CC BY
13V inf (СкФК; x) - ФЫ) > -K, V inf (ф(йга) - CkФ(Ь„; x)) > -K,
^—' an<x<bn L—' an<x<bn
n n
Y^ sup (Cfy(an; x) - ФМ) <K и Y^ SUP (Ф(М - Cfy(bn; x)) < K,
; x) - ф(а,п)) <K и Y sup (^(&n) - Cj:p(bn] x)
n ' a„<x<b„ n a„<x<b„
где К не зависит от системы интервалов. По теореме 3 из [1] получаем, что ф'а_р(х) ^ C^Dip(x) ^ f(x) ^ Cj:D4>(x) ^ Ф^р(ж) Для почти всех х G Qo, по функции ф и Ф имеют ограниченную вариацию на Qo, и, следовательно, ф'ар и Ф^р, а вместе с ни ми и / суммируемы на Qo-
Пусть теперь {(cn,dn)}n есть смежные интервалы множества Qo и Fn(x) = С /(t) dt. Тогда при cn < x <dn имеем
откуда
rx rx
CkkF(cn]x)-F(cn) = ^rl = ^ / Vï{^{m-4cn))dt + 4>{cn)-
Jcn Jcn
J Cn
> (сТФ(сп; x) - ФЫ) - ((Ф - Ф№п) - (ф - Ф)(^)), V inf (cm F (cn; x) - F (cn)) > -K - [Ф(Ь) - ф(Ь)] > -ж.
L—' cn<x<dn\ J
Из этого и трех аналогичных соотношений уже легко получить, что
У] sup \CkkF (cn ; x) - F (cn) \ < ж, Y sup \Cjk^F (dn ; x) - F (dn)\ < ж,
cn<x<dn n cn<x<dn
и, следовательно, по теореме 2 функция / интегрируема на [inf Qo, sup Qo], что противоречит выбору Qo-Теорема доказана.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-01-00417) и программы "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ-3682.2014.1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дергачёв A.B. Обобщенные производные и интегралы типа Чезаро-Перрона. I // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. № 2. 14-25.
2. Сакс С. Теория интеграла. М.: ИЛ, 1949.
3. Burkill J. С. The Cesàro-Perron scale of integration // Proc. London Math. Soc. (2). 1935. 39, N 7. 541-552.
4. Sargent W.L.C. On the Cesàro derivates of a function // Proc. London Math. Soc. (2). 1935. 40, N 3, 4. 235-254.
5. Verblunsky S. On a descriptive definition of Cesàro-Perron integrals //J. London Math. Soc. 1971. 3. 326-333.
6. Скворцов В.А. Некоторые свойства CP-интеграла // Матем. сб. 1963. 5(47), № 3. 304-324.
7. Дергачёв A.B. Некоторые свойства чезаровских производных высших порядков // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 3. 3-10.
Поступила в редакцию 30.05.2012
УДК 519.6
К ЗАДАЧЕ О НАГРЕВЕ СТЕРЖНЯ Э. Ю. Ведерникова1, А. А. Корнев2
В работе рассматривается построение управляющих краевых условий для задачи нагрева одномерного стержня до заданной температуры. Представлены две модификации предложенного в работах A.B. Фурсикова метода, позволяющие учитывать ограничения
Ведерникова Эльвира Юрьевна — асп. каф. вычислительной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: elvira.vedernikovaQsocgen.com.
2 Корнев Андрей Алексеевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. вычислительной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kornevQmech.math.msu.su.
на структуру решения и управление. Приводятся результаты расчетов для нагревающих элементов, расположенных как снаружи, так и внутри стержня. Полученные алгоритмы допускают естественное обобщение на широкий класс уравнений, в том числе на нелинейные уравнения типа Навье^Стокса, а также на задачи стабилизации по начальным данным и правой части.
Ключевые слова: численная стабилизация, уравнение теплопроводности.
The construction of control boundary conditions is considered in the paper for the problem of heating a one-dimensional rod up to specified temperature. Two modifications of the method proposed by A. V. Fursikov are presented, these modifications allow us to take into account restrictions posed onto the structure of solution and the construl. Calculation results are presented for heating elements located both outside and inside of the rod. The obtained algorithms admit natural generalizations to a wide class of equations including nonlinear Xavier Stokes type equations and also problems of stabilization by initial data and the right-hand side.
Key words: numerical stabilization, heat equation.
