CC BY
7
УДК 533.9.01
doi:10.21685/2072-3040-2022-1-3
К вопросу учета в уравнении Кортевега - де Вриза диссипативного слагаемого
С. О. Гладков
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) (МАИ), Москва, Россия
sglad51@mail.ru
Аннотация. Актуальность и цели. Любое уравнение в частных производных, а тем более нелинейное, к числу которых относится и уравнение Кортевега - де Вриза (КдВ), требует определенных методических подходов с целью нахождения его решений. Поскольку же при решении конкретных физических задач необходимо принимать во внимание наличие реальной среды, то актуальным моментом здесь является учет диссипативного слагаемого в уравнении КдВ, которое следует записать в общем виде применительно к любой задаче, что и является главной целью настоящего сообщения. Материалы и методы. При решении уравнения КдВ мы получаем решение в виде солитона, которое, как известно, имеет вид обратной функции по квадрату гиперболического косинуса. Поэтому при решении задачи с учетом диссипации нам необходимо воспользоваться общим решением и ввести в него временную зависимость с помощью предлагаемого феноменологического подхода. Результаты и выводы. Полученное в общем виде уравнение КдВ с учетом затухания можно использовать, например, при решении задач исследования магнитоплазменных волн. Но главным результатом статьи является возможность изучения практически любых дисси-пативных явлений, в которых принимает участие солитон.
Ключевые слова: уравнение Кортевега - де Вриза, солитон, диссипативное слагаемое
Для цитирования: Гладков С. О. К вопросу учета в уравнении Кортевега - де Вриза диссипативного слагаемого // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2022. № 1. С. 28-32. doi:10.21685/2072-3040-2022-1-3
On the issue of accounting dissipative term in the Korteweg - de Vriz equation
S.O. Gladkov
Moscow Aviation Institute (National Research University) (MAI), Moscow, Russia sglad51@mail.ru
Abstract. Background. Any partial notch equation, and even more so a nonlinear one, including the Korteweg - de Vries equation, requires certain methodological approaches in order to find its solutions. Since, in solving specific physical problems, it is necessary to take into account the presence of a real environment, the actual point here is to take into account the dissipative term in the KdV equation, and which should be written in general form for any issue, which is the main purpose of this message. Materials and methods. When solving the KdV equation, we get a solution in the form of a soliton, which, as is
© Гладков С. О., 2022. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.
known, has the form of an inverse function on the square of the hyperbolic cosine. Therefore, when solving a problem taking into account dissipation, we need to take into account its general solutions and introduce a temporary dependence into it using the method of the inverse problem, which is done in this work. Results and conclusions. The KdV equation obtained in general form, taking into account attenuation, can be used, for example, when solving problems of studying magnetoplasmic waves. But the main result of the research is the possibility of studying any dissipative phenomena in which the soliton takes part. Keywords: Korteweg - de Vries equation, soliton, dissipative terms
For citation: Gladkov S.O. On the issue of accounting dissipative term in the Korteweg -de Vriz equation. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2022;(1):28-32. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3040-2022-1-3
Введение
Вопрос, который поднимается в настоящей работе, связан с анализом уравнения Кортевега - де Вриза (КдВ) на предмет его приложения к реальной среде. Под сказанным мы подразумеваем то обстоятельство, что КдВ описывает идеальную ситуацию без учета диссипативных слагаемых. Совершенно понятно, что в реальности всегда имеет место взаимодействие между различными системами и именно поэтому при решении практических задач часто бывает необходимо учесть это взаимодействие. В рамках рассматриваемой нами задачи обычное уравнение КдВ не годится, поскольку относится к идеальной среде, а его формальное решение описывает одномерное распространение незатухающей одиночной волны (см., к примеру, [1-7]).
Здесь стоит заметить, что в этих источниках отсутствует анализ воздействия реальной среды на солитон с его последующим затуханием. В значительно более поздней работе [8] авторы исследовали возможность затухания солитона на примере ионизированной плазмы, по которой он движется.
