CC BY
153
К ВОПРОСУ РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫХ МЕХАНИЗМОВ В ОБЩЕСТВЕ: СОДЕРЖАТЕЛЬНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МОДЕЛИ «ГРАДУИРОВКИ» КОЭФФИЦИЕНТА ДЖИНИ
Милек О.В.
Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации,
старший преподаватель, O [email protected]
Аннотация
В работе приводится концепция «фундаментальных основ распределительных механизмов» в обществе, предложенная автором на основе модели «градуировки» коэффициента Джини Д.С. Шмерлинга, которая позволяет осуществить содержательную интерпретацию показателей расслоения населения. Приводится описание данной модели на примере атомарного коллектива. Предлагается анализ взаимосвязи концепции с некоторыми теоретическими распределениями, применяемыми к распределениям доходов. В рамках данной концепции предлагаетсяавторский подход определения«нормального» (допустимого) уровня неравенства в системе с точки зрения социального и экономического развития.
Ключевыеслова
Социально-экономическоенеравенствонаселения, распределениедоходов, коэффициентДжини, благосостояние населения, теоретические распределения, «избыточное» неравенство, «нормальное» неравенство
CONCEPTIONOF “FUNDAMENTALDISTRIBUTIONMECHANISM” INSOCIETY: EXPLANATION AND APPLICATIONS TO STATISTICAL DISTRIBUTIONS OF ECONOMIC SIZE FENOMENA
Milek O.V.
Finance University under The Government of The Russian Federation
senior lecturer, O [email protected]
Abstract
In this paper based on Schmerling’s model of Gini-coefficient “graduations” conception of “fundamental distribution mechanism” is presented. Itgivesanabilitytointerpretcoefficientofinequality. A description of this model is given on an example of a monatomic society. A connection between this model and statistical distributions, applied to size distribution. In framework of this conception is given a hypothesis of “normal” level of inequality in system for social and economic developing.
Keywords
Inequality, income distribution, size distribution, Gini-coefficient, wealth, statistical distributions,"excessive” inequality
Неравенство доходов населения является острой социальной и экономической проблемой современного российского общества.Помимо положительных социальных функций «мотивации» населения к саморазвитию и эффективному труду,можно также выделитьнегативные функции: «ограничение экономического развития» и «искажение ценностномотивационной структуры граждан»1. Двоякая роль неравенства населения в жизнедеятельности общества не позволяет в общепринятых понятиях и однозначных критериях сделать заключениео «проблемном характере» данного явления для экономической и социальной жизни общества.
Обозначенная проблема деструктивного влияния высокого уровня расслоения населения поддерживается и эмпирически доказывается учеными разных научных направлений: социологами, экономистами, математиками,
1 См. подробнее в работе автора «Двоякая роль дифференциации доходов населения: от «движущей силы модернизации экономики» к «барьеру устойчивого развития»
демографами (Handbookof Income..,2000).Актуальный и чрезвычайно важный вывод делается в докладе «Комиссии по оценке экономических результатов и социального прогресса» J.E.Stiglitz, А. Sen, J.-P.Fitoussi: несмотря на то, что существует взаимосвязь ВВП и показателей уровня жизни, корреляция между этими показателями не являетсявсеобъемлющей. Поэтому ВВП не может быть эталонной мерой для оценки благосостояния людей, т.к. это может вызвать ряд неправильных политических решений ввиду недооценки реального социально-экономического положения населения (Stiglitz, Sen,P.8).Вывод о том, что проблемы, связанные с социально-экономической дифференциацией населения, заключены в области «неравномерного распределения ресурсов», а не их недостатка, представлены в работахотечественных авторов:А.Ю. Шевякова и А.Я. Кируты(Шевяков, Кирута, 2009; Шевяков, 2010; Кирута, 2011), С.А. Айвазяна (Айвазян, 2012), Л.Н. Овчаровой и Д.О.Попова (Овчарова, Попова, 2013), В.М. Полтеровича, В.В. Попова В.В. и А.С. Тониса (Полтерович, Попов, 2009), О.И. Шкаратана (Шкаратан, 2009).
Одним из направлений работы по операционализации подхода «причинности дифференциации доходов населения» является работа по оценке влияния расслоения населения на экономику и демографические процессы в стране А.Ю. Шевякова и А.Я. Кируты. Авторы предлагают производить «разложение» неравенства на структурные компоненты «нормального» и «избыточного» неравенства по функциональной границе уровня дохода (в духе А. Сена), которая определяется как уровень дохода, достаточный для обеспечения хотя бы основных потребностей, например, на уровне прожиточного минимума3. Уровень неравенства населения, включающий в себя доход людей ниже прожиточного минимума, является «избыточным» неравенством. А.Ю. Шевяков и А.Я. Кирута в своих работах приводят расчеты,которые подтверждают корреляцию«избыточного»
2См. фундаментальныйтрудвэтойобласти «Handbook of Income Distribution. v.1/ Atkinson A.B., Bourguignon F. ed. - Amsterdam: Elsevier North Holland, 2000, reprinted 2005, 2007. - XIX, 956 pp.»
3 Вторым вариантом определения функциональной границы является статистический подход, подробно изложенный в работе 2009 года «Неравенство, экономический рост и демография: неисследованные взаимосвязи»
неравенства с демографическими показателями рождаемости и смертности, с экономическими показателями инвестиций и экономического роста (Шевяков, Кирута, 2002, 2009).
