CC BY
825
УДК 681.3
МЕТОДЫ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОЦЕНКИ
О.Ю. Макаров, В.В. Цветков
Рассматриваются используемые методы многокритериальной оценки параметров. Проводится анализ традиционных методов многокритериальной оценки и безусловных критериев предпочтения
Ключевые слова: многокомпонентные системы, многокритериальная оптимизация
При разработке современных многокомпонентных систем подавляющее количество составляющих этих систем необходимо оценивать несколькими параметрами, характеризующими важные, с точки зрения лица принимающего решение, характеристики этих компонентов или частей. Иначе говоря, существуют т показателей качества этих составляющих, по которым необходимо выбрать лучший экземпляр.
Рассматривается задача многокритериальной оптимизации вида /(х) ^ max, / :В ^ Я, 1 = 1,...,т;В с Ят (1)
1 хеВ 1
Таким образом, предполагается, что задано т функций или функционалов /¡, отображающих множество В «-мерных векторов х=(хг, х„) во множество вещественных чисел Я. Здесь предполагается, что выбор оптимальных значений х производится не во всем «-мерном пространстве Ят, а лишь в пределах некоторого его подмножества D. Например, можно интерпретировать (1) как задачу оптимального выбора параметров х1г ..., х„, некоторой системы (например, подсистемы отображения информации системы видеонаблюдения некоторой интегральной системы безопасности), качество которой оценивается показателями.
В этом случае ограничение х е В отражает технологические и иные возможности реализации тех или иных значений хг-.
Кроме того, часть ограничений может формироваться на основе имеющейся априорной информации, позволяющей исключить из рассмотрения заведомо неудачные варианты х^ .
Рассмотрим традиционные методы многокритериальной оптимизации, сводящие процесс многокритериального выбора (1) к некоторому однокритериальному отбору.
Метод главного критерия. В методе главного критерия в качестве целевой функции выбирается один из функционалов fn, например fi, наиболее полно с точки зрения разработчика отражающий цель принятия решения. Остальные требования к результату, описываемые функционалами f2, f3, fn учитывают-
ся с помощью введения необходимых дополнительных ограничений. Таким образом, вместо задачи (1) решается другая, уже однокритериальная задача вида
f (x) ^ max, f: D c D с Rn;
D = {x є D/ f (x) > ti,i = 2,...,m}
(2)
Формально получается более простую задачу поиска максимума функционала на новом допустимом множестве В'. Добавились ограничения вида /і(х)>ґі показывающие, что разработчик может не добиваться максимальных значений для функционалов /2, /„ сохраняя
требование их ограниченности снизу на приемлемых уровнях. Важно понимать, что переход от задачи (1) к задаче (2) вовсе не есть переход от одной эквивалентной задачи к другой. Произошло существенное изменение исходной постановки задачи, которое в каждой конкретной ситуации требует отдельного обоснования, так как возможны трудности, связанные с возможным наличием нескольких «главных» критериев, находящихся в противоречии друг с другом. Кроме того, не всегда ясен алгоритм выбора
Макаров Олег Юрьевич - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. 8-910-348-70-32
Цветков Владимир Владимирович - ВИ ФСИН России, преподаватель, E-mail: [email protected]
нижних границ t. Их необоснованное задание может привести, в частности, к пустому множеству D'.
Метод линейной свертки. Это наиболее часто применяемый метод «скаляризации» (свертки) задачи (1), позволяющий заменить векторный критерий оптимальности fn) на скалярный J: D ^ R. Он основан на линейном объединении всех частных целевых функционалов fr,..., fn в один:
т т
J(x) = ^a.f.(x) ^ max;а. > 0,= 1 (3)
i=1 xeD i=1
Весовые коэффициенты а, могут при этом
рассматриваться как показатели относительной значимости отдельных критериальных функционалов f Чем большее значение мы придаем критерию f-., тем больший вклад в сумму (3) он должен давать и, следовательно, тем большее значение ее, должно быть выбрано. При наличии существенно разнохарактерных частных критериев обычно бывает достаточно сложно указать окончательный набор коэффициентов а. исходя из неформальных соображений, связанных, как правило, с результатами экспертного анализа.
Метод максиминной свертки. Обычно применяется в форме
J (x) = min f (x) ^ max
xeD
Здесь, в отличие от метода линейной свертки, на целевой функционал J(x) оказывает влияние только тот частный критерий оптимальности, которому в данной точке х соответствует наименьшее значение соответствующей функции fi(x). И если в случае метода линейной свертки, возможны неудовлетворяющие значения некоторых параметров за счет достаточно высоких значений остальных целевых функционалов, то в случае максиминного критерия производится расчет "на наихудший случай", и по значению J(x) можем определить гарантированную нижнюю оценку для всех функционалов f(x). Этот факт расценивается как преимущество максиминного критерия перед методом линейной свертки.
При необходимости нормировки отдельных частых целевых функционалов, т.е. приведение во взаимное соответствие масштабов измерения значений отдельных функционалов fi(x), используется следующая форма максиминного критерия:
J(x) = min aifi (x) ^ max (4)
i xeD
где весовые коэффициенты а,, удовлетворяют требованиям (3).
