К вопросу прогнозирования динамики цен в процессе оценки имущества Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 330.4 : 519.2

О. М. ГНЕННИЙ (ДПТ)

ДО ПИТАННЯ ПРОГНОЗУВАННЯ ДИНАМ1КИ Ц1Н У ПРОЦЕС1 ОЦ1НКИ МАЙНА

Розглянуто питання короткострокового, середньострокового та довгострокового прогнозування динамь ки цiн. Запропоновано удосконалення методiв короткострокового прогнозування на основi експоненщаль-ного згладжування. Розроблено модифiковану авторегресiйну модель рiзниць першого порядку для середньострокового прогнозування. Запропоновано метод побудови апроксимуючо! функци рiзниць першого порядку як лшшно! комбшацп тригонометричних функцiй, яка може використовуватись для довгострокового прогнозування.

Ключовi слова: оцшка майна, прогноз, ряд динамiки цш, експоненцiальне згладжування, авторегресiйна модель, автокореляцшна функцiя, апроксимацiя

Оцшка майна, багато у чому, грунтуеться на прогнозуванш, оскшьки вартють майна визна-чаеться, у першу чергу, його кориснютю для власника (користувача) у майбутньому. Тому при оцшщ майна потр1бно виршувати багато р1зномаштних задач прогнозування.

Кон'юнктура ринку е формою прояву сис-теми чинниюв, що характеризують стан попи-ту, пропозици, цш { конкуренци на ринку в щ-лому або окремих його сегментах. Динамша кон'юнктури ринку характеризуеться постш-ною мшливютю окремих його елемент1в. Ц коливання носять, як правило, хвилепод1бний характер, що пов' язане з коливанням ринкових цш навколо цш р1вноваги на р1зних сегментах ринку.

Циктчшсть процес1в змши ринково! кон'юнктури призводить до нестабшьносп ри-нкових цш у час1. Цей факт потребуе обов'язкового вщображення у процес оцшки. Встановлення ринково! цши (або ринково! оре-ндно! плати) для об'екта оцшки при реал1заци пор1вняльного та доходного методичних шдхо-д1в до оцшки проводиться на шдстав^ як правило, ретроспективних даних щодо цш об'екпв пор1вняння. Однак, за перюд часу, що роздшяе момент фшсацп цши об'екта пор1вняння та дату оцшки, на ринку вщбуваються певш кон'юнктурш змши, що призводять до вщмш-ност середшх р1вшв цш у назваш моменти часу. Таким чином, цши (або орендш ставки) об'екпв пор1вняння, як правило, потребують коригування, що враховують зм1ну кон'юнктури сегменту ринку, де розмщено об'ект оцшки, за перюд часу вщ дати фшсаци цши об'екта пор1вняння до дати оцшки. На погляд автор1в, таке коригування може бути виконано за допомогою шдексу середньо! цши сегменту ринку (визначаеться як вщношення середнього

р1вня цш на дату оцшки до середнього р1вня цш на дату фшсаци цши об'екта пор1вняння).

Слщ зазначити, що у л1тератур1 (напр. [1]) для виконання такого коригування пропонуеть-ся використання 1ндекс1в шфляцп. Але тенден-ци змши цш на сегмент ринку, що розгляда-еться, можуть не вщповщати загальним темпам шфляцп. Тому використання ¡ндекшв шфляцп е не завжди коректним.

Середш р1вня цш для встановлення зазначе-ного шдексу визначаються на шдстав1 анал1зу ринково! шформаци. Однак, анал1з за своею природою спираеться на ретроспективы даш. Тому, як правило, середнш р1вень цш на сегмент! ринку на дату оцшки е невщомим. Отже, для його встановлення потр1бно виршити задачу прогнозування.

Окреслена задача прогнозування характери-зуеться такими ознаками:

- об'ектом прогнозування е динам1чний ряд;

- прогнозування короткострокове, як правило на один крок (перюд);

- ряд динамши мютить р1зноспрямоваш тренди, що змшюють один одного;

- присутш ознаки цикл1чносп.

Однак, у процес оцшки майна виникають задач! прогнозування ряд1в динамши цш не тшьки на один крок, а й на бшьш! перюди часу.

