УПРАВЛЕНИЕ ПОДВИЖНОЙ ПЛАТФОРМОЙ С МАЯТНИКОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N. 4, 2022 Электронный журнал, рег. Эл № ФС77-39410 от 15.04.2010 ISSN 1817-2172

http://diffjournal.spbu.ru/ e-mail: _ [email protected]

Теория обыкновенных дифференциальных уравнений Управление в нелинейных и сложных системах Компьютерное моделирование динамических и управляемых систем

Управление подвижной платформой с маятником

Братищев А. В. Донской государственный технический университет [email protected]

Аннотация. Установлена связь понятий устойчивости многообразия в смысле А. А. Ляпунова, Ф. Р. Гантмахера и А. А. Колесникова. Введено понятие частичного положения равновесия по заданному отображению. В рамках синергетической теории управления найдена формула вектора управления, когда агрегированные переменные являются первыми интегралами динамической системы, а вектор управления входит в регулятор линейным образом. Эти понятия и результаты используются в задаче управления платформой с закреплённым маятником, когда требуется стабилизовать платформу в наперёд заданном положении, а маятник - в нижнем положении равновесия.

Ключевые слова: уравнения Лагранжа, первый интеграл, инвариантное множество, устойчивость, платформа, маятник, синергетический регулятор.

Введение

В статье [1] мы вывели уравнение свободного движения платформы на горизонтальной плоскости с закреплённым на ней маятником в виде системы уравнений Лагранжа

f d dL dL

di 3x2

d dL dL

di 3x4 дхз

d dL dL

di 3x6 ЗХ5

d dL dL

^dt 3xg 3x7

Ш + HIJA 2 + cus Л. 5 cus Л.7Л. 6 — if И sin Л. 5 sin Л. 7 Л. g —

— mí sin x5 cos x7 X2 — 2 mi cos x5 sin x7 x6xg — mi sin x5 cos x7 xg = 0 M + m)x'4 + mi cos x5 sin x7x'6 + mi sin x5 cos x7 x'g —

— mi sin x5 sin x7 x| + 2 mi cos x5 cos x7 x6xg — mi sin x5 sin x7 xg = 0

2

(1)

- I 4111 T _ 14 I. T „ -

-— = sinx5 sinx7x'2 — sinx5 cosx7 x'4 — I Sin2 x5 x'g —2 I sinx5 cosx5 x6xg = 0

Здесь Xx := X, X2 := x', X3 := у, X4 := у', X5 := б, X6 := б', X7 := ф, Xg := ф'. Xx, X3 -декартовы координаты цента масс платформы, б, ^ - сферические координаты маятника относительно центра масс платформы в подвижной системе координат. M - масса плоской горизонтальной платформы. В центре масс закреплена невесомая упругая нить длиной l с точечной массой m на конце. L - функция Лагранжа системы:

L = —(х| + х4) + mZ((sinx5cosx7)'x2 + (smx5smx7)'x4) + ^-(x| + sm2 х5 х2) — rn^/cosx5.

В той же статье формула (1) преобразована в нормальную систему дифференциальных уравнений

fx\ = Х2

ш/ sin х5 cos х7 ( 7 i _ 7 д

X , =

■ (х| + sin2 Х5 X2 — - cos Х5) =: /2

7 — ^Г.-—^-I ~ л5 ЛЯ--Г

2 М + ш sin2 х5 V 6 5 g i

х'з = Х4

(х| + sin2 Х5 X2 — J cos Х5) =: /4

ш/ sin х5 sin Х7 / $

х'4 = —-—-(х6 + sin2 х5 xg — -

4 М + ш sin2 х5 V 6 5 g I

х'5 = х6

sinx^ ^ #(М + т)\ (2) -т^— ( cos Х5 (—mxg + Mxg) +---) =: /6

х'6 = —-^— ( cos х5 (—шх| + Мх2) + ,

6 M + msm2x5\ ^ 6 ^ I

х'7 = х8

cos Х5

X g = — 2~ *6xg =:/g

sin Х5

7

4

Было показано, что в силовом поле, имеющем характер сил трения, платформу с маятником всегда можно стабилизировать в том смысле, что тележка останавливается в какой-то точке, а колебания маятника затухают.