«Социальная несправедливость ведет к неэффективному использованию ресурсов и низкой эффективности институтов, она превращается в тормоз для долговременного развития» ^огМВапк, 2006, Р.34). Именно поэтому обеспечение «нормального» уровня неравенства на региональном уровне будет постепенно складываться в структуру неравенства населения удовлетворительную для стабильного макроэкономического развития.Авторы также считают, что для понимания не только экономических, но и социально-экономических процессов, нужно учитывать и непосредственно показатели расслоения, как характеристику распределения национального благосостояния. Данные относительные показатели могут характеризовать состояние «справедливости» распределения доходов и устройства общества, как институциональной структуры.
Тема социально-экономической дифференциации населения заключает в себе и математическую проблематику. Существует актуальная задача определения типа распределения доходов населения(К1еЛег, Kotz, 2003; Джонсонс, Коц и др., 2010; Иванов, Куликов, 2012) (в отечественной литературе данная проблематика освещена недостаточно полно, можно привести примерработы С.Иванова и В.Куликова«Математические основы теории социальных распределений и их практическое применение»). С другой стороны очень важно вырабатывать подход к интерпретации показателей расслоения населения, выработать «экономическую расшифровку» показателей, например коэффициента G (Джини).
Автором данной статьи на основе математической модели «градуировки» коэффициента Джини (Шмерлинг, 2011; SchmerHng, 2013) был предложен объяснительный механизм социально-экономического
неравенства в терминах «фундаментальных основ распределительных механизмов в обществе».
Попыткой к интерпретации показателей расслоения общества является работа по «градуировке» коэффициента Джини Д.С.Шмерлинга.
Первоначально модель была предложена автором в 2011 году, в тексте
посвященном памяти В.И. Арнольда. На английском языке работа
опубликована на сайте библиотеки Корнельского Университета (CornellUniversityLibrary) в сентябре 2013 года
«Newmodelsofincomedistribution, graduationastheexplanationofGinicoefficient».
Особую важность как теоретической, так и практической
направленности составляет тот факт, что коэффициент Джини в последнее время становится инструментом в государственной политике оценки уровня масштабности данного явления, активно используется в демонстрации уровня неравенства населения. С нашей стороны очевидно, что отсутствует понятная и обоснованная интерпретация данного показателя с содержательной (экономической или социальной) точки зрения. Наша работа направлена на решение этого вопроса.
Проблема измерения неравенства в доходах берет свое начало, по крайней мере, с работы Макса Лоренца (Lorenz, 1905) о кривых рассеяния. Подход для оценки неравенства базируется на рассмотрении совокупности данных на кривой, впоследствии названной «кривой Лоренца». Рассматривая группу из n индивидов, где Xj обозначает благосостояние каждого индивида, где 1=1....пи упорядочив эти доходы по возрастанию, мы получаем последовательность xx,x2.xn. На координатной плоскости отмечая точки k/n, Sk/Sn, k = 0 ...n, где S0 = 0, Sk = Xj^Xj. Здесь Sk равно общему богатству k первых индивидов. Соединяя же соседние точки отрезками, мы получаем ломаную линию, концами которой является начало координат.В дальнейшем используется непрерывная (гладкая) аппроксимация данной линии.(Маршалл, Олкин, 1983, С. 12-14). Ровно таким же способом строится распределение доходов, когда вместо доходов индивидов мы рассматриваем
доходы различных групп населения. Кривая позволяет нам сравнить неравенство в распределении доходов, сопоставить разные общности по характеру распределения доходов, оценить динамику изменения распределения доходов в одной рассматриваемой совокупности, произвести сравнение распределений до и после налоговых вычетов, осуществления субсидий и льгот.
В данной работе используется модель «градуировки» коэффициента Джини, которая инвариантна к уровню дохода населения. Итоговый результат демонстрирует зависимость коэффициента Джини от скорости роста кривой распределения дохода. Это позволяет расширить диапазон содержательных выводов классической теории измерения социаль-экономического неравенства.
Известна первая работа Коррадо Джини1912 года «Вариативность и изменчивость признака», где был освещен метод измерения неравенства с помощью коэффициента (индекса) Джини ^т, 1955). Пусть,
Л1= - хк| ^Жхк) (1)
Для дискретного случая, без учета совпадений, где хх, х2, ... - величины доходов, ^хх), ^х2,) - вероятность (или частота по выборке) людей с доходами хх, х2 соответственно.
Величину Дхобычно нормируют так, чтобы она принадлежала [0,1], при этом, чем больше (и ближе к 1), тем значительней неравенство населения.
Коэффициент Джини позволяет отразить динамику неравенства населения в обществе, осуществить межстрановые сопоставления расслоения населения. С другой стороны данный показатель не позволяет производить социальную и экономическую интерпретацию степени и приемлемости расслоения в обществе. Для решения этого вопроса предложена, например, модель «декомпозиции неравенства» Шевякова и Кируты, позволяющая определить уровень «избыточности» неравенства и установить порог «необходимой» степени неравенств населения для оптимального экономического развития.
