CC BY
36
УДК 621.351
АНАЛИЗ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ В АВИАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ ПОТЕНЦИАЛЬНО-ПОТОКОВЫМ МЕТОДОМ
С.П. ХАЛЮТИН, И.Е. СТАРОСТИН
В статье предлагается метод составления математических моделей неравновесных процессов авиационных систем, основанный на использовании известных или определяемых из эксперимента физико-химических свойств.
Ключевые слова: неравновесные процессы, потенциально-потоковый метод моделирования.
Постановка задачи
Рассматриваются авиационные системы, для которых характерно протекание неравновесных процессов и которые, кроме того, могут обладать эффектом памяти, причиной которого также является протекание соответствующих неравновесных процессов [1-8; 10; 11]. Например, эффект памяти никель-кадмиевого аккумулятора вызывается химической реакцией никелевой основы кадмиевого электрода с кадмиевым напылением. Характер протекания этих процессов определяется их восприимчивостью к этим силам. Поэтому знание термодинамических сил и восприимчивостей процессов к этим силам позволит анализировать особенности таких систем, в том числе и обладающих эффектом памяти.
Таким образом, задачами, поставленными в настоящей работе, являются:
- рассмотрение в случае систем с памятью особенностей введения величин, характеризующих особенности памяти такой системы;
- введение величин восприимчивостей процессов, протекающих в системе, к термодинамическим силам;
- разработка методики построения математических моделей неравновесных процессов, основанной на знании термодинамических сил и восприимчивостей неравновесных процессов к термодинамическим силам.
Потенциально-потоковый метод моделирования
Рассмотрение неравновесных процессов в технических системах мы начнем с рассмотрения систем с сосредоточенными параметрами. Для этих систем в случае обладания ими эффектом памяти в работах [11-13] было показано, что можно ввести динамические величины 11(1), характеризующие накопленный опыт системы, сведя тем самым математическое описание этих систем к математическому описанию систем, не обладающих эффектом памяти [11-13].
Величины 11(1) имеют физический смысл, т.к. они являются характеристиками физических и физико-химических процессов, приводящих к эффекту памяти. Например, в случае никель-кадмиевого аккумулятора одной из таких величин является число молей прореагировавшего кадмиевого напыления с никелевой основой [9]. Набор величин 11(1) включает в вектор Х(1) (характеризующий состояние системы), который будет характеризовать состояние системы с учетом накопленного опыта.
Неравновесные процессы могут также обладать инерционностью [11], например, нелинейная теплопроводность, нелинейная электропроводность, нелинейная диффузия [11]. Поэтому, в вектор Х(1) также добавляем дополнительные величины, учитывающие инерционность.
Величины Х(1) связаны между собой законами сохранения, в число которых входит первое начало термодинамики. Выделив из этих величин независимые величины, не связанные законами сохранения, мы можем выразить остальные величины через законы сохранения. Поэтому под Х(1) мы будем понимать вектор независимых величин, не связанных законами сохранения. Остальные величины (далее уШ) выражаем из законов сохранения Р(Х, у) = I1, где I1 - сохраняющиеся величины - например, внутренняя энергия, импульс, масса, в виде
у = у(х,Р). ^ ^ (1)
Законы сохранения (1) представляют собой алгебраическую связь между величинами х(£) и у(£). Далее полагаем, величины х(£) - независимыми величинами. Обозначим т число независимых величин, не связанных законами сохранения Р(х, у) = Р, т.е. число степеней свободы системы.
Согласно нулевому началу термодинамики любая замкнутая система1 приходит в состояние равновесия [17]. Поэтому, в соответствии с физическим смыслом для замкнутой системы с памятью показатели накопленного опыта вводятся таким образом, что зависимость этих функций от времени асимптотически устойчива [18]. В работах [11-13] показано, что для таких систем существует функция Ляпунова [19], которая согласно своему определению выпуклая в окрестности состояния устойчивого равновесия и монотонно убывает в результате протекания неравновесных процессов, а значит, является по определению функцией свободной энергии (термодинамическим потенциалом) [1-6; 11; 17].
