CC BY
3
УДК 533.9.01
doi:10.21685/2072-3040-2022-4-4
К вопросу учета в уравнении Кортевега - де Фриза диссипативного слагаемого. Часть II
С. О. Гладков
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), Москва, Россия sglad51@mail.ru
Аннотация. Актуальность и цели. При решении задач, главным действующим лицом которых является нелинейное уравнение Кортевега - де Фриза (КдФ), необходимо понимать, каким образом следует проводить вычисления с учетом диссипативной составляющей. Этот момент является вполне актуальным, а главная цель настоящего сообщения как раз и заключается в аналитическом представлении решения диссипа-тивного уравнения КдФ. Материалы и методы. Основным методом решения диссипативного уравнения КдФ, который используется в работе, является формальный переход к новой переменной, позволяющий представить решение в виде солитона в весьма компактном виде. Результаты и выводы. Приведенный анализ дает возможность автоматически учитывать затухание, которое может иметь разнообразный по времени характер в зависимости от реальной среды, с которой солитон взаимодействует. Этот результат является главным выводом настоящего сообщения.
Ключевые слова: уравнение Кортевега - де Фриза, диссипация, нелинейное преобразование
Благодарности: автор выражает искреннюю признательность доценту кафедры № 311 Московского авиационного института (национальный исследовательский университет), к.ф.-м.н. Софье Борисовне Богдановой за помощь в графической иллюстрации решения.
Для цитирования: Гладков С. О. К вопросу учета в уравнении Кортевега - де Фриза диссипативного слагаемого. Часть II // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2022. № 4. С. 42-46. doi:10.21685/2072-3040-2022-4-4
To the question of accounting in the equation of Korteweg - de Vriz of the dissipative term. Part 2
S.O. Gladkov
Moscow Aviation Institute (National Research University), Moscow, Russia
sglad51@mail.ru
Abstract. Background. When solving problems, the main character of which is the nonlinear equation of Korteweg de Vries (KdV), it is necessary to understand how calculations should be carried out taking into account the dissipative component. This point is quite relevant, and the main purpose of this report is precisely the analytical representation of the solution of the dissipative equation KdV. Materials and methods. The main method for solving the dissipative equation KdV, which is used in the work, is a formal transition to a new variable, which allows presenting the solution in the form of a soliton in a very compact form. Results and conclusions. The analysis given in the paper makes it possible to au-
© Гладков С. О., 2022. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.
tomatically take into account attenuation, which can be of a diverse nature depending on the real environment with which the soliton interacts. This result is the main conclusion of this communication.
Keywords: Korteweg de Vries equation, dissipation, nonlinear transformation
Acknowledgements: the author extends gratitude to Bogdanova Sofia Borisovna, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of the sub-department No. 311 of Moscow Aviation Institute (National Research University) for help in graphical illustration of the solution.
For citation: Gladkov S.O. To the question of accounting in the equation of Korteweg - de Vriz of the dissipative term. Part 2. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2022;(4):42-46. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3040-2022-4-4
Введение
В предыдущем сообщении [1] было предложено подробное описание и строгое математическое обоснование феноменологически введенного в уравнение Кортевега - де Фриза (КдФ) диссипативного слагаемого. Такой подход позволил автоматически учесть наличие диссипации и дал возможность привести уравнение КдФ к виду
ЭФ Э3Ф A ЭФ
— + 6Ф— + —— =--, (1)
dt дх дх A dx
константа a (согласно обозначениям статьи [1], уравнение (8)) положена здесь равной единице, а функция A(t) представляет собой некоторую функцию от времени, моделирующую взаимодействие с окружающим континуумом.
Анализ уравнения (1)
Если выбрать функцию A (t) в экспоненциальном виде, а именно
A = ea(t),
где a(t ) - некоторая функция от времени, то вместо (1) получаем следующее уравнение:
дФ . ЭФ „ЭФ д3Ф .
--а— + 6Ф— + —- = 0. (2)
dt Эх Эх дх
Решение уравнения (2) удобно искать в автомодельном виде
Ф = Фф, (3)
где параметр ^ выбираем таким:
Ç = х-9(t). (4)
Что касается функции ), то мы ее сейчас найдем. Подставляя зависимость (3) с учетом (4) в уравнение (2), получаем
Ф" + 6ФФ'-(а + ф )Ф' = 0. (5)
Полагая здесь
а + < = 1, (6)
немедленно приходим к автомодельному уравнению КдФ:
Фда + 6ФФ'-Ф' = 0. (7)
Его решение хорошо известно [2], и можно сразу же записать ответ
Фф=-тттт. (8)
2ch2' ^ 1
Поскольку же из (6) следует, что
<(*) = t-a(t), (9)
где константа интегрирования положена равной нулю, после подстановки (9) в уравнение (4) приходим согласно (8) к искомому решению:
ф(^) =-{ ' „„V (10)
2ch2
х - vt + a(t)
2a
В решении (10) явно введена постоянная скорость движения солитона v и параметр длины a .