В работе [2] методом аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР) А. А. Колесникова спроектировано управление платформой, которое гарантирует её движение в ограниченной области независимо от начального состояния системы. Руководствуясь его же идеей о выборе агрегированных переменных исходя из «внутренних свойств системы» [3], мы использовали первые интегралы системы (1), которые были найдены в работе [4]. Метод АКАР приводит к устойчивому в определённом смысле (смысле А. А. Колесникова) инвариантному многообразию регулятора. Поэтому в п.1 статьи мы изучаем связь этого понятия с соответствующими понятиями А. М. Ляпунова и Ф. Р. Гантмахера. В п.2 для аффинной по управлению системы установлена общая формула вычисления вектора управления. В п.3 решается задача синтеза вектора управления, при котором платформа останавливается в наперёд заданной точке, а маятник - в нижнем положении равновесия. Отсутствие состояний равновесия у

системы (2) побудило ввести в п.4 понятие частичного положения равновесия по заданному отображению. Там же приведены результаты численных экспериментов на S-модели регулятора

[5],

подтверждающих работу предложенного регулятора.

1. Условная устойчивость и устойчивость в смысле А. А. Колесникова

Приведём исходное определение устойчивости, данное А. М. Ляпуновым в диссертации [6].

Обозначим ч°(г) ■.= ■= (Ч°(1).....Ч°'(0.....t > ^

невозмущённое (опорное) решение системы уравнений Лагранжа

ей дЬ дЬ

----= Q1

й дЬ дЬ '

= Qn

а через ■= (ц1(1,10,ц0),ц/(1,10,ц0)), t > Ь0, решение задачи Коши с начальными

условиями = Ц0 ■= Е И2п.

Пусть дано непрерывное отображение Q(qi, ц/') ■= (ф^Ць ч/'), ц/)),т <п, от 2п

переменных. Невозмущённое движение называется устойчивым по отношению к величинам Qj , если Уе > 0 35 > 0 Уц0 со свойством р(ч0,Ч0(^о)) < 5 соответствующее решение задачи

Коши удовлетворяло условию УЬ > р (^(ц^), ц/Ю), Q (ц°(1), Ц^'Ю)) < е. Здесь р -

евклидово расстояние в И2п. Далее А. М. Ляпунов замечает, что в ряде задач механики на начальные данные в приведённом определении приходится накладывать условия вида ^Цю — Чг('[о),ч1о — Чг^о)) = 0 или вида — — Ч^^) < 0, где f - некоторая функция

«возмущений» — Ц1(10), ц[0 — &0)). В этом случае он называет невозмущённое движение устойчивым по отношению к величинам Qj для возмущений, подчинённых соответствующим условиям.

Впоследствии данные определения получили развитие в разных направлениях ([7] - [11] и др.). Так, инвариантное множество £ системы (3) называется устойчивым в смысле Ляпунова, если Уе > 0 35 > 0 Уц0 со свойством р(ц0,£) < 5 соответствующее решение задачи Коши ц^) удовлетворяет условию Уt > t0 р(ц(£),£) < £.

Остановимся на определении условной устойчивости в смысле Ф. Р. Гантмахера. Без потери общности он предполагает, что система (3) имеет положение равновесия в нуле: 41 = "' = Чп = 0, и заданы т функций от обобщённых координат и их производных (наблюдаемые значения) Х1 = Q1(Чi,Чi'),.■■,xm = Qm(Чi,Чi'). Предполагается, что эти функции обращаются в ноль в положении равновесия и на движениях системы (3) удовлетворяют системе уравнений

йх1

— = Ф1(г,х1,...,хп)

(4)

^ = Фт(^, х1, — , хп)

причём Ф^(С,0,—,0) = 0, = 1,—,т. Последнее условие означает, что система имеет положение равновесия в нуле: х1 = ••• = хт = 0. Предполагается, что это положение

устойчиво: Уг > 0 35 > 0 Ух0 = (х°, ...,х°) со свойством ||х0|| < 8 соответствующее решение задачи Коши х(^ *;0, х0) удовлетворяет условию Vt > ||х(^ *;0, х0) || < £.

При этих условиях нулевое положение системы (3) названо условно устойчивым (по отношению к функциям фу), если : Уг > 0 35 > 0 := (^¿0, ^¿0') £ й2п со свойством: ||@(^0, ЧюОН <5, соответствующее решение задачи Коши = &0, ^0), q¿'(t, t0, ^0)) системы (3) удовлетворяет условию £0, ^0), £0, Ч0))|| < £, ^ > . Нулевое

положение системы (3) называется асимптотически условно устойчивым (по отношению к функциям Qj), если для каждого такого положения д0 Нт^+Ю £0, ^0), £0, Ч0)) = 0,

_/' = 1, ...,т.