Убывание термодинамического потенциала является содержанием второй части второго начала термодинамики [6; 17]. Функция Ляпунова также определяется параметрами сохранения Р , поэтому она также зависит от параметров Р , а значит, в силу Р(Х,у) = Р , функция Ляпунова F(X, Р ) является функцией X и у. Далее введенная функция F(X,y) будет называться функцией свободной энергии (термодинамическим потенциалом).
Термодинамический потенциал может зависеть также от фиксированных условий проте-каемости неравновесного процесса (например, температуры окружающей среды, влажности и т.д.) и. При других значениях вышеописанных параметров термодинамический потенциал F (х, у(Х, Р)) будет другим. Поэтому, строго говоря, следует записывать F = F(хЕ,I1 ),и). Но в замкнутой системе при фиксированных параметрах сохранения и фиксированных условиях протекаемости неравновесного процесса эти факторы постоянны, и поэтому F (IX, у?(51, р),и) полагаем F(X).
В состоянии устойчивого равновесия замкнутой системы термодинамический потенциал F(X) принимает минимальное значение (т.е. термодинамический потенциал F(X,y) при условии законов сохранения Р(Х,у) = Р принимает минимальное значение - принцип минимума функции свободной энергии (термодинамического потенциала) в состоянии равновесия [6; 17]), а значит, dF(X) = 0. Отсюда термодинамические силы [1-3]
Х(х) = —\7Р(х),2 (2)
д д ^
где V - оператор Набла (У= (-— -—) ), являются причиной и необходимым условием
\дх1 дхт/
протекания неравновесных процессов, т.к. условие dF(x) = 0 эквивалентно условию УР(х) = 0. Работа термодинамических сил согласно [7]
= Хт(х^х = —dF(x)
равняется расходу свободной энергии.
1 Замкнутой системой [12] будем называть систему, находящуюся при фиксированных внешних условиях (изолированная система, изобарно-изотермическая система, изохорно-изотермическая система, открытая система при фиксированных параметрах окружающей среды) [17].
2 Динамические силы также зависят от параметров сохранения и условий протекания неравновесных процессов. Отсюда X (1) = Х(х,у(х,?'),и').
Однако, как отмечалось при постановке задачи, одни только термодинамические силы не дают возможности анализировать и моделировать неравновесные процессы - помимо термодинамических сил нужны величины восприимчивостей каждого процесса к термодинамическим силам. Величинами, характеризующими восприимчивость системы к термодинамическим силам, являются коэффициенты матрицы [12; 13].
= ■ (*(£) Р1ОЮ - рт_1(*)) ,3 (3)
где произвольная система векторов {^¿(х)}™-1 в состоянии х выбрана таким образом, что йе£(Х(х) р1(х) — рш-1(х)) Ф 0 для любого состояния х, а система векторов {¿/¿(х)}™-1
произвольная. Согласно (3)
= Л(х)Х(х). (4)
Можно показать, что системы векторов {^¿(х)}™-1 и {¿/¿(х)}™-1 можно выбрать таким образом, что матрица Л(х) (3) положительно определена [12;13].
Поэтому, введенная положительно-определенная матрица А(х) (3), как видно из (4), характеризует восприимчивость каждого процесса (изменения каждой координаты х;) к термодина-
V Г*\ 5Р®
мическим силам, сопряженным координате х; Х;(х) = —^—, и не сопряженным этой координате. С помощью матрицы восприимчивостей удобно анализировать перекрестные явления (например, термодиффузию, сопряженные химические реакции).
Замена переменных
До сих пор в качестве динамических переменных использовались параметры состояния [6], характеризующие физические состояния системы (например, число молей реагента, число молей вещества в данной области пространства, внутренняя энергия). Однако на практике и при теоретическом анализе удобно пользоваться величинами, не обязательно являющимися параметрами состояния системы (например, число молей прореагировавшего вещества, число молей продиффундировавшего вещества, количество перешедшего тепла), приращения которых связаны с приращениями параметров состояния
_ МДх 5Дх\ _
5Дх = (— — ---------Ых, (5)
\dX3_ ^хт/
где якобиан de£ — ^Х”) Ф 0 в силу взаимной однозначности приращений dx и 5Дх.