Постановка задачи. Будем считать, что распределение температуры U(T, X) в однородном изотропном тонком стержне длиной Lo с теплоизолированной боковой поверхностью, на торцах которого поддерживаются заданные значения 0(T) = {0i(T), 02(T)}, описывается с требуемой точностью стандартным одномерным уравнением параболического типа
dU и °2U П П(Т X) T - о, X G Q = [0,Lo], U(T)\dn = {0i(T), 02(T)}.
Здесь коэффициент температуропроводности uq = — зависит от коэффициента теплопроводности к,
cp
удельной теплоемкости c и плотности p материала стержня. Рассмотрим следующую задачу: по заданным начальному распределению температуры U(0, X) = A(X) и конечной постоянной температуре Z найти такие управляющие функции 0i;2(T), чтобы величина \\U(T) — Z\\l2(q) стремилась к нулю с наивысшей в некотором смысле скоростью. По сути, в задаче требуется с помощью краевых условий эффективно нагреть (охладить) стержень. При этом будем считать, что на функции U, 0i;2, а также на их производные
Z
постоянной для простоты изложения и полученные далее результаты могут быть обобщены (см. [1]) на случай переменной функции Z (T,X).
Задача о нагреве стержня является известной задачей оптимального управления, и ее решение изложено, например, в книге [2]. В данной работе граничные функции будем строить на основе алгоритма стабилизации по краевым условиям, предложенного и обоснованного на дифференциальном уровне А. В. Фурсиковым [3]. Получаемое в рамках такого подхода управление формально является только квазиоптимальным, однако соответствующий алгоритм и его модификации естественно обобщаются на широкий класс уравнений, в том числе на нелинейные уравнения типа Навье-Стокса, а также на задачи стабилизации по начальным данным и правой части [4-6].
Подробное описание численной реализации метода А. В. Фурсикова для рассматриваемого уравнения можно найти, например, в работах Е.В. Чижонкова [7, 8], поэтому мы будем формулировать только необходимые в дальнейшем результаты.
Сделаем замену Т = Tot, X = —(х — Мтг), U(T, X) = Uou(t, х) с некоторыми Tq,Uo,M > 0 и выпишем
п
постановку задачи в безразмерном виде
du д2 u 2,т2
~dt=ld,l~dx2' U = U<J>X)> Ati = AtoTovr /ь0,
t - 0, x G ш = [Mn, (M + 1)п], (1)
u(t, Mn) = 9i(t), u(t, (M + 1)п) = 02(t).
При этом
и(0,х)\ш = A(X(x))/Uo = a(x), 9(t) = 0(T(t))/Uo, a условие стабилизации принимает вид \\u(t) — z\\L2(M) ^ 0 гДе z = Z/U0.
9(t)
щим образом. Рассмотрим расширенную вспомогательную задачу
дй д ( , ,дй\ , .
г ^ 0, х е ш = [0, (2М + 1)^]; и(г)\дсо = г, (2)
у(х)\ш = т, ^(х)\й/ш > о.
При этом в области ш задачи (1) и (2) совпадают, а в области продолжения ш = ш/ш начальная функция й(0, х) и коэффициент ¡л(х) выбираются специальным образом. Будем считать, что полная система (£г(х), г = 1, 2,...} ортонормальных собственных функций задачи
^ (/-¿^Щ^Р) = -№)> ж е ^ = 0 (3)
упорядочена в соответствии с возрастанием собственных чисел 0 < Xi ^ Лемма 1. Пусть начальное условие для задачи (2) имеет вид
<х
й(0,х) = г + ®&(х), го ^ 0. (4)
i=io+l
Тогда, решение й(г, х) сходится к г щи г и верна оценка,
\\и(г) — г\и2(й) < 5(г) = в-х^\\й(0) — г\и2(й). (5)
Доказательство. Действительно, если начальное условие для задачи (2) тождественно равно г, то решением является постоянная функция г. Следовательно, функция ]г(Ь, х) = (й(г, х) — г) удовлетворяет уравнению (2), нулевым краевым условиям и начальному условию (й(0,х) — г). В этом случае для ]г(Ь,х) методом разделения переменных может быть получена аналитическая формула
те i=io + 1
Отсюда следует требуемая оценка. Лемма доказана.