Метою ц1е! роботи е удосконалення метод1в короткострокового, середньострокового та дов-гострокового прогнозування цшових ряд1в ди-намши, що дозволить коректно вносити коригування на вщмшшсть у чаш об'екпв пор1в-няння вщ об'екта оцшки.

На сьогодшшнш час вщома велика кшьюсть метод1в прогнозування економ1чних показни-юв. Для виршення окреслено! вище задач! короткострокового прогнозування, на погляд ав-

© О. М. Гненний, 2012

тор1в, доцшьно використовувати метод адаптивного прогнозування, що базуеться на експоне-нщальному середньому [2].

Як вщомо, експоненщальна середня визна-чаеться за рекурентною формулою:

5 =а-7( +(1 -а)А-1:

(1)

де - експоненщальна середня у момент часу

С,

У - р!вень ряду динамши у момент часу 3{-1 - експоненщальна середня у попере-днш момент часу;

а - параметр експоненщального згладжу-вання.

При прогнозування експоненщальна середня у певний момент часу штерпретуеться як

прогноз на наступний момент часу (У*+1 = , де 1М - прогноз у момент часу ( на наступний момент часу ( + 1). Параметр експоненщального згладжування приймае значення вщ 0 до 1 1 характеризуе швидюсть адаптащ! модел! до змши р!вшв ряду динамши.

Модель експоненщального згладжування у вигляд! 1) може застосовуватись для прогнозування стащонарних ряд1в. Ряди ж динамши се-редшх ринкових щн, як правило, мютять трен-ди. Тому експоненщальне згладжування у ви-падку, що розглядаеться, застосовуеться до р1з-ниць першого порядку, що дозволяе виключити тренди. Такими чином, прогнозний р1вень середньо! щни визначаеться за формулою:

Р+1 = Р + а-(Р -Р-1 ) + (1 -а)Л-!, (2)

Г>* " ■

де р+1 - прогнозний р1вень ц1н на момент часу ( + 1, що визначаеться у момент часу Р - р1вень щн на момент часу V, Р-1 - р1вень щн у попереднш момент часу ( t - 1);

- експоненщальна середня ряду дина-мши р1зниць р!вшв щн для моменту часу ( t - 1).

Рекурентна формула для визначення експо-ненщально! середньо! (1) може бути представлена у виглядк

5 =а-Х(1 -а)г +(1 -а) Л, (3)

1=0

де У(Ч - р1вень ряду у момент часу t - I;

- початкове значення експоненщально!

середньо! - експоненщальна середня для моменту часу, який передуе початку перюду анал1зу

(нульовий момент часу).

З формули (3) видно, що експоненщальна середня визначаеться ус1ма р1внями ряду дина-мши, що спостер1гаються, та початковими умо-вами - початковим значенням експоненщально! середньо! та параметром експоненщального згладжування. На цей час вщсутш строп правила встановлення початкових умов експоненщального згладжування. На думку автор1в, доцшьно визначати зазначеш показники таким чином, щоб мш1м1зувати вщхилення експонен-щальних середшх вщ вщповщних р1вшв ряду динамши, що анал1зуеться. За критерш оптима-льност може бути обрано мшм1защя суми квадрат1в вщхилень. Оскшьки сума квадрат1в вщхилень для ряду динамши р1зностей щн до-р1внюе вщповщному показнику для вихщного ряду динамши щн, задача оптим1защ! за назва-ним критер1ем виглядае таким чином:

ь=К-1 - У )2 ^ т1п;

=1

0 <а< 1,

(4)

де Ь - функщя цш;

5-1 - експоненщальш середш ряду динам> ки р1зностей р1вшв щн;

У( - р1вш ряду динамши р1зностей р1вшв щн (нумеращя з одинищ): У( = Р( - -1, де - се-реднш р1вень щн вщповщного перюду (нумеращя з нуля).

п - кшьюсть р1вняв ряду динамши р1зно-стей р1вшв ц1н, що анал1зуються.

У розгорнутому вигляд1 задача оптим!защ! задаеться таким чином:

Ь = (50 - У, )2 +1

( t-2

а-£(1-а)'у -

1=00

2

+(l-а)t-1 -^0 - У у

► тт;

'.(5)

0 <а<1.

