CC BY
40
УДК 519.6
ОБ ОДНОМ НЕСТАЦИОНАРНОМ ВАРИАНТЕ ОБОБЩЕННОЙ ЗАДАЧИ КУРЬЕРА С ВНУТРЕННИМИ РАБОТАМИ
А.Г. Ченцов, П.А. Ченцов
Рассматривается задача последовательного обхода мегаполисов с условиями предшествования и выполнением работ в пределах данных мегаполисов. Предполагается, что стоимости перемещений зависят от параметра, который имеет смысл дискретного времени; упомянутая зависимость может отражать приоритеты клиентов, связанных с обслуживаемыми мегаполисами и частично компенсирующих затраты исполнителей. Построенный метод решения объективно отвечает широко понимаемому динамическому программированию, применяемому для решения задачи маршрутизации с ограничениями. Предложено расширение исходной задачи, использующее эквивалентное преобразование системы ограничений, в результате чего допустимость (маршрутов) по предшествованию заменяется допустимостью «по вычеркиванию» (заданий из списка). Тем самым ограничения на маршрут в целом сводятся к системе ограничений на текущие перемещения, что позволяет получить уравнение Беллмана. Для использования последнего в вычислительной процедуре построения слоев функции Беллмана используется подход, в рамках которого предусматривается построение всего массива значений упомянутой функции; данный подход базируется на использовании только существенных (по предшествованию) списков заданий, чем достигается экономия вычислений.
Приложения развиваемой теории могут быть связаны с задачами, касающимися снижения облучаемое™ персонала атомных электростанций при работах в условиях аварийных ситуаций, а также с задачами транспортного обслуживания большого числа клиентов при наличии условий приоритетности, влияющих на выбор очередности обслуживания.
Ключевые слова:.маршрут, условия предшествования, динамическое программирование.
Введение
Настоящая работа продолжает исследования [1-4] в постановке, включающей особенность, подобную отмеченной в [о] (пестациоттарпость в задании функций стоимости). Исследуется задача маршрутизации перемещений, связанных с посещением мегаполисов (непустых конечных множеств) и выполнением в пределах этих мегаполисов работ, именуемых далее внутренними. Предполагается, что некоторый исполнитель покидает начальный пункт (базу), перемещается к первому мегаполису с целыо выполнения (в его пределах) некоторых работ, после чего покидает его и перемещается ко второму мегаполису, где также выполняет работы; далее процесс повторяется. Надо выбрать очередность посещения мегаполисов и конкретный вариант реализации упомянутого посещения (следует указать пункты или «города> прибытия и отправления). Рассматриваемой в дальнейшем постановке могут отвечать различные содержательные задачи (в этой связи см. заключение статьи). Отметим сейчас только одну Речь идет о посещении исполнителем системы производственных помещений, в которых имеются рабочие места, подлежащие обслуживанию с соблюдением ограничений технологического характера; в простейшем случае это может быть одно рабочее место, где требуется выполнить некоторую операцию. Можно допустить, что в пределах помещений исполнитель сталкивается с повышенным уровнем воздействия вредных
факторов (например, радиации). Эта воздействия, включая внешний фон, суммируются. Возникает задача о том как выбрать очередность посещения производственных помещений, а также конкретную траекторию перемещений, включающую «внешние» фрагменты и участки, связанные с пребыванием в самих помещениях. Упомянутые участки определяются набором входов и выходов для каждого посещаемого помещения. Именно па этих участках происходит выполнение внутренних работ. В силу упомянутых причин можно принять, что система входов-выходов для каждого помещения рассматривается как мегаполис, а сами входы-выходы - как «города:», через которые осуществляется вход для выполнения (внутренних) работ и последующий выход. В рамках естественной, для задачи с аддитивным вариантом агрегирования затрат, иерархической схемы можно без потери качества полагать, что упомянутые работы выполняются всякий раз оптимально, а их влияние па процесс проявляется, в частности, в том, что пункт прибытия па соответствующий мегаполис и пункт отправления могут не совпадать, что и отвечает выполняемой работе. Исследуемая ниже постановка допускает использование ограничений в виде условий предшествования.
Можно указать и другие прикладные задачи, приводящие к постановке настоящей работы. Так, в частности, можно рассматривать вопрос о последовательном выделении транспортных средств для осуществления перевозок в пределах указанных заранее территорий; при этом заданы или оптимизируются пункты посещения, рассматриваемые как «города». Можно полагать, что «города» объединены в совокупности - мегаполисы, в пределах которых действуют однородные в финансовом отношении условия, определяемые тем или иным заказчиком (клиентом) и отражающиеся в стоимости работ в интересах последнего. Исполнителю приходится считаться с претензиями клиентов. Это может, в частности, проявляться в следующем.
Индексы, соответствующие очередности посещения мегаполисов, интерпретируются как моменты времени в системе внешних перемещений, эти моменты могут в большей или меньшей степени отвечать интересам лиц (клиентов), заинтересованных в выполнении работ в пределах соответствующих мегаполисов. Если момент посещения мегаполиса исполнителем
«»
часть затрат исполнителя; в противном случае он может этого не делать и, более того,
«»
тересов такого рода: все клиенты заинтересованы в скорейшем обслуживании, что в полной мере невозможно как в связи с наличием большого числа мегаполисов, так и в связи с объективными ограничениями директивного характера. Возникает естественный вопрос: как упорядочить процесс посещения мегаполисов с целыо минимизации совокупных затрат,
«»
«»
Во всех вышеупомянутых случаях речь идет о перемещениях в заданном множестве X с системой конечных подмножеств Ы\,Мм Фиксируется база (начальная точка) х°. из которой стартует исполнитель, обязанный посетить все множества (мегаполисы) М^ и выполнить в пределах каждого из них соответствующие работы. Он обязан соблюдать при
«»
(условия предшествования). Стоимости перемещений и внутренних работ, зависящие от номера в очереди, суммируются. В процессе решения следует прооптимизировать совокупный маршрут (с фрагментами внешних перемещений и внутренних работ) по вышеупомянутому аддитивному критерию.
