CC BY
16
KW**, ä=m*(T)x
, va(ß)
(3.8)
системе
j , _»*
dy>je) df\x,u,v, 0)
¿(9
(3.9)
с начальным условием
(4.0)
Из условия минимакса при наличии седловой точки [ 2 ] следует выполнение неравенств путем введения функции определяемой следующими равенствами:
F (у ,z ) = min[ max U H(x ,й ,v +
y-z «тедФ(х*) "
сдедФ(х )
(4.1)
где щх^^м=(.мв)лв)жв)дт _функ_
ция Гамильтона,
□ кН(х ,и ,V ,у/,в) = Н(х,y,z,y/,9)-H(x,u,v*,у/,в)
функции 'I'"''', как обычно, называются сопряженными функциями, а системы (3.7) и (3.9) сопряженными системами.
F'(y(tl?(t))<0<F'(y(t),z(t))
(4.2)
Так как - ' и - любые допустимые управления, то неравенства (4.2) эквивалентны следующим условиям:
minmax F\y{t),z (0) = max min (j (it),z{t)) = F\u (t),v (t))
у (t )eU z (t)eV z (t )eU J (t )eV
(4.3)
Это условие может быть использовано для проверки оптимальности выбранных управлений, а также для определения оптимальных управлений. В последнем случае необходимо решить уравнения относительно
х(1),1//Г1 (1),у/^ 0Пределяя на каждом шаге процесса
управления 4 ' х ' из условий (4.3). Если полученная таким путем пара управлений будет единственна, то эти управления можно принять в качестве оптимальных. Заключение
В работе специфицирован квазилинейный минимаксный метод для решения нечеткой коалиционной иерархической двухуровневой дифференциальной игры п+1 лиц в условиях сбалансированности нечеткого с-ядра и позиционного равновесия по Нэшу, когда присутствует седловая точка. В плане дальнейших исследований предполагается его специфицировать и применить для решения нечеткой задачи игровой оптимизации дифференци-
£ и
альной игры п+1 лиц на ' " - квазидифференцируемые игры, в том числе и на иерархические игры.
Список литературы
1. Демьянов В.Ф. Рубинов А.М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. - В кн.: Оптимизация и исследование операций. Вып. 23.- М.:« Наука» -1990 -432 с.
2. Гаврилов В. М. Оптимальные процессы в конфликтных ситуациях. 2000.- М.:Сов. радио, 1969, с. 160.
3. Карвовский Г.С., Кузнецов А.Д. Принцип максимума в теории дифференциальных игр N лиц // «Известия АН СССР. Техническая кибернетика» -1966. -№ 6. - С. 13-16.
4. Петросян Л.А. Зенкевич Н.А., Шевкопляс Е.В. Теория игр. СПб « БХВ - Петербург», 2014 - 432 с.
5. Сидоров И.Г. Об одной нечеткой кооперативной линейной дифференциальной двухуровневой диф-фернциальной игре N+1 лиц // VIII Международная научно-практическая конференция: «Отечественная наука в эпоху изменений: постулаты прошлого и теории нового времени». «Национальная ассоциация ученых (НАУ»- 2015, № 3(8), ч. 6, с. 66-69.
6. Хохлов М.Ю. Нечеткие случайные величины и их числовые характеристики // Методы и алгоритмы исследования задач оптимального управления. Тверь, 2000.
К ЗАДАЧЕ О РАСПРОСТРАНЕНИИ СФЕРИЧЕСКОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ В ВОДЕ
Шарый Владимир Александрович
Кандидат физ.-мат.наук, доцент горного университета, г. Санкт-Петербург
Пайков Владимир Иванович
Кандидат физ. -мат. наук, доцент Донецкого Национального университета, г. Донецк
1- ВВЕДЕНИЕ: [1], где авторы предложили нелинейное приближенное ре-
Вопрос о распространении сферической ударной шение задачи в узкой зоне, примыкающей к ударной волны в воде изучался рядом известных авторов: отметим волне.