Заметим, что из данного Ф. Р. Гантмахером определения можно извлечь больше информации. Во-первых, множество £ = {(^¿, ^¿'): ^(ч^ = 0,..., = 0} является инвариантным

множеством системы (3). Действительно, возьмём произвольную точку д0 = (^¿0, ^¿0') £ £. Для соответствующего решения задачи Коши ?(0 == (^(^ 90), 90)) функции

£0,90), 90)) по определению удовлетворяют системе (4), и обращаются в ноль в

точке *:0. Но тогда в силу теоремы единственности решения задачи Коши эти функции должны тождественно равняться нулю. То есть V t > t0 £ £. Во-вторых, если точка «^-близка» к £: НС(^0,^0')|| < 5, то и вся траектория &0,д0),q¿'(t, t0,^0)) «^-близка» к £:

Это замечание подводит к такому определению условной устойчивости инвариантного многообразия. Пусть непрерывно дифференцируемое отображение = (^.(Чр ^¿'), —,

Ч^'),ш — п, имеет невырожденную матрицу Якоби по всем переменным, и многообразие £:={(?£, Ч^'): ^1(^1, = 0, ^г') = 0} является инвариантным для системы (3):

= (?10, ?10') £ £ (ч^, Ч0), Ч0)) £ £, ^ > £0. Назовём это многообразие условно

устойчивым по отношению к отображению если Уг > 0 35 > 0 := (^¿0, ^¿0') со свойством: ||^(^10, ЧмОН < соответствующее решение задачи Коши

9(0 := (^(^ 90), 90)) системы (3) удовлетворяет условию

£0, Ч0), £0, Ч0))|| < £, t > *:0. Многообразие £ назовём асимптотически условно устойчивым (по отношению к отображению если для каждого такого состояния д0 Ит^+ю^/(^(г;,г;0,Ч0),91'(£Д0,90)) = 0, у' = 1,...,т.

В частности, в условиях определения Ф. Р. Гантмахера соответствующее множество £ будет условно устойчивым по отношению к отображению ¥ в смысле данного определения.

Напомним теперь метод АКАР [3] в применении к системе (3). В этом методе по образному выражению автора наперёд заданное многообразие

£ := {(^¿'): ^(^¿0 = 0..... = 0}

«навязывается» системе с помощью конструктивно задаваемого управления по состоянию. Здесь функции ^¿'),..., ^¿'),т — п, непрерывно дифференцируемы, и их матрица

Якоби не вырождена, то есть имеет ранг = ш. Имеет место разновидность обратной задачи динамики нахождения синергетического регулятора по заданным функциям.

Известно [12], что многообразие £ инвариантно тогда и только тогда, когда функции ^ (^¿, ^¿') удовлетворяют системе уравнений вида

на траекториях синергетического регулятора. В большинстве исследований А. А. Колесников конкретизирует эту систему в виде

йг . . Т 1 (5)

__ — _щ

~ ~ тт

аг Т1

где Т > 0 - фиксированные параметры. Левые производные вычисляются в силу системы уравнений регулятора, и полученная система будет составной частью проектируемого регулятора. Выбор вида (5) объясняется тем, что такая система является уравнением экстремалей вариационной задачи для поиска оптимального управления [3]. Эта система, очевидно, разрешима в явном виде на траекториях регулятора, и решение задачи Коши с

начальными данными ^м, Цю') имеет вид ' /

ЪШЪл (V) = ^1(Чю,Чю )ехр(--—)

( £ - £0\.

^т(Ч1(^),Ч1 (*)) = Ут(Чю,Чю)ехр(--г—)

V ^ Тт '

Из вида системы следует, что многообразие £ является асимптотически условно устойчивым по отношению к агрегированным переменным 1¥1,..., ¥т.

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Возникает естественные вопрос о связи условной асимптотической устойчивости многообразия по отношению к 1¥1,..., ¥т и его устойчивости в смысле Ляпунова [11]. А. А. Колесников в конкретных задачах строит функции Ляпунова для обоснования того, что из (5) следует устойчивость по Ляпунову. В работе [13] в случае линейных функций доказано, что эти виды устойчивости равносильны. Преимущество устойчивости по А. А. Колесникову в том, что т нулей характеристического многочлена матрицы Якоби состояния равновесия синергетического регулятора вычисляются явно и всегда отрицательны [14].

