Качественная теория нелинейных установившихся волн на воде Текст научной статьи по специальности «Математика»

В. А. Козлов, Н. Г. Кузнецов

КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УСТАНОВИВШИХСЯ ВОЛН НА ВОДЕ

Результаты Соломона Григорьевича Михлина в области применения математических методов к задачам теории упругости широко известны. В связи с этим достаточно сослаться на его книги [19, 20], написанные в конце 1940-х годов. Вместе с тем, хотя среди его публикаций нет работ, непосредственно связанных с задачами теории волн на поверхности воды, упомянутые книги свидетельствуют, что и этот раздел прикладной математики находился в сфере его интересов. Так в книге [19], в списке статей, освещающих «приложения и отдельные вопросы теории интегральных уравнений», фигурируют фундаментальные работы Н. Е. Кочина [10] и [11] о волнах, возникающих при поступательном движении тел, частично или полностью погруженных в воду. Более того, в §§ 35 и 40 книги [20], озаглавленных «Определение собственных частот поперечных сейш» и «Собственные колебания уровня бассейна» соответственно, непосредственно рассматриваются задачи на собственные значения, возникающие в линейной теории волн на воде, и для их решения применяется энергетический метод, с изучением и использованием которого связаны многие работы С. Г. Михлина. В свете сказанного ясно, почему у его учеников возник интерес к задачам теории волн на воде (см., например, [16], где, в частности, существенно развиты результаты статьи [11]).

Вклад С. Г. Михлина в математику и ее приложения трудно переоценить. В этой связи достаточно лишь упомянуть, что именно Соломон Григорьевич был первым, кто в 1936 г. ввел понятие символа псевдодифференциального оператора (применительно к сингулярным интегральным операторам), без которого немыслима современная теория уравнений с частными производными. Это понятие существенно будет использоваться и в настоящей работе.

1. Введение

В работе рассматривается нелинейная краевая задача, которая описывает двумерные установившиеся волны на поверхности воды, глубина которой конечна. Используется обычная постановка задачи (принимается в расчет сила тяжести, но не учитывается поверхностное натяжение), которая позволяет рассматривать весь класс ограниченных волн, включающий и периодические, и уединенные, и любые другие (например, почти периодические, хотя существование последних пока не установлено) волны. Последнее обстоятельство позволяет отнести излагаемые здесь результаты к качественной теории волн (по аналогии с качественной теорией дифференциальных уравнений, изучающей свойства решений без нахождения самих решений). Ранее основное внимание исследований по установившимся волнам было направлено на доказательство существования отдельных типов волн, таких как волны Стокса (периодические волны, имеющие лишь один гребень на период) и уединенные волны. Основным аппаратом, использовавшимся для этого, были нелинейные интегральные и псевдодифференциальные уравнения, такие как уравнения А. И. Некрасова и К. И. Бабенко (см. работы [21] и [2, 3] соответственно). Современное состояние данного аспекта теории установившихся волн на воде отражено в недавнем обзоре М. Д. Гровса [7].

© В. А. Козлов (Линчепинг, Швеция), Н. Г. Кузнецов (С.-Петербург, РФ), 2008

В настоящей работе описаны два подхода к качественной теории установившихся волн на воде и дан обзор недавних результатов, полученных авторами на их основе. Первый из подходов использует метод усреднения решения задачи по вертикальным сечениям области, в то время как второй подход базируется на предложенной авторами модификации интегро-дифференциального уравнения, полученного еще в 1970 г. Дж. Г. Б. Бьятт-Смитом [6].

1.1. Постановка задачи

Рассматриваются установившиеся гравитационные волны на поверхности воды (в общем случае идеальной, несжимаемой, тяжелой жидкости), заполняющей горизонтальный канал постоянного поперечного сечения прямоугольной формы. Предполагается, что дно и боковые стенки канала твердые, а сверху воду отделяет от атмосферы свободная поверхность, причем поверхностное натяжение на ней не учитывается. Движение воды считается двумерным и безвихревым; последнее обстоятельство влечет существование потенциала скоростей. Пусть в некоторой декартовой системе координат (X, Y) дно задано уравнением Y = 0, а ускорение силы тяжести направлено против оси Y. Кроме того, система координат выбрана так, что поле скоростей и профиль свободной поверхности не зависят от времени, причем последний задается графиком неизвестной положительной функции Y = £(X) (X G IR), принадлежащей классу C1.

