. Оказалось, что сложное движение тележки складывается из прямолинейного равномерного и ограниченного (вообще говоря непериодического, Рис.4) движений.
Найдены ограничения на параметры и начальные условия системы, при которых движение тележки будет происходить в ограниченной области.
3. Получены в квадратурах закон движения изображающей точки на траектории и
зависимость между угловыми координатами Х5, х7 траектории.
Список литературы
[1] Аппель, П. Теоретическая механика. Т.1,2. М.: Физматгиз, 1960.
Смирнов, А.С. Смольников, Б.А. Механика сферического маятника. СПб: ПОЛИТЕХ-ПРЕСС, 2019.
[2] Ефимов, В.В. Исследование колебаний физического маятника с подвижной точкой подвеса как упрощенной модели груза на внешней подвеске вертолета. Научный вестник МГТУ ГА. Серия Аэромеханика и прочность. № 138, c.126-133, 2009.
[3] Корытов, М. С., Щербаков, В. С., Титенко, В. В., Беляков, В. Е. Модель сферического маятника с подвижной точкой подвеса в задаче пространственного перемещения груза грузоподъемным краном при ограничении колебаний. Динамика систем, механизмов и машин. Том 7, № 1, с.104-110, 2019.
[4] Братищев, А. В. Управление колебаниями маятника на подвижной платформе. Дифференциальные уравнения и процессы управления, № 4, 2020, c.75-86, https://diffjournal.spbu.ru/pdf/20404-jdecp-bratischev.pdf
[5] Дэбни, Дж., Харман, Т. Simulink 4. Секреты мастерства. М.: БИНОМ. Лаборатория Знаний, 2003.
[6] Ольховский, И.И. Курс теоретической механики для физиков. М.: Лань, 2009.
[7] Баутин, Н.Н., Леонтович, Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990.
[8] Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. М.: Лань, 2020.
Qualitative analysis of the equation of motion of the "Mobile platform with a pendulum" system
Bratishchev A. V.
Don State Technical University
Abstract. In this paper, we study the free movement on the horizontal plane of a platform with a spherical pendulum fixed in the center of mass. This system is considered as a system of two stationarily connected material points, one of which moves in the plane. The subsystem of differential equations describing the motion of the platform is integrated explicitly and the solution is a function of the variables describing the motion of this pendulum relative to the platform. In turn, in the system of fourth-order equations of motion of the pendulum relative to the platform, an independent autonomous subsystem of third-order equations is distinguished. A phase portrait of the latter system is constructed. This allowed us to give a complete description of the movement of the "Mobile platform with a pendulum" system at any of its initial states. The relationship in quadratures between the angular phase coordinates of the points of the trajectories of the system is established.
Keywords: platform, cart, spherical pendulum, equation of motion, phase portrait.