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Базовые положения метода АКАР легли в основу метода адаптивного управления на многообразиях [15]. В этой же монографии отмечены 2 особенности метода: 1) отсутствие необходимости задавать целевую функцию вариационной задачи управления, 2) включение информации о естественных свойствах свободной системы и желаемых свойствах регулятора в целевую функцию и агрегированные переменные.

2. Проектирование синергетического регулятора с помощью первых интегралов системы

Пусть у автономной системы

(V = ДМ

{ . ^ . . , Х = (Х1,...,Хп), ^

\Хп

известны первые интегралы Ф^х) = ^ ,... ,1¥т(х) = Ст, т < п. Требуется спроектировать аффинный по управлению синергетический регулятор

= АМ + Т,™=1 а1](х)и](х)

где - заданные функции, у которого инвариантное многообразие

( (У^х) = 0

{ \ут(х) = 0

будет устойчивым в смысле Колесникова. То есть (У[(х(1))) = -^^[(х^)), / = 1, ...,т, на

движениях х(€) этого регулятора. Параметр Т регулирует степень притяжения траекторий к многообразию.

Напомним, что производные первых интегралов в силу системы (6) должны равняться нулю: (хШх) + ■■■ + У\Хп(хШх) = 0

. (8)

^'тх1(х)/1(х) + + ^'тхп(х)/п(х) = 0

Введём матрицы-столбцы Х(Ь): = (х()), Р(х): = ([¿(х)), и(х) =:(щ(х)). Х'(Ь) • = (х^'(Ь)). А(х): = (а^(х)). Тогда систему (7) можно записать в матричном виде X' = Р(х) + А(х)и(х).

Обозначим ~^(х):= (ф'г х^х)) матрицу Якоби отображения У(х) = :(У1(х) ...,Ут(х)), и

запишем в матричной форме условие (8): ^(х)Р(х) = 0.

Выберем функции У^х),..., Ут(х) в качестве агрегированных переменных. Эти переменные на траекториях синергетического регулятора должны удовлетворять уравнениям

т

(т \ т

к(х) + ^ а1](х)и](х) ) + ■■■ + Ф'1Хп(х)(/п(х) + ^ ап](х)и](х)) = }=1 ) }=1

п т т / п \

= ^Ф'1х1(х)^а1](х)и](х) = ^(^¥'1Х.(х)а1](х)\и](х) = —Ф^х) ¿=1 1=1 ¡=1\1=1 /

Ф'тХ1(х) ( к(х) + ^ а1](х)и](х) ) + ■■■+ У'тХп(х)(/п(х) + ^ ап](х)и](х)) = \ }=1 ) }=1

п т т / п \

= Л^Ф'тх1(х)^а1](х)и](х) = ^(^У'тХ1(х)а1](х)\и](х) = —Фт(х) ¿=1 1=1 ¡=1\1=1 /

]=1 1=1

т \ т

—1(йФ \ 1

формуле и(х) =—(— (х)А(х)) У(х), а синергетический регулятор

]=1 )=

Последние равенства системы можно переписать в матричном виде —(х)А(х)и(х) = —7^(х). Если предположить, что квадратная матрица ^(х)Л(х) не вырождена, то управление

вычисляется по формуле и(х) = — (^(х)Л(х)) У(х), а принимает такой вид

1 (ау \ 1

П = Р(х)--А( — (х)А(х) ) У(х).

3. Синтез синергетического регулятора для платформы с маятником

Из физических соображений следует, что состояния вида

:= (Х°, 0, хЦ, 0, Л", 0, х£, х0) и := (х?, 0, X0, 0, 0, 0, х£, х£)

являются состояниями равновесия системы. Однако они не входят в область определения нормальной системы (2) (в силу восьмого уравнения), но входят в область определения системы (1).

Выберем по произвольным числам х°,х° какую-либо дважды непрерывно дифференцируемую функцию х7(0, t £ [0, го), со свойством:

Х7(0) = Х7, Х8(0 := х'7(0, Х8(0) = х0 .

Подстановкой проверяется, что отображения

х(^ д0) = (х°0,0, х0,0, п, 0, х7(0, х8(0) и х(*;, д0) := (х0,0, х0,0,0,0,х7(0,х8(о)

являются решениями задачи Коши системы (1) с соответствующими начальными данными (х°°,0,х0,0,я,0,х0,х0) и (х°°,0,хО,0,0,0,хО,хО).

Отсюда следует, в частности, что для этих состояний равновесия не имеет места теорема единственности решения задачи Коши.