Д.С. Шмерлинг предлагает в рассмотрение распределения доходов (богатства и ресурсов в целом) ввести так называемую «тарифную сетку», где каждому уровню «тарифной сетки» условно присваивается ставка по уровню занимаемой должности (или разряду квалификации, как это принято в повременной оплате труда) (Шмерлинг, 2011, С.63). Таким образом, тарифная сетка позволит «градуировать»4 коэффициент Джини по средствам введения показателя m как степени многочлена, по которому распределяются ставки тарифной шкалы, где 0<m<^. Доказательства теоремы приведены в работе (Schmerling, 2013).
«Пусть х— доход лиц, относящихся к i-му уровню иерархии применительно к компании, населению территории и т.п., i = 1, ..., n. Модель Р («тарифная сетка») такова.
Доход на i-м уровне (i = 1 - лица с наименьшим, а i= n - с наибольшими доходами) равенх;= Constim, m = 1, 2, 3, ., M> 0.
Теорема. Коэффициент (индекс) ДжиниG^in)для модели P равен асимптотически при n
G-ln(ri) ---- (2)
тк 7 т+2 v у
Таким образом, коэффициент Джини можно «градуировать» по следующей таблице, в упрощенном виде5:» (ibid)
Таблица 1
Модель «градуировки» коэффициента G (Gini)
M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Gm 1 1 3 2 5 3 7 4 9 5
(n) 3 2 5 3 7 4 9 5 11 6
4Градуировать - (лат. gradus — шаг, ступень, степень) нанести градусные или иные деления (шкалу) на чем-нибудь (каком-нибудь измерительном приборе, сосуде) (Толковый словарь Ушакова под ред. Д.Н. Ушаков. 1935-1940). Значения снабжаются типовой шкалой (или стандартной таблицей градуировки), позволяющие рассуждать о степени измеряемого объекта.
5Вдостаточнообщемуровнеприближения
Введение условной «тарифной сетки» в модели Шмерлинга позволяет отразить объективные различия сложности и функциональности труда. В данной модели представлен аналог сложности и «значимости» позиции в иерархической структуре трудового коллектива, однако уровень позиции не связан с конкретной профессией (должностью). Градации связаны с уровнем дохода населения, где одну группу i-ого уровня иерархии могут попасть представители нескольких должностных уровней в зависимости от количества заданных групп.
Этот подход относится к непараметрическим методам статистики, где в основе лежат ранговые вычисления.Модель «градуировки G» является моделью «distribution free», и параметр m характеризует разброс дифференциации вне зависимости от вида распределения. Сам же коэффициент Джини показывает лишь монотонность коэффициента концентрации доходов, измеряемую от 0 до 1.Уровенькоэффициента Джини в модели не зависит от конкретного уровня заработной платы, а зависит от значениякоэффициентаm(который демонстрирует скорость роста кривой Лоренца) и количества групп n. Однако при n больше 8-10 результат становится инвариантен к n.
На основе предложенной модели «градуировки» коэффициента Джини предлагаем теоретическую конструкцию: «фундаментальные основы6
распределительных механизмов» в обществе. Интерпретируя «градуировки» коэффициента Джини в виде коэффициентаm мы можем ввести понятие классификации типа системы в признаковом пространстве «степень расслоения в системе».
Авторы стоят на позициях системного подхода, в виду чего предлагают рассматривать модель для любого системного образования, будь то небольшой коллектив, компания, холдинг, регион или страна. Данные системы обладают характеристикой «распределительных механизмов в обществе». Таким образом, любая система, обладающая ресурсом (в
6 Где под «фундаментальностью» понимается укорененность в системе
упрощенном виде это только денежный ресурс, или доход в атомарном случае) вынуждена его распределять между элементами системы.
Любую систему можно (условно) делить на «линейные» (т=1), «квадратичные» (т=2), «кубические» (т=3), «тетричные» (т=4), «пентальные» (т=5), «гексальные» (т=6) и т.д. по данному основанию системной характеристики.
Мы полагаем, что системы и подсистемы обладают определённым типом «распределительных механизмов», которые являются их
фундаментальным свойством, потому что лежат в основании жизнедеятельности всей структуры. Подсистемы более низкого порядка реализуют свой тип «распределительных механизмов», транслируя «легитимность» (или «нормальность») осуществляемых механизмов на уровне всей системы.
Когда в одной изподсистем предприятия, например отдельном «департаменте», устанавливается «квадратичный» тип распределения ресурсов, тогда и во всей системе постепенно складывается данный тип распределения. И, наоборот, при трансляции легитимности «квадратичного» типа распределения в системе, отдельные компоненты системы воспринимают легитимным данный распределительный механизм,
обеспечивающий целостность системы и цели ее развития. С другой
стороны, считая данное устройство легитимным, новые акторы системы воспроизводят этот механизм, даже если считали его «неправомерным» занимая меньшую позицию в иерархии полномочий .
Также необходимо отметить, что «фундаментальная основа распределительных механизмов» системы непосредственно связана с понятиямикультурная среда, нормы и правила, складывающиеся в
институциональную среду системы. Все это порождает паттерны взаимодействия между элементами системы. В процессе существования и
7 Автор понимает степень упрощения описания системных механизмов, однако это позволяет осуществить содержательную экономико-социологическую интерпретацию данного явлению, представить описание механизма распределения доходов (ресурсов) широкому кругу читателей
взаимодействия в обществе, индивиды, как акторы поведения и принятия решения, «впитывают» принятый паттерн поведения в области «основ распределительных механизмов», и, заняв свое место в иерархичной структуре полномочий, неизбежно транслируют эту модель поведения и воспроизводят «распределительный механизм» данной среды.