Матрица (5) — ЙХ”) определяется уравнениями сохранения. Приращение свободной
энергии
= -Хг(х) ••• Ц) ЛДх,
отсюда термодинамические силы, сопряженные этим приращениям 5Дх, аналогично (2)
/^(х) dF(x)>\’Г ^5Дх 5Дх^-1
двд = -(— " ^Д-) = (— " ^ ВД, (6)
где <бд*) - отношение приращения свободной энергии dF(x), вызванного приращением коор-
динаты 5ДХ; при условии 5Дху = 0,_/ Ф = 1,т, к приращению 5Дх; этой координаты.
5Дх
Используя (5) и (6), нетрудно получить уравнение для скоростей -^7-, аналогичное (4). Действительно, в силу (4) - (6)
^£ = (^£ - ^^)Л(^)(£^ - ^£)ТдХ(£);
ЧЙХ! ЙХт/ ЧЙХ! ^Хт/
3 Матрица (3), как и системы векторов, используемые в (3) зависят также от параметров сохранения и условий
протекания неравновесных процессов. Отсюда А(х) = Л(х, у(х, Р), {/).
матрица восприимчивостей для системы приращений 5Дх
7,-,Л МДх 5Дх\ . А-»л МДх 5ДхЧ^
4(х) = (— — ---------М(х)(— — -----------) , (7)
\ЙХ1 ЙХШ/ \ЙХ1 ЙхШ/
5Дх
отсюда получим уравнения для
^ = 4(х)ДХ(х), (8)
аналогичное (4).
Уравнение (8) является более практичным в использовании, чем уравнение (4), т.к. на практике и при теоретическом анализе пользуются, как отмечалось выше, именно величинами 5Дх, а не ^.
Декомпозиция системы
В сложных системах имеют место процессы различной физической природы, перечисленные в постановке задачи. Как правило, при исследовании сложных систем прибегают к декомпозиции [12]. Поэтому, необходимо каждую совокупность перекрестных процессов, не перекрестных с другими процессами, не входящую в эту совокупность, рассмотреть отдельно, записав для нее систему (8). Затем, уже пользуясь уравнениями (8), записанными для каждой совокупности перекрестных процессов, получить систему (4) для всей системы.
Приращение dx можно представить следующим образом
^х = £7=1^х/-, (9)
где dx/• - изменение параметра х в ]-й совокупности перекрестных процессов; N - число совокупностей перекрестных процессов. Каждый процесс имеет свои законы сохранения. Например, закон сохранения массы в случае протекания явлений диффузии, фазовых переходов; стехиометрические законы (уравнения баланса, вытекающие из стехиометрии [5]) в случае химических реакций; закон сохранения энергии в случае теплопереноса, а также в случае вышеперечисленных процессов и т. д. В этом случае, вышеперечисленные законы сохранения накладывают связь на величины dx/• [12]. Пусть 5Дху вектор независимых величин (размерность вектора 5Дху Шу, где Шу - число степеней свободы ]-й совокупности перекрестных процессов), остальные величины dXу
^• = (^" — ^ХУ5^=1^. (10)
(ЙХ; ЙХ; \
5Дх~ — 5Дх 1
1;
максимален. Матрица (10), как и матрица (5), определяется уравнениями сохранения ] -й совокупности перекрестных процессов. Согласно (9) и (10)
/ ЙХ; ЙХ; \
dx = Еу=1 (ДДх1;- — 5ДхШ;;)^ДхУ. (11)
Приращение свободной энергии согласно (2)
— ¿ХШ“)5Д*у,
отсюда термодинамические силы ] -й совокупности перекрестных процессов, сопряженные этим приращениям 5Дху, аналогично (4)
/ЙР^х) ЙР(х) \Т / ЙХ; ЙХ; \Т
Д*;М = -(^ДХ17 — 5ДХ-;) = (зДх!; — здхЩ;;) ВД.^1^, (12)
где Йд(Х) - отношение приращения свободной энергии dF(x), вызванного приращением коор-
динаты бДх^у при условии 5Дх^- = 0, к Ф ¿, к = 1, гм, к приращению бДх^у этой координаты.
