CC BY
41
К ВОПРОСУ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОММИВОЯЖЕРА
Л.Т. Буслаева
Институт математики и механики Уральского отделения Российской академии наук, г Екатеринбург
Исследуется устойчивость решения метрической задачи коммивояжера при изменении положения одного города Для решения по правилу "иди в ближний" доказано достаточное условие устойчивости Это условие иллюстрируется на модельном примере для евклидовой метрики Проводится сравнение численных результатов решения задачи об устойчивости маршрутов по правилу "иди в ближний" и оптимального
Рассмотрим метрическую задачу коммивояжера (ЗК) с незамкнутым маршрутом. Имеется то + 1 точка г,, хг £ Л™, г £ 0, то. Коммивояжер, начиная движение из начальной точки жо, по одному разу посещает каждую точку хг, г £ 1, то, и не возвращается в начальную. Точки хг, г £ 0, то, задаются в координатной системе, и затем в евклидовой метрике вычисляются элементы рг] = р(х1,х]) = ||.тг - х3\\ матрицы затрат А - \\Рг]\\(т+1)хт-Полагаем, что Уг, г £ 0,ш, р1} ф рц при ] ф к, ], к £ 1, то, если г = 0 и ],к £ 1,т\{г}, если г ф 0. Пусть по .алгоритму, доставляющему либо оптимальное, либо приближенное решение, определен маршрут обхода точек. Нас интересует устойчивость этого маршрута при изменении положения любой из точек ж,, г £ 0, та. Исследования устойчивости решения ЗК проводились в [1 - 3]. Вопросы устойчивости траекторных задач дискретной оптимизации рассматривались также, например, в [4 - 6].В данной рабо!е задание точек хг в координатной системе позволило аналитически записать области устойчивости маршрута по правилу "'иди в ближний" относительно этих точек. При хг £ Я2, V? € 0,т, построение областей устойчивости для такого правила можно выполнить графическим путем, а области устойчивости оптимального решения, определенные численным образом, можно также наглядно представить на плоскости.
Так как мы предположили, что равноудаленных точек среди ж,, г £ 0,то, нет, то, следуя правилу "иди в ближний", мы получим единственный маршрут А = (А(1),..., А(то)) обхода точек хг, г £ 1, то.
Определение. Маршрут А = (А(1),..., А (то)) обхода точек хг, хг 6 Лп, г £ 1 ,то, из начальной точки х0 устойчив относительно точки хг, г £ 0, то, если возмущение исходного положения этой точки не изменяет маршрут.
38
Л Т Буслаева
Полагаем, что А(0) = 0 и а?А(о) - хо. Определим Vz £ 1,т множества S\(t) = 5,л(г)(а.-л(«-1)> ^А(г))' S4') с следующим образом:
S\(,) = {z:ze Rn, р{х А(,_1),г) < p(®A(t-i),®A(.))}-
Множество 5д(,) есть шар радиуса а^.)) с центром в точке »>(>-1)-
Определим Vi,; £ Т^гп, г ф j множества GX(t),\(3) = <?A(t),A(j)(®A(.)>®A(,))> Gл(»),ло) С Rni следующим образом:
СА(г),Л0) = {z ■ z £ Rn, p(xx(t),z) < p{xX(j),z)}.
Пространство Rn разделяется на два полупространства (?а(«),а(.?) и ^a(j),a(») так, что их граница равноудалена от точек жд^ и х\(3)- При этом выполняются УСЛОВИЯ: XX(t) £ <?а(«),а(.?) и х\(з) е СЦз)Л(г)-
Полагаем, что v(k), к £ 1, то, есть номер точки, для которой выполняется условие
и(к) = г, р{ха(*-1),ж,)= _ min _ р(хA(fc_1),icJ).
Определим множества = Dv(k)(x\(k-i),xv(k)), A,(fc) С Än:
= {2 : 2 G < КжА(А-1),®1,(/Ь))}-
Множество Dv(k) есть шаР радиусаp(x\(k-i),v(k)) c центром в точке £>(¿-1)-Наконец, зададим Уг 6 0, ш множества F, = ^(агд^о)? ЖА(1)? • • • > х\(ш)):
А m
Fo = П <?А(1),А(«));
г—2
Д m
- П Сл(2),А(г));
1—3
Fi
F2 F3
Fk
л
l
\ U ^Л(г))П(П G,A(3),A(i));
i—l «=4
л 2 m
= (А,(з)\ U %))П(П GA(4),A(i));
г=1 г=5
А
Jt-1
(A/(fc) \ U 5А(,))П( П i?A(fe+l),A(i));
г=1 г=к+2
д т—3
iSri-2 = {Dy(m-2) \ U ^А(г))ПСА(т-1),А(т);
г=1
А т"~2
¿т-1 = Dv(m-1) \ U S\{i)\
г=1
Fm = Rn\m\JSx(t). t—i
(1)
К ВОПРОСУ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОММИВОЯЖЕРА 39
Теорема. Для устойчивости маршрута А = (А(1),..., А (то.)) при изменении исходного положения одной точки х„ г £ 0, то, достаточно выполнения условия хл(г) 6 ^г(а:л(0),хл(1),...,хл(пг)).