Множества

А *£):= ((х1,0, 0, п, 0, х7, х8): х7, х8 £ й}

^2(*1,*з): = {(х0,0,х0,0,я,0,х7,х8): х7,х8 £ й}

являются многообразиями нуль-динамики системы (1), если считать выходными переменными х-^ х2, х3, х4, Х5, х6: любая траектория из этих множеств соответствует нахождению платформы с маятником в одном и том же положении равновесия в любой момент времени.

Если же начальная скорость платформы не равна нулю ( 0 или х4 0) или начальная угловая скорость х° 0, то опять же по физическим соображениям маятник под действием силы тяжести отклонится от положения равновесия и система начнёт двигаться по определённой траектории. То есть задача Коши будет иметь единственной решение.

Уравнение движения рассматриваемой системы в форме Лагранжа под действием каких-либо обобщённых сил ..., имеет вид

(й а! а!

^ Зх2 Зхх

й а! а!

^ Зх4 дхз

й а! а! = Сз

^ Зх6 5X5

й а! а! = ^4

^ Зх8 Зх7

Нормальная форма этой системы примет вид [1]

*'2 — /2 +

MM + m sin2 х5

((М + т sin2 х5 sin2 х7)^! — М \ 1 sinx7

_ М \

— ш sin2 х5 sin х7 cos х7 Q2--— cos х5 cos х7 Q3) +

х'4 = /4 +

1

1

ММ + msin2 х5

i / Mi sin х5

х3 — Х4

(—т sin2 х5 sin х7 cos х7 +

^4

, , л М \

+(М + ш sin2 х5 cos2 х7) Q2 — — cos х5 sin х7 Q3) — ■

м Т

Х5 — х6

^4

1

— /б — 7

1

1 cosx7 Mi sinx5

М + т

i М + msin2 х5

/ М + т \ (cos Х5 (cos х7 Qi + sin х7 --)

х7 — х8

11 (М + Ш) 1

— /8 + 771—-- (sin х7 & — cos Х7 ^2) + ^4

Mi sinx5

Mm/2 sin2 x5

(9)

Очевидно, последняя имеет структуру системы (7), в которой U(x) —: (Q¿(x)) и A(x) := (a¿y(x)) —

/

0

0

0

М + ш sin2 х5 sin2 х7 msin2 х5 sinx7 cosx7 —Mcosx5cosx7

M(M + msin2x5) M(M + msin2x5)

00 ш sin2 x5 sin x7 cos x7 Fi M + ш sin2 x5 cos2 x7

V

M(M + msin2 x5) 0

— cos x5 cos x7 i(M + msin2 x5) 0

sin x7 Mi sin x5

M(M + msin2 x5) 0

—cos x5 sinx7 i(M + msin2 x5) 0

—cosx7 Mi sinx5

Mi(M + msin2 x5) 0

—M cos x5 sinx7 Mi(M + msin2 x5) 0

0

sinx7 Mi sinx5 0

cosx7 Mi sinx5 0

(M + m)

0

mi2 (M + ш sin2 x5)

0 0 M + ш

Mm/2 sin2 x5 /

0

В задаче управления, решаемой в [2], использовались только обобщённые силы Q2 (то есть сила прикладывается только к платформе), а в качестве агрегированных переменных были выбраны первые интегралы свободной системы (1)

ГФх(х) — (М + ш)х2 + mi cosx5 cosx7x6 — mi sinx5 sinx7x8 (Ф2(х) — (M + m)x4 + mi cos x5 sinx7x6 + mi sin x5 cosx7x8"

Мы также будем использовать только эти силы. Поскольку требуется, чтобы тележка остановилась в наперёд заданной точке плоскости х0,х0, рассмотрим такие агрегированные переменные

:= Фх(х) + хх — х0 — (М + ш)х2 + mi cos х5 cosx7x6 — mi sin х5 sinx7x8 + хх — х0 [v2 : Ф2(х) + х3 — х0 — (М + ш)х4 + mi cos х5 sinx7x6 + mi sin х5 cosx7x8 + х3 — X0

1

1

V

Имеем

_ (1 М + т 0 0 ml(—sinx5cosx7x6 — cosx5sinx7x8) micos х5 cos х7 dx (0 0 1 М + т ml(—sinx5sinx7 х6 + cosx5cosx7 х8) mlcosx5sinx7

ml(— cos x5 sin x7 x6 — sin x5 cos x7 x8) —ml sin x5 sin x7\ ml(cos x5 cos x7 x6 — sin x5 sin x7 x8) ml sin x5 cos х7/'

„ , ^ (1 0 0 0 0 0 0 0\ , dФ f Л „

Отсюда = (g О 1 0 0 0 0 о) + dx (Х)' Непосредственно проверяется, что

матрица ""¡~(х) является левой обратной к матрице А(х) : ^(х)Л(х) = ^фЛ(х) = ^ 0). Потребуем от агрегированных переменных V(x) условие устойчивости по А. А. Колесникову W't(x) = — V(x) на траекториях синергетического регулятора

dW fXnx —1

+ —A(x)U(x) = (X2J + U(x) =—V(x).

