Проблемы многокритериальной оптимизации Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аванский С.М.

ПРОБЛЕМЫ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Задача принятия решений (ПР) возникает, когда присутствует несколько вариантов действий (альтернатив) для достижения заданного или желаемого результата. При этом требуется выбрать наилучшую в определенном смысле альтернативу. При комплексном проектировании автоматизированных обучающих систем количество локальных подзадач может быть весьма значительным, а локальные критерии (точность, быстродействие, стоимость, экономическая эффективность, усвояемость и др.) противоречат друг другу. В этих условиях понятие «оптимальное решение задачи управления» теряет смысл и приемлемым решением может

считаться лишь разумный компромисс («Парето - оптимальное» или «эффективное» решение).

Подобная задача возникает при выборе вариантов обучения в автоматизированных обучающих системах. При рассмотрении матрицы связей возникает множество вариантов ее прохождения. Общую постановку задачи принятия решений, понимаемой нами как задача выбора из некоторого множества, можно сформулировать следующим образом.

Пусть Х - множество альтернатив, Y - множество возможных последствий (исходов, результатов). (В

нашем случае X - это альтернатива стратегии обучения, Y - вероятностный результат обучения.) Существует причинная связь между выбором некоторой альтернативы Xiе X и наступлением соответствующего исхода yiе Y. Кроме того существует наличие механизма оценки качества такого выбора - это опытно-экспериментальное исследование качества функционирования примененного многокритериального выбора. Требуется выбрать наилучшую альтернативу, для которой соответствующий исход имеет наилучшую оценку.

Многокритериальность реальных задач обучения состоит в том, что преподавателю необходимо оптимизировать управляемую им систему сразу по нескольким критериям. Например, с большой скоростью полностью выучить предмет. Ясно, что этого невозможно достичь (имеется в виду обучение

среднестатистического человека, не гения). За короткий промежуток времени можно только ознакомиться с учебным материалом, но не выучить его.

Существует несколько методов решения проблемы многокритериальности.

Метод главного критерия. В качестве целевой функции выбирается один из функционалов f±, например идеальное знание предмета fi. Остальные требования к результату, описываемые функционалами fi... fm, учитываются с помощью введения необходимых дополнительных ограничений. Таким образом, получаем однокритериальную задачу вида:

f (x) ^ max;D с D с Rn;

xeD

D = {x e D/f (x) > tt,i = 2,...,m

Формально получили более простую задачу поиска максимума функционала fi на новом допустимым

множестве D . Добавились ограничения вида f(x) >t- , показывающие, что мы согласны не добиваться

максимальных значений для функционалов f2... fm , сохраняя требования их ограниченности снизу на

приемлемых уровнях. Важно понимать, что переход от многокритериальной задаче к однокритериальной, вовсе

не есть переход от одной эквивалентной задачи к другой. Произошло существенное изменение исходной постановки задачи, которое в каждой конкретной ситуации требует отдельного обоснования. Главная проблема данного метода стоит в сложности выбора «главного» критерия из многих.

Метод линейной свертки. Это наиболее часто применяемый метод «скаляризации», позволяющий заменить векторный критерий оптимальности f=(fi,...fm) на скалярный J:D^R . Он основан на линейном объединении всех частных целевых функционалов fi. fm в один:

т т

J(x) = 'S\aifi(x) —» таx;ai > 0,'y\ai = 1.

xeD

=1 1=1

Весовые коэффициенты Xi могут при этом рассматриваться как показатели относительной значимости отдельных критериальных функционалов fi . Чем большее значение мы придаем критерию fi , тем больший вклад он должен давать и, следовательно, тем большее значение X должно быть выбрано. При наличии разнохарактерных частных критериев, как в нашем случае, сложно указать окончательный набор коэффициентов X , исходя из результатов экспертного анализа.

Метод максиминной свертки. Обычно применяется в форме:

J (x) = min f (x) ^ max.

xeD

Здесь, в отличие от метода линейной свертки, на целевой функционал J(x) оказывает влияние только тот частный критерий оптимальности, которому в данной точке х соответствует наименьшее значение функции f(x). И если в случае линейной свертки, возможны «плохие» значения некоторых fi за счет достаточно

«хороших» значений остальных целевых функционалов, то в случае максиминного критерия производится расчет «на наихудший случай», и мы по значению J(x) можем определить гарантированную нижнюю оценку для

всех функционалов f(x). Этот факт расценивается как преимущество максиминного критерия перед методом

линейной свертки.

В нашем случае мы имеем дело с многокритериальным выбором. «Качество» или «полезность» исхода обучения оценивается не одним числом, а несколькими. Существует несколько показателей качества выбора стратегии обучения, описываемых частными целевыми функциями:

f : Y ^R,к = 1,2,...,m,

которые требуется оптимизировать.

Предлагаю для решения данной задачи выбрать отношение Парето:

(y=,y;) еRp : [fk(y=) > fk(y;)]л[f (y=) ф f (y=)];

Множество, включающее в себя все эффективные элементы множества Y, обозначается Pf(Y) или просто P(Y) (если ясно о каком векторном критерии f идет речь) и называется множеством Парето для векторного отношения

f : Y ^Rm, f = (fl,..., fm) .

Очевидно, P(Y) С Y. Образ множества P(Y) в пространстве критериев Rm обозначается P(f) . Множество P(f)=f(P(Y)) называется множеством эффективных оценок или множеством Парето в пространстве критериев.

Смысл введенного понятия эффективного решения состоит в том, что оптимальный исход следует искать только среди элементов множества недоминируемых элементов P(Y) (принцип Парето). В противном случае всегда найдется точка yе Y, оказывающаяся более предпочтительной с учетом всех частных целевых функций

fi(y).

ЛИТЕРАТУРА

1. Айзерман М.А., Алескеров Ф.Т. Выбор вариантов: основы теории. - М.: Наука, 1990.

2. Березовский Б.А., Барышников Ю.М., Борзенко В.И., Кемпнер Л.М. Многокритериальная оптимизация: Математические аспекты. - М.: Наука, 1989.

3. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. - М.: Наука, 1981.

4. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач - М. Наука, Главная редакция физико-математической литературы. 1982.

5. Черноруцкий И.Г. Методы принятия решений - СПб.: БХВ - Петербург, 2005.