Итак, рассматриваемая ниже постановка может отвечать различным содержательным
«»
представляется важным выяснить некоторые общие свойства решений. В частности, имеет смысл обсудить теоретические положения, связанные с применением широко понимаемого
динамического программирования, рассматривая последнее как некую общую основу конструкций последовательной оптимизации в условиях ограничений. Отметим, что конструируемый ниже вариант метода динамического программирования обладает рядом особенностей. Так, в частности, здесь, как и в [1-4], не предусматривается построение всего массива значений функции Беллматта. Вторая важная особенность, также имеющая отношение к
«»
числятотся значения упомянутой функции, не включается временной (по смыслу) параметр, а каждая из используемых далее позиций остается, как и в [1-4], упорядоченной парой. Первый элемент этой пары является текущим состоянием процесса, а второй - списком заданий.
«»
«»
качественном, так и в количественном отношении, что важно с точки зрения последующего построения и храпения массива значений функции Беллматта.
Работа имеет следующую структуру: после введения общих обозначений (включая, по ряду причин, и некоторые традиционные) приведена постановка задачи, предваряемая серией замечаний содержательного характера; затем конструируется расширение основной
«
»
Беллматта); наконец, осуществляется построение оптимального решения в виде соответствующей пары маршрут-трасса и излагаются результаты вычислительного эксперимента с использованием ПЭВМ.
1. Обозначения общего характера
В дальнейшем используем сокращения: ОЗМ - осттовттая задача маршрутизации, п/м
- подмножество, УП - упорядоченная пара. Для сокращенной записи словесных высказываний используем кванторы и пропозициональные связки; через = обозначаем равенство по определению, 0 - пустое множество. Семейством называем множество, все элементы которого сами являются множествами. Если х и у - какие-либо объекты, то через {х; у} обозначаем множество, содержащее х, у и не содержащее никаких других элементов. Для
каждого объекта г в виде {г} = {г; г} имеем одноэлементное множество, содержащее г. Каждое множество является объектом, а тогда для любых двух множеств А, В определено непустое семейство {А; В}. С учетом этого определяется ([6], с. 67) УП: если х и у - объекты, то (х,у) = {{х}; {х; у}} есть УП с первым элементом х и вторым элементом у. Если г, - какая-либо УП, то через рг1(,г) и рг2(;г) обозначаем соответственно первый и второй элементы г, которые (как объекты) однозначно определяются условием г = (рг^г), р^г)). Данное соглашение существенно, в частности, при указании стоимостей внутренних работ.
Как обычно, полагаем для любых трех объектов х, р г^о (х, у, г) = ((х,у),г), получая триплет с первым элементом х, вторым элементом у и третьим элементом г.
Через V(Б) (через V'(Б)) обозначаем семейство всех (всех непустых) п/м произвольного множества Б; кроме того, в этом случае Рт(Б) есть по определению семейство всех конечных множеств из V'(Б). Если А и В - множества, Н - отображение из А в В (т. е. Н : А ^ В) и
С € V'(А), то через (Н\С) обозначаем сужение Н на С; (Н\С)(х) = Н(х) Ух € С. Напомним
о традиционных правилах экономии скобок для функций нескольких переменных. Так, для всяких множеств А, В и С, отображения д : А х В ^ С, точек а € А и Ь € В полагаем
д(а,Ь) = д(и), где и = (а, Ь) (при этом, конечно, а = рг1(и) и Ь = рг2(и)). Аналогичным образом, для произвольных множеств А, В, С ж ^отображения в : А х В х С ^ О, а
также точек а € А, Ь € Вше € С полагаем в(а, Ь, с) = в(ь), где V = (а, Ь, с).
В дальнейшем К - вещественная прямая, [0, гс>[ = {£ € К\ 0 ^ £}, N = {1; 2;...}, N =
{0} и N = {0; 1; 2;...}, к,1 = {г € N0 \ (к ^ г)&(г ^ 1)}Ук € N0 У1 € N0 (допускается реализация пустого множества). Для произвольного множества Б через ^+[Б] обозначаем множество всех вещественнозначных неотрицательных функций на Б. Если К - непустое конечное множество, то через \К\ обозначаем мощность (количество элементов) К, \К\ € №
полагаем также \0\ = 0. С данным определением естественно связывается понятие биекции «отрезка> N па непустое конечное множество: если К - непустое конечное множество, то через (Ы)[К] обозначаем множество всех биекций ([7], с. 86) «отрезка> 1,\К\ на К; (Ы)[К] = 0. Перестановкой произвольного непустого множества А называется ([7], с. 87)
А
2. Постановка задачи
Всюду в дальнейшем фиксируем число N € N то свойств ом 2 ^ М, непустое множество X, точку х0 € X, именуемую базой, а также кортеж
(Иг)г^ : 1М Ет(Х) (2.1)
целевых множеств, именуемых далее мегаполисами. Итак, М1,..., МN - суть мегаполисы. В связи с (2.1) полагаем далее, что
(х0 € М'} УЗ € 1М &(МР П Мя = 0 Ур € 1,М Уд € 1,М \ {р}). (2.2)
Фиксируем в дальнейшем множество К € Р(1, N х 1, М) (К - п/м «квадрата> 1,М х 1,М; случай К = 0 не исключается); эле менты К (а это - УП) именуем адресными парами. При г € К рассматриваем 1 = р^(г) € 1,М как отправителя, а j = р^(г) € 1,М - как получателя (сообщения, груза), что по смыслу предполагает посещение мегаполиса М{ раньше, чем посещение Му Итак, М, X, х0, М1,..., MN, К - суть параметры задачи. Полезно ввести также множество
N
X = {х0} и (и М^ (2.3)
г=1
с тем, чтобы в последующих построениях заменить X на X € Ет(Х). В виде (2.3) получаем фазовое пространство рассматриваемого процесса. Через Р обозначаем множество всех
перестановок «отрезка> 1, N Р = (Ы)[1,М]. Если а € Р, то через а-1 обозначаем перестановку из Р, обратную к а : а-1 € Р и а-1[а(к))= а(а-1(к))= к Ук € 1,М Перестановки РК
А = {а € Р\ а-1 (рг1(г)) < а-1 (рг2(г)) У г € К}; (2.4)
Р,
ванпю: А есть (в точности) множество всех маршрутов, каждый из которых для всякой адресной пары осуществляет посещение отправителя рапытте, чем посещение соответствующего получателя. Всюду в дальнейшем полагаем выполненным
Условие 3.1. УК0 € V'(К) Зг0 € К0 : рг1(г0) = рг2(г) Уг € К0.