Так как поверхностное натяжение не учитывается, потенциал скоростей Ф(Х, Y), градиентом которого является поле скоростей в заполненной водой области D = {X G R, 0 < Y < £(X)}, и функция £ удовлетворяют следующей краевой задаче (всюду X G IR):

Фхх + Фуу = 0 в D; (1.1)

Фу = 0, когда Y = 0; (1.2)

\\ЧФ\2\д£ = П }’ когДаУ = £Р0- (!-3)

Здесь g > 0 — известная величина ускорения свободного падения. Для отыскания Ф и £ необходимо также задать два параметра: постоянную Бернулли R > 0 (в гидромеханике — определяющую полный напор), и отнесенный к единице ширины поперечного сечения объемный расход

Г «(X)

Q = Фх (X, Y) dY. (1.4)

J о

Тот факт, что Q — постоянная, немедленно вытекает из соотношений (1.1), (1.2), а также первого из условий (1.3). Наконец, замечая, что из второго условия (1.3) (известного как уравнение Бернулли) следует неравенство £ < R/g, мы дополняем эту оценку предположением, что существуют положительные константы M и М_ такие, что неравенства

|£х(X)| < M, M_ < £(X) выполняются для всех X G IR. (1.5)

Не ограничивая общности, мы полагаем M_ = inf хек £(X); кроме того, через M+

будем обозначать 8ирхеН £(X).

Ясно, что задача (1.1)—(1.5) определяет потенциал Ф только с точностью до аддитивной постоянной. Решение (Ф, £) будем называть нетривиальным, если Ф и £ не равны тождественно линейной функции X и константе соответственно.

2. Необходимые условия существования решения

В этом параграфе приведены необходимые условия существования нетривиального решения задачи. Первое из них доказано в [12].

Предложение 2.1. Если (Ф, £) —нетривиальное решение задачи (1.1)-(1.5), то Я =0.

Второе необходимое условие составляет содержание следующей теоремы.

Теорема 2.2 Если (Ф, £) — нетривиальное решение задачи (1.1)-(1.5), то К > Кс =

1Ш2/3.

Нестрогое неравенство К > Кс было доказано в теореме 2.3 статьи [12] наряду с оценками

£_ < М_ < £+ < М+. (2.1)

Здесь £_ < £с = (Я2/д)1/3 и £+ > £с —два положительных корня уравнения Бернулли для равномерных потоков, которое имеет вид 2(К — д£) = (Я/£)2, £ € К; эти корни существуют, если К > Кс. Значения £_, £с и £+ равны глубинам закритического, критического и докритического равномерных потоков соответственно. Что касается отсутствия волн в критическом случае (существование лишь тривиальных решений задачи (1.1)—(1.5) при К = Кс), то среди гидромехаников этот факт даже рассматривался как очевидный и не требующий доказательства. Однако он оказался нетривиальным с математической точки зрения и был доказан авторами лишь при некоторых дополнительных предположениях (см. теорему 4.1 (1) ниже).

Справедливость неравенств К > Кс и (2.1) была предположена Т. Б. Бенджамином и М. Дж. Лайтхиллом [5] еще в 1954 г., но была ранее доказана лишь для волн Стокса и уединенных волн в работах Г. Киди и Дж. Норбюри [9] (см. также [4]) и С. Дж. Амика и Дж. Ф. Толанда [1] соответственно. Заметим, что теорема 2.3 (см. [12]) включает также следующее.

Предложение 2.3. Пусть (Ф, £) — нетривиальное решение задачи (1.1)-(1.5).

Если существует точка Х_ € Ж. такая, что £(Х_) = М_, то К > Кс и первые два неравенства (2.1) являются строгими.

Если существует точка Х+ € К, такая, что £(Х+) = М+, то последнее неравенство (2.1) является строгим.

Приведем два следствия неравенств (2.1) и предложения 2.3. Во-первых, из них следует нижняя граница для высоты уединенных волн. Под высотой понимается разность £(Хо) — £_, где (Хо, £(Хо)) —точка, в которой расположен гребень этой волны, а £_ — глубина воды на бесконечности. Согласно предложению 2.3 мы имеем, что £(Хо) > £+, а значит для высоты уединенных волн справедлива оценка

£(Хо) — £_ > £+ — £_.

Во-вторых, имеет место

Следствие 2.4. Если (Ф, £) — нетривиальное решение задачи Р(ф,£), то неравенство £(Х) > £_ выполняется для всех Х € М.

Для волн Стокса этот факт был установлен в упомянутой работе [9], а для уединенных волн У. Крэйгом и П. Стернбергом [15].

3. Метод усреднения по вертикальным сечениям

Достоинством метода усреднения по вертикальным сечениям, использованного в работе [12], является то обстоятельство, что вместо классического уравнения Бернулли, которое служит одним из нелинейных краевых условий на неизвестной свободной поверхности, возникает уравнение, эквивалентное всей задаче, если ввести нелинейный оператор, связанный с разностью между потенциалом скоростей и его средним.

В этом и следующем разделах используется формулировка задачи в безразмерных переменных, которая удобна для обоих подходов, описываемых в этой работе.