Замечание. При стандартном построении расширенной задачи (см. [7]) имеем ц(х)\ш = Ц1, в этом
Т ^ ...... / „• \ 2
2 _ / \ ■
случае {¿(ж) = j — sin где r = (2м + 1)тг, А» = [jm+tj
r-------гх
Из леммы 1 следует, что для решения U(t, x) с начальной функцией указанного вида (4) в расширенной области ca выполняется оценка (5). Следовательно, если в задаче стабилизации (1) положить 9(t) = u(t)\doj, то соответствующее таким краевым условиям решение u(x, t) будет совпадать с U(x,t) на с, т.е. удовлетворять условию стабилизации \\u(t) — z\l2(uj) ^ $(t)- Таким образом, для построения управляющих краевых условий 9(t), обеспечивающих стабилизацию решения со скоростью 5(t), достаточно продолжить (если это возможно) начальную функцию a(x) из области с в область С до функции U(0, x) так, чтобы выполнялось условие (4).
a(x) С
сс константой z до функции a(x) Е L2(oa). Во-вторых, зададим подпространство L допустимых смещений
L = {l(x) : l Е L2(Ca), 1\ш = 0} (6)
и будем искать начальную функцию в виде U(0,x) = a(x) + l(x) из условия
(U(0, x) — z) Е H- = span < &(x),i = i0 + 1,i0 +2,... > . (7)
Указанный выбор L означает, что U(0,x)\UJ = a(x), а вложение (7) обеспечивает требуемое представление (4). Однако поправка l(x) Е L определяется из условий (6), (7) неединственным образом. Поэтому важное теоретическое и прикладное значение имеет следующий результат (см. [3]).
Лемма 2. Пусть подпространства L, H- имеют указанны и вид (6), (7). Тогда, для, произвольной функции a(x) Е L2(Ca) решение l(x) Е L задачи
((a(x) + l(x) — z) е h-, I \\l(x)\\b2(ш) ^ inf
принадлежит подпространству функций L0 = span < li(x), i = 1,...,io >, где
0, x £ ш;
li(x) I ii(x),x £ ш, i = l,...,io.
При этом коэффициенты в разложении l(x) = i= 1 Сli(x) могут быт найдены, из условий ортогональности (a(x) + l(x) — z, п) = 0 i = 1,...,i0; где
H- = span < ni(x), i = 1,...,i0 >L H- . (8)
Замечание. Для рассматриваемой задачи (2) система {{i} ортонормальна, следовательно, можно выбрать ni(x) = (x). В общем случае для нахождения ni(x) достаточно решить сопряженную к (3) задачу на собственные значения.
Еще раз подчеркнем, что описанный алгоритм на дифференциальном уровне предложен и обоснован A.B. Фурсиковым (в том числе для уравнений Навье-Стокса, см. [3]), его численная реализация для уравнения типа теплопроводности подробно исследована Е. В. Чижонковым (см. [7]), а обобщение соответствующих результатов на нелинейные задачи и на случай траектории изложено в [1]. При этом результаты расчетов показали, что данный подход является весьма эффективным для различных задач, однако имеет следующую особенность. Так как с увеличением io растет значение показателя Yo в оцепке ö(t) ^ Ce-Y01, то из леммы 2 формально следует алгоритм построения оптимального в некотором смысле начального условия вида (4), обеспечивающего требуемую скорость асимптотической стабилизации. Однако при увеличении io также растет норма по правки l(x) и как следствие начальная ошибка C = ||й(0) — z\\l2 (ш)-В результате ошибка стабилизации ö(t) существенно дискретно зависит от io, и к заданному моменту времени ti величина ö(ti) может как уменьшиться, так и увеличиться. Основным определяющим фактором скорости роста нормы поправки ^зависимости от величины io является угол между подпространствами Lo и H— А так как его величина стремится к нулю при увеличении io, то норма ||l||c стремится к бесконечности. При этом (см. [7]) для больших значений io задача построения l(x) из условий (6), (7) численно неустойчива. Таким образом, значительный интерес представляют модификации метода, позволяющие плавно изменять величины Yo, ö(t) и получаемое в итоге управление ö(t).
Построение гладкого базиса. Согласно лемме 2, рассмотренный алгоритм продолжения обеспечивает оптимальность построенной поправки в пространстве Ь2(ш). Найденная в результате функция ü(0, x) обычно существенно разрывна, поэтому полученное управление Oiß(t) имеет большую производную.
