CC BY
69
Быков В. И., Халютин С.П., Старостин И.Е.
Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева, г. Москва
Военный учебно-научный центр ВВС «Военно-воздушная академия имени профессора Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина»
КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ДИНАМИКИ ПРОЦЕССОВ В НЕРАВНОВЕСНЫХ СИСТЕМАХ НА ОСНОВЕ ПОТЕНЦИАЛЬНО-ПОТОКОВОГО МЕТОДА
В реальных системах, рассматриваемых в физике, обнаруживается пространственный, временной и пространственно-временнойхарактер протекания неравновесных процессов. Временнойхарактер протекания неравновесных процессов неотделим от динамики системы, иначе говоря, от законов движения системы - здесь особенно важны принципы однонаправленности времени и причинности. Наличие пространственно -временныхособенностей протекания неравновесных процессов является всеобщим и фундаментальным свойством материи. [1]
В открытых неравновесных системах могут без нарушения общности образовываться и существовать устойчивые стационарные состояния, автоколебания (устойчивые периодические движения), устойчивые квазипериодические движения, устойчивый динамический хаос, устойчивыеавтоволновые процессы, и.т.д. [1-3] . В работе [4] к автоколебаниям относятся устойчивые периодические движения (собственно автоколебания), устойчивые квазипериодические движения и устойчивый динамический хаос, поэтому далее к автоколебаниям в настоящей работе будут относиться все эти виды движений. Автоколебания, автоволновые процессы могут возникнуть только вдали от положения равновесия при особых внутренних и внешних условиях[1-3].Примерами вышеописанного временного, пространственно-временного характера протекания неравновесныхпроцессов в открытых неравновесных системах являются ячейки Бернара, когерентное лазерное излучение, химические автоколебания[1]. В работах [1 - 3] эти и подобные процессы, а именно автоколебания, устойчивые стационарные состояния, автоволновые процессы, рассматриваемые в этих работах, носят название диссипативных структур.
В работах[1] и [3] показано, что объяснение эффектов, ведущих к формированию устойчивых стационарных состояний, автоколебаний, устойчивых автоволновых процессов, не требует каких-либо совершенно новых физических методов, а основывается исключительно на применении и обобщении понятий и методов теории нелинейных дифференциальных уравнений, нелинейной механики, электротехники, химической кинетики, кибернетики, и.т.д.
Важную роль в физике процессов формирования устойчивых стационарных состояний, формирования и протекания автоколебаний, устойчивых автоволновых процессов и т. д играет кибернетический подход [1, 5] .Кибернетическое моделирование процессов эволюции неравновесных систем, как саморегулирующихся, самоорганизующихсяпроцессов в кибернетическом понимании позволило понять важные аспекты образования устойчивых стационарных состояний, автоколебаний, устойчивых автоволновых процессов, и.т.д. путем введения обратной связи [1 - 3, 5] .На основании анализа примеров, изложенных в [1, 3], можно заключить, что диссипативность неравновесных процессов и наличие обратной связи, регулирующей приток энергии в систему извне, являются предпосылками образования устойчивых стационарных состояний, автоколебаний, устойчивых автоволновых процессов, и.т.д. в неравновесных системах.
Как видно из примеров, изложенных в [1, 3], качественный анализ динамики неравновесных процессов в незамкнутых системах сводится к написанию системы динамических уравнений этой системы и численному решению этой системы, что и было сделано в [1, 3]. В общем случае для анализа и моделирования неравновесных процессов в замкнутых и незамкнутых неравновесных системах в работах [6,
7] был разработан потенциально-потоковый метод моделирования неравновесных процессов. В соответствие с этим методом моделирование неравновесных процессов в системе сводится к определению динамических сил, действующих в рассматриваемой системе, и величин восприимчивостей рассматриваемой системы к этим силам и последующим составлением уравнений неравновесных процессов в рассматриваемой системы и последующим решением этих уравнений [б, 7].Динамические силы определяются как частные производные свободной энергии рассматриваемой системы, которая в свою очередь определяется методом классической и рациональной термодинамики [б - 9]. Величины восприимчивостей к динамическим силам всей системы определяются, зная величины восприимчивостей отдельных физико-химических процессов, протекающих в рассматриваемой системе [7]. Эти величины известны из экспериментальных данных [7] . Частным случаем уравнений потенциально-потокового метода являются закон электропроводности Ома, закон диффузии Фика, закон теплопроводностиФурье [7];в работе [10]потенциально -потоковый метод применен к химическим превращениям, детальный механизм которых в общем случае неизвестен или известен частично.Таким образом, потенциально-потоковый метод моделирования неравновесных процессов, разработанный в работах [б, 7], отражает влияние динамических сил на протекание неравновесных процессов. Более того, из уравнений потенциально-потокового метода следует убыль свободной энергии, т.е. второе начало термодинамики. Как сказано в [2], свободная энергия в силу ее убываемости в результате протекания неравновесных процессов в замкнутой системе является «стрелой времени». Отсюда, потенциально-потоковые уравнения отражают принцип однонаправленности времени и причинности, которые, как было сказано выше и в [1], особенно важны для качественного анализа временной динамики протекания неравновесных процессов.