I а0 , а
Полное решение проблемы требует сопряжения не- ^ = а
линейного решения с линейным решением проблемы. В где 0 этой статье мы будем искать асимптотическое решение за- ственно в покое и в движении; дачи, состоящее из нелинейное решения, сопряженного с линейным решением.
2- ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.
Сделаем те же предположения, что и в статье [1], в частности, что адиабатическое движение описывается уравнением тета:
(1+а);
юкое и в (г, г) = о (г). М (г, г) = О (г).
скорости звука в воде, соответ-
п-1 Р - Р 0
а = ■
Р - Ро = в
{ V \Ро;
-1
(2.1)
где р0 и р соответственно давление и плотность воды в по-
кое и при движении; постоянная п = 7,15
В = 3045
атм;
2 Вп
В области, удалённой от ударной волны, где част-
М(г,г) а(г,г)
ные производные функций 4 ', 4 ' малы, ищется решение системы (3.1), (3.2) в виде асимптотического разложения:
М (г, г, г)=М{ (г, г)+г2 М 2 (г, г)+.
2 '/_ I г I 1-1-
(3.4)
а(г.
(г, г,г) = га1 (г, г )+г2а2 (г, г)+.
(3.3)
£ =
В задаче Р| - Ро
есть
малый
параметр:
Подставляя асимптотическое разложение (3.3), (3.4) в систему уравнений (3.1) - (3.2), получаем:
Вп
,0 < £ <<1 здесь Р1 - давление во
г0 > 0
фронте ударной волны в определенное время 0 ; заметим, что даже при давлениях Р ~ 500 атм, параметр е можно считать малым. Считаем воду идеальной жидкостью. Будем искать асимптотическое решение задачи, которое удовлетворяет следующим условиям:
и > 0
в момент времени
— = Щ(г)
а
имеем г )
(3.5) , (3.6)
а
гп
0 < г < г1 1 .0
, - расстояние до фронта волны в момент и
а ( г )
а - заданная функция.
Умножим уравнение (3.6) на 0 и продифференцируем по переменной г. Результат вычтем из уравнения (2.2) (3.5), предварительно продифференцировав его по переменной ^. Получим
д2М,
дГ
2 д2М, 2 дМ,
аа - 21 +--1
дг г дг
2 М,
• на ударной волне считаем выполненными следующие условия [2]:
Р - Р0
М =■
Вп
(3.7)
с г ^ (
Если , мы получим уравнение плоской
волны. Предполагаем в дальнейшем, что движение воды потенциально, то есть
(2.3)
М = —
V
м=
дф(г,1)
дг
где
(3.8)
п = а,
1 +
п +1
М
(2.4)
где pPlГ, г) -потенциал скорости.
Записывая асимптотическое разложение функции
p{r, г )
с учётом (3.3), имеем
где
волны.
- это скорость распространения ударной р(г, г,г) = га0р1 (г, г)+£2а0р2 (г, г)+.
Р - Р0 _Р~Й0 Отметим, что из (2.1) следует Вп р°
3- ЛИНЕЙНОЕ РЕШЕНИЕ.
Движение воды в области, ограниченной ударной волной, задается системой уравнений [1]
дМ дМ 2а0{\ + а)да
Из формулы (3.8) следует
М,=М
дг М1
(3.9)
(3.10)
(к 0 дг
д 2а 2а
" 1 1 а„М п 1
Ш дг
п-1
0
Подставив значение получим
, ,дМ 2а,(\ + а)М
+ а0(1 + а —+ —-— = »
дг г
(3.1)
(3.2)
д_
дг
д2Р1 а 2 —1— а0 дг2 0
из (3.10) в формулу (3.7),
V
Гд 2Р1 2 р дг2 г дг
V
= 0
(3.11)
Упростив выражение, стоящее в скобках в равенстве (3.11), имеем
а
0
п
_д_
дг
д2гф1 2 д2гф1
' ап
дг1
дг2
= 0
(3.12)
Хорошо известно, что в полосе шириной 0(е), примыкающей к фронту ударной волны порядок производных от искомых функций составляет 0(1). В этой области
Интегрируя (3.12) и учитывая, что потенциал опре- ищется решение нелинейной системы (3.1), (3.2), удовле-деляется с точностью до аддитивной функции * (1), полу- творяющее условиям на фронте волны (2.3), (2.4).