В ([4], часть 2) показано, что (при условии 3.1) А = 0; см. ([4], (2.2.53)). Мы рассматриваем ниже задачу о построении перемещений вида
х° ^ (г1 € Ма(1) х Ма(1)) ^ ... ^ (гN € МаN) х МаN)), (2-5)
где а € А и УП Zl,...,ZN могут выбираться произвольно. Содержательный смысл (2.5)
а
перемещается с базы х0 в пункт прибытия х^ = рг^г!) € Ма(1), выполняет работы, связанные с Ма(1) и завершаемые в пункте х21) = рГ2(г1) € Ма(1), после чего перемещается в (2)
пункт прибытия х\ = рГ1 (г2) € Ма(2) мегаполпса Ма(2), выполняет соответствующие ра-
(2)
боты, завершая их в пункте х2 = Рг2(г2) € Ма(2); дальнейшие перемещения аналогичны.
Задача организации перемещений вида (2.5) рассматривалась в [1, 2, 3] и в ряде других работ. Особенностью является специфический характер функций стоимости внешних перемещений в (2.5) и соответствующих (внутренних) работ.
Функции стоимости. Мы полагаем далее, что внешние перемещения в (2.5) характеризуются стоимостями, зависящими от индекса мегаполиса, па который осуществляется перемещение, и «момента времени» (два упомянутых обстоятельства па деле взаимосвязаны) : заданы функции (на деле - «объемные» матрицы)
с1 € ^+[Х х М1 х 1, М],. ..,cN € П+[Х х MN х 1,М]. (2.6)
В связи с (2.6) заметим, что при 3 € 1,М, х € X, у € М? и £ € 1,М значение Cj (х, у, £) € [0, гс>[
характеризует стоимость перемещения из х в точку у, завершаемого в «момент времени» £. Индекс з, используемый в реализации соответствующей функции из (2.6), учитывает возможную заинтересованность или, напротив, незаинтересованность клиента, ответственного за обслуживание Mj, в осуществлении такого перемещения именно в «момент» £.
Замечание 1. В принципе система (2.6) может быть сведена к одной функции
N
с : X х (У М^ х1,М -^ [0, го[,
г=1
которая с учетом (2.2) получается склеиванием Cl,...,CN. Дело в том, что по каждому
N ____ ”
элементу у € У Мг определяется единственный индекс j[y] € 1,М, для которого у € М^щ. г=1
Тогда (при х € X и £ € 1,М) можно полагать с(х,у,£) = С5[у](х,у,1).
«»
С1 € П+М х М1 х 1, М],..., CN € R+[MN х MN х 1, М]. (2-7)
Замечание 2. При 3 € 1,М, х € Mj, у € М? и £ € 1,М величина с?(х,у,Ь) характеризует стоимость работ, выполняемых исполнителем в пределах мегаполиса М? в «момент» £ при условии, что х есть пункт прибытия в мегаполис М?, а у есть соответствующий пункт отправления. Упомянутый набор параметров з, х, у, £ может, вообще говоря, и не определять однозначно вариант выполнения соответствующих внутренних работ, их можно осуществлять лучше или хуже в смысле реальной стоимости. Однако мы ориентируемся па вариант, являющийся ттаилучптим, имея в виду соображения минимизации совокупного аддитивного критерия. Поэтому с?(х, у, £) определяем как экстремум внутренних работ в пределах М?
х
у.