3.1. Безразмерные переменные. Одним из вариантов введения безразмерных переменных является следующий:

Х Г , , £(Х) , , Ф(Х,У) , ,

у=£------^ г){х) = -£------------1; <р{х,у) =-д--• (3-1)

Сдвиг координаты у и функции п вниз удобен, так как при этом верхняя граница

закритического потока совпадает с осью абсцисс. Тогда потенциал скоростей ^ задан в области Б = {х € М, —1 < у < п(х)}, и задача (1.1)—(1.5) приобретает следующий вид.

Задача Р(^,п). Для заданного значения параметра Л = д£_/Я2 € (0,1) требуется найти пару функций (у>, п) со следующими свойствами:

• ^ € С 1(!))ПС2(Б) и п € С1^.) удовлетворяют краевой задаче со свободной границей:

фжж + фуу = ° (х у) € ^, (3.2)

Фу =0, у = —1, х € К, (3.3)

Фу = Пжфж, У = п(х), X € К, (3.4)

|У^|2 + 2Лп =1, у = п(х), х € М; (3.5)

• условие

Г П(х)

/ y) dy = 1 выполняется для всех x G IR; (3-6)

• неравенства \г]х(х)\ < то = и то_ < г](х) < то+ выполняются для всех ж (Е IR.

Здесь —1 < m_ < m+, причем согласно (1-5) и (3-1) мы имеем m± = (M±/£_) — 1; более того, m_ = infxeRn(x), a m+ = supxe:Rn(x)-

Заметим, что в переменных (3-1) верхней границей докритического равномерного потока служит величина

1 — 4А + л/Г+~8Л V* = -------^--------- > 0, (3.7)

которая наряду с нулем является корнем уравнения R-a(^) = 0 (модифицированного уравнения Бернулли для равномерных потоков), где TZxijf) = (1 + rfj^/l — 2 А г/ — 1.

Важную роль в доказательствах ряда утверждений раздела 3-3 играют неравенства

ПХ(Л) > 0, когда г] G (0, ту*); щ < (3.8)

причем второе неравенство непосредственно вытекает (3-7)-36

3.2. Модифицированное уравнение Бернулли. Введем зависящую от переменной у компоненту потенциала скоростей

«(х, у) = ф(х, у) — и(х), (х, у) € Б. (3.9)

Здесь

1 /-П(ж)

и(х) =------—— ср(х,у)<1у для всех х £ Ж, (3.10)

1 + п(х) У_1

является усреднением ф по вертикальным сечениям заполненной водой области. При этом функция V имеет следующие свойства, отличающие ее от ф: (1) V инвариантно относительно прибавления константы к ф; (2) V тождественно равно нулю для равномерных потоков; (3) справедливо условие ортогональности

Г П(ж)

/ «(х, у)ёу = 0 для всех х € М. (3.11)

Оказывается, что между функциями и и V, определенными формулами (3.10) и (3.9) соответственно, имеется связь.

Предложение 3.1. Если ф и п удовлетворяют соотношениям (3.2)-(3.4), то равенство

1+Г]х(х)у(х,Г](х))

их(х) = -------------——----- выполняется для, всех х £ Лх. (3-12)

1 + п(х)

Соотношение (3.12) является ключевым для преобразования уравнения (3.5) в следующее:

{[1 + г](х)]у(х,г](х))}х = [1 + ??(ж)]у/[ 1 + гЦ{х)\ [1 - 2АГ](х)] - 1, х £ И. (3.13)

Здесь используется положительный квадратный корень, потому что в противном случае

[(1 + п)«]ж < —1,

что противоречит ограниченности п и V. Ограниченность последней функции установлена в следующей лемме, доказанной в [12].

Лемма 3.2. Пусть V —функция, заданная формулой (3.9). Тогда

виР(ж,у)еВ Кх,у^ < ГО.

Уравнение (3.13) и является модифицированным уравнением Бернулли. Теперь задачу Р(^,п) можно переформулировать следующим образом.

Задача Р(^,п) . Для заданного значения параметра Л € (0,1) требуется найти пару функций (V, п) со следующими свойствами:

• V € ^^(Б) удовлетворяет условию (3.11) для п.в. х € М;

• для всякой функции £ £ -£(Б) выполняется следующее интегральное тождество:

/ (314)

^ 1_ж 1 + п(х)

• уравнение (3.13) выполняется п.в. на М.

Здесь через ^^(Б) обозначено пространство, элементы которого принадлежат \¥1,2(К) для любого ограниченного, открытого подмножества К С В. Множество Z(D) состоит из гладких функций £(х, у) таких, что:

(1) С(хтУ) имеет компактный носитель в замыкании заполненной водой области Б;

(И) условие ортогональности (3.11) выполняется для £(х, у) при всех х € И.

