CC BY
4
УДК 531.01
DOI: 10.24412/2071-6168-2021-11-247-250
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТЕРИЕВ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ КОНИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Л.П. Семенова, О.А. Ткач
Рассматривается задача о движении конического маятника и определяются углы отклонения нити маятника от вертикального положения при которых сохраняется устойчивость движения конического маятника.
Ключевые слова: конический маятник, критерии устойчивости, теорема Рауса, теорема Ляпунова.
Рассматривается движение маятника массой m в сферических координатах 0, Г с длиной подвеса l (рисунок).
У л
г mg
Расчетная схема
Исследование удобно проводить в сферических координатах у, 6, r, которые связаны с декартовыми следующими соотношениями [1]:
х = r sin 6 cos у; y = r sin 6 sin у; z = r cos 6. Кинетическая энергия точки в сферических координатах определяется формулой
(1)
T - m - 2
r 2é2+(r2 sin2 eL2 + r2
а потенциальная энергия:
П = -mgr cos 0. (2)
Полагая, что для конического маятника углы 0 и у являются свободными переменными, а r = l = const - длина подвеса, формулы (1) и (2) принимают вид:
ml2 /л 2
2
T --e2 +\jz2 sin2 e , а П - -mglcose.
(3)
Причем, координата у является циклической, а 9 - позиционной.
Исследуем устойчивость движения конического маятника с помощью функции Рауса [2]. Для циклического интеграла
С
(4)
— = ш^ът1 9 = С, т.е. у =-
ш12ът2 9 Подставим у в формулу (3) и получим:
т = ш191 +—с1--
1 1ш12ът2 9
Система уравнений Лагранжа при наличии циклических координат может быть сведена к уравнениям Рауса, где Я - функция Рауса, которая определяется соотношением:
147
Известия ТулГУ. Технические науки. 2021. Вып. 11
В нашем случае:
R = т-Iqq i =i
R = T - су = ^ é2 -2
С2
2ml2 sin2 é
откуда слагаемые для функции R определяются соотношениями:
R2 =
mi2 2
é; Ri = 0; R0 = -
C2
2mi2 sin2 é
Введем критерий устойчивости Рауса: необходимым условием устойчивости стационарного движения является наличие минимума функции:
W = П -Ro = -mgi cos é +
С2
2mi2 sin2 é
(5)
Константу С определим из состояния покоя функции W :
f dW Л
ддР
= 0' т е. mgi sin é =
С 2 cos é
mi
2
С помощью циклического интеграла (5) исключим константу С. Функция Ж при 9 = а имеет минимум, т.к.
dW
dé
= 0;
d 2W
е=а
dé
2
= mgi cos é +
С2 (з cos2 é + sin2 é)
é=a
mi2 sin4 а
> 0.
Следовательно условие (6) выполняется, если
л П
0 <а < —.
(6)
(7)
Таким образом, применение теоремы Рауса показывает, что при выполнении условия (7) движение конического маятника устойчиво.
Проверку полученных результатов проведем по теореме Ляпунова [3], которая оценивает устойчивость движения с помощью знакоопределенной функции V, а точнее по ее производной. Предположим, что маятник вращается с постоянной угловой скоростью \|/ 0 = ш, а начальное отклонение его é0 = а. Это движение будем считать невозмущенным. Как известно [3], параметры \|/ 0, é0, а связаны соотношением
2
ш i cos а = g. (8)
Рассмотрим возмущенное движение маятника, т.е. предположим, что
é = а + xi, é = X2, у = Ш3 + X3. Формулы (1) и (2) показывают, что координата у является циклической, т.к. не входит в функцию Лагранжа L = T - П, поэтому характер движения не зависит от угла у. В задаче можно указать два интеграла движения: закон сохранения механической энергии
FХ2, Х3) = x^ +(ш + Х3)2 sin2(а + xi)]-mgicos( + xi) = Ci (9)
и закон сохранения момента количества движения относительно оси z
F2 (i, Х2, Х3 ) = mi2 (ш + X3 )sin2 (а + xi ) = С2. Полагая, что Ai = i, A 2 = A, Xi = X 2 = 0, составим функцию Ляпунова:
mi2 2 , / , \2 • 2/
V(xi, x2, x3 ) = —— x2 + (со + x3 ) sin (а + xi) - mgi cos( + xi) -
^ mi2 2-2 , ^
-ш sin а- mgi cos а
+ Ami
(ш + x3 )sin2 (а + xi) - ш
sin а
Разлагая функции cos(a + x,) и sin2(а + x,) в ряды и сохраняя малые члены до второго порядка, присоединив формулу (8) получим:
V(xb x2, x3) = xi<a(co + X)ml2 sin2a + x3(со + X)ml2 sin2 2a +
ml 2 / 2 2 2^^ 2 • 2 \
+ —— ^2 + x, ш cos 2a + 2x^q sin 2a + x3 sin aj+
x, 22 2 2¡ 2 ^
+ me l cos a + Xml x ш cos 2a + x^3 sin 2a j
при X = —ш линейные члены для величин x, и x3 пропадают и функция V принимает вид:
ttí \ 2 mc2l2 . 2 2 ml2 2 ml2 .2 л0)
V(1, x2, x3 ) = x,—2—sin a + x2 —— + x^ —^sin a, (10)
т.е. функция V является определенно положительной, и по теореме Ляпунова наблюдается устойчивое движение. Необходимо добавить, что при разложении в ряд функции cos(a + x,)
я
следует предположить, что 0 < a < —, что подтверждает условие устойчивости, полученное с
2
использованием функции Рауса.
Список литературы.
1. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики: том II. М.: Наука, 1983.
637 с.
2. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1976. 319 с.
3. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Наука, 1950. 471 с.
Семенова Людмила Петровна, канд. техн. наук, доцент, ludmilacemenova@yandex.ru , Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Ткач Ольга Александровна, канд. техн. наук, доцент, tkachoa@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
DETERMINATION OF CONICAL PENDULUM MOVEMENT STABILITY CRITERIA
L.P. Semenova, O.A. Tkach
The conical pendulum movement problem is considered. The angles of pendulum thread deviation from the vertical position are determined at which the conical pendulum movement stability is maintained.
Key words: conical pendulum, stability criteria, Rouse's theorem, Lyapunov's theorem.
Ludmila Petrovna Semenova, candidate of technical sciences, docent, ludmilacemeno-va@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Tkach Olga Aleksandrovna, candidate of technical sciences, docent, tkachoa@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University