«городов» мегаполиса (имеются в виду точки М?) с началом в х и завершением в у, то с?(х,у,£) есть минимум суммы стоимостей перемещений между городами вдоль того или иного (внутреннего) маршрута; эти стоимости могут зависеть от I. Заметим, что определение значений с?(х,у,£) можно отнести к решению задач нижнего уровня иерархической схемы, после чего эти значения передаются па верхний уровень для решения (основной) макрозадачи. В результате такого решения будет найден оптимальный вариант построения
перемещений в (2.5) и, в частности, будут конкретизированы соответствующие этому варианту значения параметров х, у, £ при посещении М? : будут реализованы маршрут а0 € А и узлы трассы г0,...,гN, после чего нужная версия х, у и £ будет представлена в виде
х = р^(г°), у = рг2(г°), г = т (2.8)
при 3 = а0(т). После этого можно конкретизировать вариант выполнения внутренних работ,
«»
ются «связки» компонент УП г0,..., гN, и формируется совокупный процесс, включающий внешние перемещения вида (2.5) и фрагменты внутренних работ, осуществляемых оптимально при фиксации УП г0 € Мао (1) х Мао (1),... ,гN € Мао^) х Мао^). В теоретических построениях настоящей работы мы занимаемся решением задачи верхнего уровня, считая, что решение задач нижнего уровня затруднений не составляет (в случае, когда внутренние работы сводятся к решению задачи коммивояжера, это соответствует случаю, когда число «»
N
Всюду в дальнейшем фиксируем / € 'Я,+ [и Мг] .Функция / оценивает финальное состо-
г=1
яние в (2.5): в качестве соответствующей оценки используется значение / (pr2(гN))■ Таким образом можно, в частности, оценить, если это требуется, перемещение из пункта pr2(zN) па базу, что типично для задачи коммивояжера. Возвращаясь к (2.5), введем трассы (траектории), согласованные с наперед выбранным маршрутом. Условимся в этой связи через Z обозначать множество всех кортежей
(гг)гео^ : 0,М ^ X х ^ (2-9)
Определяем трассы в виде кортежей (2.9). Пусть (в соответствии с (2.5))
Еа = {(гг)ге0^ € Z | ^ = (х°, х0)) & (г? € Ма? х Ма? V] € 1,М)} Vа € Р. (2.10)
Итак, определены всевозможные трассы перемещений, согласованные с выбранным маршрутом. Разумеется, Еа € Пп^) Уа € Р. Если а € А и (гг)геой €Еа, то
N N
п(а, (гг)г&0^) =^ Са(г){Р^2(г*-1), рг^г*),*) + ^ Са(г)(гг, £) + /(р^2(гN)). (2-11)
г=1 г=1
В терминах (2.11) определен, в частности (см. (2.10)), аддитивный критерий. Основная задача маршрутизации (ОЗМ), исследуемая в дальнейшем, имеет вид
П(а, (гг)г&о^) —> тт, а € А, (гг^ой € Е (2.12)
Ограничения ОЗМ (2.12) совместны; данной задаче соответствует значение (глобальный
экстремум)
V = тт тт П(а, ^г&Щ)€ [0, то[ (2-13)
и непустое множество оптимальных решений, являющихся каждое УП марптрут-трасса; при этом пару (а0, (г°)гeоN)€ А х Z, для которой (г°)гeоN € Еао, называем оптимальной, если П(а0, (г^г^ош) = V. Наша цель будет состоять в нахождении V (2.13) и какой-либо оптимальной пары марптрут-трасса.
3. Расширение основной задачи
Следуя логике построений в [1-4], рассмотрим естественное преобразование системы
«
вычеркиванию». Данное преобразование не изменяет «запас» допустимых маршрутов и приводит к более удобной системе (укороченных) задач, образующих расширение ОЗМ; в
его терминах будет введена функция Веллмана. Пусть N = V;(1,Ж) и N = N и {0} (тогда N = V(1, ^)). Следуя ([4], часть 2), полагаем
Н[К] = {г € К| (рг1(г) € К) & (рг2(г) € К)} УК € N. (3.1)
Тогда оператор вычеркивания I : N ^ N определяется [4] следующим правилом:
1(К) = К \ {рг2(г) : г € Н[К]} УК € % (3.2)
(учитываем условие 3.1). В терминах оператора I введем допустим ость «по вычеркиванию»; новый тип допустимости применяем к маршрутам частичным, а именно ([4], часть 2):
(I — Ы)[К] = {а € (Ы)[К]| а(т) € 1({а(г) : г € т, 1К|}) Ут € 1,1КI }€Р'((Ъ1)[К]) УК € N.
«»
(3.3)
А = (1 — Ъ1)[1,Ж]. (3.4)
В связи с (3.3), (3.4) полезно ввести также частичные трассы; для этого сначала введем при К € N множество Ък всех кортежей (гг)г& \к| : 0, К| —> X х X. Нужное определение множества трасс, согласованных с (частичным) маршрутом, имеет следующий вид:
Е(х, К, а) = {(гг^ок! € ЪкКг0 = (х,х))&(г? € Ма(?) х Ма(?) У] € 1, К|)} € Пп(Ък)
Ух € X УК € N Уа € (I — Ъ1)[К].
(3.5)
Поскольку |1,^| = N и Ъул = Z, то получаем еще одно представление «стыковочного» характера (см. (2.10), (3.4), (3.5)):
Еа = Е(х0,1^,а) Уа € А. (3.6)
В связи с (3.5) введем укороченные (вообще говоря) варианты аддитивного критерия:
\к\ \к\
Е са(г){рг2(г4-1), РГ1(г^),N — К| + 0 + I
г=1 г=
-1т Г- V У7 V Г- а> Г- П К;\ГЬ-'1 \-//~л _____
,\к\
п[х; К; а; = Еса(*)(РГ2(г^-l), РГl(г^),N — К| + 0 + Е са(г)(гг^ — К| + £)+
г=1 г=1
+/(рг2(г\к\)) Ух € X УК € N Уа € (I — Ы)[К] У(гг)г&0щ €Е(х,К,а).