Интегральное тождество (3.14) задает нелинейный оператор п ^ v(•, п). Подставляя этот оператор в уравнение (3.13), мы приходим к нелинейному уравнению для п, в котором Л является бифуркационным параметром. Это уравнение эквивалентно исходной задаче.

3.3. Свойства ограниченных установившихся волн

Здесь приведены свойства волн, доказательства которых базируются на модифицированном уравнении Бернулли (3.13). При этом существенную роль играют неравенства

(3.8).

Следующая теорема означает, что у всякой волны часть профиля должна быть строго выше верхней границы п* равномерного докритического потока.

Теорема 3.3. Пусть (V, п) — решение задачи Р(^,п) . Если п(х) < п* для всех х € И, т.е. т+ < п*, тогда п тождественно равно либо нулю, либо п*.

Несколько утверждений касаются асимптотического поведения п(х), когда х стремится к бесконечности (положительной, отрицательной или к обеим), в предположении, что положительная часть функции п— п* суммируема с весом на соответствующей бесконечности.

Теорема 3.4. Пусть (V, п) —решение задачи Р(^,п). Если существует а € [0, 1) такое, что

{' + ^

/ х“п(+) (х) ёх < то для некоторого хо > 2, (3.15)

•/жо

где п(+) положительная часть п — п*, то п(х) стремится к постоянной, когда х ^ причем эта постоянная равна либо нулю, либо п*. Более того, имеют место следующие утверждения.

(1) Если п(х) ^ 0 при х ^ +то, то существует положительная постоянная 6 такая, что

п(х), пж(х) = О (е_5ж) при х ^ +го, (3.16)

и оценка

^(х,у)| = О (е_йж) (3.17)

выполняется равномерно относительно у € [—1, п(х)] при х ^ +то.

(И) Если п(х) ^ п* при х ^ +то, то следующие три интеграла конечны:

Г + г- + ТО г/ х“|п* — п(х)| ёх, / х“п2(х)ёх, / x“|Vv(x,y)|2 ёхёу, (3.18)

J жо •'жо •'-Оо

где Бо = Б П {х > хо}.

Заметим, что при выводе оценок (3.16) и (3.17) использованы результаты работы [15], а аналоги свойств (3.18) в литературе отсутствуют.

Ясно, что после замены условия (3.15) на

/Ж0

|ж|“п(+)(ж) йж < то, где ж0 < -2,

и очевидных изменений в формулировке теоремы 3.4, мы получим описание поведения решения при ж ^ -то. Кроме того, имеют место следующие утверждения.

Следствие 3.5. Если («,п) — нетривиальное решение задачи Р(^,п), то для него выполняется неравенство т+ > п* •

Предложение 3.6. Пусть («,п) — решение задачи Р(^,п). Если

/+ТО

п(+)(ж)ёж< то, (3.19)

где п(+) — положительная часть функции п — п*, то п(ж) стремится к одной и той же константе (ноль или п*) при ж ^ +то и ж ^ —то.

Доказательство последнего предложения базируется на использовании инварианта установившихся волн

1

S =

ЗА1/3

Г П(х)

1 + А + n(x) - V(x) + J (фХ - dy

который называется сила сопротивления потока (flow force по-английски, см., например, [4]). Тот факт, что выражение, стоящее справа, не зависит от x легко проверить прямым вычислением производной, используя соотношения (3.2)-(3.5). В терминах пары (v,n) этот инвариант выражается следующим образом:

1

s =

ЗА1/3

, , +1 +,+Л - ау/2 + Г („; - „=) d„ - iiflMW)

1 + n 7-1 1 + n

Последняя формула и используется в доказательстве предложения 3.6.

В следующем утверждении условие, аналогичное (3.19), накладывается на отрицательную часть п(-) функции п — п*.

Предложение 3.7. Пусть («,п) —решение задачи Р(^,п). Если

/■,■+ТО

/ п(-)(ж)йж < то и п2(ж) йж < то для некоторого жо > 2,

«0 Х0

то п(ж) ^ п* при ж ^ +то и следующие интегралы конечны:

/■/*

/ |п* — п(ж)| йж, / |У«(ж, у)|2 ёжёу,

</Ж0 ^^0

где Бо = Б П {ж > жо}.

Следующая группа утверждений выражает так называемые интегральные свойства установившихся волн. Большое внимание таким свойствам уединенных волн уделил М. С. Лонге-Хиггинс [18] в силу их важной гидродинамической роли. Ввиду простоты

вывода этих свойств из модифицированного уравнения Бернулли (3.13) мы приводим соответствующие выкладки.

Проинтегрировав уравнение (3.13) по интервалу (х_,х+) С И, мы получаем

Поделив это равенство на х+ — х_ и устремляя х+ — х_ ^ то, мы приходим (ввиду

леммы 3.2 и ограниченности функции п) к следующему утверждению.