Отсюда вектор управления равен У(х) = = — (х2) — 1 ^(х), а синергетический

регулятор принимает вид X'г = Р(х) — А(х) ( (х2) + 1 ^(х) ). Или, учитывая (9), в развёрнутом

Х1 = Х2

1 1 1

х'2 = f2———-т^—( (М + msin2 х5 sin2 х7) ( х2 + — WAx) ) —

2 J2 MM + msin2x5y 5 7J\2 T 7

x3 = X4

1 1 1

x'4 = f4 — — —-;—~— ( —msin2 x5 sinx7 cos x7 ( x2 + — Vx(x) ) +

4 — 4 — 77--:-^- I —111 ¿III ЛС ЙШЛ7 LU3 Л7 I Л.-1 т —

4 J4 MM + msin2x5\ 5 7 7\2 T

■ (10)

+ (M + m sin2 x5 cos2 x7) (x4+—xV2 (x)

x5 = x6

X'6=f6+ lM + msin2xJycosX5 cosx7 (x2+Twm) + +c°sx5sinx7(x4+fW2(x\

x7 = x8

1 1 1 1

х'в = f8—M^0~\sinX7 (x2 +jVl(x)) — cos X7 [X4+-V2W

4. Проблема устойчивости синергетического регулятора. Вычислительный эксперимент

Особенность рассматриваемой задачи проектирования в том, что устойчивое состояние системы полностью определяется первыми шестью координатами (х0,0, х0,0, я, 0). Любая точка фазового пространства вида (х0,0, х0, 0, я, 0, х7, х8) не принадлежит области определения правой части системы (10) из-за восьмого уравнения. Однако она является состоянием равновесия системы уравнений Лагранжа

1

= = -Х2

1

= & = -Х4 -"ЧЪМ

, (11)

=0

(й а! а!

^ Зх2 3х1

й а! а!

^ Зх4 5хэ

й а! а!

^ Зх6 5X5

й а! а!

Зх8 Зх7

=0

в чём несложно убедиться подстановкой. Таким образом проблема проектирования связана с понятием устойчивости состояния равновесия по части переменных.

Сформулируем подходящее понятие устойчивости в общем случае для уравнений Лагранжа. Рассмотрим систему уравнений

Г й дЬ 51

^дд^ (12)

^ а! '

п

и «измеряемые величины» Р(ч) := (р1(?1, ?'1, ■■■, Чп, ?'п), ■■■ , Рт(?1, ?'1, ■■■, Чп, ?'п)}: ^ Рт.

ГУ1: = Р1(?1,?'1,-,?п,?'п)

\Ут: =

Точку уо=(у0, ■ ■■,Ут) £ /т(Р) назовём частичным положением равновесия системы (12), (13) по отображению Р(д) , если для каждого состояния д0 со свойством Р(^0) = у0 решение задачи Коши системы (12) *;0, д0), t > *;0, удовлетворяет условию Р(д(^ *;0, д0)) = у0. Это определение равносильно тому, что множество точек фазового пространства вида £: = (д £ X: Р(^) = у0) является инвариантным множеством системы (12).

Предположим, что система (12) полна на некоторой окрестности V множества £ в смысле [9]: для всех д0 £ V решение задачи Коши *;0, д0), t > t0 существует и принадлежит К. Будем говорить, что система (12), (13) в частичном положении равновесия у0 устойчива по отношению к отображению Р(^) , если отображение д0 ^ Р(ч(^, Ч0)) непрерывно во всех точках д0 £ £ :

^>0 35 >0 Н^-^Н <5 ^ V НР^^Ы-У)! <

Если кроме того найдётся такая окрестность У0 множества £, что Е У0 Р(ц(Ь, Ь0, ц^)) = у0, то будем говорить, что частичное положение равновесия

у0 асимптотически устойчиво по отношению к отображению Р(д).

Ранее понятие частичного положения равновесия по функции было дано для нормальной системы дифференциальных уравнений [9]. Для нашей задачи оно не подходит.

