Потенциально-потоковый квазиградиентный метод моделирования неравновесных процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536-12

С. П. Халютин, И. Е. Старостин

ПОТЕНЦИАЛЬНО-ПОТОКОВЫЙ КВАЗИГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ

Аннотация. Рассматриваются системы, которые характеризуются неравновес-ностью протекаемых в них процессов. В таких системах протекают процессы диффузии, теплопереноса, химических, электрохимических, фотохимических и фотоэлектрохимических реакций и др. Предлагается потенциально-потоковый метод математического моделирования неравновесных процессов, основанный на использовании известных или определяемых из эксперимента физико-химических свойств этих процессов.

Ключевые слова: неравновесные процессы, термодинамические силы, потенциально-потоковое уравнение.

Abstract. The article considers systems characterized by non-equilibrium processes occurring in them. Such systems undergo the processes of diffusion, heat, chemical, electrochemical, photochemical and photoelectrochemical reactions, etc. The poten-tial-stream method of mathematical modeling of nonequilibrium processes, based on the use of known or determined from experimental physical and chemical properties of these processes is proposed.

Key words: nonequilibrium processes, thermodynamic forces, the potentialstreaming equation.

Постановка задачи

В соответствии с положениями термодинамики протекание процессов диффузии, теплопереноса, химических, электрохимических, фотохимических, фотоэлектрохимических реакций, переноса, поглощения и испускания излучения, переноса электрического заряда вызывается термодинамическими силами [1-4]. Если в системе все термодинамические силы равны нулю, то система находится в состоянии термодинамического равновесия [1-8].

Неравновесные процессы могут протекать как под действием сопряженных [1-4], так и под действием несопряженных сил [1-4]. В системе, где протекает несколько неравновесных процессов, возможно возникновение перекрестных эффектов - протекание процессов под действием несопряженных сил [1-4]. Примерами таких перекрестных эффектов являются: термодиффузия - возникновение диффузионного потока под действием разности температур; сопряженные химические реакции, в которых одна реакция протекает в термодинамически невозможном для нее направлении благодаря протеканию другой реакции [1]. Испускание излучения под действием электрического тока (электролюминесценция), фотохимических реакций (хемилюминес-ценция) также являются перекрестными эффектами [1-4].

Из неравновесной термодинамики также известно, что термодинамические силы определяются как частные производные функции свободной энергии (энтропии) [1-9]. В соответствии с энергетическим смыслом свободная энергия - эта та часть внутренней энергии системы, которая тратится на протекание неравновесных процессов и совершение системой полезной работы над внешними системами [6]. Поэтому работа термодинамических сил равна убыли свободной энергии, расходуемой на протекание неравновесных процессов.

Скорость убыли свободной энергии и характер протекания неравновесных процессов определяется восприимчивостью к термодинамическим силам.

Рассматриваемые системы могут обладать эффектом памяти, причиной этого является протекание соответствующих неравновесных процессов [10, 11]. Например, эффект памяти никель-кадмиевого аккумулятора вызывается химической реакцией никелевой основы кадмиевого электрода с кадмиевым напылением.

В работе рассмотрены следующие вопросы:

- потенциально-потоковый метод моделирования неравновесных процессов;

- замена переменных;

- декомпозиция систем;

- потенциально-потоковый метод для незамкнутых систем

- потенциально-потоковый метод для систем с распределенными параметрами.

Потенциально-потоковый метод моделирования

Рассмотрение неравновесных процессов в технических системах мы начнем с рассмотрения систем с сосредоточенными параметрами. Показано [11-15], что в случае обладания этими системами эффекта памяти можно ввести динамические величины h (V), характеризующие накопленный опыт системы, сведя тем самым математическое описание этих систем к математическому описанию систем, не обладающих эффектом памяти. Действительно [11-15], если система обладает памятью, то скорость изменения динамических величин в текущем состоянии системы равна

=и(х(0,0[х(V) ]. (1)

Введением величины h (V) система (1) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (задаче Коши):

Шс^) ^

Ш ШИ (V)

V Ш )

Если система автономна, то полученную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) можно свести к автономной системе ОДУ введением дополнительной величины [16].