Предложение 3.8. Пусть профиль волны п — ограниченная функция, тогда для него выполнено следующее интегральное свойство:

Для частных видов установившихся волн это свойство может быть конкретизировано.

Предложение 3.9. Если волны периодичны, а величина х+ — х_ — целое кратное длины волны, то

Доказательство. Согласно сделанным предположениям выражение в левой части равенства (3.20) обращается в ноль, откуда следует утверждение предложения.

В заключение обратимся к случаю уединенных волн, для которых функция «(ж, п(х)) стремится к нулю при ж ^ ±то. Тогда, переходя к пределу в равенстве (3.20), мы приходим к следующему утверждению.

Предложение 3.10. Для функции п, описывающей профиль уединенной волны, имеет место следующее равенство:

В работе [18] формула (3.21) не только выводится, но и детально обсуждается. Теперь мы видим, что это интегральное свойство уединенных волн можно рассматривать как частный случай предложения 3.8, в котором ж± ^ ±то.

4. Метод, основанный на интегро-дифференциальном уравнении

В этом параграфе дополнительно предполагается, что выполнено следующее неравенство:

1*^ '_л. с

Заметим, что нестрогое неравенство вытекает из уравнения Бернулли (3.5). Далее, согласно (3.5) из неравенства (4.1) вытекает, что |Уф(ж,п(ж))| не обращается в ноль для

I

■х+

(1+??)у/(1+^)(1-2М)-1 <1х. (3.20)

[(1 + п(х)) «(х,П(х))]Х=Х-

(3.21)

(4.1)

всех ж £ га, а значит у = п(ж) является вещественной аналитической функцией по теореме Леви [17]. Более того, условие (4.1) позволяет свети задачу Р(^,п) к эквивалентному интегро-дифференциальному уравнению для п, краткий вывод которого приведен ниже.

4.1. Интегро-дифференциальное уравнение для задачи Р(^,п). Рассмотрим функцию тока ф — сопряженную с ф гармоническую в Б функцию. При надлежащем выборе аддитивной константы функция ф удовлетворяет следующей краевой задаче, которая эквивалентна задаче (3.2)-(3.6):

Хорошо известно, что ж + гу ^ ф + гф отображает Б на а х (0,1) конформно. Следующим шагом является использование преобразования годографа, которое состоит в том, что у(ф, ф) (мнимая часть обратного конформного отображения) рассматривается в качестве новой неизвестной функции. Последняя удовлетворяет сдедующей краевой задаче (ср. с задачей (4.2)-(4.5)):

знаменатель которого не обращается в ноль ввиду условия (4.1). Здесь и далее мы пишем п(ф) вместо п(ж(ф, 1)).

ся в смысле пространства распределений £') из соотношений (4.6) и (4.7) следует, что

Исключив А при помощи дифференцирования, мы полагаем ф = 1. Тогда, используя

(4.10) и применяя обратное преобразование Фурье, мы приходим к следующему уравнению (с точностью до обезразмеривания оно совпадает с уравнением из работы [6]):

Поскольку В — обратимый оператор (его символ т 1 Шт не обращается в ноль), уравнение (4.11) можно переписать в виде

фжж + Фуу = о, (ж, у) Є Б;

ф = 0, у = -1, ж Є К;

ф = 1, у = п(ж), ж Є К,;

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

|Уф|2 + 2Ап = 1, у = п(ж), ж Є К.

У^ + У^ = 0, (ф, ф) Є К х (0,1);

У = -1, ф = 0, ф Є К;

У = п, ф =1, ф Є К;

(4.6)

(4.7)

(4.8)

(4.9)

Из соотношений (4.8) и (4.9) вытекает равенство

1 1/2

(4.10)

Для преобразования Фурье (^у)(т, ф) = у(ф, ф) егту ёф (оно должно понимать-

(у + 1)](т, ф) = А(т)вЬ(тф).

(4.11)

Здесь В обозначает оператор свертки с ядром [_Р 1(г 1 Шт)] (ф), а 8(г]) = а/1 — 2Аг].

(А/ - В-1) п = Т(п,%),

(4.12)

где / — тождественный оператор, Т(^, V) = ^2Нх(^, V) — ^,2Яо(м), а

Действительно, справедливость равенств

2Ап

Ап = п2 Но(п) и

устанавливается при помощи элементарных выкладок.

Уравнение (4.12) и является основой для получения излагаемых ниже результатов.

4.2. Два класса волн. При помощи уравнения (4.12) в статье [13] доказаны следующие две теоремы.

Теорема 4.1. (I) Если А =1 (т.е. К = Дс) в задаче Р(^,п), то она имеет только тривиальное решение.