Для построения непрерывной функции ü(0, x) и как следствие более плавного управления 9(t) модифицируем алгоритм следующим образом. Непрерывно продолжим начальное условие a(x) из области ш в область ш до функции a(x) так, чтобы а\дш = z. Выберем некоторое целое m ^ 1 и зададим подпространство допустимых смещений Lm = span < li(x), i = 1,...,io > в виде
li(x) = ( 0 / £ Ш; (9)
\ Aq mii(x), x £ ш, У>
где функция ^i(x) = a-m^i(x) по определению является решением следующей задачи:
d24>i
dx2
= Ci(x), x £ ш, ф^дш = 0.
Далее найдем поправку 1(х) из условия (7). Из-за указанного выбора подпространства Ст меняется структура 1(х) и обычно для 1 ^ т ^ 5 уменьшаются нормы функции управления и ее производной (хотя при этом увеличивается погрешность стабилизации 5(Ь\) к фиксированному моменту времени ¿1). Подробное исследование численных эффектов для т = 1 можно найти в работе [8].
Отметим, что плавное увеличение асимптотической скорости стабилизации можно обеспечить за счет увеличения размера области продолжения ш, т.е. за счет параметра М (подробнее см. также [7, 8]).
Анизотропное продолжение. Выбор гладкого базиса Ст и изменение параметра М во многих случаях позволяет найти управление с требуемыми свойствами. Однако для некоторых задач область расширения Ш имеет малый размер и не может быть увеличена по условию. В этом случае параметр продолжения М ограничен, а переход к базису Ст обычно не дает существенного улучшения. Для подобных задач сглаживающий эффект можно обеспечить за счет изменения параметров уравнения в области Ш, например за счет уменьшения коэффициента ц(х)\ш, что приведет к замедлению скорости распространения тепла.
В качестве примера рассмотрим задачу о нагреве по внутренней подобласти. Пусть в центральной части однородного изотропного тонкого стержня длиной Ьо с теплоизолированными боковой поверхностью и торцами имеется нагревательный элемент длиной Ь1. В этом случае процесс распространения тепла может быть описан следующей системой:
( dU_
дТ
№
д2и дх2'
U = U (T,X),
Q = [0, Lo], q = [(Lo - Li)/2, (Lo + Ll)/2\; T ^ 0, X G Q = Q/q, д
K = 0, U(T)\dù = {в!(Т), в2(Т)}.
(10)
Требуется по заданному начальному распределению температуры U(0, X) = A(X) и конечной постоянной температуре Z найти такие управляющие функции Qi,2(T), чтобы величина \\U(T) — Z||l2(q) стремилась
к нулю. Сделаем замену Т = Tot, X = —х, U(T,X) = UoU,(t,x) с некоторыми То, f/о > 0 и выпишем
п
безразмерную постановку задачи
— (ф) —
дх V дх
u = u(t,x), ß(x) = 1Л\ = ß0T0п /L0
' du ~dt
Ù!o = [0,п], ш = [(/o - li)/2, (lo + li)/2)], lo = n,li = nLi/Lo, t ^ 0,x G ш = ш/ш, ux(t, 0) = ux(t,n)=0, { u(t, (lo - li)/2) = di(t), u(t, (lo + li)/2) = 92(t).
(11)
Здесь u(0,x) = A(X(x))/U0 = a(x), d(t) = @(T(t))/U0, a условие стабилизации имеет вид \\u(t) — z\\L2(M) ^ 0, где z = Z/Uq. В соответствии с рассмотренным алгоритмом для нахождения управляющих краевых условий расширим задачу (11) на область ш. Для этого продолжим a(x), ц,(x) го области ш в область ш и найдем первые io собственных функций задачи типа (3) для ш = [0,^] и краевых уеловий ux(t, 0) = ux(t,n) = 0. Далее определим подпространство L = Lm допустимых смещений в виде (9) и будем искать начальную функцию для расширенной задачи u(0,x) = a(x) + l(x) из условия (8). Так как область ш имеет малый размер, то угол между подпространствами Lm и H- близок к нулю. Как следствие в случае изотропного продолжения n(x)\^ = функции l(x) функция 9(t) и ее производная имеют большую С-норму.
Для повышения гладкости управляющей функции в (t) положи м n(x)\^ = < Уменьшив значение коэффициента Цх, мы формадьно замедлим скорость распространения тепла в области ш, что приведет к изменению структуры подпространства L и уменьшению максимадьных значений функции e(t) и ее производной.