Однако «фундаментальным» данный тип системы является еще и потому, что распределительный механизм системы является фактором развития системы, как социального и экономического агента. От «распределительных основ» (порядка коэффициентат) зависит обеспечение функционирования системы в направлении экономически оптимального развития.
Как отмечалось выше, проблема Российской Федерации в отношении доходов населения стоит не в недостатке ресурсов как таковых, а в «распределении» этих ресурсов. А понятие «фундаментальных основ распределительных механизмов» позволяет в условном, но хорошо интерпретируемом виде определить ключ этой проблемы. Именно этот механизм позволяет нам интерпретировать коэффициент Джини, а значит и степень расслоения общества.
По нашему мнению, тип системы по «линейной» модели распределения доходов может соответствовать «нормальной» степени неравенства и развития общества. Это, можно подтвердить воззрениями многих авторитетных авторов, которые указывают, что «нормальным» уровнем неравенства является такой уровень, при котором коэффициент Джини равен 0,3, что соответствует т=1 (Айвазян, Кирута, Шевяков, Доклад о мировом развитии Всемирного банка) (Айвазян, 2012; Шевяков, Кирута, 2009; Социальная справедливость.., 2006). Данное равномерное распределение «ресурсов» в системе, с одной стороны позволяет обеспечить «мотивационную» функцию неравенства между акторами системы, с другой стороны предполагает достойный уровень жизни для всех индивидов, что возможно только при отсутствии институциональных барьеров, ликвидации
развития «кастовости» общественной структуры, наличии и успешной работе социальных лифтов и т.п.
Приведём трактовку данной модели на наиболее простом примере: «атомарном» коллективе из 8 человек8, упорядоченных по «тарифной сетке». Атомарный коллектив мы рассматриваем еще и потому, что на наш взгляд в экономической науке не хватает предельно простой, условной, но красноречивой модели данного явления .
Атомарный коллектив с равным количеством участников рассматривается в качестве приема методологического упрощения. Оно возможно потому, что преобразование уровней рассматриваемой совокупности в группировку с равным количеством акторов в каждой группе не изменит основных выводов модели. В нашем же демонстрационном примере это упрощение позволяет продемонстрировать не только механизм социально-экономического неравенства, но и механизм негативного влияние на экономическое развитие и социальное благополучие.
Допустим, у нас существует коллектив из 8 человек. Руководитель коллектива стоит на 8 уровне иерархии, на первую ступень приходится ассистентская должность - наименьшая по заработку, уровню квалификации и степени ответственности. Задаем единичную стоимость труда, или наименьший оклад, получаемый наименее квалифицированным сотрудником (на уровне i=1).
В «линейном» типе распределения, где степень m=1, сотрудник второго уровня получает 2 стандартные единицы (здесь мы пренебрегаем поправочным коэффициентом const), третий - 3, четвертый - 4, руководитель получает 8 окладов i-того уровня. Если проводить оценку, например, в рублях, при минимальной заработной плате в атомарном коллективе из 8 человек в 10 тысяч рублей, руководитель коллектива не может получать более 80 тысяч рублей.
8 Как было отмечено выше, при пбольше 8-10 зависимость коэффициента G отп в данной модели исчезает
9 Где степень упрощения модели совпадает со степенью «понятности» этой модели не только для научного сообщества, но и для политической и общественной среды
Если мы констатируем, что в коллективе присутствует «квадратичный» тип распределения ресурсов, то это означает, что степень m=2. Значит, сотрудник второго уровня получает i2 = 2 (оклада)2 = 4, сотрудник третьего уровня получает 9окладов, руководителю же положено в этом типе системы 64 оклада. В денежном выражении это означает, что если сотрудник первого уровня получает 10 тысяч рублей, то руководитель, стоящий на 8 уровне иерархии, получит уже 640 тысяч рублей.
Существуют примеры«кубического» типа распределения ресурсов, где руководитель восьмого уровня получит83 = 512 окладов сотрудника первого уровня иерархии.
Для более наглядной демонстрации приведем графики по «линейной» и «квадратичной» типам систем, чтобы продемонстрировать каким образом в атомарном коллективе может распределяться ресурс (или бюджет за выполненную работу).
Объем бюджета определим через «квадратичную» систему, поскольку по расчетным данным Айвазяна именно на этом уровне (G>0,5) измеряется коэффициент Джини после доучета правого хвоста сверхбогатых (Айвазян, 2012, С.241). Вторым критерием необходимо определить уровень
минимальной оплаты труда специалиста 1 уровня. Предлагаем исходить из понятия «относительного уровня бедности», взяв 60% от среднедушевого дохода по странекак границу минимальной оплаты труда. По предварительным данным ФСГС на 2012 год среднедушевой доход по стране составил 22 880,4 рубля, таким образом, с округлением за минимальную оплату трудавозьмем оклад в 14 тысяч рублей.