Величины И (V) имеют физический смысл, так как они являются характеристиками физических и физико-химических процессов, приводящих к эффекту памяти. Например, в случае никель-кадмиевого аккумулятора одной из таких величин является число молей прореагировавшего кадмиевого напыления с никелевой основой [9]. Набор величин И (V) включаем в вектор х(V), который будет характеризовать состояние системы с учетом накопленного опыта.

Неравновесные процессы могут обладать инерционностью [11], например: нелинейная теплопроводность, нелинейная электропроводность, нели-

м>(х (V ),И (V ),0 Vс (х ^ )М ),0,

Х (^) = Хо И (^) = ^.

(2)

нейная диффузия [11]. Поэтому в вектор х (V) также добавляем дополнительные величины, учитывающие инерционность.

Величины х (V) связаны между собой законами сохранения, в число которых входит первое начало термодинамики. Выделив из них независимые величины, не связанные законами сохранения, мы можем выразить остальные через законы сохранения. Поэтому под х (V) мы будем понимать вектор независимых величин, не связанных законами сохранения. Остальные величины (далее у(V)) выражаем из законов сохранения Р(х, у) = Р, где Р - сохраняющиеся величины, например: внутренняя энергия, импульс, масса, в виде

у=у (х, Р). (3)

Законы сохранения Р(х, у) = Р позволяют снизить порядок системы (2) (сведенной к автономной), описывающей неравновесные процессы. Они представляют собой алгебраическую связь между величинами х(V) и у(V). Далее полагаем, что порядок системы (2) понижен с помощью (3), в систему (2) входят только независимые величины х(V) и параметры сохранения Р. Обозначим через т число независимых величин, не связанных законами сохранения Р(х,у) = Р, т.е. число степеней свободы системы.

Протекание неравновесных процессов зависит также и от фиксированных условий протекания неравновесных процессов и (например, температуры окружающей среды, влажности и др.), поэтому правая часть системы (2) зависит также от и .

Согласно нулевому началу термодинамики любая замкнутая система1 приходит в состояние равновесия [17]. Поэтому в соответствии с физическим смыслом для замкнутой системы с памятью показатели накопленного опыта вводятся таким образом, что зависимость этих функций от времени асимптотически устойчива [18]. Это обеспечит асимптотическую устойчивость системы (2). Для любой асимптотически устойчивой системы ОДУ (2) существует функция Ляпунова [19], которая согласно своему определению выпуклая в окрестности состояния устойчивого равновесия и монотонно убывающая в силу системы (2) [18], а значит, является по определению функцией свободной энергии (термодинамическим потенциалом) [1-6, 11, 17]. Примерами термодинамических потенциалов являются энтропия в изолированной системе, умноженная на минус единицу, энергия Гельмгольца в изо-хорно-изотермической системе, энергия Гиббса в изобарно-изотермической системе, потенциал О в открытой системе при фиксированных параметрах окружающей среды [17], а в случае сильно неравновесных систем - соответствующие нелинейные величины [10]. Убывание термодинамического потенциала является содержанием второй части второго начала термодинамики [6, 17].

1 Замкнутой системой [12] будем называть систему, находящуюся при фиксированных внешних условиях (изолированная система, изобарно-изотермическая система, изохорно-изотермическая система, открытая система при фиксированных параметрах окружающей среды) [17].

Функция Ляпунова системы (2) также определяется параметрами сохранения Р, поэтому она также зависит от параметров Р, а значит, в силу Р(х, у) = Р функция Ляпунова Е(х, Р) системы (2) является функцией х и у. Функция Ляпунова Е(х, у), имеющая, как было отмечено выше, смысл термодинамического потенциала, монотонно убывает в силу (2) и (3). Далее введенная функция Е(х, у) будет называться функцией свободной энергии (термодинамическим потенциалом). Термодинамический потенциал Е(х,у) в частных случаях является термодинамическими функциями (потенциалами), описанными в предыдущем абзаце, т.е. является их обобщением. Также термодинамический потенциал зависит и от фиксированных условий проте-

каемости неравновесного процесса и. Но в замкнутой системе при фиксированных параметрах сохранения и фиксированных условиях протекаемости неравновесного процесса эти факторы постоянны, и поэтому мы полагаем

Е(х).