Доказательство. Пусть при изменении точки Жд(г), г £ 0, то, выполняется условие Хх(г) £ .Р,, г 6 0, то. Покажем, что при таком возмущении точки маршрут А = (А(1),..., А(тп)) устойчив. Обозначим через р - (р(1),..., р{т)) маршрут по правилу "иди в ближний" при изменении одной точки г £ О, то. Доказательство проведем последовательно для случаев жА(г) £ г = 0,1,..., то. В случае возмущения точки жЛ(0) из определения множества /'о следует, что ближайшей точкой к произвольному жЛ(о) £ ^о является точка хХщ, так что р(1) = А(1). Далее очевидно р(г) = А(г), Уг £ 2, то. Пусть возмущается точка хд(ф € Из условия жд(!) £ ^1/(1) и незамкнутости множества ¿^(х) следует, что ближайшей к точке хд(0) является точка жд^), так что /х( 1) = А(1). Из условия
т
ЖА(1) С П ^А(2),А(г) вытекает, что р{2) = А(2) и далее справедливы равен-
г=3
ства р(г) = А(г), г £ 3, то. Пусть хХ(к) 6 2 < к < то - 1. Из условия
/к-1 __
жА((г) 4- и ^(г)' вытекает, что //(г) = А(г), Уг £ 1. Так как жд^) £
г=1
т
Бф^ ю р(к) = г/(Аг). Из условия хЦк] е П С,А(^+1),А(г) вытекает, что
г=к+2
р(к +1) - А(/г +1), и далее выполняются равенства /х(г) = А(г), г £ к + 2, те.
гтг-2
Пусть ж,\(„г_1) £ • Снова из условия £д(т_1) ^ и 5д(г) вытекает после-
г = 1
довательное выполнение равенств /¿(г) = А(г), для г = 1,..., т — 2. Так как х\(т~1) ^ А/(т-1) и множество -0„(т_1) открытое, то ¿и(то — 1) = А(то — 1) и далее р(т) — А (то). Для случая жд(от) £ F)7г доказательство очевидно.
Модельный пример. Пусть обход точеь происходит на плоскости, ю есть Уг £ 0, то жг = ж[2') £ /?2. Из начальной точки ж о ~ (0; 0) совершается обход то (//г = 6) точек: х\ = (-10.0; -1.0), х2 = (-4.0; -3.0), жз = (1.0;6.0), ж4 = (4.0; -8,0), ж5 = (7.0; 2.0), ж6 = (-5.0;-8.0). Расстояние
р{хих3) определяется по формуле р(хг,х]) ~ у (ж, - з-'1^)2 + (х\ ~ По правилу "иди в ближний" получаем маршрут А = (2,6,1,3,5,4). Используя условия теоремы и определение (1) множеств V/ £ 0,то, можно аналитически записать эти множества. При обходе точек на плоскости множества 5д(,) и являются кругами. Множества Сгд^д^) и С?д^),А(г) есть полуплоскости с границей, равноудаленной от точек Жд^) и жл^у Построение множеств устойчивости можно выполнить графическим путем. На рис.1 6 приведены соответственно множества Г\, г £ 0,5, построенные графическим путем, и маршрут А = (2,6,1,3,5,4).