У функщ! ц1л1 (Ь) змшними е 50 та а . В

загальному випадку задачу (5) доц1льно вир> шувати методами численно! оптим1зац1!, осю-льки для кожного значення п формальне вир1-шення задач! буде р!зним.

При використання численних метод!в опти-м!зац!! може бути запропонований !нший кри-тер!й оптимальност! - мш!м!защя середнього модул!в в!дносних вщхилень прогнозних р!вн!в ц!н в!д фактичних.

Сферою застосування розглянутого методичного шдходу е прогнозування р!вня щн на

t=2

короткостроковий перюд. Для прогнозування на довшi промiжки часу необхiдно використо-вувати шшу методичну базу.

На думку авторiв, середньострокове прогнозування ряду динамши цiн може бути виконано iз застосуванням авторегресшно! моделi рiз-ниць першого порядку.

Вiдбiр лагiв (зсувiв) для побудови авторегресшно! моделi доцiльно проводити на основi автокореляцшно! функцiй рiзниць першого порядку. На першому етапi вiдбираються можливi зсуви, автокореляцшна функцiя у яких мае ста-тистично значимий локальний максимум, тобто таю зсуви (1), яю вiдповiдають умовам:

Г-1 < Г > г+1;

Г > п, (6)

де п-1, п, г1+1 - коефiцiенти автокореляци перших рiзниць зi зсувом на 1 - 1, 7, / + 1 позицш вiдповiдно;

г* - рiвень статистично! значимостi коефщ>

енту автокореляци.

Як вiдомо, рiвень значимостi коефщенту автокореляци визначаеться за формулою [3]:

*

г = ■

1

1+-

п - 2 -1

(7)

■\2

t (а,п - 2 -1)

г

> а,

(8)

побудови авторегресшно! модел^ буде дорiв-нювати п - 1тах, де п - обсяг ряду динамши перших рiзниць. Тобто 1тах повинно бути таким, щоб забезпечити достaтнiй обсяг вибiрки для побудови регресшно! моделi iз заданою кiлькiстю факторних ознак.

Для подальшого вiдбору лaгiв, за якими буде побудовано регресшну модель, визначають-ся коефiцiенти кореляци залишку ряду вiд по-зицп (1тах +1) до позицп п з вiдповiдними зсу-нутими позицiями для лaгiв, що вщбраш на попередньому етaпi. Тобто, для лагу 1 це буде коефщент кореляци:

г (хг

— х ' X — X )

¡тах +1 ' п' ¡тах +1-1 ' п-1 ' '

Серед вiдiбрaних на попередньому етaпi лaгiв вiдбирaеться необхiднa кiлькiсть позицш з най-бiльшими коефiцiентaми кореляци. Також вщ-бiр можна проводити за критерiем мaксимiзaцil вiдношення коефщеипв, визначених за формулою (8).

При побудовi авторегресшно! моделi в якос-тi результуючо! ознаки виступае залишок ряду динaмiки рiзниць першого порядку. Тобто, ав-торегресiйнa модель мае вигляд:

х, = а0 + Е а.. • хt

1=1

(9)

де п - кiлькiсть елементiв ряду динамши;

, - зворотна функщя розподiлу Стьюдента; а - ймовiрнiсть помилки першого роду. При цьому, з множини лaгiв, що розгляда-ються, зсув на 1 позицш доцшьно виключити для подолання автокореляци вщхилень вiд мо-делi (залишюв).

При встaновленнi максимального лагу (тобто, при виборi останньо! факторно! змшно! ав-торегресiйно! моделi), необхщно вiдбирaти зсув для якого вщношення коефiцiенту автокореля-цi! до рiвня його знaчимостi е вiдносно великим (у порiвняннi з aнaлогiчним показником для шших лaгiв), тобто:

де а - константа, що встановлюеться на шд-

• • •• Г •

стaвi aнaлiзу рiвнiв — для ряду динaмiки, що

Г

розглядаеться.