В состоянии устойчивого равновесия замкнутой системы термодинамический потенциал Е(х) принимает минимальное значение (т.е. термодинамический потенциал Е(х, у) при условии законов сохранения Р(х, у) = Р принимает минимальное значение [6, 17]), а значит, (х) = 0. Отсюда тер-

модинамические силы [1-3]

X (х) = -УЕ (х), (4)

где V - оператор Набла

(г \Т \

с ( д ^ ^

V =

дх1 дхт у

V у

, являются причиной и необхо-

димым условием протекания неравновесных процессов, так как условие (х) = 0 эквивалентно условию VF (х) = 0 (дифференцирование свободной энергии производится при фиксированных условиях протекания неравновесных процессов и фиксированных параметрах сохранения). Работа термо-

динамических сил согласно (4)

ЪЖ = ХТ (х )Шх = (х)

равняется расходу свободной энергии. Термодинамические силы зависят от х , у и фиксированных условий протекания неравновесных процессов и . Однако в замкнутой системе в силу постоянства параметров Р и и динамические силы полагаем X (х).

Однако, как отмечалось при постановке задачи, одни только термодинамические силы не дают возможности анализировать и моделировать неравновесные процессы - помимо термодинамических сил нужны величины восприимчивостей каждого процесса к термодинамическим силам. В работах [12-15] показано, что коэффициенты матрицы

А( х) = [(ЩШ^^1( х)..4т-1(х) У-(X (х) ((х)...рт-1( х) ) 1, (5)

где произвольная система векторов {ру (х )}т=і1 в состоянии (х) выбрана таким образом, что det((х) ((х) ... рт-і(х)) 0 для любого состояния (х), а система векторов {ру (х')}%! произвольная, а также эти системы векторов

выбираются таким образом, что матрица (5) положительно определена (возможность такого выбора показана в [12-15]), характеризуют восприимчивость неравновесных процессов к термодинамическим силам, а потому их можно ввести как величины восприимчивости. Согласно (5)

Матрица А(х) в общем случае носит название матрицы восприимчивостей.

В силу положительной определенности матрицы А( х) ее диагональные элементы положительны. Они характеризуют восприимчивость протекаемых процессов (изменений каждой координаты х^) к сопряженным силам. Перекрестные коэффициенты матрицы А( х) могут быть как положительными, так и отрицательными - они характеризуют восприимчивость процессов (изменений каждой координаты х^) к несопряженным им силам. Несопряженные силы могут как способствовать процессу, так ему и препятствовать. С помощью матрицы восприимчивостей удобно анализировать перекрестные явления (например, термодиффузию, сопряженные химические реакции).

Следует также отметить, что системы векторов {ру (хи (дг- (х^У^-1 в (8) выбираются при фиксированных параметрах сохранения Р и фиксированных условиях протекаемости неравновесного процесса и . Но в замкнутой системе параметры Р и и неизменны, поэтому в замкнутой системе для простоты далее матрица восприимчивостей будет записываться как А(х).

Из положительной определенности матрицы А(х) следует удовлетво-ряемость системы уравнений второму началу термодинамики. Отсюда полученная математическая модель необратимых процессов отражает физическое содержание моделируемых явлений, обусловленное вторым законом термодинамики (а значит, и не противоречит ему!).

До сих пор в качестве динамических переменных использовались параметры состояния [6], характеризующие физические состояния системы (например, число молей реагента, число молей вещества в данной области пространства, внутренняя энергия). Однако на практике и при теоретическом анализе удобно пользоваться величинами, не обязательно являющимися параметрами состояния системы (например, число молей прореагировавшего вещества, число молей продиффундировавшего вещества, количество перешедшего тепла), приращения которых связаны с приращениями параметров состояния:

— = А( х) X (х).

dt

(6)

Замена переменных

(7)

(

где якобиан йе1 ний ЪЛх.

ЪЛх ЪЛх

Л

Шх,

Ф 0 в силу взаимной однозначности прираще-

Матрица (7)

ЪЛх ЪЛх

Л

V Шх1

Шх,

определяется уравнениями сохранения.

т у

Приращение свободной энергии равно

ШШ. = -ХТ (х)

(

ЪЛх ЪЛх

-1

Шхл

Шх„

ЪЛх ■.

V --^1 "'~т у

отсюда термодинамические силы, сопряженные этим приращениям ЪЛх. аналогично (4) определяются выражением

(

АХ (х) = -

(х) ЪЕ (х)

бАТ!