(II) Если задача Р(^,п) имеет решение такое, что п(ж) > п* при всех ж £ Ж,, то это решение имеет вид (ф, п) = (ж + 6, п*), т. е. тривиально.

Теорема 4.2. Пусть задача Р(^,п) имеет решение такое, что функция пх равномерно непрерывна на Ж,. Тогда поведение профиля свободной поверхности п на положительной/отрицательной бесконечности принадлежит к одному из следующих двух типов:

(I) п — п* меняет знак бесконечно много раз;

(II) п стремится к постоянной, которая равна либо 0, либо п*.

Вторая из этих теорем подразделяет все ограниченные установившиеся волны на два класса, каждый из которых характеризуется уровнем (верхняя граница равномерного закритического или докритического потока), в окрестности которого заключены волновые профили на бесконечности (либо на положительной/отрицательной бесконечности, либо на обеих). Первый класс составляют волны, поведение которых на бесконечности имеет лишь один тип, а именно, их профили асимптотически стремятся к верхней границе равномерного закритического потока. Хорошо известным видом волн, принадлежащих к этому классу, являются уединенные волны. Волны, составляющие второй класс, имеют два вида поведения на бесконечности. Они либо бесконечно много раз осциллируют около верхней границы равномерного докритического потока, либо стремятся к ней. К этому классу принадлежат периодические волны (в частности, волны Стокса), которые имеют первый из указанных видов поведения. Существование волн второго класса со вторым видом поведения является пока открытым вопросом. Однако, согласно теореме 4.1 не существует волн с этим видом поведения, профили которых находятся полностью выше верхней границы п* равномерного докритического потока. Отсутствие волн с профилями, расположенными полностью ниже п* , гарантировано теоремой 3.3.

В следующих параграфах будет рассмотрен вопрос о данных, однозначно определяющих малые волны в каждом из классов (доказательства см. в работе [14]).

4.3. О волнах, принадлежащих к первому классу. Прежде всего отметим, что символ оператора В-1 — А/ (см. левую часть уравнения (4.12)), который равен

т соШ т — А, имеет нули на положительной части мнимой оси т. Эти нули равны положительным нулям функции тctgт — А, умноженным на *. Обозначим через т* наименьший положительный нуль функции тctgт — А, тогда т* £ (0, п/2), поскольку А £ (0,1), и неравенства

с* л/1 — Л ^ т* ^ С* л/1 — Л

выполняются с положительными константами с* и С*, не зависящими от А. Более того, когда А достаточно близко к единице, справедливо соотношение

г* « л/3( 1 - А), (4.13)

которое непосредственно вытекает из формулы Тейлора для тctgт.

Согласно теореме 3.4 (см. доказательство в работе [12]) из соотношения Иш2—+топ(ф) < п*, вытекает, что п(ф) ^ 0 при ф ^ +то. Тогда по лемме 3.10 статьи [15] имеет место соотношение

Иш ет*2п(ф) = к > 0. (4.14)

2——+ ^

Теперь мы можем сформулировать следующее утверждение.

Теорема 4.3. Существует постоянная А > 0 такая, что интегро-дифференци-альное уравнение (4.12) имеет не более одного решения п, для которого выполняются два условия: (1) его поведение при ф ^ выражается формулой (4.14), в которой значение к является заданным; (2) имеет место неравенство

вир{|??(ф)| + |%(ф)|} < Ал/1 - А. (4.15)

Доказательство этой теоремы базируется на следующей факторизации:

в-1 — а/ = (—а2 + т*2/).

При этом символ оператора свертки д^я) равен (т соШ т — А)/(т2 + т*2), и имеет место важное обстоятельство, что у него отсутствуют нули в горизонтальной полосе 1ш т £ (—7г — тт + §■)• Что касается уравнения (4.12), то оно принимает вид

д!я) (а2 — т*2/) п = Т(п,п^) (416)

и должно пониматься в смысле теории распределений, потому что согласно задаче Р(2,п) (плюс условие (4.1)) только первая производная

_ Г1х\/1 +Г]1 % у/1 - 2Хг]

(эта формула вытекает из соотношений (3.4) и (3.5)) является ограниченной.

Заметим, что интегро-дифференциальное уравнение (4.12) имеет не более одного (с точностью до горизонтального сдвига) решения п вида уединенной волны, которое удовлетворяет неравенству (4.15). Действительно, пусть п1 и п2 являются такими решениями, для которых

Иш па (ф) ет*2 = ка > 0, к =1, 2.

2——+ ^

Определив с из равенства К1 = К2 е-т*с, мы получаем, что Иш2—п2(ф)ет*2 = К1. Тогда из теоремы 4.3 следует, что п1(ф) = п2(ф + с).