Також при визнaченнi граничного зсуву (¡тах) необхiдно враховувати, що обсяг вибiр-ки, яка використовуеться безпосередньо для

де а0, а. - параметри моделi (коефiцiенти ре-гресi!);

X, - модельний (розрахунковий) елемент динaмiчного ряду рiзниць першого порядку ви-хiдного цiнового ряду динaмiки з порядковим номером ,;

х,^. - елемент динaмiчного ряду рiзниць

першого порядку з порядковим номером , -(тобто, зсунутий на вiдповiдну кшьюсть пози-Щй);

т - кшьюсть факторних ознак;

¡1 - лаг (зсув) з порядковим номером . з

вщбраних для побудови модель

Параметри моделi (9) можуть бути встанов-ленi методом найменших квадрапв, тобто шляхом вирiшення оптимiзaцiйно! зaдaчi:

п __т

Е ((- х )2 = Е(ао+Та ■ х'-г.- х)2 ^^ (10)

Них +1 И

де х, - фaктичнi (тi, що спостер^аються) еле-менти динaмiчного ряду рiзниць першого порядку.

На думку aвторiв, покращити якiсть прогнозування за допомогою aвторегресiйно! моделi

можна, якщо параметри ц1е1 модел1 встановлю-вати як результат виршення оптим!зацшно! задач! пошуку мшмуму суми квадрат1в вщхн-лень розрахункових та фактичних р!вшв вихщ-ного цшового ряду динамши. Тобто, для визна-чення параметр1в авторегресшно! модел! вирь шуеться задача оптишзацп:

Е (у- у )2 ^ =

(11)

де у( - розрахунковий елемент вих1дного ди-нам1чного ряду;

yt - фактичний елемент вихщного динам1ч-ного (ряду динамши цш).

Розрахунковий елемент вихщного динам1ч-ного ряду визначаеться як сума р1вня динам1ч-ного ряду у останнш момент базового перюду (тобто, якщо елементи вихщного ряду динамши нумеруються з 0, то це у^ ), та загального базисного приросту до моменту t, який, у свою чергу, е сумою модельних значень р1зниць першого порядку. Тобто, Уt задаеться формулою:

^ = Утах + Е

(12)

У свою чергу, модельш перш! прирости ви-значаються за формулою (9).

Об'еднавши назваш вище формули, можна поставити таку задачу оптишзацп, ршенням яко! е параметри авторегресшно! модели

=Е

^ ^'тах +1

(

Ут

- Е

к *тах +1

(

1=1

-л

^ min .(13)

Така модифшована авторегресшна модель значно краще за класичну апроксимуе цшов! ряди динамши.

На думку автор1в, застосування модифшо-вано! авторегресшно! модел! дозволяе отримати прогноз р1зниць першого порядку ряду динам> ки, який бшьше вщповщае р1вню вар!аци при-роспв. Тобто, ця модель дозволяе краще вщо-бразити волатильшсть ринку при прогнозуванш ринкових цш.

Побудова авторегресшно! модел! для про-гнозування ряду динамши грунтуеться лише на частит динам1чного ряду (факторною ознакою стае залишок динам1чного ряду, що слщуе за останшм лагом). Тривалють перюд прогнозу-вання, на думку автор1в, не повинна перевищу-вати тривалють частини ряду, на баз! яко! буду-еться авторегресшна модель. Тому, сферою за-

стосування розроблено! модифшовано! авторегресшно! модел! е середньострокове прогнозу-вання цшових ряд1в динамши. На думку автор1в, довгострокове прогнозування ди-нам1чного ряду може бути виконано шляхом його екстраполяци за допомогою апроксимую-чо! функци.

Цшов! ряди динамши, як правило, мають складну структуру. Вони мютять дшьнищ ви-схщного, низхщного та горизонтального руху цш, яки змшюють один одного без очевидних законом1рностей. Виконати безпосередньо ап-роксимащю таких мшливих динам1чних ряд1в досить складно. Тому, для виршення названо! задач!, доц!льно перейти вщ ц!нового ряду ди-намши до ряду його р!зниць першого порядку, завдяки чому, як правило, досягаеться виклю-чення з ряду динамши трецщв.

За сво!ми характеристиками ряди динамши р!зниць першого порядку близью до стацюнар-них. При цьому, для р!зниць першого ц!нових ряд!в динам!ки притаманна цикл!чн!сть, на основ! яко!, на думку автор!в, необхщно будувати прогноз. Як правило, цшов! ряди динам!ки складн! ! не можуть бути описан! одним циклом. 1х потр!бно розглядати як декшька взаем -но накладених циктв.