(3.7)
С учетом (3.3), (3.5) и (3.7) оказывается корректным следующее определение:
у(х,К)= тт тт п[х; К; а;(гг) .^т^г] Ух € X УК € N
4 ' ае(1-Ъ1)[к] €Я(х,к,а) 'г&,\к\' ■ ^
Согласно (3.4), (3.6) и (3.7) определено значение п[х0; 1,N; а; (гг)^ой] ПРИ а € А и (гг^ой € Еа; имеем из (2.11) и (3.7), что (см. (3.4), (3.6)) П(а, (гг)геогм) = п[х0;1,^ а;(гг)геотй]. Из
(3.8) следует, что у(х0, 1, N € [0, гс>[ и, более того, согласно (2.13) и (3.8)
ь(х0,1, N = V. (3.9)
«»
четтттые задачи связываются с (3.8) и с учетом (3.9) образуют расширение ОЗМ. Располагая значениями (3.8), введем функцию V : X х N —> [0, гс>[ по следующему правилу, учитывающему (3.9) и естественное краевое условие:
(V(х,К)= у(х,К) Ух € X УК € N & (V(х, 0) = /(х) Ух € X). (3.10)
Из (3.9) и (3.10) имеем равенство V(х0, 1, N = V. Итак, введена функция Веллмана. Предложение 1. Если х € X и К € N то справедливо следующее равенство:
V(х,К)= тт тт |с,- (х, рг,(г)^ — К| + 1)+с7-(г, N — К| + 1) +
Э&!(к) г&Ыз хЫ31 ^ ^
+V(рг2(г), К \{ })].
Доказательство. Пусть п = К|; тогда п € 1^, а потому (п = 1) V (п € 2^). В случае п = 1 доказательство очевидно; поэтому ограничимся рассмотрением случая п € 2,^ При
3 € ЦК) имеем тогда
К \{] }€ N : К \{] }| = п — 1. (3.12)
Обозначим выражение в правой части (3.11) через ш; тогда ш € [0, гс>[.
С учетом (3.8), (3.10) выберем а0 € (I — Ы)[К] и (г^г^ооп € Е(х, К, а0) так, что
V(x, К) = п[х; К; а0; Юг^. (3-13)
В силу сюръективпости а0 имеем из (3.3), что а0(1) € I(K) и согласно (3.12)
К = К \ {а0(1)} € N : |К| = п — 1. (3.14)
Поскольку г\ € Мао (1) х Мао(1), имеем очевидное неравенство
ш ^ Сао(1)(х,рг1 (г0),N — п + 1)+сао(1)(г0^ — п + 1) + V(рг2(г0),К). (3.15)
Заметим, что а0(Ь + 1) € К при Ь € 1,п — 1. С учетом этого мы введем отображение а0 :
1 ,п — 1 —> К посредством правила а0(^) = а0(^ + 1) € 1,п — 1. С учетом (3.3) и (3.14)
получаем, что
а0 € (I — Ы)[К], (3.16)
причем г0+1 € Мао(^) х Мао^) У] € 1,п — 1. Используя (3.14), введем кортеж (г°0)г&огn—l € Ък по правилу
(гГ = (рг2(г0), рг2(г0)^ & (г00 = г0+1 € 1,п — 1). (3-17)
Тогда (г00)геоп_ 1 € Е(р^(г0),К,а0), причем справедливо (см. (3.13), (3.17)) следующее
равенство
V(х, К) = сао(1) (x, pГl(г0),N — п + 1)+сао(1)(г0, N — п + 1) + п[рг2(г0); К; а0; ^гПгеоП-тЬ
где V(рг2(г0), К ^ п[рг2(г0); К; а0;(г00)гео п_т] согласно (3.8), (3.10). В итоге получаем с
учетом (3.15) неравенство
ш ^ V(х,К). (3.18)
По определению ш имеем для некоторых д € ЦК) и у € Мд х Мд равенство
сд (х, рГт(у), N — п + 1)+ся (у, N — п + 1) + V (рг2 (у),Я) = ш, (3.19)
где Q = К\{д} € N и |Q| = п — 1 (см. (3.12)). С учетом (3.8) и (3.10) подберем в0 € (I — Ы)[ф] и Шг)гео п_ 1 € Е(рг2(у),Q, во) так, что при этом
V(рг2(у)^)= п[рг2(у); Q; в0; (щг)гео;п-т]. (3-20)
Заметим, что в0] — 1) € К при ] € 2,п. Введем отображение в0 : 1,п —> К по правилу (в0(1) = д) & (в0(3) = в0(3 — 1) У] € 2,п). Легко видеть, что
в0 € (I — Ъ1)[К]. (3.21)
Заметим теперь, что (см. (3.5)) Wj-l € М^о^) х М^о(^ У] € 2,п. С учетом этого введем кортеж (ш0)геоп € Ък по следующему правилу:
Щ0 = (х,х)) &(ш0 = у)&(ш0 = Wj-1 У] € 2,п). (3.22)
Из (3.5) и (3.22) вытекает очевидное свойство
(щ0)г^п € Е(х, К, в°). (3.23)
Тогда из (3.8), (3.10), (3.21) и (3.23) получаем неравенство V(х,К) ^ п[х; К; в0; (ш^г&п],
из которого после несложных преобразований извлекается следующая оценка
V(х, К) < сд(х, рг1(у), N — п + 1)+сд(у, N — п + 1) + п[р^(у); Q; в0; Щ)гео^]. (3-24)
В силу (3.20) и (3.24) V(х, К) ^ сд(х, ргт(у)^ — п + 1)+сд(у, N — п + 1) + V(рг2(у), Q); как
следствие (см. (3.19)), V(х,К) ^ ш. С учетом (3.18) получаем равенство V(х,К) = ш. □
Предложение 1 фактически определяет (см. (3.11)) уравнение Веллмана, которое опосредовано будет использоваться для построения вычислительной процедуры.