В предлагаемом сообщении речь также пойдет об учете в уравнении КдВ диссипативного слагаемого, но, в отличие от работы [8], мы не будем конкретизировать окружающую солитон среду, а посмотрим на проблему с феноменологической точки зрения с целью формальной возможности его учета в общем случае.
Анализ решения уравнения Кортевега - де Вриза
Как известно, классическое уравнение КдВ имеет вид
ЭФ ЭФ Э3Ф
V + + = 0, (1)
dt dx dx
где Ф - искомая функция. Если искать решение уравнения (1) в автомодельной форме, а именно
— М' (2)
где a - некоторый параметр длины, то после подстановки (2) в уравнение (1) мы приходим в результате к решению вида
ф=--л' (3)
2 Ае^ 1 + Ав^
где А — константа интегрирования; ^ = ——— - безразмерный параметр.
а
Если в (3) положить А = 1, то получим стандартный солитон:
Ф=—^ (4)
А вот теперь предположим, что постоянная интегрирования А является функцией времени и нам надо ее найти. Полагая с этой целью, что А = А (7), перепишем решение (3) следующим образом:
/ ч 2А и
Ф(—'х ) = -,-. (5)
1 + А ^)
в
После подстановки (5) в уравнение (1) и довольно громоздких, но простых выкладок, требующих лишь особого внимания в процессе дифференцирования и алгебраических преобразований, приходим к такому уравнению:
ЭФ ЭФ Э3Ф 2Ав^(1 — Ае^) (6)
+6Ф—+—=-*—^. (6)
Эх 3 (1 + Ав^)3 Согласно (5) производная имеет вид
ЭФ Э 2 Ае^ 2 ^Ч1 — ^
Э^1 + Ае^)2 (1 + Ае^
3
(7)
После ее подстановки в правую часть уравнения (6) находим
ЭФ Э3Ф А ЭФ А ЭФ -+ 6Ф-+ —- =--= а--. (8)
д Эх Эх3 А Э^ А Эх
Выбирая теперь диссипативную составляющую в стандартном виде, т.е. в экспоненциальной форме
А = А)в~аг, (9)
где а - некоторый декремент затухания, диктуемый физическими свойствами континуума; А - константа, приходим к искомому диссипативному уравнению КдВ общего вида, не оговаривая механизм затухания солитона:
ЭФ ЭФ ЭФ Э3Ф
— + аа— + 6Ф—+ = 0. (10)
Э^ Эх Эх э—3
Уравнение (10) является тем искомым диссипативным уравнением, учитывающим неидеальность окружающей среды. При этом, как видно из простой зависимости (9), его решение должно иметь вид
2 Л
Ф(x,t)=-^A^e--. (11)
(1+Vм
То есть, как и положено, огибающая верхушку одиночной волны прижимает функцию Ф^, í) к нулю. Соответствующее время затухания есть — .
а
В более сложных случаях, когда амплитуда не подчиняется линейному соотношению (9), ее вычисление должно быть продиктовано конкретным механизмом диссипации, и она может быть найдена из совместного решения соответствующей системы уравнений. Заметим также, что некоторые задачи похожей направленности были подробно изложены в работах [9-11].
Заключение
Заканчивая настоящее сообщение, стоит отметить:
1) на основании проведенных точных вычислений предложено феноменологическое уравнение Кортевега - де Вриза (10), учитывающее взаимодействие с реальной средой;
2) показано, что в реальности решение всегда можно описать зависимостью (11), в которой числитель стремится к нулю, а знаменатель одновременно с ним к единице.
Список литературы
1. Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М. : Наука, 1980. 320 с.
2. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М., 1973. 176 с.
3. Фортов В. Е., Харпак А. Г., Харпак С. А., Молотов В. И., Петров О. Ф. Пылевая плазма // Успехи физических наук. 2004. Т. 174, № 5. С. 495-545.
4. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М. : Мир, 1988. 695 с.
5. Михайловский А. Б. Теория плазменных неустойчивостей : в 2 т. М. : Атомиздат, 1970. 436 с.
