К задаче устойчивости систем дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.36

К ЗАДАЧЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОЛИНОМИАЛЬНЫМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ

Степанов А. В., доктор технических наук, профессор;

Академия биоресурсов и природопользования ФГАОУ ВО «Крымский федеральный университет имени В. И. Вернадского»

Рассматривается задача устойчивости решений динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями, с полиномиальными правыми частями. Приводятся модификации результатов Г. В. Каменкова о неустойчивости таких систем, основанные на применении условий леммы М. А. Красносельского, на случай конуса пространства, совпадающего с одним из координатных углов.

Ключевые слова: задача устойчивости, динамические системы, знакоопределенность в конусе.

TO THE STABILITY PROBLEM OF DIFFERENTIAL EQUATIONS SYSTEMS WITH POLY-NOMIAL RIGHT PARTS

Stepanov A. V., Doctor of Technical Sciences, Professor;

Academy of Life and Environmental Sciences FSAEI HE «V. I. Vernadsky Crimean Federal University»

The stability problem of dynamic systems, which described by differential equalizations, with the polynomial right parts is regards here. Modifications of the results of G. V Kamenkov about the instability of such systems based on the use conditions of the Lemma by M. A. Krasnoselskii, in case of cone spaces that matches one of the coordinate angles.

Key words: the problem of stability, dynamical systems, a fixed sign in the cone.

Введение. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями довольно часто используются для моделирования процессов в экономике, механике, при описании динамики биологических сообществ и т.п. В теории нелинейных колебаний при исследовании различные свойств систем дифференциальных уравнений вида

возникает необходимость исследовать аналогичные свойства систем

в частности, свойства устойчивости решений.

Материал и методы исследований. Будем полагать в (1) и (2) A - постоянная или ю - периодическая матрица размерности т х п, а X(£, х) и X(£, х, /л) -

аналитические по х и ц вектор-функции размерности т с почти периодическими по t коэффициентами, которые обращаются в нуль при х = 0. Элементы Х(/) х) - являются однородными полиномами степени I, а составляющие вектор-столбцов Хк (^ х) многочлены различных степеней по х. В общем случае предполагается, что среди характеристических чисел системы (2) имеется k отрицательных или с отрицательными вещественными частями, и п с вещественными частями равными нулю, среди которых р нулевых корней и q - чисто мнимых. Тогда систему (2) можно представить в виде совокупности модельной и присоединенной систем вида

(3)

Здесь У (у z, ^ и Ъ (у z, ^ имеют ту же структуру, что и вектор-функции X (^ х). Задача об устойчивости системы (2) в несущественно особых случаях эквивалентна задаче об устойчивости укороченной стационарной системы

Известен результат [1], где для исследования свойств устойчивости систем

ВИДа " Х(т)( ) + Х(т+1)( )+ ( 1 ) (5)

вводятся в рассмотрение функции

(6)

17(0) _ ^ ъК™) V- у(т)

и функция Я0 = х1 X(т) +... + хпХПт), с помощью которых, для каждого фиксированного значения k получается система из п - 1 функции вида (6).

Теорема: (Г. В. Каменков). Если система (5) такова, что алгебраические уравнения

имеют вещественное решение хотя бы для одного k = 1,..., п при х Ф 0, а функция Я0 может принимать положительные значения при условии = 0, то невозмущенное движение системы (5) неустойчиво.

Ненулевое решение системы однородных уравнений (7) всегда можно представить в виде прямых х^ = хр (^ = 1,...,п). Утверждается [1], что необходимое условие устойчивости для системы с п - кратным нулевым корнем при наличии вещественных решений алгебраических уравнений (7) заключается в том, что на всякой из выше указанных прямых функция Я0 не принимает положительных значений. Достаточность этих условий в общем случае доказана в [1] только для случая п = 2.