Как видно из (10), функция а^) может иметь абсолютно любую зависимость от времени. Эта зависимость должна диктоваться конкретным механизмом взаимодействия солитона с окружающей средой, и определяется лишь физической постановкой задачи.
Стоит также заметить, что если зависимость а^) является линейной
функцией от времени, т.е. а^) = М, где константа ы по размерности представляет собой некоторую скорость, то решение (10) приводит нас к следующей зависимости:
ф(^) =-{ \ ^ (11)
2Л2
-(V ± ы ) 2а
Как видим, подобный тип решения позволяет сделать вывод о том, что при определенном специфическом взаимодействии солитона с внешней средой его относительная скорость движения может как увеличиваться, так и уменьшаться. По большому счету в этом нет ничего удивительного, если вспомнить пример из физики моря [3]. Действительно, возникшая в результате какого-либо подводного катаклизма на поверхности акватории одиночная волна будет двигаться с некоторой постоянной скоростью V . Если же теперь допустить, что вдоль или против ее движения будет дуть ветер с постоянной скоростью ы, то такое «взаимодействие» и должно привести нас к решению вида (11), характеризующему относительное изменение скорости движения солитона.
При любом другом типе взаимодействия общая тенденция уменьшения амплитуды солитона с очевидностью прослеживается из общего решения (10), которое иллюстрирует рис. 1.
Рис. 1. Схематическое изображение затухания солитона в зависимости от огибающей
Учет «диффузии» в уравнении КдФ
Ради объективности стоит также обратить внимание на то, что, помимо «затухания» а(7), в уравнении (2) в более общем случае его необходимо дополнить еще и «диффузионным» механизмом диссипации, который довольно существенно модифицирует уравнение (2) и приводит его к виду
ЭФ . ЭФ ,,ЭФ Э3Ф Э 2Ф -—а— + 6Ф—+ — = 0—г, (12)
д дх дх дх3 дх2
где В - коэффициент «диффузии».
Уравнение (12) после перехода к переменной ^ = х - ф(7) согласно (4) и
с учетом (6) позволяет записать его как нелинейное дифференциальное уравнение третьего порядка:
Ф"- ВФ" + 6ФФ'-Ф' = 0. (13)
Его первый интеграл есть
Ф"-ВФ' + 3Ф2-Ф = С1. Полагая константу интегрирования равной нулю, имеем
Ф"- ВФ' + 3Ф2-Ф = 0. (14)
Понижая дальше порядок уравнения с помощью подстановки
Ф = и, Ф =-и ,
ё Ф
приходим к уравнению первого порядка
u — - Du + 3Ф2-Ф = 0. (15)
d Ф
К сожалению, уравнение (15) нельзя решить аналитически, а его решение можно найти лишь численно при заданных граничных условиях. Однако априори можно с очевидностью утверждать, что качественное решение будет иметь вид, схематически показанный на рис. 1.
Заключение
Проведенный выше анализ диссипативного уравнения Кортевега - де Фриза свидетельствует об универсальности решения (10) и позволяет нам (хотя и численно) находить решения в значительно более сложных случаях, к которым, в частности, принадлежит «диффузионное» уравнение (12).
Список литературы
1. Гладков С. О. К вопросу учета в уравнении Кортевега - де Вриза диссипативного слагаемого // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2022. № 1. С. 28-32. doi:10.21685/2072-3040-2022-1-3
2. Лэм Л. Дж. Введение в теорию солитонов. М. : Мир. 1983. 294 с.
3. Шулейкин В. В. Физика моря. М. : Издат. АНСССР. 1953. 989 с.
References
1. Gladkov S.O. To the question of accounting in the equation of Korteweg - de Vriz of the dissipative term. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fizi-ko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2022;(1):28-32. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3040-2022-1-3
2. Lem L.Dzh. Vvedenie v teoriyu solitonov = Introduction to the theory of solitons. Moscow: Mir. 1983:294. (In Russ.)
3. Shuleykin V.V. Fizika morya = Physics of the sea. Moscow: Izdat. ANSSSR. 1953:989. (In Russ.)
Информация об авторах / Information about the authors
Сергей Октябринович Гладков Sergey O. Gladkov
доктор физико-математических наук, Doctor of physical and mathematical
профессор, профессор кафедры sciences, professor, professor of the
прикладных программных средств sub-department of applied software
и математических методов, Московский and mathematical methods,
авиационный институт (национальный Moscow Aviation Institute (National
исследовательский университет) (Россия, Research University) (4 Volokolamskoye
г. Москва, Волоколамское шоссе, 4) avenue, Moscow, Russia)
E-mail: sglad51@mail.ru
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию / Received 13.05.2022
Поступила после рецензирования и доработки / Revised 15.07.2022 Принята к публикации / Accepted 10.09.2022