Основная цель настоящей работы - применение потенциально-потокового метода моделирования неравновесных процессов для анализа характера динамики протекания неравновесных процессов в общем случае незамкнутых (открытых) неравновесных систем. В настоящей работе мы ограничимся только временными особенностями протекания неравновесных процессов в системах с сосредоточенными параметрами; в случае распределенных параметров выделяются элементы среды и потенциально-потоковые уравнения записываются для этих элементов среды [7]. Отсюда качественный анализ динамики процессов внеравновесных системах с распределенными параметрами потенциально-потоковым методом аналогичен анализу процессов в системах с сосредоточенными параметрами этим методом.
В общем случае уравнения потенциально-потокового метода для незамкнутых систем имеют вид [б,
7] :
д^ы„^ит.щ+В
, (1)
dt внеш
— = А(х,у, U)X(x,y,U) + ) ,Х(х,у,ЇЇ) = -VF(x,v,U)
dt v v } > \dt)внеш v v '
dy _ /dy(x,P)
dt V дхг
где x, у - динамические координаты системы (параметры, определяющие состояние рассматриваемой системы), причем х - независимые динамические координаты системы (не связанные уравнениями баланса ), а у - зависимые динамические координаты системы (связанные с независимыми переменными х уравнениями баланса);у = у(х,Р) - уравнения баланса (энергии, массы, и.т.д), справедливые для замк-
нутой системы, а
. (dx\
но) ;I — I
dt в
dt внеш
Р - сохраняющиеся в замкнутой системе величины (энергия, масса составляющие скоростей изменения параметров состояния системы, обусловленные
1
взаимодействием системы с внешними подсистемами; U - условия, в которых находится рассматриваемая система (например, температура химически реагирующей системы, влажность, и.т.д); F(x,y, U) - свободная энергия рассматриваемой неравновесной системы; X(x,y, U) - термодинамические силы, действующие в рассматриваемой неравновесной системе (градиентУ в (1) берется по х, с учетом уравнений баланса y = y(£,P)[6, 7]); A(x,y,U) - матрица восприимчивостей к термодинамическим силам в рассматриваемой неравновесной системе (положительно-определенная [6, 7]) [б, 7].В настоящем докладе вре-
менные диссипативные структуры рассматриваются для случая = fdy{x,P) ду(Х,Р)) (2)
чгіМ'внеш ' дхі дх-т / \dt/внеш
т.е. сохранения величин P и фиксированных условий U.Введя внешние силы Х(e^(x,y, U) = A-1(x,y, U)(—) , (3)
\dtJвнеш
и обозначив
F(x,P,U) = F(x,y(x,P),U), A(x,P,U) = A(x,y(x,P),U),
X(x,P,U) = X(x,y(x,P),U),X(e}(x,P,U) = Х V(x,y(x,P),U),(
получим в силу (1) - (4)
^ = A(x,P,U) (X(x,P,U) +X(e\x,P,U)),X(x,P,U) = -4xF(x,P, U) , (5)
где Ух - градиент по х. Уравнение (5) будет использовано в дальнейшем для анализа временных диссипативных структур.