При «квадратичной» системе распределения ресурсов, заработок каждого уровня i-го члена коллектива определяется как i2, таким образом, руководитель восьмого уровня получает 896 тысяч рублей (64 оклада), (здесь мы пренебрегаем const). Мы видим, что при квадратичном распределении бюджета, общий объем ресурса в 2,8 млн. рублей распределяется таким
образом, что руководителю коллектива достается 31%, а наименее квалифицированный специалист получает менее 1% (табл. 2).
Сразу хотелось бы отметить, что, несмотря на то, что сейчас мы иллюстрируем на простом атомарном коллективе структуру «распределительных механизмов в обществе», по авторскому мнению, это является системной характеристикой и, в связи с этим, распространяется на системы более высокого порядка - предприятия, отрасли, регионы, страны.
Таблица 2
«Квадратичная» модель распределения доходов в атомарном
коллективе
Уровень сотрудника (0 Кол-во окладов по модели (Р) Денежное выражение, тыс. руб. Доля дохода сотрудника от бюджета проекта, %
1 1 14 >1
2 4 56 2
3 9 126 4
4 16 224 8
5 25 350 12
6 36 504 18
7 49 686 24
8 64 896 31
2 856 100
Чрезвычайно интересным является рассмотрения «линейной» системы распределительных механизмов в обществе, как наиболее оправданной с точки зрения социального развития и экономической оптимизации уровня расслоения населения, а так же являющейся теоретически необходимой с точки зрения функционирования и развития системы, или в нашем случае атомарного коллектива. Определенный нами бюджет в 2,8 млн. рублей распределится по системе с т=1, где в=0,3. В таблице 3 представлены результаты распределения бюджета проекта по данной схеме (в том числе и сравнение с «квадратичным» типом распределения).
Таблица 3
«Линейная» модель распределения доходов в атомарном
коллективе
Уровень сотрудника (1) Кол-во окладов по модели (1т) Денежное выражение, тыс. руб. Доля дохода сотрудника от бюджета проекта, % Изменение денежных доходов индивида по сравнению с «квадратичным» типом распределения, %
1 1 79 3 467
2 2 159 6 183
3 3 238 8 89
4 4 317 11 42
5 5 397 14 13
6 6 476 17 -6
7 7 555 19 -19
8 8 635 22 -29
2 856 100
Здесь наименее квалицированный член коллектива претендует на 3% от всего ресурса системы. Но уровень благосостояния нашего «ассистента» повышается на 467%. В денежном выражении это составило бы 79 тысяч рублей, тогда как руководитель потеряет в этом случае всего 29% по сравнению с «квадратичным» типом распределения ресурсов. Общая же доля вознаграждения руководителя все равно сопоставима с валовым объемом первых четырех членов коллектива.
На рисунке 1 представлены графики распределения бюджета атомарного коллектива в долевом соотношении дохода для «линейной» и «квадратичной» системы. 9%уменьшение доли дохода руководителя позволяет улучшить ситуацию 5 остальным членам коллектива. Таким образом, предполагается, что в первом случае повышается степень ответственности всех участников, раскрывается потенциал развития наименее квалифицированного персонала и обеспечивается достойный
уровень оплаты с точки зрения функционирования индивидов в обществе. Именно «линейные» системы имеют в своем целеполагании приоритет развития и долгосрочного функционирования всей системы, путем распределения ответственности и гармоничного развития всех акторов (так, «ассистент» с оплатой 14 и 79 тысяч - это два качественно отличающихся сотрудника).
Рисунок 1
«Линейная» и «квадратичная» модели распределения доходов в
атомарном коллективе
Модель «репараметризации» коэффициента Джини позволяет в понятных широкому кругу исследователей дефинициях анализировать ситуацию с «фундаментальными основами распределительных механизмов в обществе». Для релевантного сопоставления того или иного типа распределения в обществе целесообразно провести работу по систематизации знаний для основных распределений доходов, или «ресурсов» населения (Sizedistribution) (Kleiber, Kotz, 2003).
Приведем пример с наиболее общеизвестным в широких кругах в контексте «sizedistribution» распределении - распределении Парето(таблица
4).
Таблица 4
Распределение Парето
Распределение Парето
Плотность вероятности а ( x0 у+1 д тх = — 1 — 1 , где х > x0 *0 1 х ) (3)
Функция распределения Fx=Р{х0 <х} = 1-х-а, а> 1 (4)
Математическое ожидание а х0, а > 1 а - 1 0 (5) ж,при а < 1
Дисперсия а 2 2 (а-1)2(а-2)2 Х0’ а> (6)
Коэффициент асимметрии 2(а+ '\1а-2, а >3 а-3 V а (7)
Коэффициент эксцесса 6(а3 + а2 - 6а - 2) 4 ' а > 4 а(а- з)(а- 4) , (8)
Производящая функция моментов не определена
Характеристическая функция £ 0 .К 1 е 1 о .15
Коэффициент Джини G = (2а - 1) 1,а > 1 (10)
Кривая Лоренца Ь (и) = 1 - (1 - и )(а-1)/а ,а > 1 (11)
«Г радуировка» коэффициента Джини 3 II 1 ^ ) 2)
Имея все необходимые формулы, для исследования типа эмпирического распределения доходов мы можем,
аппроксимировавреальноеэмпирическое распределение (оценив
соответствующий распределению параметр а), сделать вывод о распределительных механизмах в изучаемом объекте исследования. Так, таблица5 демонстрирует расчетные значения коэффициента Джини, коэффициента контрастности неравенства т и параметра а для Парето распределения. Графическое представление распределения Парето для различныхт и G проиллюстрировано на рисунке 2.