5Лх

ту

ЪА( х) ЪЛх

ч-1Т

Шхл

Шх,

X (х),

(8)

ту

где

(х)

- отношение приращения свободной энергии (х), вызванного

ЪЛх1

приращением координаты бЛх1 при условии ЪЛху = 0, ] Ф 7, ] = 1, т, к приращению 5Лхг- этой координаты.

ЪЛх

Используя (7) и (8), нетрудно получить уравнение для скоростей

аналогичное (6). Действительно, в силу (6)-(8) справедливо следующее выражение:

Т

ЪЛх

&

(

ЪЛх

Шх1

ЪЛх ^ ( ЪЛх

А( х)

Шх

т у

Шх

ЪЛх

Шх

Т

ЛХ (х);

(9)

т у

матрица восприимчивостей для системы приращений ЪЛх равна

А (х) =

ЪЛх

Шх1

ЪЛх ^ ( ЪЛх

А( х)

Шх

т у

Шх1

ЪЛх

Шх

т у

отсюда получим уравнения для

ЪЛх

ЪЛх

= А(х)ЛХ (х).

(10)

Уравнение (10) является более практичным в использовании, чем уравнение (6), так как на практике и при теоретическом анализе пользуются, как отмечалось выше, именно величинами 5Лх, а не Шх . Замена переменных (7) широко используется в работах [2, 12, 20] при проведении теоретического анализа неравновесных процессов.

Декомпозиция систем

В сложных системах имеют место процессы различной физической природы, перечисленные в постановке задачи. Как правило, при исследовании сложных систем прибегают к декомпозиции [14]. Поэтому необходимо каждую совокупность перекрестных процессов, не перекрестных с другими процессами, не входящую в эту совокупность, рассмотреть отдельно, записав для нее систему (10). Затем, пользуясь уравнениями (10), записанными для каждой совокупности перекрестных процессов, получить систему (6) для всей системы.

Приращение <£ можно представить следующим образом:

(11)

где ёх/ - изменение параметра х в /-й совокупности перекрестных процессов; N - число совокупностей перекрестных процессов.

Каждый процесс имеет свои законы сохранения. Поэтому законы сохранения накладывают связь на величины ёх/ [14]. Пусть 5Лх/ - вектор независимых величин (размерность вектора 5Лх/ т/, где т/ - число степеней

свободы /-й совокупности перекрестных процессов), остальные величины ёх/ равны

=

5Лгі

1]

5Лх,

н у

5Лх,-, ] = 1, N .

(12)

цы

Система уравнений (12) аналогична системе уравнений (7), ранг матри-максимален. Матрица (12), как и матрица (7), определя-

5Лгі

1]

5Лх,

ется уравнениями сохранения / -й совокупности перекрестных процессов. Согласно (11) и (12) можно записать

л

дЛхт

(13)

11 ''~~т]1 у

Приращение свободной энергии согласно (4) и (13) равно

(

й¥ (X) = -1 N=1Х Т (X)

>т.

]

\

]

5Лх

1]

5Лх,

т,1 И у

5Лх

]

отсюда термодинамические силы /-й совокупности перекрестных процессов, сопряженные этим приращениям 5Лх/, аналогично (4) определяются следующим образом:

(

ЛХІ (X) = -

dF (X) dF (X)

V (

1]

5Лг,

т,1

н

dX,

dX,

У

бЛгі

1]

5Лт,

тл

н у

Х(х), у = 1, N, (14)

(Х) _

где ------ - отношение приращения свободной энергии, вызванного прира-

5Ах! ,

щением координаты бАх^ , при условии ЬАх^ = 0, к Ф 7, к Ф 1, т, к приращению 8АХу этой координаты. Уравнение (14) аналогично уравнению (8); термодинамические силы АХj (Х) в каждой ]-й совокупности перекрестных процессов однозначно определяются силами X (Х) системы.

Для каждой j -й совокупности перекрестных процессов в силу отсутствия сопряженности с другими процессами, не входящими в эту совокупность, можно записать

бАХ,

_Т~

= А, (Х)АХ, (Х), , = 1, N.

(15)

Уравнение (15) аналогично уравнению (10). Используя (13)-(15), полу-

&Х

чим уравнение для скорости

&

(

&Х

ZN

у=

6Ах

1У

6Ах

т, 1 Н

А, (Х)

6Ах1

1,

бАг,

т,1

X (Х);

матрица восприимчивостей сложной системы равна

А(Х)=I N=

6Ах

1,

6Ах

т,1

6Ах

отсюда получим уравнение (6) сложной системы:

&Х

&

= А(Х)X(Х).