6. Веденов А. А., Велихов Е. П., Сагдеев Р. З. Устойчивость плазмы // Успехи физических наук. 1961. Т. 63, № 4. С. 701-766.
7. Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме. М. : Наука, 1976. 238 с.
8. Бреховских В. В., Горев В. В. Бесстолкновительное затухание солитонных решений уравнений Кортевега - де Вриза, модифицированного уравнения Кортевега -де Вриза и нелинейного уравнения Шредингера // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2015. № 2. С. 190202.
9. Гладков С. О., Богданова С. Б. К теории нелинейной теплопроводности // Журнал технической физики. 2016. Т. 61, № 2. С. 1-7.
10. Гладков С. О. К теории роста кристаллической поверхности вблизи точки кристаллизации // Доклады РАН. 2004. Т. 399, № 1. С. 34-37.
11. Гладков С. О. К вопросу о самоорганизации процессов изменения численности населения Земли // Биофизика. 2021. Т. 66, № 5. С. 1005-1014.
References
1. Zakharov V.E., Manakov S.V., Novikov S.P., Pitaevskiy L.P. Teoriya solitonov: Metod obratnoy zadachi = Soliton theory: inverse problem method. Moscow: Nauka, 1980:320. (In Russ.)
2. Karpman V.I. Nelineynye volny v dispergiruyushchikh sredakh = Nonlinear waves in dispersive media. Moscow, 1973:176. (In Russ.)
3. Fortov V.E., Kharpak A.G., Kharpak S.A., Molotov V.I., Petrov O.F. Dusty plasma. Uspekhi fizicheskikh nauk = Advances in the physical sciences. 2004;174(5):495-545. (In Russ.)
4. Dodd R., Eylbek Dzh., Gibbon Dzh., Morris Kh. Solitony i nelineynye volnovye uravneniya = Solitons and nonlinear wave equations. Moscow: Mir, 1988:695. (In Russ.)
5. Mikhaylovskiy A.B. Teoriya plazmennykh neustoychivostey: v 2 t. = Theory of plasma instabilities: in 2 volumes. Moscow: Atomizdat, 1970:436. (In Russ.)
6. Vedenov A.A., Velikhov E.P., Sagdeev R.Z. Plasma stability. Uspekhi fizi-cheskikh nauk = Advances in the physical sciences. 1961;63(4):701-766. (In Russ.)
7. Kadomtsev B.B. Kollektivnye yavleniya v plazme = Collective phenomena in plasma. Moscow: Nauka, 1976:238. (In Russ.)
8. Brekhovskikh V.V., Gorev V.V. Collisionless damping of soliton solutions of the Kortevreg - de Vries equations, the modified Kortevreg - de Vries equation, and the nonlinear Schrodinger equation. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2015;(2):190-202. (In Russ.)
9. Gladkov S.O., Bogdanova S.B. On the theory of nonlinear heat conduction. Zhurnal tekhnicheskoy fiziki = Journal of technical physics. 2016;61(2):1-7. (In Russ.)
10. Gladkov S.O. On the theory of crystal surface growth near the crystallization point. Doklady RAN = Reports of the Russian Academy of Sciences. 2004;399(1):34-37. (In Russ.)
11. Gladkov S.O. To the question of self-organization of the processes of change in the population of the Earth. Biofizika = Biophysics. 2021;66(5):1005-1014. (In Russ.)
E-mail: sglad51@mail.ru
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию / Received 21.10.2021
Поступила после рецензирования и доработки / Revised 07.12.2021 Принята к публикации / Accepted 26.12.2021
Информация об авторах / Information about the authors
Сергей Октябринович Гладков
доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры прикладных программных средств и математических методов, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) (МАИ) (Россия, г. Москва, Волоколамское шоссе, 4)
Sergey O. Gladkov Doctor of physical and mathematical sciences, professor, professor of the sub-department of applied software and mathematical methods, Moscow Aviation Institute (National Research University) (MAI) (4 Volokolamskoye avenue, Moscow, Russia)