В теории колебаний, в теории динамических систем динамика исследуемой системы представляется движением фазовой (изображающей) точки в фазовом пространстве [4, 11] . В силу того, что матрица A(x,P,U) положительно определена, то ее обратная матрица A-1(x,P,U') в силу теории матриц также положительно определена. Перепишем уравнение (5) в виде
A-1(x, P,U) — = X(x, P, U) + X(e (x, P, U), X(x, P, U) = -VF(x, P,U).(6)
Из уравнения (б) видно, что движение фазовой точки в фазовом пространстве можно представить, как движение безынерционной точки под действием силы сопротивления
&{^,p,°) = A-1(*,p,U)%, (7)
действующей на фазовую точку в фазовом пространстве; внутренних сил X(x,P,U), причем величина F(x,P,U) является потенциалом (потенциальной энергией) потенциального поля внутренних сил X(x,P,U) в фазовом пространстве; и поля внешних сил X('e')(x,P,U') в фазовом пространстве.Поле внешних сил X(e'!(x,P,U) может быть как потенциальным, так и непотенциальным. Любое векторное поле согласно основной теореме векторного анализа можно разложить на потенциальную и соленоидальную составляющую
[12]; применительно к полю внешних сил X<''e')(x,P,U') это разложение имеет вид
X(e!(x, P, 0) = -VFЮ(х, P, U) + X(l(x, P, U), (8)
где F (e'!(x,F^,U) - потенциал (потенциальная энергия) потенциальной составляющей поля внешних сил X(e\x,P,U); X(Cl(x,P,U) - соленоидальная составляющая поля внешних сил X(e^(x,P, U). Согласно (8) условие (б) примет вид
A-1(x, P,U)ft = -У (f(x, P, U) + F(e (x, P, 0)) + Xtel(x, P,U).(9)
Из уравнения (9) видно, что фазовая точка обладает потенциальной энергией в фазовом пространстве, которая расходуется в результате отсутствия соленоидальных внешних сил на совершение работы против сил сопротивления (7) и которая может пополняться в случае наличия в фазовом пространстве соленоидальных внешних сил. Таким образом, именно соленоидальная составляющая внешних сил является движущей силой автоколебаний. Потенциальные силы (сумма внутренних и внешних потенциальных сил)
Xnm(x,P, U) = -У2 (F(x,P, U) + F(e)(x,P, 0)) .(10)
далее условно будут относиться к внутренним силам, т. к. в отсутствие соленоидальной составляющей внешних сил уравнение (9) аналогично уравнению замкнутой неравновесной системы [б]. Т. е. в случае отсутствия соленоидальной составляющей внешних сил незамкнутая система аналогична замкнутой системе.Согласно (10) уравнение (9) примет вид
ft = A(x, P, U) (XB0T(x, P, U) + X£>(2, P, 0)),
Xnm(x, P, 0) = -Ух [f(x, p, 0) + F (e!(x, P, u)) ■
(11)
Уравнение (11) отражает влияние соленоидальной составляющей внешних сил на протекание неравновесных процессов в замкнутой системе. Внутренние силы определяют расход и запасание потенциальной энергии в фазовом пространстве, и влияние распределения потенциальной энергии в фазовом пространстве на характер протекания неравновесных процессов. Показателем интенсивности влияния внешних и внутренних сил на динамику системы отражает матрица восприимчивостей [б, 7].
Вышесказанное относительно уравнения (11) можно изобразить в видеструктурной кибернетической схемы[5] (рис. 1a).Как отмечалось выше, внешние соленоидальные составляющие являются движущей
силой процессов образования диссипативных структур. Соленоидальность внешних силобусловлена их зависимостью от состояния системы, т.е. с кибернетической точки зрения, обратной связью [5, 13],
регулирующей приток энергии в системе [4, 5, 13] .Исследование влияния обратной связи в системах автоматического регулирования сопровождается разрывом обратной связи и исследования системы с разорванной обратной связью[5, 13, 14] (рис. 1б); на вход системы в этом случае фиксированный
сигнал х*. Потенциально-потоковые уравнения (11), описывающие кибернетическую схему на рис. 1б,
примут вид:
f = A(x, P, 0) (Xn0T(x, P, U) + X<£(x*,P, 0)),
:t _ у , _ _ „У (12)
XB0T(x, P, U) = -Vx [F(x, P, U) + F(e\x, P, U)),
которое описывает движение изображающей точки в однородном поле внешних сил, являющимся потенциальным, определяемом некоторым значением х* (в отсутствии обратной связи), в то время как уравнение (11) описывает движение изображающей точки в соленоидальном поле внешних сил (в присутствии обратной связи).