Однако следует отметить, что малый коэффициент Дх, оказывая положительный сглаживающий эффект на начальном временном отрезке стабилизации t G [0,to], в дальнейшем при t G [to,t\] излишне замедляет процесс стабилизации. Поэтому при численных расчетах можно применять следующий комбинированный подход: в момент времени t = to расширенная задача для уравнения (11) решается повторно для полученной функции a(x) = u(to,x) и некоторого выбранного коэффициента Д^)\& ^ Д(x)\ш. В результате обеспечивается гладкость функции управления на первом этапе и высокая скорость стабилизации в дальнейшем.
Для построения гладкого граничного управления также можно применить метод, предложенный в работе [1] для решения задач стабилизации по правой части с ограничениями типа квадратичных неравенств. Для этого, как и в [1], необходимо сформулировать и решить обобщенную задачу типа наименьших
Таблица 1
№ «0 m Mi/Vo То Ö m ах де
1 _ _ _ 360 30 30
2 3 1 1 СО 30 8
3 5 1 1 205 44 21
4 5 5 1 218 40 12
5 7 1 1 135 69 46
6 7 5 1 144 58 25
7 И 5 1 81 129 89
8 И 5 1/2 126 68 34
9 И 5 1/4 189 45 14
квадратов относительно коэффициентов поправки l(x). В рамках данного подхода удается учесть ограничение на ¿2-норму функции l(x).
Численные результаты. Приведем результаты численных расчетов по нагреву медного стержня длиной 0, 3 м с коэффициентом температуропроводности до = 1,1 ■ 10_4м2/с на 30° С с точностью не ниже 0, 5o C для различных значений параметров го, m и Расчеты проводились по чисто неявной по времени разностной схеме с шагом, соответствующим 1/120с. По пространству использовалась стандартная аппроксимация второго порядка на равномерной сетке с ша-
гом, соответствующим 10_1мм. Основная цель численных Таблица 2
экспериментов показать возможности предложенного подхода и найти семейство управляющих функций, обеспечивающих решение указанных задач о нагреве в некотором диапазоне ограничений.
В табл. 1 для случая М = 2 и указанных значений параметров ¿о, т, Д1 приведены результаты расчетов по решению задачи о нагреве с внешней границы. В столбце То приводится время стабилизации с указанной точностью, столбец 9тах содержит максимальную температуру полученного режима нагрева, АО — величину приращения температуры за первую секунду. Таблица 2 содержит результаты расчетов по решению задачи о нагреве с внутренней границы для Ь1/Ьо = 5] столбец 5О содержит величину приращения температуры за первую миллисекунду. Варианты расчетов № 1, 10 соответствуют естественному выбору ©1,2(Т) = 30° С, поэтому не требуют решения продолженных задач.
На рис. 1, 2 изображены управляющие функции для указанных номеров строк табл. 1 и 2 соответственно (в силу симметрии задач имеем ©1(Т) = ©2(Т)).
№ го m А«1/7«О To ^max ÖQ
10 234 30 30
11 1 1 1 99 73 11
12 1 3 1 99 73 10
13 1 3 20 92 113 38
14 3 1 1 30 1360 1360
15 3 3 1 30 1270 847
16 3 5 1 30 1260 827
17 3 3 1/2 35 550 157
18 3 3 1/5 49 202 31
19 3 3 1/10 63 109 12
20 3 3 1/20 128 75 6
Рис. 1. Вид управляющих функций для задачи о внешнем нагреве
Рис. 2. Вид управляющих функций для задачи о внутреннем нагреве
Заключение. В работе показано, что предложенные модификации алгоритма стабилизации по краевым условиям благодаря введению дополнительных параметров коэффициента температуропроводности ц(х)\ш в области продолжения и степени гладкости т подпространства допустимых смещений Ст — позволяют строить семейства функций управления и находить граничные условия с учетом ограничений. Еще раз отметим, что в рамках указанного подхода построенное управление является только квазиоптимальным, однако полученные результаты очевидным образом переносятся на алгоритмы стабилизации по краевым условиям, правой части, начальным данным для широкого класса нелинейных уравнений [1, 3 8].