Подбирая различные значения а, , можно определенным образом воздействовать на процесс оптимизации, используя имеющуюся априорную информацию.
Из вышесказанного видно, что ни один из методов, представленных выше, не позволяет выделить единственное оптимальное решение.
Важнейшее значение при исследовании задач (1) имеет принцип Парето и связанные с ним понятия эффективного (Парето-оптимального) и слабо эффективного решения.
Многокритериальный выбор. Предположим теперь, что «качество», или «полезность», исхода оценивается не одним числом, а несколькими. Иначе говоря, предполагается, что существует несколько показателей качества решения, описываемых частными целевыми функциями
/к :У ^ Я, к = 1,2,...,т
которые требуется максимизировать либо минимизировать в соответствие с определенной задачей.
В данном методе используются следующие отношения доминирования:
(У,, У,) е ЯР ^ Vk :[/к(у,.) > /к(у,)] А А[/(у,) * / (у,)];
(У,, У,) е Я ^ Vk: [/к(у,) > /к (у,)]
Здесь /=(/1, /2, ■■■, /«). Отношение доминирования ЯР называется отношением Парето, а Ях — отношением Слейтера.
Исходя из вышесказанного определяется, что для некоторой точки у0 е У не существует
более предпочтительной по Парето точки, т. е. такой точки у, что (у, у0) е Яр то тогда точка у0
называется эффективным или Парето-
оптимальным решением многокритериальной задачи
/к(у) ^ тах(тт), к = 1,2,...,т; у е У
Множество, включающее в себя все эффективные элементы множества У, обозначается Р(У) или просто Р(У) и называется множеством Парето для векторного отношения
/ у ^ Ят, / = (/1,/2,...,/«)
Очевидно, Р(У) с У. Множество
Р(/)=/(Р(У)) называется множеством эффективных оценок. Смысл введенного понятия эффек-
тивного решения состоит в том, что оптимальный исход следует искать только среди элементов множества недоминируемых элементов Р(У) (принцип Парето). В противном случае всегда найдется точка у е У, оказывающаяся более
предпочтительной с учетом всех частных целевых функций /(у).
При этом, бинарное отношение ЯР является антирефлексивным, и транзитивным. Отсюда следует, что ЯР — частичный строгий порядок на У.
Обычно цель решения многокритериальной задачи (1, 5) состоит в выделении множества Парето Р(У). При отсутствии дополнительной информации о системе предпочтений пользователя большего сделать нельзя.
Рассмотрим оптимальность отношения по Слейтеру.
Точка у'е У называется слабо эффективным решением многокритериальной задачи, или решением, оптимальным по Слейтеру, если не существует более предпочтительной по Слейтеру точки, т. е. такой точки у, что (у,у') е Иначе говоря, исход «у’» называется слабо эффективным, если он не может быть улучшен сразу по всем т критериям, задаваемым с помощью частных целевых функций (2). Множество слабо эффективных элементов обозначается или просто £(У). Очевидно, £ (У) с У, Я(У) с £ (У).
Введение понятия слабо эффективного решения вызвано, в частности, тем, что в результате многокритериальной оптимизации часто получаются именно эти решения, представляющие, вообще говоря, меньший интерес, чем эффективные решения.
Точно так же, как и в однокритериальных задачах выбора, цель решения многокритери-
альной задачи может быть сформулирована как задача построения ядра отношения доминирования ЯР (отношения Парето).
Таким образом, задание целевых функций для оценки качества исходов, в случае многокритериального выбора, может порождать различные системы предпочтений, выраженные на языке бинарных отношений. При этом задача построения ядра оказывается эквивалентной либо задаче построения множества максимизаторов скалярной целевой функции, либо задаче построения множества Парето для векторной целевой функции.
Решения, соответствующие различным наборам весовых коэффициентов, являются равноправными элементами множеств эффективных и слабо эффективных решений, ядра соответствующих бинарных отношении (отношений Парето и отношений Слейтера), т.е. и являются искомыми решениями. Однако с практической точки, а также в системах автоматизированного проектирования часто требуется выбрать единственное решение. Для этого должна привлекаться некоторая дополнительная информация о предпочтениях лица, принимающего решения. Принцип Парето в том смысле позволяет лишь максимально сузить класс возможных претендентов на решение и исключить из рассмотрения заведомо неконкурентоспособные варианты.
Литература
1. Подиновский В.В,, Ногин В.Д, Парето-оптимальные решения многокритериальных задач, М.: Наука, 1982. -256с.
2. Черноруцкий И.Г. Методы принятия решения. -СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 416 с.: с ил.
3. Черноруцкий И.Г. Методы оптимизации и принятия решения. - СПб.: Лань, 2001. 416 с.
Воронежский государственный технический университет
Воронежский институт Федеральной службы исполнения и наказания России
METHODS MULTI-CRITERIA ESTIMATIONS
O.J. Makarov, V.V. Tsvetkov
Used methods multi-criteria estimations of parameters are considered. The analysis of traditional methods multicriteria an estimation and unconditional criteria of preference is carried out.
Key words: multicomponent systems, multi-criteria optimization