Для каждой ] -й совокупности перекрестных процессов в силу отсутствия сопряженности с другими процессами, не входящими в эту совокупность согласно (4)
5Дх^
Йх
Используя (11) - (13), получим уравнение для скорости —
| = (^(^ — — 5^))^.
матрицу восприимчивостей сложной системы
Т
I ЙХ; ЙХ; \ / ЙХ; ЙХ; \
4(х) = (5Д(1; — 5ДХш.;)4у(х) (5Д(1; — 5ДХш;;) ,
;; ; ; отсюда получим уравнение сложной системы
Й^ЛфХф. (14)
Таким образом, определив из эксперимента матрицы восприимчивостей 4у(х) (13) простых подсистем (отдельно взятых процессов диффузии, химических реакций и т.д.), нетрудно с помощью (14) определить матрицу восприимчивостей 4(х) всей системы. Уравнение (12) для термодинамических сил дает возможность определять термодинамические силы простых подсистем, зная силы всей системы; уравнение (14) дает возможность анализировать каждую ] -ю совокупность перекрестных процессов. Таким образом, рассмотренный принцип декомпозиции дает возможность анализировать сложную систему, зная из эксперимента матрицы восприимчивостей каждой ] -й совокупности перекрестных процессов.
Итак, мы ввели величину матрицы восприимчивостей системы и на ее основе создали модель (9), а также разработали метод замены переменных, дающий возможность работать с удобными для практики и теоретического анализа переменными, а также разработали принцип декомпозиции системы, позволяющий на основе матрицы восприимчивостей простых подсистем определить матрицу восприимчивости всей системы.
Потенциально-потоковый метод для незамкнутых систем
В незамкнутых системах нарушаются законы сохранения (1), где Р - сохраняющаяся величина, например, внутренняя энергия, импульс, масса. Поэтому, переменные у, связанные с величинами х законами сохранения (1), также следует рассматривать наравне с х. В случае незамкнутой системы скорость протекания необратимых процессов можно разложить на две составляющие: внутреннюю (—) , (~) - скорость протекания необратимых процессов в
\ЙС/внутр \ЙС/внутр
текущем состоянии рассматриваемой системы (при условии, что рассматриваемая система
ч (Йх\ Йх (Йх\ (Йу\ Йу (Йу\
замкнутая), и внешнюю (— ) =---(— ) ,(— ) =----(— ) - составляющая,
■’ ' ЧЙС/внеш ЙС ЧЙС/ ЧЙС/внеш ЙС ЧЙС/
вн^ш внутр внеш внутр
обусловленная взаимодействием с внешними системами. Внешняя составляющая определяется как текущим состоянием системы, так и взаимодействием с внешними системами. Учитывая, что законы сохранения нарушаются, а также, что внешние условия могут меняться, а потому матрица восприимчивостей в модели незамкнутых систем уже не 4(х), а 4(х,у, £/), аналогично
свободная энергия и термодинамические силы уже не Р(х) и Х(х) а р(х,у, и') и *(х,у, £/), получим модель незамкнутой системы
§ = л(г,у,и)х(г,у,и) + (§)
ис \и1 / внеш ^
— £^!:':>)4(5,у.£/);е(5,у.£/) + (^г^) '
ЙС V ЭХ1 Эхш / 4 К ' ЧЙС/внеш
Термодинамические силы также определяем в соответствие с (4), подставляем в F(x,y, i) вместо у функцию у(х, Р) и дифференцируем F(x,y(x, Р), i), полагая параметры Р и i фиксированными.
Уравнения (15) являются потенциально-потоковой моделью незамкнутой неравновесной системы, они обобщают потенциально модель (4) на случай незамкнутой системы.