К. О. Фридрихс и Д. Х. Хайерс [24] доказали существование решения п вида уединенной волны, когда значение параметра 1 — А > 0 достаточно близко к нулю. Их решение

получено в виде разложения по \Л — А, а главный член имеет вид (ср. с формулой

(4-13)) _______

. о Хл/3(1 — Л)

(1 - Л) весь2 У ^----- .

Неравенство (4.15) справедливо для этого решения; тогда по предыдущему замечанию оно является единственным, удовлетворяющим условию (4.15) решением вида уединенной волны для малых положительных значений 1 — А.

Предположение (4.15) является существенным ввиду результата, полученного П. И. Плотниковым в работе [22]. Он доказал существование бесконечного множества значений параметра А, для которых существует по крайней мере два геометрически различных решения вида уединенной волны, удовлетворяющих интегро-дифференци-альному уравнению (4.12). Тем не менее, теорема 4.3 гарантирует единственность в случае, когда А достаточно близко к единице. Действительно, в этом случае п* ~ 1 — А, и согласно результату, сформулированному в параграфе 2, высота волны превышает п*. Тогда единственность следует из условия (4.15).

С другой стороны, из формулы (3.7) вытекает, что п* ~ 1/(2А) для малых А, и по теореме 3.3 не существует нетривиальных решений, для которых п < п*. Таким образом, условие (4.15) является слишком ограничительным в этом случае для того, чтобы гарантировать единственность. Следует добавить, что в статье [1] доказано, что решения вида уединенной волны существуют, когда А £ (Ас, 1), где Ас отвечает так называемой волне максимальной амплитуды.

4.4. О волнах, принадлежащих ко второму классу

В этом разделе мы будем использовать £+ вместо £_ в формулах (3.1), определяющих безразмерные переменные. При этом единственное отличие новой задачи Р(2,п), получающейся из исходной задачи (1.1)—(1.5), состоит в том, что задаваемый параметр А = $£+ /д2 принадлежит промежутку (1, то) вместо (0,1). Кроме того, ось абсцисс новой безразмерной системы координат совпадает с верхней границей докритического равномерного потока, а верхней границей аналогичного закритического потока является прямая у = п*, где п* выражается формулой (3.7), причем теперь п* < 0, потому что А > 1 .

Процедура, использованная в разделе 4.1, сводит новую задачу Р(2,п), дополненную условием (4.1), к тому же интегро-дифференциальному уравнению (4.12), но с А > 1. В силу последнего обстоятельства функция т соШ т — А (символ оператора В-1 — А/) имеет два вещественных корня, которые мы обозначим через т = ±А*. Теперь оператор В-1 — А/ удобно факторизовать следующим образом:

В 1 — А/ = —дл (й2 + А*) .

При этом символ оператора свертки дл равен (тсоШт — А)/(т2 — А2), а ядром этого оператора служит обратное преобразование Фурье указанного символа. Таким образом, уравнение (4.12) принимает вид

дЛ (а^ + а2/ ) п = т (п,%), (4.17)

где F — то же выражение, что в формуле (4.12). Как и уравнение (4.16), мы понимаем (4.17) в смысле теории распределений.

Последнее уравнение с факторизованным оператором позволяет доказать следую-щюю теорему.

Теорема 4.4. Пусть а є (О, l), а А є (l, то). Тогда существует достаточно малое е = е(а, А) такое, что задача Коши, включающая уравнение (4.12) и данные п(0) = по и %(0) = п1, имеет не более одного решения п, удовлетворяющего неравенству

sup 1/001 + sup|/'(s)| + sup < є. (4.18)

s£R s£R r,s£R |Г — S|

Уравнение (4.11), а значит и (4.12), инвариантно относительно сдвига вдоль оси абсцисс. Поэтому начало координат, где задаются данные Коши, может быть выбрано произвольно. Разумеется, что эти данные по и п1 должны быть достаточно малыми, чтобы удовлетворять неравенству (4.18).

В работах Д. Я. Струйка [23] и Э.Цайдлера [25] было доказано существование волн Стокса в случае, когда вода имеет конечную глубину. В рамках нашей постановки задачи их результаты можно сформулировать следующим образом.

Для всякого А > 1 существуют е(А) > 0 и волна Стокса, профиль которой задается в виде

г]{ф) = созА*(ф - ф0) + О (в2) , (4.19)

А*

где в — произвольное число из интервала (0, е(А)).

Чтобы переформулировать таким образом результат из книги [25], где безразмерная длина волны Л использовалась в качестве параметра задачи, нужно заметить, что (см. стр. 448-450 в [25])

А =-^ + 0(82),

а значит А* = ^ + О (в2). Нетрудно проверить, что отображение (в,у>о) ► (т]о,ш)

является инъекцией, когда в £ (0, е(Л)), & (ро £ [0, ^). Поэтому множество решений, удовлетворяющих неравенству (4.18), где е достаточно мало, состоит из волн Стокса с профилями, задаваемыми формулой (4.19).