4. Слои функции Беллмана
«»
программирования [1-3] с последующей ее конкретизацией в духе (3.11). Отождествляем при этом пространство позиций с множеством XхN, что соответствует области определения функции V. Как и в [1-3], используем ниже семейство
9 = {К € ^Уг € К (рг1(г) € К)=^ (рг2(г) € К)} (4.1)
всех существенных по предшествованию списков (заданий). Упомянутые списки (см. (4.1)) ранжируются по мощности:
9з = {К €9! = К|} € V(9) Уз € 1^. (4.2)
Проще всего устроены семейства 9т и 9м : полагая Кт = {ргт(г) : г € К}, имеем 9т = {{к} : к € 1^ \ Кт}; 9м = {1^} (одноэлементное семейство). Наконец (см. ([4], с. 172)),
К \{к}€ дв-1 Ув € 2^ УК €дз Ук € ЦК), (4.3)
(на самом же деле 93-1 = {К \ {]} : К € 93, ] € ЦК)} при в € 2,^ но для всех наших
целей достаточно (4.3)). Отметим, что дз = 0 Ув € 1,^ Этот факт можно в принципе
извлечь из (4.3). Но мы воспользуемся положением ([4], предложение 4.9.2), используя то,
что А = 0 (см. раздел 3). Пусть а € А и в € 1,^ Тогда для ка = N — в + 1 € 1^ имеем в = N — ка + 1, а потому ([4], с. 175) {а(г) : г € ка^}€ 9а. Требуемое свойство непустоты множеств 9т,..., 9м установлено. Пусть
5(К) = {] € 1^ \ К| {]} и К € 9а+т} Ув € 1, N — 1 УК € 9а. (4.4)
Конструкция па основе (4.1) - (4.4) распространяется в [1] - [4] па пространство позиций: мы конструируем слои Б0, От,..., Бм. При этом множество
М = и Мг € Пп^) гетд\Кх
(см. ([4], с. 174,175)) определяет Б0 в гаде Б0 = М х {0}; Бм = {(х0,1, N)} (одноэлементное множество). Кроме того, полагаем
Ма[К ] = У Мг У в € 1, N — 1 УК € 9а. (4.5)
г&мк)
Множества (4.5) определяют клетки пространства позиций:
Ва[К] = {(х,К): х €Ма[К]} Ув € 1^ — 1 УК €9а. (4.6)
В терминах (4.6) определяем промежуточные слои пространства позиций
Б а = и Ва[К ] € V'(X х 9) Ув € 1, N — 1 (4.7)
к&дв
(см. ([4], предложение 4.9.3)). Тогда (Ба)аеом : 0,N —> V/(X х N). С учетом этого введем систему сужений функции Веллмана, получая, что
Vs = V Ба) €П+[Ба] Ув € 0Ж (4.8)
Из (4.8) следует, конечно (см. раздел 2), что
Vа(x,K)= V(х,К) Ув € 0^ У(х,К) € Ба. (4.9)
При этом согласно (3.10) и (4.9) явным образом определяется V0 :
V0(x, 0) = /(х) Ух € М. (4-10)
С другой стороны, из определения Бм и (4.9) извлекается равенство
VN (х0, Т^) = V. (4.11)
Переход от V0 к VN определяется рекуррентной процедурой
К —^Vl —^ ... ^VN, (4.12)
которая конструируется ниже па основе известного ([4], предложение 4.9.4) свойства
(У, К \ {]}) € Б а— т Ув € У(х, К) € Ба У] € !(К) Уу € Mj. (4.13)
Итак, при в € 1, N и (х,К) € Ба определены величины ^—1(рг2(г),К \ {]^,] € ЦК),г €
Mj х Mj, что позволяет вычислить значение
т^ тпм (x, РГ1(г),N — К| + l)+Cj(г, N —К| + 1) + Vа—1 (рГ2(г), К \ {]})] € [0, ^[.
,€1(к) г&Ы3 хЫ3
Предложение 2. Если в € 1,^ и (х,К) € Ба, то
Vа(x,K )= тт тт [с,- (х, pг1(г),N —К | + 1)+с, (г, N — К | + 1)+
,€1(к) геыз хЫ^ !\ / I I ;
+Vа—1 (РГ2(г), К \Ш)].
Доказательство сводится к очевидной комбинации предложения 3.1 и (4.13).
Теперь построение (4.12) можно осуществить по следующей схеме. Функция V0 определяется по правилу (4.10). Пусть теперь т € 0N — 1 и функция Vm нам уже известна (т. е. построена). Тогда функцию Vm+l : Бт+т —^ [0, гс>[ определяем, используя предложение 2 в=т+1:
^+1(х,К )= тт т1п Гс, (х, pг1(г),N —К | + 1) +
,€1(к) г&Ы3 хЫ^ 1 ' 1 (4.14)
+с,(г, N — К| + 1) + Vm(рг2(г), К \ {]})] У(х, К) € Бт+1.
Посредством (4.14) реализуется преобразование Vm ^ Vm+l, т. е. регулярный шаг (этап) процедуры (4.12). После конечного числа таких регулярных шагов (требуется N преобразований упомянутого типа) будут построены все функции (4.8) и, в частности, будет определен (см. (4.11)) искомый экстремум ОЗМ, т. е. значение V.
5. Построение оптимального решения
В настоящем разделе рассматривается построение оптимального решения в виде соответствующей пары марптрут-трасса. Тем самым решение ОЗМ (2.12) будет завершено. Используем предложение 2 и полагаем известными функции V0, VI,..., VN (см. рекуррентную
процедуру предыдущего раздела). Пусть z0 = (х0,х0).