Рассмотрим систему вида

где Р(ху) и Q(xy) - однородные полиномы некоторой степени т. В [2] решалась задача получения коэффициентного критерия асимптотической устойчивости, когда т = 3. Согласно [1], найдем вещественные и отличные от нулевого решения уравнения

аналог функций (6). Без нарушения общности, можно считать, что коэффициент А22 Ф 0 в полиноме

Тогда решение уравнения (9) имеет вид у = и х, где и корни - уравнения

V(1, и) = 0 (10)

и так далее [2].

В [3] приводятся результаты, связанные с исследованием свойств монотонной устойчивости системы

Рассмотрим более общий случай системы (11):

Здесь

(12)

R('"\x) = y... У Л. , X,-...X , Asi . = const.

h 1 i-m i-m

Система (12) удовлетворяет условиям леммы М. А. Красносельского [4], на случай конуса пространства R", совпадающего с одним из координатных углов. Ее траектории с начальными данными из конуса К(а10,...,ап0}не покидают его пределов с течением времени t. Здесь, для обозначения конуса используются обозначения [5]: K(a10,...,an0} = {x е R", xs-as0> 0, s = 1,...,"}, где {as0} -заданный набор параметров, принимающих фиксированные значения ±1. При этом: a ■ x > 0; a„ = sign x, x Ф 0.

s0 s 5 s0 ° s ' s '

Из определения монотонной устойчивости [6] следует, что, если форма

п

W{x) = ^,o!s0xsR(sm( ( х) положительно определена в конусе K, то система (12) асим-

5=1

птотически устойчива в этом конусе.

Утверждение: Для монотонной устойчивости системы (12) в некотором конусе K{a ...,a} пространства R" необходимо и достаточно, чтобы форма W (x) была знакопостоянна положительна в конусе, а область W (x) = 0 не содержала целых траекторий системы.

В системе (8) положим

Тогда, если форма: ф(х, у) = а]0х ■ Р(х, у) + а20у ■ Q(x, у) отрицательно определена в К{а то система (8) будет асимптотически устойчива в конусе К.

Далее, положим, что в области: н = \{x,t): t > 0, 0< \\х\\ = ¿|х;.| < оо, х е Rr задана система !=1

ijkXjXk 5

j=lk=1

(13)

где а. и Ь..к - постоянные величины (/ = 1,...,п), такие, что для некоторого набора

чисел (а. .}(/ = 1,...,«) принимающих значения из некоторого множества N0= {-1;1}

а,п

'XZVV'i- о,/ = 1,...,

j=1 к=1

Рассмотрим положительно определенную в К{а10,..., ап0}а Я" квадратичную форму:

полная производная которой в силу системы (13):

Здесь и - квадратичная форма, а Ж - форма третьего порядка.

Пользуясь теоремой Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости в целом [7], можно утверждать, что, если и (х) отрицательно определена, а Ж(х) < 0 в конусе К{а ..,а}, то система (13) имеет асимптотически устойчивое нулевое решение в целом в конусе К . Результат переносится на случай системы вида:

где У() (х) — однородные полиномы степени I

В качестве иллюстрации рассмотрим систему:

где а, Ь, и с - некоторые положительные постоянные.

Пользуясь результатами Г. В. Каменкова [1], составим уравнение

которое имеет два отличных от нулевого решения:

(14)

На прямых:

у — ±х

■-Ъ

Rn - -ах4 - Ъ

'.-Ь

2

х -с

'-Ъ

< 0 для всех х, и система асим-

птотически устойчива в первом координатном углу.

Важно отметить, что прием, предложенный Г. В. Каменковым, хотя и дает более общий результат - устойчивость во всем пространстве Rи , является в ряде случаев довольно трудоемким, а, например, для системы

[У = ~су

при неотрицательных вещественных постоянных а, Ь, и с, задача приводит к необходимости решения уравнения 5-й степени. Задача еще более усложнится, если в системе большее число уравнений.

Выводы. Новый подход, предложенный выше, связан с задачей исследования свойств знакоопределенности форм высокого порядка. В настоящее время уже существует целый ряд подходов в решении этой задачи, предложенных, например, в работах Т. К. Сиразетдинова [8], а также в работах [9] и [10] и др.