Рис.1. Множество Го устойчивости маршрута Л = (2,6,1,3,5,4) относительно точки «о
Рис.2. Множество ^ устойчиво маршрута Л = (2, б, 1,3/ относительно точки 2:2=1
Рис 3 Множество устойчивости маршрута Л = (2, 6,1,3, 5, 4) относительно точки хе = £л(2)
Рис 4 Множество Кз устойчивое маршрута Л = (2,6,1,3,5, относительно точки г1! = Хц
К ВОПРОСУ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОММИВОЯЖЕРА 41
.3-19.4-14.6 -9.7 -4.9
4.9
сч
со со
04 5 \
СО 1Л 1*\ \>5 / / /
-11.2 -5.6 \ И
-16.8 -11.2 -5.6 5.6 11.2 16.8 Х
Рис.5. Множество 1<\ устойчивости маршрута Л = (2,6,1,3,5,4) относительно точки Хз — ЯЛ(4)
Рис.6. Множество устойчивости маршрута Л — (2,6,1, 3, 5,4) относительно точки Х5 = 1'А(5)
V
....з----
1?:г /
7=
4.1-9 4 -4.7 4.7 9.4 14.1
-14.1 -9.4 -4.7
4.7 9 4 14.1
Рис.7 Точки хз = хх°(1) устойчивости маршрута Д° = (3,5,4,6,2,1) (заштрихованы)
Рис.8. Точки Ж5 = жл°(2) устойчивости маршрута А0 = (3,5,4, б, 2,1) (заштрихованы)
Рис.9 Точки Ж4 = ЖЛ0(3) УСТОЙЧИВОСТИ Рис.10. Точки Х6 — Яа°(4) устойч
маршрута А0 = (3, 5, 4, 6, 2,1) маршрута А0 = (3,5,4,6,3
(заштрихованы) (заштрихованы)
Численное сравнение устойчивости алгоритмов маршрутизации. Полагаем, что затраты, оценивающие обход из начальной точки хо точек ж,, г 6 1,ш, в очередности А 6 (6г)[Г~т], определяются формулой
т—1
С(ж0.А)= ^ р(хЛ(1),жЛ(1+1)), ! = 0
где через (Ьг)[1, ш] обозначено множество всех возможных перестановок чисел 1, то. Оптимальный маршрут А0 = (Л°(1),..., А°(то)) и отвечающая ему плата определяются из условия
т — 1
С(х0, А°) = min Y, Р(хЦг)^ХЦг+1)) ■ (2)
Ае(бг)[Г^Г] г=0
Для определения оптимального решения использовалась процедура последовательного анализа вариантов с отсечением [7]. Получаем оптимальный маршрут А0 = (3,5,4,6,2,1) и плату С(ж0,А0) = 44.1577, удовлетворяющую (2). Для маршрута по правилу "иди в ближний" плата С(х0, А) равна 49.3912.
К ВОПРОСУ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОММИВОЯЖЕРА 43
4 ч
СП
ш
о ....
ГО
1Л
..........: — /
ю ......../
ш 1 / /
со ы-и
о
СП
т
-21.2 -15.9 -10.6 -5.3 5 3 Ю.ё
Рис 11 Точки Л"2 = ¿'л°(5) устойчивости Рис 12 Точки Х'1 = ¿Аи(ь) устойчивое 111
маршрута Л° = (3,5,4,6,2,1) маршрута А0 = (3,5 4,6,2 1)
(заштрихованы) (заштрихованы).
Проведем сравнение численных результатов решения задачи об устойчивости маршрутов по правилу "'иди в ближний" и оптимальною.
■'о
¿1
ж 2
•1'3
•1' 1
>1' 5
6
А0 = (3,5,4,6,2. 1) 696 211 106 73 91 132 116
А = (2,6,1,3,5,4) 59 10 16 248 1902 382 57
Определим множество Мо = А/Д( {.г'о} и1 З'г )■ Где - = (~ь: £ [-25:25]. г2 € [ -25; 25]}. При проведении расчетов точки х, € Л2, V/ е О7т, •'пробегают" множество М0 с шагом Ас = 1 по обеим координатам. Число расчетов при этом равно 2594. Маршрут Аи = (3,5,4,6,2,1) и множества его устойчивости относительно точек хг, / в 1,6, приведены на рис. 7 - 12. Множества ус гойчивости маршрута по правилу "иди в ближний". полученные вычислительным экспериментом, совпали ( в пределах множеств
44 Л Т Буслаева
множеств Мо) с множествами Г^ г £ 0,6 В таблице (с 43) приведены чис ла точек устойчивос[и маршрутов А0 = (3,5,4,6,2,1) и А = (2,6,1,3,5,4) относительно Уж,, г £ 0,6
Список литературы
1 Леонтьев В.К. Устойчивость jadanti коммивояжера//УКурн вычисл ма1емати ки и мат физики 1975 Т 15 №5 С 1298 1409
2 Леонтьев D.K. Устойчивость в линеиньп дискретных задачах/ / Пробл кибер НС1ИКИ 1979 Вып 35 С 169 184
3 Леонтьев В.К., Гордеев Э.Н. 1\аче< meennot исс гедование траекторныт шдачЦ Кибернетика 1986 №5 С 82 89
4 Согсков Ю.Н. Исследование устойчивости приближенного решения буневой за дачи минимизации линеинои формы // /kvpn вычисл матемахики и мат физики 199? 1 33 №5 ( 785 795
5 Козерацкая Л.Н , Лебедева Т.Т., Сергиенко И.В Задачи дис крегпнои опта иизации utt гедование устойчивости // Обофение прикладной и промышленной магемашки 1993 I 2 выи 1 С 13 3U
6 Касшпицкая М.Ф., Глушкова В.В. Некоторые вопросы решения задачи ком миьояжьра//Кпберт шка 1985 N;5 С 121 122
7 Буслаева Л Т., Ченцов А Г. О дско ипозиции процыса пос м-доьапи сьного вы бора вариантов// Маасмагичс < кое моде шрование 1491 1 5 V4 ( 1U! IIS