В нашем случае в связи с системой (11) и «терминальным» положением» У0 '•= (х°0,0,хз0,0,п,0) в качестве измеряемых величин

выберем Р(х1, х2, х3, х4, х5, х6, х7, х8) = (х±, х2, х3, х4, х5, х6): И8 ^ И6, то есть

!У1 = Р1(х±, X2, Xз, X4, X5, X6, X7, Х8): = Х1 У 6: = Р6(*1 , X2, Xз, X4, X5, X6, X7, = х6

(14)

Покажем, что у0 будет частичным положением равновесия по так определённому отображению Р. Фиксируем произвольные числа х°,х° и дважды непрерывно дифференцируемую функцию х7(^, t Е [0, го), со свойством: х7(0) = х°, х7'(0) = х° , х8Ю •= х7'(1). Образуем q0 •= (х°0,0,х°0,0,п,0,хУ,х°). Оно удовлетворяет условию Р^0) = у0. Решением задачи Коши системы (11) с начальными данными х<°0,0,х300, 0,п,0,х70,х80 будет восьмёрка функций х(Ь,Ь0,ц0) •= (х°0,0,х°0,0,п,0,х7(1),х8(1)). В этом можно убедиться подстановкой в уравнения этой системы. И в тоже время Р(ц&,10,ц0)) = у0. Таким образом, точка у0 •= (х°0, 0, х°0, 0, п, 0) является частичным положением равновесия системы (11), (14) по отображению Р(х) = (хг, х2,х3, х4, х5,х6).

Несложно проверить, что у системы (10) вообще нет состояний равновесия.

Рассматриваемая задача управления предполагает проверку частичного положения равновесия на асимптотическую устойчивость в смысле А. А. Ляпунова. В настоящее время неизвестны какие-либо теоретические результаты по такой проверке. Поэтому была спроектирована S-модель синергетического регулятора для численных экспериментов по проверке устойчивости частичного положения равновесия. Приведём результаты одного такого эксперимента.

Произвольным образом были выбраны следующие параметры. Масса платформы М = 10. Длина упругой несгибаемой нити 1 = 3. Масса груза т = 2. Т = 1. Начальное состояние системы ц0 = (-10, 3, 5,-4, 2, 3, 4,-2). Конечное (терминальное) положение платформы х°0 = 10, х°0 = -15. Время моделирования t = 500. На первых 8 графиках изображены изменения фазовых переменных синергетического регулятора.

Первая координата платформы приближается к X00 = 10, а её скорость стремится к нулю (Рис.1,2).

-■-1-■-- ¿с__1_1_._.

0 100 200 300 400 500 0 100 200 300 400 500

Рис. 1. График первой координаты Рис.2. График скорости первой координаты платформы платформы.

Вторая координата платформы приближается к х°0 = -15, а её скорость стремится к нулю Рис.3,4).

г 1

т 0 -2

\

V. -4

*

О ЮТ Я» 300 400 ПО 0 100 200 300 400 500

Рис.3. График второй координаты Рис.4. График скорости второй координаты

платформы. платформы.

Угловая координата вращения маятника вокруг начала координат в вертикальной плоскости приближается к 1800, а соответствующая угловая скорость стремится к нулю (Рис.5,6). То есть маятник стабилизируется в нижнем положении равновесия.

Рис.5. График угла поворота маятника Рис.6. График угловой скорости поворота

относительно вертикальной оси. маятника относительно вертикальной оси.

Угловая координата вращения маятника вокруг вертикальной оси неограниченно растет со скоростью, которая периодически из меняется от 0 до -40.

0 100 200 300 400 500 0 100 200 ЗОО 400 500

Рис.7. График угла поворота маятника Рис.8. График угловой скорости поворота

вокруг вертикальной оси. маятника вокруг вертикальной оси.

На Рис.9 изображена траектория движения цента масс платформы. Направление движения складывается из неравномерного движения из начального положения (х°, х°) = (-10,5) в терминальное (х°°, х°°) = (10. -15) вдоль некоторой кривой и стремящегося к нулю колебания.

На Рис.10 изображен след движения конечной точки маятника относительно центра масс платформы. Видно, что этот след спускается к нижнему положению маятника.

s

V

2

О

ч

•5

-10

■15

2

3

■20

-10

-5

О

5

10

15

Рис.9. Траектория движения платформы. Рис.10. Траектория движения конца маятника

Заключение. Результаты численных экспериментов

1) Особенность изучаемых систем Лагранжа (1) и (8) состоит в том, что они не имеет изолированных состояний равновесия, хотя моделируемая физическая система имеет 2 естественных состояния. Поэтому при исследовании на устойчивость системы приходится вводить понятие частичного положения равновесия.