Список использованных источников:

1. Каменков Г. В. Избранные труды. - М.: Наука, Т. 1. - 1971. - 260 с.

2. Утешев А. Ю., Шуляк С. Г. Критерий асимптотической устойчивости систем двух дифференциальных уравнений с однородными правыми частями // Дифференциальные уравнения, 1987. - Т. 23, № 6. - С. 1009-1020.

3. Искендер-Заде З. А. Монотонная устойчивость движения в случае нейтральности линейного приближения // Доклады АН АзербССР 1986. -Т. 22, № 3. - С. 13-16.

4. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. - М.: Физматгиз, 1959. - 211 с.

References:

1. Kamenkov G. V. Selecta. - M.: Nauka, V. 1. - 1971. - 260 c.

2. Uteshev A. Y., Shuljak S. G. A criterion for asymptotic stability of systems of two differential equations with homogeneous right-hand sides // Differential equations, 1987. - V. 23, № 6. - P. 1009-1020.

3. Iskander-Zadeh Z. A. Monotone stability of motion in the case of neutrality the linear approximation // Doklady an, Azerbaijan SSR, 1986. -V. 22, № 3. - P. 13-16.

4. Krasnoselskii M. A. Positive solutions of operator equations. - M.: Phyzmathgiz, 1959. - 211 p.

5. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. - М.: Наука, 1970. 240 с.

6. Stepanov A. V. The sign-definite criterion of a homogeneous polynomial in a cone // J. Appl. Maths. and Mechs., 1992. - Vol. 56, № 4. - P. 576-580.

7. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. - М.: Наука, 1967. - 233 с.

8. Аминов А. Б., Сиразетдинов Т. К. Условия знакоопределенности четных форм и устойчивость в целом нелинейных однородных систем // Прикладная математика и механика, 1984. - Т. 48, Вып. 3. - С. 339-347.

9. Иртегов В.Д., Новиков М.А. Знакоопределенность форм четвертого порядка от двух переменных// Метод Ляпунова и его приложения. - Новосибирск: Наука, 1984. - С. 87-93,

10. Персидский С. К., Степанов А. В. О применении форм произвольного высокого порядка в качестве функций Ляпунова // Динамические системы. -1988. - Вып. 7. - С. 89-95.

Сведения об авторах:

Степанов Андрей Валерьевич -доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой системного анализа и информатизации Академии биоресурсов и природопользования ФГАОУ ВО «Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского», e-mail: abc17101@yandex.ru, 295492, п. Аграрное, Академия биоресурсов и природопользования ФГАОУ ВО «КФУ им. В. И. Вернадского».

5. Barbashin J. A. Lyapunov Functions. - M.: Nauka, 1970. - 240 p.

6. Stepanov A. V. The sign-definite criterion of a homogeneous polynomial in a cone // J. Appl. Maths. and Mechs., 1992. - Vol. 56, № 4. - P. 576-580.

7. Barbashin J. A. Introduction to stability theory. - M.: Nauka, 1967. -233 p.

8. Aminov A. B., Sirazetdinov T. K. Conditions of sign-definiteness Petersen odd shapes and the stability of the overall nonlinear homogeneous systems // Applied mathematics and mechanics, 1984. - V. 48, № 3. - P. 339-347.

9. Irtegov V. D., Novikov M. A. A fixed sign forms ofthe fourth order from two variables// the Lyapunov Method and its applications. - Novosibirsk: Nauka, 1984. - P. 87-93,

10. Persidsky S. K., Stepanov A. V.

On the application of an arbitrary

high order as Lyapunov functions // Dynamical system. - 1988. - №7. -P. 89-95.

Information about authors:

Stepanov Andrey Valerievich -Doctor of Technical Sciences, Professor, The Head of System analysis and informatization department of Academy of Life and Environmental Sciences FSAEI HE «V. I. Vernadsky Crimean Federal University», e-mail: abc17101@ yandex.ru, 295492, Republic of Crimea, Simferopol, Agrarnoe.