Из (4.11) и предложения 5.1 следует равенство
V = тт тт [с,(х0, ргт(г), 1)+с,(г, 1) + VN-l(pг2(г), 1^\Ш)], (5.1)
,€1(1,м) *еЫ3 хЫ3 1 4 / 4 ^
где согласно (4.13) (рг2(г), 1,N \ {к})€ Бм-1 Ук € I(1,N) Уг € Мк х Мк. С учетом (5.1) выбираем индекс кт € Щ N) и УП Zl € Мк1 х Мк1 так, что при этом
V = ск1 (х0, pГl(zl), 1)+ск1 (Z1,1) + Ум-1 (рг2^т), 1, N \ {кт}) =
= скДРГ2^0), pГl(zl), 1)+с^ (Z1, 1) + VN-1(РГ2(zl), 1^ \{к} .
Тогда (pг2(z1), 1,N \ {кт})€ Бм-1, 11, N \ {кт}| = N — 1 и согласно предложению 5.1
VN-l(pг2(zl), 1, N \{кт}) = тт т1п [с, (pг2(zl), ргт(г), 2) +
,'€1(1;м\{к1})_*£Ы! ХЫ (5.3)
+с,(г, 2) + VN-2(РГ2(г), (1, N \ {к1}) \ Ш)] ,
где согласно (4.13) (рг2(г), (1, N \ {кт}) \ {к})= (рг2(г), 1,N \ {кт; к})€ Бм-2 Ук € Щ N \
{кт}) У г € Мк хМк. С учетом (5.3) выбираем индекс к2 € Щ N\{k1}) и УП z2 € Мк2 хМк2, для которых
VN-^ рГ2^т), 1, N \{кт}) = ск2(рГ20г1), pГl(z2), ^+ск2 (Z2, 2) + +VN-2{РГ2(Z2), 1, N \ {кт; к2^.
(5-4)
Тогда (р^^), 1,Ж\{к1; к2}) = (рг2(z2), 1^\{кг : г € 1, 2})€ Бм—2 и |1^\{к; к2}| = N—2.
Отметим, что из (5.2) и (5.4) вытекает равенство
22 ^ = Е СкДРг 2(^—1^ рг1(2Ъ), г) + ^ ' скг (zt 1 г) + Ум—2 (рг2(г;2), 1,N \ {к* : г € 1, 2}) . (5.5)
Ь=1 t=1
Пусть теперь г € 2, N таково, что уже построены кортежи
(к*)г€1г : М -> 1^1 (5-6)
Мгеот : 01 г —> х х Х1 (5.7)
для которых выполнены следующие условия:
1') к^ = кг2 У%1 € 1, г У%2 € 1, г \ {п}:
2') zt € Мк( х Мк( Ш € 1, г:
3') kt € 1(1, N \{к : г € 1,1 — 1}) Ш € 1, г:
4') (рг2(zt), 1, N \{к : г € 1, ^})€ Бм—ь Ш € 1, г;
5') Ум—ь+1 (рг2^—1), 1, N \ {к : 1,^ — 1}) = екДрг2(zt—1), рг^)^) +ск((zt,^) +
Ум—ь (р^ь), 1, N \ {кг : г € 1,^}) Ш € 1, г;
Г Г _____ ___
6') V = Ё скД РГ2(zt—1), рг^)^) + Ё ск ^,г) + Ум—г ( рг2 (zг), 1,N \{kt : ^ € 1, г}).
Ь=1 Ь=1
Замечание 3. Заметим, что кортежи (кг)^^ и ^)гео~2 были построены ранее, причем в случае г = 2 все условия 1') — 6') для них выполняются. Действительно, по выбору к2 имеем (см. (3.2)), что к1 = к2, что доставляет 1'); 2') выполняется по выбору Zl и Z2. В связи с 3') отметим, что 1, 0 = 0, а тогда {кг : г € 1,1 — 1} при г = 1 есть пустое множество (образ 0
совпадает с 0). Поэтом у 3') выполняется по выбору к1 и к2. Свойство 4') также выполнено,
что оговаривалось в виде следствия (4.13) при выборе УП (к,Zl) и (к2,Z2). Свойство 5') следует из (5.2) и (5.4) с учетом (4.11). Наконец, 6') следует при г = 2 из (5.5).
Возвращаясь к общему случаю кортежей (5.6), (5.7), отметим, что (г = N) V (г €
2,N — 1). Эти случаи мы рассмотрим отдельно.
а) Пусть г = N. Тогда кортеж (5.6) является отображением, действующим в 1,^ а (5.7) является элементом Z : ^г)геоТ = ^г)геом € 2. Из 1') следует инъективность отображения
П = (кг)ге1“м, а тогда п € Р, где согласно 3') п(г) = 1( 1,N \ {ц(г) : г € 1,г — 1}) Ш € 1^.
Последнее означает с учетом биективности п справедливость свойства п(г) € 1({п(з) : 3 € г, N}) Ш € 1^. В итоге (см. (3.3), (3.4)) п € А. Учитывая 2'), получаем в силу (2.10), что ^г),1£ом € .Тогда {п, ^г)геом) есть допустимое решение. Согласно (2.11)
мм П(п, Ыгеом) = Сп(Ь) (рГ2(^— 1), рГ1 (zt),г) + ^ С^ь) (zt, г) + / (рг2(zM^ . (5.8)
Ь=1 Ь=1
4')
(рг2^м), 1, N \{п(г) : г € 1,щ)= (рг2 ^м), 0) € Бо, т. к. п _ сюръекция. Это означ ает, что pг2(zм) € Ми
Ум—г(рг2^г), 1, N \ {к : г € 1, г})= Уo(pг2(zм), 0)= /(р^м))
(см. (4.10) и определение в разделе 5). С учетом (5.8), 6;) и определения п имеем, однако, N N
У = 12 сп(*)(Рг2(2і-і), ргі(г*),^+ ^ Сп(*)(и*,^) + /(рг2(zNП(п, Ыгео^) •
Это означает (см. (2.12), (2.13)), что (п, (2г)^о^м) есть оптимальное решение ОЗМ. Итак, в случае а) мы уже располагаем оптимальным решением.
