CC BY
19
УДК 517:519.8 И.Г. Вовк
СГГА, Новосибирск
К ВОПРОСУ ВЫБОРА ОПТИМАЛЬНОГО ВАРИАНТА РАЗВИТИЯ СИСТЕМ
Изучение, управление и проектирование больших и сложных систем получает всё более широкое распространение в различных областях человеческой деятельности. При этом всегда имеется множество вариантов решения (достижения цели), отличающихся между собой ресурсами необходимыми для их реализации и условиями реализации. Из этого множества требуется выбрать наиболее приемлемый (полезный, оптимальный) с точки зрения Лица Принимающего Решение вариант. Полезность выбора каждого варианта оценивается мерой его соответствия целям (критериям) выбора. Функцию, которая позволяет оценить полезность вариантов, называют целевой функцией. Если полезность оценивается по одному критерию, то целевую функцию называют однокритериальной, а если по многим критериям, то - многокритериальной. Наиболее простым является случай, когда целевая функция однокритериальная. Тогда для лучшего варианта она принимает экстремальное (минимальное или максимальное) значение. Но в задачах выбора оптимального варианта развития систем целевая функция, как правило, многокритериальная.
Задачу выбора оптимального варианта можно решать, разделив её на шаги и оптимизируя по шагам. Такой метод решения (метод динамического программирования) предложил американский математик Р. Беллман. /1/. Геометрическая интерпретация задачи динамического программирования приведена на рис. 1.
Рис. 1. Геометрическая интерпретация задачи динамического
программирования
На этом рисунке £0 - начальное состояние системы, 8„ - состояние системы после выполнения п шагов оптимизации, £ - линия представляющая геометрический образ оптимального варианта развития системы.
Траекторий перехода системы из состояния £0 в состояние 8п множество. Из этого множества выбирают конечное подмножество вариантов и делят их на конечное число шагов (этапов) реализации. В результате получают представление вариантов развития системы в виде графа, как это показано на рис. 2.
Рис. 2. Граф вариантов изменения состояния системы
На этом рисунке этапы вариантов развития системы изображаются вершинами графа, а возможные пути перехода - дугами графа. Значения однокритериальной целевой функции представлены в виде числовой функции на дугах графа.
Задачу выбора оптимального состояния системы теперь можно сформулировать следующим образом: найти такой вариант изменения состояния системы, который доставляет экстремум (максимум или минимум) целевой функции, заданной на дугах графа. Это типичная задача динамического программирования, алгоритм решения которой достаточно известен /1/. Для приведённого на рис. 1 графа максимальный путь проходит через вершины ЛСББО и его длина равна 29, а минимальный путь - через вершины ЛБОО и его длина равна 6.
Целевая функция в задачах выбора оптимального варианта состояния системы многокритериальная. Поэтому целевую функцию на графе необходимо определить для каждого критерия. Варианты оптимальные по каждому критерию образуют множество конкурирующих вариантов, из которых и необходимо выбрать оптимальный вариант. При этом оптимальные по разным критериям варианты могут не совпадать. Пусть, например, имеется N = 6 вариантов, каждый из которых оценивается по М = 4 критериям и результаты оценки в условных единицах или баллах помещены в матрицу
5 3 2 7 1 Л
И •=
5 7 6 3 2 3 2 7 5 6 2 7 ч3 2 5 3 2 2У
называемую матрицей конкурирующих вариантов. Каждый элемент и, в этой матрице - оценка полезности варианта с номером у (у =1,2,... по критерию с номером 1 (1 = 1,2,.. ,,М).
Пусть для определённости требуется найти вариант, доставляющий максимум по всем критериям. В данном примере нет такого варианта. По первому критерию это пятый вариант, по второму - второй, по третьему -второй и шестой, по четвёртому - третий. Вариант оптимальный по одному критерию не является оптимальным по другим критериям. Спрашивается, какой вариант следует считать оптимальным?
Из такой ситуации существует только два неформальных выхода. Первый основан на построении обобщённого критерия, как некоторой функции частных критериев, и решению после этого однокритериальной задачи /1/, и второй, основанный на известных методах неформальной, эвристической оптимизации. Однако прежде чем применять эти методы, необходимо убедиться, что среди сравниваемых вариантов нет доминирующих, т.е. таких, которые по всем критериям не хуже хотя бы одного из других вариантов. В нашем примере второй вариант доминирует шестой вариант. Следовательно, этот вариант (шестой) из дальнейшего анализа можно исключить, так как он заведомо хуже второго варианта. Оставшиеся варианты составляют так называемое множество Парето оптимальных вариантов /2/. Только среди этих вариантов и нужно искать оптимальный. Если Парето оптимальное множество вариантов состоит из единственного элемента, то это и есть оптимальный вариант и задача оптимального выбора решена. Если же в Парето оптимальном множестве вариантов более одного элемента, то необходимо продолжить поиск оптимального варианта среди вариантов, составляющих это множество. Формальных методов нахождения оптимального варианта в Парето оптимальном множестве не существует.
Эвристические методы основаны на выдвижении различных гипотез оптимальности, основанных на интуиции и опыте людей и позволяющих после этого уже с помощью формальных процедур выбирать оптимальный вариант. Гипотезы оптимальности формулируют, определяя на множестве критериев функцию предпочтения критериев. Наиболее распространёнными являются гипотезы Лапласа, Вальда, Гурвица или Сэвиджа /1/. Однако результаты такой оптимизации субъективны и зависят от выбранной гипотезы оптимальности.
Нередко критерии рассматривают как случайные события, составляющие полную группу, и функция предпочтения не формально (например, на основании экспертных оценок) задаётся распределением вероятности предпочтения критериев. Это позволяет оценить ожидаемую полезность каждого варианта (как математическое ожидание полезности) и выбрать наиболее полезный вариант. При этом имеется возможность оценить потенциальный ущерб (риск), обусловленный выбором варианта.
Изложенные обстоятельства позволяют выполнить декомпозицию задачи оценки и выбора оптимального варианта развития системы и представить следующий алгоритм её решения.
1. Составить модель вариантов в виде графа.
2. Определить критерии, по которым оценивается полезность вариантов.
3. Для каждого критерия определить список оптимальных вариантов (решить задачу динамического программирования).
4. Составить матрицу конкурирующих вариантов.
5. Найти Парето оптимальное множество вариантов.
6. Сформулировать гипотезы для выбора оптимального варианта.
7. Выбрать оптимальный вариант.
Практическая реализация каждого пункта предложенного алгоритма представляет самостоятельную задачу, без решения которой обоснованно выбрать оптимальный вариант трассы невозможно.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Вентцель Е.С. Исследование операций / Е.С. Вентцель - М.: Сов. Радио, 1972. -
522 с.
2. Перегудов Ф.И. Основы системного анализа: учебник / Ф.И. Перегудов, Ф.П. Тарасенко. - 2-е изд., доп. - Томск: Изд-во НТЛ, 1997. - 396 с.: ил.
© И.Г. Вовк, 2007