Таблица 5
Соотношение коэффициента Джини, коэффициента т и параметра а для распределения Парето
а>1 5,55 3,00 2,16 1,75 1,50 1,33 1,21 1,13
M 0,22 0,5 0,86 1,33 2 3 4,7 8
G 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Рисунок 2
Функция распределения Парето для различных уровней параметров m и G
1 .non
-Гх(т=0,5; С=0.2)
-hx(m 1; Сз (Jo3l -Fx(m=l,5; (5=0,43)
■ Гх|т=2,57; 0=0,57) -Нх(т 4; (j 0,Ь/) ■Fx(m=8; 6=0,8)
В упомянутой выше работе Иванова и Куликова «Математические основы теории социальных распределений и их практическое применение» дается трактовка параметров распределения доходов населения в Ирландии и Великобритании (параметры распределения рассчитаны по исходным данным, представленным в трехтомном курсе по экономике В. Парето: Pareto V. 1896-1897. Coursed’economiepolitique , professe a l’universitedeLuasanne. 3 volumes). По данным таблицы
«ReverseCumulativeDistributionoflncomeinGreatBritainandlrelandforyears 1893 to 1894» авторами в программе Matlab определен коэффициент а -«показатель степени распределения, характеризующий степень неравномерности доходов различных групп населения» (Иванов, Куликов,
С.39). Для Великобритании а=1.34, а для Ирландии а=1.53. Авторы делают заключение: «Отсюда непосредственно следует10, что в Ирландии
неравномерность в доходах людей незначительно больше, чем в Великобритании» (ibid, С.41). С нашей позиции такая трактовка параметров а носит несколько вольный характер. Поскольку, для сопоставления неравномерности доходов населения по параметру распределения необходимо понимать, какие реальные значения коэффициентов распределения соответствуют этим данным, и как с позиции интерпретации степени расслоения можно разделить эти системы.
Так при а=1.34 значение показатель m=2.94, что соответствует G=0.595, а при а=1.53 значение показатель m=1,89, что соответствует G=0,485. По нашей модели мы получаем, что разница в распределении доходов Ирландии и Великобритании составила0,1 значения коэффициента G, а сама система распределительных механизмов Великобритании имеет «кубическую» природу. Эти результаты показывают, что при более детальном рассмотрении параметров распределения мы можем содержательнее трактовать данные. Здесь мы видим, что расслоение населения в Великобритании имеет глубокий характер, а тип системы по «фундаментальным основам распределительных механизмов» имеет запредельный «кубический» тип. Обе системы далеки от «линейного» типа, однако в Ирландии распределительные механизмы имеют «квадратичный» характер.
Этот важный иллюстративный пример показывает нам, что анализ параметров распределений позволяет делать выводы «математикостатистического» характера, однако для более детального социальноэкономического анализа ситуации необходимо использовать дополнительные модели и конструкции, например показатель степениm из модели градуировки коэффициента Джини, позволяющий по параметру
10 Выделено Милек О.В., мы предполагаем, что нельзя сказать насколько «непосредственно» можно определить тип данной системы без дополнительных вычислений
распределения а судить о типе «фундаментальных распределительных механизмов» в обществе.
Аналогичные вычисления можно провести для других распространенных типов теоретических распределений, применимых к распределению доходов (или в более общем случае, распределении ресурсов): логнормальное распределение, лог-логистическое распределение, распределение Ломакса, гамма-распределение, распределение Вейбулла и распределение Дагума.
«В работе Galton (1879) отмечено, что если Хь Х2, Хп - независимые
положительные случайные переменные и
При этом если к независимым случайным величинам InXj применима центральная предельная теорема, то распределение центрированной нормированной величины/пТп будет сходиться к стандартному нормальному закону при n^-да. Тогда предельным распределением для случайной величины Тп будет (двупараметрическое) логнормальное распределение» (Джонсонс, Коц и др., 2010, С.205). Как отмечают Джонсонс, Коц и Балакришнан этот закон является «естественной» параметрической моделью для месторождений с низкой концентрацией полезного вещества, логнормальное распределение применяется в медицине (концентрация антител, моделирование веса детей, определении критической дозы ряда лекарственных средств), геологии, энтомологии, агрономии, телекоммуникациях, при описании долговечности товаров, эконометрике (ibid, С.203-252). Данное распределение является более реалистичной моделью при распределении даже таких величин как вес и рост (т.е. близких к нормальному), поскольку данные величины не могут принимать
т„ = n"=iXj, (13)
то
(14)
отрицательного значения, а нормальное распределение, в отличие от логнормального, приписывает положительную вероятность такому событию. И, во-вторых, отмечают авторы, что при достаточно малых □ можно получить логнормальное распределение очень похожее на нормальное, но более релевантное к данному эмпирическому ряду. (ibid, С. 235).