Работа выполнена при финанасовой поддержке гранта РФФИ № 12 01 00960.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Корпев A.A. Метод асимптотической стабилизации по начальным данным к заданной траектории // Жури, вычисл. матем. и матем. физ. 2006. 46, № 1. 37 51.
2. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.
3. Fursikov А. V. Stabilizability of two-dimensional Navier Stokes equations with help of boundary feedback control // J. Math. Fluid Mech. 2001. 3. 259 301.
4. Kornea A.A. Numerical aspects of a problem asymptotic stabilization by the right-hand side // Russ. J. Nunier. Anal. Math. Modelling. 2008. 23, N 4. 407 422.
5. Ивапчиков A.A., Корпев A.A., Озерицкий A.B. О новом подходе к решению задач асимптотической стабилизации // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. 49, № 12. 2167 2181.
6. Fursikov А. V., Kornea A.A. Feedback stabilization for Navier Stokes equations: Theory and calculations // Mathematical Aspects of Fluid Mechanics. Lect. Notes Ser. Cambridge: Cambridge University Press, 2012. 130 172.
7. Chizhonkov E. V. Numerical aspects of one stabilization method // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2003. 18, N 5. 363-376.
8. Чижонков E.B. Об операторах проектирования для численной стабилизации // Вычисл. методы и програм. 2004. №5. 161-169.
Поступила в редакцию 07.09.2012
УДК 519.21
МАКСИМИЗАЦИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ПОЛЕЗНОСТИ В ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ЛЕВИ
М.Ю. Иванов1
В статье исследуются задачи максимизации логарифмической полезности и поиска эталонного портфеля в экспоненциальной модели Леви в терминах триплета . Ieisii Хинчина.
Ключевые слова: эквивалентная мартингальная мера, эквивалентная ст-мартингальная плотность, эталонный портфель, логарифмическая полезность, экспоненциальная модель Леви.
The problems of logarithmic utility maximization and finding the numéraire portfolio in an exponential Lévy model are studied in the paper in terms of Lévy-Khinchin triplet.
Key words: equivalent martingale measure, equivalent ст-martingale density, numéraire portfolio, logarithmic utility, exponential Lévy model.
1. Введение. В современной финансовой математике широкое распространение получила задача, в которой агент на финансовом рынке пытается с помощью инвестиций максимизировать ожидаемую полезность своего портфеля в конечный момент времени. Для случая полных рынков, когда множество мартингальных мер состоит из одной единственной меры, задача решена, в частности, в работе [1]. В работе Д. Крамкова и В. Шахермайера [2] рассмотрен вопрос максимизации ожидаемой полезности в общей модели неполных рынков, где цены активов являются семимартингалами. Исходная проблема решается с помощью двойственной задачи, где минимум берется по множеству супермартингальных плотностей, а не только мартингальных мер.
Одной из наиболее часто рассматриваемых функций полезности является логарифмическая. В этом случае оптимальный процесс капитала X * и решение двойственной задачи Y * связаны соотношением
X*Y* = 1. Таким образом, процесс 1/X* является супермартингальной плотностью; более того, он одно-
X*
портфелем, может существовать и в том случае, когда ожидаемая логарифмическая полезность равна +œ>. Эти и другие свойства эталонного портфеля в общей семимартингальной модели рынка были исследованы в работе [3].
Среди конкретных семимартингальных моделей рынка к наиболее распространенным можно отнести экспоненциальную модель Леви. Различные аспекты задачи максимизации полезности в этой модели рассматривались, например, в работах [4] и [5]. Задача максимизации логарифмической полезности для экспоненциальной модели Леви в предположении, что логарифмы процесса цен имеют неограниченно большие как положительные, так и отрицательные скачки, решена с помощью двойственного метода в работе Т. Р. Хёрда [6].
Цель настоящей работы состоит в более детальном изучении задачи максимизации логарифмической полезности и нахождении эталонного портфеля в экспоненциальной модели Леви. А именно все возможные случаи исследуются в терминах триплета Леви-Хинчина: приводятся условия, однозначно определяющие, задает ли решение двойственной задачи эквивалентную мартингальную меру, является ли оно мартингалом или супермартингалом.
2. Постановка задачи и основной результат. Введем модель семимартингального рынка с одним активом, следуя известным работам [2, 7, 8]. На вероятностном пространстве (Q, F, F,P), где фильтрация
1 Иванов Михаил Юрьевич — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: m_y_ivanov@mail.ru.