Як в!домо, для встановлення пер!од!в цикл!в у динам!чному ряд! може бути використано автокореляцшну функщю [4, глава 6], яка при зб!гу пер!оду з лагом (аргументом автокореля-ц!но! функц!!) мае локальний максимум. Проте, для автокореляц!но! функц!! р!зниць першого порядку ряд!в динамши ц!н е характерним р!ст ампттуди коливань з! зб!льшенням лаг!в. Тому, за абсолютним значенням автокореляц!йно! функц!!, прюритетними будуть вважатись бшь-ш! лаги. Для подолання цього недолшу, на думку автор!в, силу сигналу можливо вим!рювати в!дношенням автокореляцшо! функц!! до р!вня !! статистично! значимост!. Названий критер!й описаний формулами (8) та (7). Як перюди можна розглядати лаги, у яких автокореляцшна функщя мае локальш максимуми з найбшьши-ми значеннями критерда (8), у яких цей крите-р1й перевищуе одиницю.

Як вже вщзначалось, прогнозування р!зниць першого порядку цшового ряду динам!ки може грунтуватись на цикл!чних законом!рностях, що !м притаманн!. Тому математичну модель для апроксимацп цього ряду можна задати як лшшну комб!нац!ю синушв та косинус!в. При цьому перюди тригонометричних функц!й по-винн! вщповщати пер!одам цикл!в, як! виявлен! анал!зом автокореляц!йно! функц!! р!зниць

першого порядку цшового ряду динамiки. Тоб-то розрахункове значення приросту щни вира-жаеться залежнiстю:

(

X = а0 +

I

1 =1

(

а^ • 81п

( -1)

2п

Л 1

1

- Ь^ • 008

( т Л

(г- О" —

1 Л

, (14)

де хг - розрахункова ¿-та рiзниця першого порядку (прирют) цiнового ряду динамiки (нуме-ращя рiзниць першого порядку починаеться з 1, вщповщно, нумерацiя елементiв вихщного щ-нового ряду динамiки починаеться з 0);

а0, а1, Ь1 - параметри моделi;

т - юльюсть лагiв, вiдiбраних за результатами аналiзу автокореляцшно! функцп рiзниць першого порядку;

¡1 - 1-й лаг з вадбраних за результатами

аналiзу автокореляцшно! функци рiзниць пер-шого порядку;

п - число т.

Вiдповiдно, розрахунковi елементи вихщно-го цiнового ряду динамiки визначаються за формулою:

де уг - розрахунковий ¿-й елемент цшового ряду динамши;

у0 - початковий елемент цшового ряду ди-намши.

Оскiльки кiнцевою метою моделювання ряду рiзниць першого порядку е екстраполящя вихiдного цiнового ряду динамши, на думку авторiв, параметри моделi (14) доцiльно визна-чати як результат виршення задачi мiнiмiзацi! суми квадра^в рiзниць фактичних i модельних елементiв вихiдного ряду динамiки. Тобто, задача оптимiзацi! задаеться формулою:

!(( -У)2 ^т1п^

(16)

г=1

у = Уо+1

к '

к=1

п Г г Г т Г (

I У0 + 1 с - ь! а}- • 81п

г=1 V к=1 V 1=1 V V

(15)

(к -1) • ^

г,

На думку авторiв, розроблена у робот модель здатна вщобразити закономiрнi змiни щ-нового ряду динамши i може бути використана для цшей прогнозування.

Таким чином, у робот запропоновано вико-ристовувати для короткочасного прогнозування характеристик щн, яке потрiбне для коригуван-ня вартiсних показникiв об'ектiв порiвняння на вщмшнють моментiв фшсаци !хшх щн вiд дати оцiнки, адаптивного методу прогнозування, заснованого на експоненщальному згладжу-ваннi рiзниць (приростiв) ряду динамши. При цьому, пропонуеться удосконалення названого методу прогнозування за рахунок формалiзацi! вибору початкових умов (початкового значення експоненщально! середньо! та параметру екс-поненцiального згладжування). Вказана форма-лiзацiя досягаеться визначенням таких почат-кових умов, яю мiнiмiзують вiдхилення експо-ненцiальних середнiх вiд вiдповiдних рiвнiв ряду динамiки, що аналiзуеться. За критерш

де уг - фактичний ¿-й елемент цiнового ряду динамши;

п - номер останнього елементу цшового ряду динамши (загальна кшьюсть елементв вихiдного ряду дорiвнюе п +1).