1,

бАХ

т,1

и у

(16)

Таким образом, зная из эксперимента матрицы восприимчивостей

А, (Х) (15) простых подсистем, нетрудно с помощью (16) определить матрицу восприимчивостей А(Х) всей системы. Таким образом, рассмотренный принцип декомпозиции дает возможность анализировать сложную систему, зная из эксперимента матрицы восприимчивостей каждой ,'-й совокупности перекрестных процессов и свободную энергию системы.

Итак, мы ввели величину матрицы восприимчивостей системы и на ее основе создали модель (6), разработали метод замены переменных, дающий возможность работать с удобными для практики и теоретического анализа переменными, а также разработали принцип декомпозиции системы. Такой метод моделирования и анализа системы назван потенциально-потоковым, так как анализ и моделирование системы подразумевают знание термодинамических сил - потенциальных величин [2, 20] и матрицы восприимчивостей системы к этим силам. Матрицы восприимчивостей определяют реакцию си-

стемы на действующие в ней силы - восприимчивость системы к этим силам. Этой реакцией являются скорости протекания неравновесных процессов -потоковые величины [2, 21]. Отсюда и название описанного метода анализа и моделирования неравновесных процессов.

Потенциально-потоковый метод для незамкнутых систем

В незамкнутых системах нарушаются законы сохранения (3), где Р -сохраняющаяся величина, например, внутренняя энергия, импульс, масса. Поэтому переменные у, связанные с величинами Х законами сохранения (3), также следует рассматривать наравне с Х . В случае незамкнутой системы скорость протекания необратимых процессов можно разложить на две со-

( &ХЛ ( &у Л

ставляющие: внутреннюю I — I , I — I - скорость протекания не-

V & /внутр V & /внутр обратимых процессов в текущем состоянии рассматриваемой системы (при условии, что рассматриваемая система замкнутая), и внешнюю

&Х Л = &Х (&Х Л

, ! ! - составляющая,

внутр V /внутр V /внутр V /внутр

обусловленная взаимодействием с внешними системами. Внешняя составляющая определяется как текущим состоянием системы, так и взаимодействием с внешними системами. Учитывая, что законы сохранения нарушаются, а также что внешние условия также могут меняться, а потому матрица восприимчивостей в модели незамкнутых систем уже не А(х), а А(х,у,и), аналогично свободная энергия и термодинамические силы уже не Р (х) и X (х) а Р (х, у,и) и X (х, у,и), получим модель незамкнутой системы:

Сх — — — (Сх

— _ А( х, у, и) X (х, у, и) + ( — т V т

сГу _(ау(г,р) ду(г,р) 1 а(х,у,и)Х(х,у,и) +1 ^1 . (17)

Эх! дхп

Термодинамические силы также определяем в соответствии с (4) - подставляем в Р(Х, у,и) вместо у функцию у(Х, Р) и дифференцируем Р(Х,у(Х,Р),и), полагая параметры Р и и фиксированными.

Уравнения (17) являются потенциально-потоковой моделью незамкнутой неравновесной системы, они обобщают потенциально модель (6) на случай незамкнутой системы.

Потенциально-потоковый метод для систем с распределенными параметрами

В случае систем с распределенными параметрами берем элемент среды (в случае химических реакций) или соседние взаимодействующие между собой элементы среды и для параметров этих элементов среды повторяем описанные выше рассуждения, записываем для них систему (4). Затем переходим к дифференциальным уравнениям в частных производных.

Список литературы

1. Агеев, Е. П. Неравновесная термодинамика в вопросах и ответах / Е. П. Агеев. -М. : Эдиториал УРСС, 2001. - 136 с.

2. Грот, С. Р. Термодинамика необратимых процессов / С. Р. Грот. - М. : Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1956. - 281 с.

3. Пригожин, И. Современная термодинамика. От тепловых двигателей до диссипативных структур / И. Пригожин, Д. Кондепуди ; пер. с англ. Ю. А. Данилова и В. В. Белого. - М. : Мир, 2002. - 461 с.

4. Пригожин, И. Введение в термодинамику необратимых процессов / И. Пригожин. - Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 160 с.