чаем:
д2 грх _ 2 д2 р
,2 = а0 о 2
дг2
дг2
(3.13)
Классическое волновое уравнение (3.13) имеет общее решение
ф( г,г ) = - ¥ ( г - а0г),
г (3.14)
где ¥ - произвольная функция.
Дифференцируя (3.14) по г, получим выражение
М1 (г, г)
для нахождения 1 :
М1 = 1 ¥ '(г - а0 г)—у ¥ (г - а0г)
г г (3.15)
Подставляя (2.2) в (3.15), получим дифференциаль-
¥(г,г)
ное уравнение для нахождения функции .
¥' -1 ¥ = гц
г (3.16)
Нетрудно видеть, что (3.16) является линейным уравнением, общее решение которого
¥ (г - а0г0 ) = г (с +1 цЛг)
Кроме того, это нелинейное решение должно быть сопряжено с линейным решением (3.19). В этой области ищется асимптотическое решение системы (3.1), (3.2) в виде
М (г, г,г) = гМ1 (д, г') +... (41)
а(г, г,г) = га 1 (д, г')+.... (42)
М1 (д,г') = О(1) а1 (д,г') = О(1)
. (г, г) (д г')
где
В (4.1) и (4.2) переменные соотношением
гд = г -а0г;г' = г.
где
д = 0 (!)
связаны
(4.3)
Подставляя (4.1), (4.2) в систему (3.1), (3.2), с помощью обычного метода малого параметра получаем систему уравнений:
М, =
2а1 п- 1
дМ, п +1 дМ, М,
-L + а0-М,-1 + — = О
й 2 дв г
(3.17)
(4.4). (4.5)
Заметим, что (4.4) хорошо известно в теории корот-В уравнении (3.14) потенциал р(гг) — 0 на ких волн.
Соотношение (4.4) совпадает с главной частью (2.3)
г = а0г
фронте акустической волны 0 ; это даёт начальное на фронте волны. условие F (0) = 0 для вычисления константы С в (3.17). После определения постоянной С и вычисления интеграла
¥ ( г - а0г )
в (3.14) следую-(3.18)
в (3.17) запишем функцию щим образом:
¥(г - а0г) = у/(г - а0г + а0г0),
где функция ^ находится из (3.17). Как следует из (3.10),
М1 (г, г)
(3.14) и (3.18), 14 ' в линейном приближении задается соотношением
М1 = -¥'(г -а0г + а0г0)-"2¥(г -а0г + а0г0)
г г (3.19)
Вычитая почленно (3.5) из (3.6), получим, что вдоль
Уравнение (4.5) эквивалентно уравнениям:
Ж г (33 п +1
ск
а0Мг
г = -аЛ + С
характеристики
(4.6). (4.7)
Система (4.6), (4.7) имеет два общих интеграла
„ _ п +1 ... г
, , С2 =д--а0М 1г 1п —
М1 а0г = С 2 0 1 г0
1 0 1; 0 (4.8)
Используя интегралы (4.8), запишем общее решение уравнения (4.5)
л [М - а V
Л ^ 1 п -1J г (3.20)
Из (3.20) с учётом (3.17) и (3.19) следует, что в диапазоне действия линейного решения справедливо
2а1
М1 а0г = р
(я п+\ Л/Г, г д--а0М1г 1п —
V 2 г0 У
(4.9)
Р
М, -
= О
vг,
п -1
НЕЛИНЕЙНОЕ РЕШЕНИЕ
(3.21)
где - произвольная функция своего аргумента. Нелинейное решение свяжем с линейным решением (3.19) с помощью метода сращивания асимптотических разложений. Согласно этому методу необходимо сначала определить главные части разложений при е ^ 0. Чтобы определить
4
главную часть линейного решения, разложим второй член
г - а0г = гд;д = 0(1)
в (3.19) в ряд Тейлора, где
у(г -а0г + а0г0) = у(а0г0 ) + у'(а0г0 )гд +... у( а0г0 ) = 0
Поэтому главная часть линейного решения вычисляется по следующей формуле:
Мх= — у/'{г- а01 + )
^ (4.10)
Ищем далее главную часть нелинейного решения, вычисляем главную часть нелинейного решения (4,9) при
условии, что переменные г и г фиксированы. Получим: фронта
Мх =— Ф
а0г
г г - а0гл
М1а0г = у' (г - а0г
1 + £-
М11п —
2 1 г
10
+ а0г0)
г=
Заметим что (3.21) для V£J с принятой степе-
2а1
нью точности даёт соотношение
М, =
-1
которое совпа-
0< ^ < г1;
к > 0; к
заданная постоянная.