Таким чином, при встановленш параметрiв моделi (14) використовуються увесь вихiдний цiновий ряд динамши, окрiм початкового (з номером 0).

У результат об'еднання формул задача оп-тимiзацi! для оцiнки параметрiв моделi (14) мае вигляд:

1 Г 2 111 ^

(к - 1) . - у г

г.

1 Л)

- Ь}- • 008

т1п .

(17)

оптимальност може бути обрано мiнiмiзацiя суми квадратiв вiдхилень. Зазначений методич-ний пiдхiд до прогнозування придатний для широкого спектру щнових динамiчних рядiв та дозволяе отримувати прогнози, яю мало зале-жать вщ суб'ективного погляду оцiнювача.

Запропоновано метод побудови модифшо-вано! авторегресшно! моделi для рiзниць першого порядку ряду динамши цiн, у якому параметри встановлюються як результат виршення оптимiзацiйно! задачi пошуку мiнiмуму суми квадратiв вiдхилень розрахункових та фактичних рiвнiв вихщного цiнового ряду динамiки. Затоптування тако! модифшацп дозволило зна-чно шдвищити якiсть середньострокового прогнозу щн.

Аналогiчна модифiкацiя методу оцiнки па-раметрiв регресiйноl моделi (шляхом мiнiмiза-ци суми квадратiв вiдхилень фактичних та розрахункових рiвнiв вихщного ряду динамiки цiн при побудовi моделi рiзниць першого порядку)

дозволяе будувати математичну модель для ап-роксимаци ряду динамши цiн як лшшну комб> нaцiю тригонометричних функцш. Така модель вiдбивaе зaкономiрнi змши цiн у чaсi та може застосовуватись для довгострокового прогно-зування !х динaмiки.

Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК

1. Методичш основи грошово!' оцшки земель в Украш [Текст] : навч. поабник / Ю. Ф. Дехтя-ренко [та ш.]. - К.: Проф1, 2007. - 624 с.

2. Лукашин, Ю. П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования [Текст] / Ю. П. Лукашин. - М.: Статистика, 1979. - 256 с.

3. Фёрстер, Э. Методы корреляционного и регрессионного анализа [Текст] : рук-во для экономистов / Э. Фёрстер, Б. Рёнц; [пер. с нем. и пре-дисл. В. М. Ивановой]. - М.: Финансы и статистика, 1983. - 302 с.

4. Орлов, А. И. Эконометрика [Текст] : учебник / А. И. Орлов. - М.: Изд-во «Экзамен», 2002. -576 с.

Надшшла до редколегп 06.12.2011.

Прийнята до друку 12.12.2011.

О. Н. ГНЕННЫЙ

К ВОПРОСУ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ ЦЕН В ПРОЦЕССЕ ОЦЕНКИ ИМУЩЕСТВА

Рассмотрены вопросы краткосрочного, среднесрочного и долгосрочного прогнозирования динамики цен. Предложено усовершенствование методов краткосрочного прогнозирования на основе экспоненциального сглаживания. Разработана модифицированная авторегрессионная модель разностей первого порядка для среднесрочного прогнозирования. Предложен метод построения аппроксимирующей функции разностей первого порядка как линейной комбинации тригонометрических функций, которая может использоваться для долгосрочного прогнозирования.

Ключевые слова: оценка имущества, прогноз, ряд динамики цен, экспоненциальное сглаживание, авторегрессионная модель, автокорреляционная функция, аппроксимация

O. N. GNENNYI

TO THE ISSUE OF FORECASTING PRICE DYNAMICS IN THE PROPERTY VALUATION

The problems of short-, medium- and long-term forecasting price dynamics are considered. The improvement of short-term forecasting techniques based on exponential smoothing is proposed. A modified autoregressive model of the first-order differences for the medium-term forecasting is developed. A method of constructing the approximating function of the first-order differences as a linear combination of trigonometric functions, which can be used for long-term forecasting, is proposed.

Keywords: property valuation, forecasting, number of price changes, exponential smoothing, autoregressive model, autocorrelation function, approximation