2
Для уравнения (12) нетрудно построить функцию Ляпунова для любого фиксированного х* и любых фиксированных условиях U
F(x, х* Р, U) = F(x, Р, U) + F(e\x, Р, Uf) - УУ у, ?,U)x. (13)
Согласно (13) уравнение (12) примет вид
df = -А(х,Р,и)У^(х,х*,Р,и). (14)
Из уравнения (14) видно, что при любом фиксированном х* и любых фиксированных условиях U функция F(x,x*,P,U) монотонно убывает в силу системы (14), эквивалентной системе (12).Таким образом, в силу теории устойчивости Ляпунова в случае разомкнутой обратной связи изображающая точка в фазовом пространстве стремится в состояние устойчивого равновесияпод действием потенциального силового поля с потенциалом F(x, x *, Р, U). Возможность образования диссипативных структур, таким образом, в случае разомкнутой обратной связи исключена. В случае наличия обратной связи система уравнений (12) согласно (13), (14) примет вид
^f = —A(x,i/,U)^/xF(x,x*,i/,U),x* = х, (15)
В этом случае изображающая точка движется в потенциальном поле с потенциалом F(x,x*,?, U), изменяющимся в силу обратной связи. Как видно из (13), (14), система уравнений (15) эквивалентна сис-
теме (12).
Рисунок 1. Замкнутая а) и разомкнутая б) кибернетические схемы протекания неравновесных процессов в незамкнутой неравновесной системе(жирным выделена обратная связь)
Из уравнения (15) также видно, что в силу первого уравнения системы (15) изменение функции F(x,x*,P,U), обусловленное изменением х (неравновесными процессами), всегда отрицательно. Но изменение этой функции, обусловленное изменением х*, может быть отрицательным (отрицательная обратная связь), положительным (положительная обратная связь) или равным нулю (нулевая обратная связь). Таким образом, в случае наличия обратной связи фазовая точка также стремится к локальному минимуму функции F(x,2*,P,U) для фиксированного значения в текущем состоянии системы, но в силу изменения 2*, обусловленному обратной связью, этот локальный минимум может отдаляться от изображающей точки. Если в этом случае изображающая точка не успевает догнать локальный минимум, то в системе может установиться периодическое движение, квазипериодическое движение, динамический хаос, (кото-
рые относятся к автоколебаниям [5]).
Рассмотрим приращение потенциальной энергии F(x,X*,P,U):
= -7пр(/,х*,Р, и) + ао6р(х,х*,Р, U), (16)
где 7np(x,x*,F‘,U) - составляющая скорости убыли свободной энергии, обусловленная прямой связью 7np(x,x*,]/,U) = —Чт^(х,х*,Р, U)d. = Ут^(х,х*,Р, U)A(x,[/, U)/xF(x, х*,Р, U) (17)
в силу системы (15); So6p(x,x*,I/,U) - составляющая скорости убыли свободной энергии, обусловленная обратной связью, в силу системы (15)
cro6p(x,x*,}/,U) =Г^&/*,Р,й)%= -^*F(x,x*,]/,U)A(x,}/,U)s}j£F(x,x*,]/,U) (18)
Из уравнения (17) также видно, что в силу положительной определенности матрицы А(х,Р,Ц) выполняется условие
&Пр(х,х*,Р, U)>0, (19)
причем знак равенства относится к состоянию равновесия и только к нему.
Рассмотрим частные случаи приращения потенциальной энергии. Рассмотрим случай &обр(Х,х*,Р, U < &Пр(х,х*,Р, U) (2 0)
во всей физически допустимой области фазового пространства системы (15) . Из уравнения (16) видно, что в этом случае функция F(x,x*, Р, U) монотонно убывает в силу (15) . Система в этом случае стремится к стационарному состоянию; автоколебания, в этом случае невозможны. Функция F(x, х, Р, Ц/)является в этом случае термодинамической функцией Ляпунова [15] .
Рассмотрим теперь случай &обр(Х,х*,Р, U > &Пр(х,х*,Р, U'). (21)
во всей физически допустимой области фазового пространства системы (15) . Из уравнения (16) видно, что в этом случае функция F(x,x*,i/,U) монотонно возрастает в силу (15) . Система, как и в предыдущем случае, стремится к стационарным состояниям.Отсюда, устойчивые состояния равновесия системы в отсутствие обратной связи становятся в этом случае неустойчивыми в присутствие обратной
3
связи; обратно, неустойчивые состояния равновесия в отсутствие обратной связи становятся устойчивыми состояниями равновесия в присутствие обратной связи. Положительная обратная связь в этом случае поддерживает устойчивость неустойчивых в ее отсутствие стационарных состояний. Функция F(£, х,Р, U), взятая с противоположным знаком, также является в этом случае термодинамической функцией Ляпунова [15].
Увеличение функции F (ж,*,",/) возможно тогда и только тогда, когда выполняется условие (21) -условие доминантности.