Данное преобразование нормального распределения также широко применяется при изучении распределения «ресурсов». В работе Chester (1979) было описано распределение национального дохода Соединенного Королевства в 1974 году, где двупараметрическое логнормальное распределение использовалось для аппроксимации данных по статистике налоговых сборов InlandRevenueStatistics (1977). (Джонсонс, Коц и др., 2010) Наиболее подробное описание данного типа распределения применительно к распределению «ресурсов» («Sizedistribution») можно найти у Kleiber,Kotz(2005) §4.5(Kleiber, Kotz, 2003).
Если существует такое 0, что случайная величина Z= ln (x) — 0 подчинена нормальном закону, то говорят, что распределение случайной переменной Х является логнормальным(Джонсонс, Коц и др., 2010, С.203).
Случайная переменная Х задается соотношением U = у + 5ln (X — 0), где U - стандартная нормальная случайная величина, а у, 5 и 0 параметры логнормального распределения. Заменив параметры у и 5 на математическое ожидание Z и стандартное отклонение о случайно величины Z. Эти наборы параметров связаны соотношением Z = g, ° = 6-1. Соответственно U =
1п(Х~9Ы (ibid, С.203).
Плотность распределения вероятностей случайной величины выглядит
как
f(x) = [(x — 6)V2na] exp [— ~{ln(XQ.2) ^ ], х>0 (15)
Здесь параметр 0 влияет только на сдвиг распределения, но не влияет
на форму и дисперсию. В случае если 0=0 мы получаем двупараметрическое
1п(Х)—^
логнормальное распределение и U =---------.
Соотношение коэффициента G и параметров распределения выглядит следующим образом (Kleiber, Kotz, 2003, P. 115)
с=2фШ-1 (16)
Путем элементарных вычислений получаем
‘-ф©
(17)
Таблица 6
Соотношение коэффициента Джини, степеникоэффициента т и параметра о для логнормального распределения11
ст 0,35 0,5 0,55 0,6 0,75 0,85
m 0,48 0,76 0,87 0,98 1,36 1,65
G 0,20 0,28 0,30 0,33 0,40 0,45
ст 0,95 1 1,2 1,48 1,5 1,8 2
m 1,99 2,17 3,05 4,78 4,93 7,85 10,71
G 0,50 0,52 0,60 0,70 0,71 0,8 0,84
Таким образом, для логнормального распределения представлены варианты параметра распределения о во взаимосвязи с концепцией «фундаментальных основ распределительных механизмов» в обществе, где «линейному» типу распределения соответствует уровеньпараметрастменее
0,55.
Аналогичным образом, связав некоторые типы теоретического распределения с параметром т,мы получили таблицу соответствия коэффициента Джини, показателят модели «репараметризации» Джини и параметров некоторых теоретических распределений, результаты представлены в таблице 7.
Таблица 7
11 Значение функции нормального распределении Ф(х) по (Мюллер, Нойман и др., 1982)
Обобщение модели «градуировки» коэффициента Джини и концепции «фундаментальных основ распределительных механизмов» в обществе для некоторых теоретических распределений
Некоторые типы распределения (параметр распределения во взаимосвязи с ш) Коэффициент Джини
G=0,2 G=0,3 G=0,4 G=0,5 G=0,6 G=0,7
Фундаментальные основы распределительных механизмов в обществе (т) 0,5 0,86 1,33 2 3 4,7
Парето(а) 3,00 2,16 1,75 1,50 1,33 1,21
Логнормальное (а) 0,35 0,55 0,75 0,95 1,2 1,48
Гамма-распределение (р) 7,5 3,3 1,7 1 0,6 0,35
Распределение Вейбулла (а) 3 2 1,5 1 0,75 0,57
Распределение Фиска (лог-логистическое)(а) 5 3Ї 2± 2 2 2 13 3 1 7
Распределение Ломакса ^) # # # # 3 7 4
Данные результаты позволяют в рамках концепции «фундаментальных основ распределительных механизмов» определить необходимые параметры теоретических распределений, при аппроксимации эмпирических данных, для реализации «линейного» типа системы в обществе. С другой стороны это позволяет содержательно интерпретировать математические вычисления в области теоретических распределений доходов.
Целью исследования являлась разработка объяснительного механизма социально-экономической дифференциации населения, в дальнейшем позволяющего анализировать уровень «избыточности» неравенства населения. Данная цель была реализована путем описания авторомсовейконцепции «фундаментальных основ распределительных механизмов»12 в обществе, основанной на модели «градуировки» коэффициента КоррадоДжини, предложенной Д.С. Шмерлингом. Была представлена демонстрация данной модели на атомарном коллективе в
12 Автор предлагает использовать аббревиатуру ФОРМ, которая отражает системность принципов распределительных механизмов в обществе. А классификация систем на «линейные», «квадратичные» и т.д. в этом случае имеет смысл «ФОРМ»ы системы.
простейшем случае. Произведена систематизация теоретических типов распределения в контексте рассматриваемой проблемы, что может служить стимулирующим фактором для дальнейшей разработки математической теории распределения доходов (или ресурсов) в контексте неравенства населения13.