В следующем утверждении уточняется вид величины е(а, А) в предположении, что А близко к единице.

Предложение 4.5. Пусть а £ (0,1), а А £ (1, то) и близко к единице. Тогда в Теореме 4.2 можно положить е(а, А) = Са\/А — 1, где Са зависит только от а.

В заключение отметим, что теоремы 4.3 и 4.4 в совокупности с результатами работ [24] и [25] дают полное описание достаточно малых волн при значениях Д близких к критическому значению Дс и нормированной величине расхода воды д = 1. Ранее такого рода описание было получено методом, известным под названием пространственная динамика, суть которого состоит в сведении задачи к динамической системе, где роль времени играет абсцисса. Описание этого метода и полученных на его основе результатов см., например, в обзоре [8].

1. Amick C. J., Toland J. F. On solitary waves of finite amplitude // Arch. Ration. Mech. Anal. Vol. 76. 1981. P. 9-95.

2. Бабенко К. И. Несколько замечаний к теории поверхностных волн конечной амплитуды // ДАН СССР. Т. 294. 1987. С. 1033-1037.

3. Бабенко К. И. О локальной теореме существования в теории поверхностных волн конечной амплитуды // ДАН СССР. Т. 294. 1987. С. 1289-1292.

4. Benjamin T. B. Verification of the Benjamin—Lighthill conjecture about steady water waves // J. Fluid Mech. Vol. 295. 1995. P. 337-356.

5. Benjamin T. B., Lighthill M. J. On cnoidal waves and bores // Proc. Roy. Soc. Lond. A Vol. 224. 1954. P. 448-460.

6. Byatt-Smith J. G. B. An exact integral equation for steady surface waves // Proc. R. Soc. Lond. A. Vol. 315. 1970. P. 405-418.

7. Groves M. D. Steady water waves // J. Nonlin. Math. Phys. Vol. 11. 2004. P. 435-460.

8. Dias F., Iooss G. Water-waves as a spatial dynamical system // Handbook of Mathematical Fluid Dynamics / Eds. S. Friedlander and D. Serre. Elsevier. 2003. P. 443-499.

9. Keady G., Norbury J. Water waves and cojugate streams // J. Fluid Mech. Vol. 70. 1975. P. 663-671.

10. Кочин Н. Е. Плоская задача о глиссировании слабо изогнутого контура по поверхности тяжелой несжимаемой жидкости // Труды ЦАГИ. T. 356. 1938.

11. Кочин Н. Е. О волновом сопротивлении и подъемной силе погруженных в жидкость тел // Труды конференции по теории волнового сопротивления. Изд. ЦАГИ, 1937.

12. Kozlov V., Kuznetsov N. Bounds for arbitrary steady gravity waves on water of finite depth // J. Math. Fluid Mech. (In print).

13. Kozlov V., Kuznetsov N. On behaviour of free-surface profiles for bounded steady water waves // J. Math. Pures Appl. (Submitted).

14. Kozlov V., Kuznetsov N. On data uniquely determining steady water waves. (In print).

15. Craig W., Sternberg P. Symmetry of solitary waves // Comm. Part. Diff. Equat. Vol. 13. 1988. P. 603-633.

16. Kuznetsov N., Maz’ya V., Vainberg B. Linear Water Waves: A Mathematical Approach. Cambridge, Cambridge University Press. 2002.

17. Lewy H. A note on harmonic functions and a hydrodynamic application // Proc. Amer. Math. Soc. Vol. 3. 1952. P. 111-113.

18. Longuet-Higgins M. S. On the mass, momentum, energy and circulation of a solitary wave // Proc. R. Soc. A. Vol. 337. 1974. P. 1-13.

19. Михлин С. Г. Интегральные уравнения и их приложения. М.; Л.: Гостехиздат, 1949.

20. Михлин С. Г. Прямые методы в математической физике. М.; Л.: Гостехиздат, 1950.

21. Некрасов А. И. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости. М.; Л.: Изд. АН СССР, 1951.

22. Плотников П. И. Неединственность решения задачи об уединенных волнах и бифуркации критических точек гладких функционалов // Изв. АН СССР. Сер. матем. T. 55. 1991.

C. 339-366.

23. Struik D. J. Determination rigoureuse des ondes periodiques dans un canal a profondeur finie // Math. Ann. Vol. 95. 1926. P. 595-634.

24. Friedrichs K. O., Hyers D. H. The existence of solitary waves // Comm. Pure Appl. Math. Vol. 7. 1954. P. 517-550.

25. Zeidler E. Nonlinear Functional Analysis and its Applications, IV // Berlin et al.: Springer, 1988.

Статья поступила в редакцию 22 ноября 2007 г.