их
Используя (5.1) в (4.13) и находя затем 1, полу
чим:
а0г
к (г - а0г + а0г0)
\ п+^ г ^
1 + г-к 1п —
2 г
0 У
в точках найденной траектории, используем соотношения (2.3), (2.4) на фронте волны
Л (г - а0г) п +1
Лг
Заменяя в (5.3) (5.2), имеем
= га0
4
-М,
Л (г - а0г)
(5.3)
ее значением, полученным в п +1
Мх
Лг
гк " ' " (г - а0г + а0г0)
^ 1 ^ л
1 п +1,, г
1 + £-& 1п
2 г
V ^ г0 У
(5.4)
Интегрируем (5.4), получаем уравнение траектории
г = апг + С 1 + г
п +1
V £ У (4.11)
Приравнивая главные части (4.10) и (4.11) линейных и нелинейных решений, получим функцию Ф :
ф(5) = у'(£ + а0г0) (412)
Используя соотношение (4.12) в (4.9), получим окончательный вид нелинейного решения
С > N
п +1 „ л г
к 1п--а0г0
2 гп 00
где
С
(5.5)
г = г г = г ляется из условия 1 при 0
константа интегрирования, которая опреде-
при г
С = г
Вычисления дают 1 .
Подставляя (5.5) в (5.2), получаем значение М (а
следовательно, и Р - смотри (2.3)) на фронте ударной волны
М,
(4.13)
кг
дает с аналогичным соотношением (4.4) для области нелинейного решения. Это означает, что после того как
М1 (г, г) ыЛд, г)
линейное и нелинейное решения 1 и 1
а1( г, г) а1 (д, г)
сопряжены, решения ' и 14 ' окажутся авто-
матически сопряжены.
5- АСИМПТОТИЧЕСКОН ПОВЕДЕНИЕ
СФЕРИЧЕСКОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ:
Далее полагаем, что функция у в (4.13) является линейной
у '( 5 ) = Ь
(5.1)
(5.2)
Для получения дифференциального уравнения тра-
М1 (г, г)
ектории фронта волны и определения функции 1
1 1 п + и г а0\ 1 + £к^1п -
V 2 г0 (5.6)
,. п /• и,,1
При больших 1 ^ и из (5.5) следует, что .
Это соотношение и формула (2.3) позволяют преобразовать (5.6) к виду
^ гл/1пг (57)
где С > 0 некоторая константа, полученная из по- С
стоянной .
Уравнение (5.7) описывает асимптотическое поведение давления Р во фронте волны при больших значениях г. В этой формуле легко узнать закон Ландау затухания сферической ударной волны. Следует отметить, что это соотношение было получено другим приближенным методом в [1]. Отметим, что в работе нелинейное решение проблемы сопрягается с линейным решением, что на наш взгляд не фигурирует в научной литературе.
Список литературы
1. Гриб А.А., Медведева Н.С. «Затухание ударной волны в воде» Вестник ленинградского университета; 1964 №19
2. Гриб А.А., Шарый В.А. «Распространение ударной волны в водоёме с наклонным дном» Вестник ленинградского университета; 1974 №13
3. Гриб А.А., Рыжов О.С., Христянович С.А. «Теория коротких волн» Прикладная математика и механика; 1960 №1 163-174
п