2) Цель проектирования регулятора в том, чтобы он переводил систему из любого неустойчивого начального состояния в наперёд заданное состояние равновесия. Метод АКАР гарантирует устойчивость в смысле А. А. Колесникова. При этом численными экспериментами часто удается обосновать, что терминальное состояние обладает свойством асимптотической устойчивости в смысле А. А. Ляпунова. Представляется важной задача изучения взаимосвязи этих двух типов устойчивости.

3) Вычислительные эксперименты показывают, что платформа движется из начального положения в требуемое конечное вдоль некоторой кривой, определяемой её параметрами, начальным и конечным положениями, осуществляя при этом небольшие кругообразные отклонения относительно этой кривой.

4) Из рис.8 видно, что при этом маятник будет вращаться с переменной не стремящейся к нулю угловой скоростью относительно вертикальной оси.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Братищев А. В. Управление колебаниями маятника на подвижной платформе. Дифференциальные уравнения и процессы управления [Электронный ресурс]: электрон. журн. / СПбГУ. № 4, c.75-86, 2020. - Режим доступа: http://www.math.spbu.ru/diffjournal

[2] A V Bratishchev First integrals of the system "platform with pendulum" and controlling of it. 2021 J. Phys.: Conf. Ser. Volume 2131 Mathematical modeling and computational methods in problems of hydro-aerodynamics, magnetohydrodynamics, plasma physics and astrophysics. 022020. P.1-11.

[3] Колесников А. А. Синергетические методы управления сложными системами. Теория системного анализа. М.: КомКнига, 2006.- 240 с.

[4] Братищев А. В. Качественный анализ уравнения движения системы «подвижная платформа с маятником». Дифференциальные уравнения и процессы управления

относительно точки подвеса.

[Электронный ресурс]: электрон. журн. / СПбГУ. № 4, с.49-64, 2021. - Режим доступа: http://www.math.spbu.ru/diffjourna1

[5] Дэбни Дж., Харман Т. Simulink 4. Секреты мастерства. М.: БИНОМ. Лаборатория Знаний, 2003. - 404 с.

[6] Ляпунов А. М. Общая задача устойчивости движения. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.- 474 с.

[7] Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. 3-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.300 с.

[8] Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движений по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987.- 256 с.

[9] Мирошник И. В., Никифоров И. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000.- 450 с.

[10] Воротников В. И., Румянцев В. В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: теория, методы и приложения. М.: Научный мир, 2001.- 320 с.

[11] Зубов В. И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973.- 272 с.

[12] Леви-Чевита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. Т.2. Ч.2. М: ИЛ, 1950.-556 с.

[13] Братищев А. В. О характеристическом уравнении состояния равновесия автономной системы, имеющей притягивающее инвариантное многообразие. Дифференциальные уравнения и процессы управления [Электронный ресурс]: электрон. журн. / СПбГУ. № 2, с.15-23, 2017. - Режим доступа: http://www.math.spbu.ru/diffjourna1

[14] Братищев А. В. Факторизация характеристического многочлена состояния равновесия автономной системы, имеющей притягивающее инвариантное многообразие. Дифференциальные уравнения и процессы управления [Электронный ресурс]: электрон. журн. / СПбГУ. № 4, с.1-17, 2018. - Режим доступа: http://www.math.spbu.ru/diffjourna1

[15] Тюкин И. Ю., Терехов В. А. Адаптация в нелинейных динамических системах. М.: Издательство ЛКИ, 2014.- 384 с.

Control of a movable platform with a pendulum

Bratishchev A.V. Don State Technical University [email protected]

Abstract. The connection between the concepts of stability of a variety in the sense of A. A. Lyapunov, F. R. Gantmacher and A. A. Kolesnikov is established. The concept of partial equilibrium position according to a given mapping is introduced. Within the framework of the synergetic control theory, the formula of the control vector is found when the aggregated variables are common integrals of a dynamical system, and the control vector enters the controller in a linear manner. These concepts and results are used in the task of controlling a platform with a fixed pendulum, when it is necessary to stabilize the platform in a predetermined position, and the pendulum in the lower equilibrium position.

Keywords: Lagrange equations, general integral, invariant set, platform, pendulum, synergetic regulator.