Необходимо производить дальнейшее изучение всех уровней систем, особую роль, несомненно, следуетотводить системам
мезоуровня(Мезоэкономика развития, 2011) как основополагающим системам институционального развития, по типу «распределительных механизмов».Определять масштабы распространения «выше-линейных» систем, с целью определения масштабов и структурной особенности распространения проблемы излишнего неравенства населения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Gini C. Variabilita e mutabilita, contributoallo studio delledistribuzioni e relazionistatistiche // StudiEconomico-Guirdicidella R. Universita di Cagliari, Repr. In Memorie di MetodoligiaStatistica / Piretti E, Salvemini T. ed. - Rome: LibreriaErediVirgilioVeschi, 1955. (Воспроизведена работа 1912 года).
2. Handbook of Income Distribution. v.1/ Atkinson A.B., Bourguignon F. ed. -Amsterdam: Elsevier North Holland, 2000, reprinted 2005, 2007. - XIX, 956 pp.
3. Kleiber C., Kotz S. Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences (Wiley Series in Probability and Statistics). - Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, 2003. - 353 pp.
4. Lorenz M.O. Methods of Measuring the Concentration of Wealth // Publ. Amer. Statist. Ass., 1905, v. 9, #70, p. 209-219.
5. Schmerling D.S. New models of income distribution - “graduation” as the explanation of Gini coefficient (index) // Cornell University Library, arXiv.org. - arXiv: 1309.3771 [q-fin.GN]. - [online]. Доступчерез: <http://arxiv.org/abs/1309.3771>. Датаобращения: 17 сентября 2013
6. Stiglitz J.E., Sen A., Fitoussi J.-P. Report by the Commission on the Measurement of Economic Performance and Social Progress [online].
13 Одним из таких направлений мы видим в анализе перераспределения доходов населения в рамках известных теоретических распределений с заданными параметрами
Доступ через < http://www.stiglitz-sen-fitoussi.fr >. Дата обращения: 26 января 2012.
В русскоязычном варианте доклад представлен в: Доклад комиссии по оценке экономических результатов и социального прогресса // Вопросы статистики. 2010. № 11-12; 2011. № 2-3.
7. World Bank. Equity and Development: World Development Report 2006. -N.Y.: The World Bank and Oxford University Press, 2006.
8. Айвазян С.А. Анализ качества и образа жизни населения / Центральный экономико-математический ин-т РАН. - М.: Наука, 2012. - 432 с. -(Экономическая наука современной России).
9. Джонсон Н., Коц С., Балакришнан Н. Одномерные непрерывные
распределения: в 2 ч./ пер. 2-го англ. изд., под ред. Е.В. Чепурина - М.: Бином, Лаборатория знаний, 2010. - (Теория вероятностных
распределений). Ч. 1.- 2010.- 703с.
10.Иванов С.А., Куликов В.С. Математические основы теории социальных распределений и их практическое применение. М.:- Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2012. - 104 с.
11. Кирута А.Я. Влияние неравенства на качество человеческого потенциала в России //Вестник Института социологии РАН,2011,№3, с.67-87
12.Маршалл А., Олкин И. Неравенства. Теория мажоризации и ее приложения / Пер. с англ. Г.П. Гаврилова и В.П. Мирнацева- М.: Мир, 1983. - 576 с.
13.Мезоэкономика развития / под ред. чл.-корр. РАН Г.Б. Клейнера; Центральный экономико-математический ин-т РАН. - М.: Наука, 2011. - 805 с. (Экономическая наука современной России)
14.Милек О.В. Двоякая роль дифференциации доходов населения: от «движущей силы модернизации экономики» к «барьеру устойчивого развития» // Вестник Института экономики РАН. №3. 2013. С.134-141
15.Мюллер П., Нойман П., Шторм Р. Таблицы по математической статистике / Пер. с нем. и предисл. В. М. Ивановой. - М.: Финансы и статистка, 1982. - 278 с.
16.Овчарова Л.Н., Попова Д.О. Доходы и расходы российских домашних хозяйств: что изменилось в массовом стандарте потребления //Мир России. 2013. №3. - С. 3-33.
17.Полтерович В.М., Попов В.В., Тонис А.С. Концентрация доходов, нестабильность демократии и экономический рост // Экономика и математические методы, 2009, том. 45, №. 1, С. 15-29 [Online]. Доступ через: < http://mpra.ub.uni-
muenchen.de/27561/1/MPRA_paper_27561.pdf>.
18.Социальная справедливость и развитие: доклад о мировом развитии -2006 // Международный банк реконструкции и развития (Всемирный банк), Вашингтон, 2006.
19.Шевяков А.Ю. Мифы и реалии социальной политики // Вестник Института социологии. 2010. № 1. С. 48-97
20.Шевяков А.Ю., Кирута А.Я. Измерение экономического неравенства -М.: Лето, 2002.
21.Шевяков А.Ю., Кирута А.Я. Неравенство, экономический рост и демография: неисследованные взаимосвязи. - М.: М-студия, 2009.
22.Шкаратан О.И. Социально-экономическое неравенство и его воспроизводство в современной России. - М.: ЗАО «ОЛМА Медиа Групп», 2009. - 560с.
23.Шмерлинг Д.С. Градуировка коэффициента Джини (Памяти В.И.
Арнольда (1937-2010)) // Социологические методы в современной исследовательской практике: Сборник статей, посвященный памяти первого декана факультета социологии НИУ ВШЭ А.О.
Крыштановского [Электронный ресурс] / Отв. редактор О.А. Обременко. - М.: Издательский дом НИУ ВШЭ, 2011. - С.63-66.