Потенциально-потоковый метод для систем с распределенными параметрами
В случае систем с распределенными параметрами рассматриваются элемент среды (в случае химических реакций) или соседние взаимодействующие между собой элементы среды, и для параметров этих элементов среды повторяем описанные выше рассуждения, записываем для них систему (4). Далее переходим к дифференциальным уравнениям в частных производных.
Таким образом, имея базу данных матриц восприимчивостей отдельно взятых неравновесных процессов, можно моделировать технические системы, в которых имеет место протекание этих неравновесных процессов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Агеев Е. П. Неравновесная термодинамика в вопросах и ответах. - М.: Эдиториал УРСС, 2001.
2. Гроот С.Р. Термодинамика необратимых процессов. - М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1956.
3. Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика. От тепловых двигателей до диссипативных структур / пер. с англ. Ю.А. Данилова, В.В. Белого. - М.: Мир, 2002.
4. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
5. Пригожин И., Дефэй Р. Химическая термодинамика. - Новосибирск: Наука, 1966.
6. Крутов В.И., Исаев С. И., Кожинов И. А. Техническая термодинамика / под ред. В.И. Крутова. - М.: Высшая школа, 1991.
7. Г уров А.А., Бадаев Ф.З., Овчаренко Л.П., Шаповал В.Н. Общая химия. - М. : Изд-во МГТУ им. Баумана, 2002.
8. Плесков Ю.В. Фотоэлектрохимическое преобразование солнечной энергии. - М.: Химия 1990.
9. Таганова А. А., Бубнов Ю.И., Орлов С.Б. Герметичные химические источники тока: Элементы и аккумуляторы. Оборудование для испытаний и эксплуатации: справочник. - СПБ.: Химиздат, 2005.
10. Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика, 1985.
11. Жоу Д., Касас-Баскес Х., Лебон Дж. Расширенная необратимая термодинамика. - М.: Изд-во Институт компьютерных исследований, 2006.
12. Халютин С.П., Тюляев М. Л., Жмуров Б.В., Старостин И.Е. Моделирование сложных электроэнергетических систем летательных аппаратов. - М.: Изд-во ВУНЦ ВВС «ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», 2010.
13. Старостин И.Е. Моделирование неравновесных систем / под ред. В. В. Слабко. Красноярск: СФУ, 2010. - С. 187-192.
14. Агафонов СА., Герман А Д., Муратова Г.В. Дифференциальные уравнения. - М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2006. - Т. VIII.
15. Квасников И. А. Термодинамика и статистическая физика. - М.: Едиториал УРСС, 2002. - Т 1, 2, 3.
16. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. - М.: Наука, 1967.
17. Красовский И.Н. Некоторые задачи теории устойчивости. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1959.
18. Канатников А.Н., Крищенко А.П., Четвериков В.Н. Линейная алгебра. - М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2003.
19. Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике. - М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2003.
ANALYSIS OF IRREVERSIBLE PROCESSES IN AIRCRAFT SYSTEMS BY POTENTIALLY-FLOW METHOD
Khalyutin S.P., Starostin I.E.
In the article the method of mathematical models of non-equilibrium processes of aviation systems, based on the use of known or determined from the experiment of physical and chemical properties.
Key words: non-equilibrium processes, potentially streaming method of modeling.
Сведения об авторах
Халютин Сергей Петрович, 1968 г.р., окончил Рижское ВВАИУ им. Я. Алксниса (1990), МГУ им. М.В. Ломоносова (1993), доктор технических наук, профессор МГТУ ГА, начальник кафедры электрооборудования (и метрологии) Военного учебно-научного центра ВВС «Военно-воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», автор более 110 научных работ, область научных интересов
- авиационная электроэнергетика, анализ и проектирование сложных электроэнергетических систем.
Старостин Игорь Евгеньевич, 1987 г.р., окончил Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана (2011), младший научный сотрудник Военного учебно-научного центра ВВС «Военно-воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», автор 15 научных работ, область научных интересов - моделирование неравновесных процессов в физических и химических системах.