Рассмотрим теперь случай выполнения в одних областях физически допустимой области фазового пространства системы (15) условия доминантности (21), а в других областях - невыполнения этого условия. Причем, локальные максимумы и минимумы функции Р(х, х, Р, U) находятся на границах раздела этих областей. В этом случае устойчивые состояния равновесия в вышеописанных областях отсутствуют в силу теоремы Четаева[16]. В этих областях могут находиться также неустойчивые состояния равновесия, которые в силу флуктуаций физически нереализуемы [1 - 3]. Также будем предполагать отсут-ствиеустойчивыхравновесных состоянийна границах раздела этих областей. Рассматриваемая неравновесная система в этом случае будет совершать движение из одной области в другую. Действительно, в областях, где скорость изменения функции Р(х,х,Р, U) знакопостоянна в силу системы (15), изображающая точка не может находиться сколь угодно долго в силу ограниченности функции F(x,x,P,U) на подобласти - изображающая точка перейдет в другую подобласть. Там повторится вышеописанная картина. Таким образом, в рассматриваемом случае точка будет гулять из одной подобласти в другую - в этом случае возможно образование автоколебаний (периодических, квазипериодических движений, динамического хаоса [10]) .
Рассмотренное последнее из рассмотренных выше условий условие является достаточным условием возникновения автоколебаний, в то время как неодинаковость выполнения условия доминантности (21) во всех точках фазового пространства является необходимым. Таким образом, в рассмотренных выше частных случаях функция F(x,x,P,U) и ее производная по времени в силу системы (15) [17] позволяет
качественно предсказать поведение исследуемой неравновесной незамкнутой системы.
Но возможен случай выполнения и невыполнения условия доминантности (21) в различных областях фазового пространства системы (15) и наличие в этих областях локальных максимумов и минимумов соответственно. В этом случае в системе возможны устойчивые равновесные состояния, область устойчивости которых можно оценить, используя функцию Р(х, х, Р, U). Но возможны и автоколебания, которые могут иметь место вне областей устойчивости устойчивых равновесных состояний.
Таким образом, предлагаемый в настоящей работы метод качественного анализа временнойдинамики неравновесных процессов, основанный на применении потенциально-потокового метода моделирования с использованием анализа обратной связи позволяет качественно проанализировать некоторые необходимые и некоторые достаточные условия возникновения автоколебаний, а также устойчивые и неустойчивые равновесные состояния и их области устойчивости.
ЛИТЕРАТУРА
1. ЭбелингВ. Образование структур при необратимых процессах: введение в теорию диссипативных
структур. - М.: Мир, 1979. - 280 с.
2. Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика. От тепловых двигателей до диссипативных структур. - М.: Мир, 2002. - 461 с.
3. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах: от диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации. - М.: Мир, 1979. - 512 с.
4. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н. М. Нелинейные колебания. - М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2002 . - 292 с.
5. Лернер А.Я. Начала кибернетики. - М.: Мир, 1967.- 400 с.
6. Старостин И.Е.Потенциально-потоковые (квазиградиентные) имитационные математические модели неравновесных процессов // Моделирование неравновесных систем. Материалы тринадцатого всероссийского семинара. - Красноярск, 2010.
7. Халютин С.П., Старостин И.Е.Потенциально-потоковый метод моделирования неравновесных процессов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -
Пенза: Издательство ПГУ, 2012. - С. 25 - 35.
8. Агеев Е. П. Неравновесная термодинамика в вопросах и ответах. - М.: Эдиториал УРСС, 2001. -136 с.
9. Жоу Д., Касас-Баскес Х., Лебон Дж. Расширенная необратимая термодинамика. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2006. — 528 с.
10. Быков В.И.Квазиградиентные модели динамики закрытых химических систем/В. И. Быков, И. Е. Старостин // Химическая физика, 2012. Т. 31, № 1:№ 1.-С.38-42
11. Малинецкий Г.Г. Математические основы синергетики: хаос, структуры, вычислительный эксперимент. Изд. 6. - М.: Книжный дом «Либроком», 2009. - 312 с.
12. Кумпяк Д.Е. Векторный и тензорный анализ: учебное пособие. - Тверь: Изд-во ТГУ, 2007. -
160 с.
13. Бессекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука.
Гл. ред. физ.-мат. лит., 1975. - 768 с.
14. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1974. -576 с.
15. Миркес Е.М., Быков В.И., Горбань А.Н. Термодинамические ограничения на динамику закрытых химических систем. - Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1986. - 320 с.
16. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-
мат. лит., 1967. - 470 с.
4