5. Пр игожин, И. Химическая термодинамика / И. Пригожин, Р. Дефэй. - Новосибирск : Наука, Сибирское отд., 1966. - 512 с.

6. Крутов, В. И. Техническая термодинамика / В. И. Крутов, С. И. Исаев, И. А. Кожинов / под ред. В. И. Крутова. - М. : Высш. шк., 1991. - 384 с.

7. Гуров, А. А. Химия / А. А. Гуров, Ф. З. Бадаев, Л. П. Овчаренко,

В. Н. Шаповал. - М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. - 478 с.

8. Плесков, Ю. В. Фотоэлектрохимическое преобразование солнечной энергии / Ю. В. Плесков. - М. : Химия, 1990. - 176 с.

9. Таганова, А. А. Герметичные химические источники тока: Элементы и аккумуляторы. Оборудование для испытаний и эксплуатации : справочник / А. А. Таганова, Ю. И. Бубнов, С. Б. Орлов. - СПБ. : Химиздат, 2005. - 264 с.

10. Стратонович, Р. Л. Нелинейная неравновесная термодинамика / Р. Л. Стра-тонович. - М. : Наука, 1985. - 480 с.

11. Жоу, Д. Расширенная необратимая термодинамика / Д. Жоу, Х. Касас-Баскес, Дж. Лебон. - М. : Изд-во Инст. компьютерных исследований, 2006. - 528 с.

12. Халютин, С. П. Моделирование сложных электроэнергетических систем летательных аппаратов / С. П. Халютин, М. Л. Тюляев, Б. В. Жмуров, И. Е. Старостин. - М. : Издание ВУНЦ ВВС «ВВА им. проф. Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина», 2010. - 188 с.

13. Старостин, И. Е. Моделирование неравновесных систем / И. Е. Старостин ; под ред. В. В. Слабко. - Красноярск : Изд-во СФУ, 2010. - С. 187-192.

14. Старостин, И. Е. Материалы международной НПК «Инновации на основе информационных и коммуникационных технологий ИНФО-2010» / И. Е. Старостин ; под. ред. С. У. Увайсова. - М. : МИЭМ, 2010. - С. 268-271.

15. Халютин С. П. XXXV Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е. В. Золотова / С. П. Халютин, И. Е. Старостин // Потенциальнопотоковое математическое моделирование необратимых процессов в электроэнергетике : сб. докладов [Электронный ресурс]. - Владивосток : ИАПУ ДВО РАН, 2010. - С. 398-403.

16. Агафонов, С. А. Дифференциальные уравнения / С. А. Агафонов, А. Д. Герман, Г. В. Муратова. - М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. - 347 с.

17. Квасников, И. А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 3. Теория неравновесных систем / И. А. Квасников. - М. : Едиториал УРСС, 2010. - 432 с.

18. Демидович, Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. - М. : Наука, 1967. - 472 с.

19. Красовский, И. Н. Некоторые задачи теории устойчивости / И. Н. Красов-ский. - М. : Гос. изд-во физико-математической литературы, 1959. - 211 с.

20. Бахарева, И. Ф. Нелинейная неравновесная термодинамика / И. Ф. Бахарева. -Саратов : Изд-во Саратов. ун-та, 1976. - 150 с.

21. Зарубин, В. С. Математическое моделирование в технике / В. С. Зарубин. -М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003. - 496 с.

Халютин Сергей Петрович доктор технических наук, профессор, начальник кафедры электрооборудования (и метрологии), Военно-воздушная академия имени профессора Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина (г. Москва)

E-mail: skhalutin@naukasoft.ru

Старостин Игорь Евгеньевич научный сотрудник, Военно-воздушная академия имени профессора Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина (г. Москва)

E-mail: skhalutin@naukasoft.ru

УДК 536-12 Халютин, С. П.

Потенциально-потоковый квазиградиентный метод моделирования неравновесных процессов / С. П. Халютин, И. Е. Старостин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 2 (22). - С. 25-35.

Khalyutin Sergey Petrovich Doctor of engineering sciences, professor, head of sub-department of electrical equipment and metrology, Air force academy named after N. E. Zhukovsky and Y. A. Gagarin (Moscow)

Starostin Igor Evgenyevich Researcher, Air force academy named after N. E. Zhukovsky and Y. A. Gagarin (Moscow)