Ь) Пусть г Є 2, N — 1 Тогда г + 1 Є 3,^ Из 4;) следует, в частности, что
(рг2^г), 1,Ы \ {кі : і Є 1^Г})є DN-^ (5.9)
При этом N — г € 1^ — 2, N — (г + 1) = ^ — г) — 1. Воспользуемся предложением 2 при условии, что в = N — г и (х, К) совпадает с позицией (5.9):
VN-г(р^г), 1,^ \{кг : і Є 1,т}) = ___ __ тіп
ІЄІ(1^\{к;:геТг}) ^мз *мз
^Г )
тіп тіхпм.[с-(рг2(^г),р^^ — \^\{кг: ієі;?}і + ^+ (510)
Су (г,Ы — \1, N \{кг : і Є 1, г}\ + l)+VN-(г+і)(р^*), (1,^ \{кг : і Є 1, г}) \{})],
где в силу 1') 11, N \ {кг : г € 1, г}| = N — г, т. к. |{кг : г € 1, г}| = г. С учетом этого, а также (5.10), выбираем кГ+1 € 1(1, N \ {кг : € 1, г}) и zГ+1 € Мкг+1 х Мкг+1 так, что
VN-г(р^2(2г), 1, N \ {кг : і Є 1, г}) = Скг+1(pr2(zг), prl(zг+l), г + 1) + +Скг+1 (zг+l, г + 1) + VN-(г+1)(pr2(zг+1), 1, N \ {кг : і Є 1, г + 1}) •
Тогда, в частности, zг+l Є X х Х^ Получили два новых кортежа
(5.И)
С^геМ+Т : 1, г + 1 -----> 1,N, (zг)г€0,Г+T : 0, г + 1 -> Х Х Х
По выбору кГ+1 имеем из (3.2), что кГ+1 = кг Шг € 1, г. С учетом 1') получаем 1'') кг1 = кг2 Шг1 € 1, г + 1 Шг2 € 1, г + 1 \ {*1}.
Далее, из 2') имеем то выбору zГ+l, что справедливо свойство
2'') zt € Мк( х Мк( Ш € 1, г + 1.
Из 3') имеем то выбору кГ+1 следующее положение:
3") к Є 1(1, N \ {кг : і Є 1,і — 1}) Ш Є 1, г + 1
Заметим, что согласно (4.13) и (5.9) получаем по выбору кг+і и zг+l, что
(р^г+т), 1, N \ {кг : і Є 1, г + 1}) = = (рг2 ^г+і), (1, N \ {кг : і Є 17г})\{кг+і}) Є DN-(г+і)•
(5.12)
Из 4') и (5.12) вытекает 4'') (рг2^ь), 1^ \{кг : г € 1,}€ Бм—ь Ш € 1, г + 1. Отметим теперь, что согласно (5.11) при г = г + 1 имеем равенство
Ум—ь+1(р^ь—1), 1, N \ {кг : г € 1,г — 1}) = СкДрг2(zt—1), рг^ь),*) + +Ск4^ь,Ь) + Ум—ь(pг2(zt), 1, N \ {кг : г € 1,}. 5')
5'') Ум—ь+Лрг2^ь—1), 1,^\{кг : г € 1,г — 1}) = СкДр^ь—1), рг^ь),*) +Ск4(zt,^) +
Ум—ь{pг2(zt), 1, N \ {кг : г € 1,} Ш € 1, г + 1. 6')
r+1 r+1 ____
6") V = £ Ckt (pr2(zt-i), pri(zt),t)+ £ Ckt (zt,t) + VN_(r+i)(pr2(zr+1), 1,N \{ki : i £
_______ t=i t=i
1, r + 1}) .
Такрш образом, мы сумели продолжить каждый из кортежей (5.6), (5.7) па один птаг (этап) с сохранением всех основных свойств: система условий 1' — 6' преобразована в подобную систему 1'' — 6''. После выполнения конечного числа шагов типа Ь) (требуется N шагов) мы неизбежно придем к ситуации случая а), т.е. к оптимальному решению ОЗМ.
6. Модельный пример
В настоящем разделе исследуется модельный пример ОЗМ. Речь пойдет о плоской задаче маршрутизации: X = R х М. Итак, на плоскости фиксируется база xo в виде нулевого вектора: xo = (0, 0). В качестве р : X х X ^ [0, гс>[ используем функцию евклидова расстояния: при xi £ X и Х2 £ X число p(xi, Х2) есть евклидово расстояние между векторами xi и x2. Полагаем в настоящем разделе, что N = 27. Каждый мегаполис Mi,..., M27 задается равномерной сеткой па окружности положительного радиуса. Итак, мы полагаем заданными два кортежа (0i)ieYN : 1,N —> X, (Ri)i€yN : 1,N —>]0, то [; если j £ 1,N, то Oj определяет центр, a Rj - радиус окружности. Полагаем, что \Mj\ = 50 yj £ 1, N. Точки Mj можно рассматривать как входы-выходы в помещение, в пределах которого исполнителю следует достичь заданной точки pi, выполнив там некоторое действие, покинуть помещение, вновь используя «дверь», т.е. некоторый ЭЛемент Mj. Упомянутую точку именуем «рубильником:». Итак, мы фиксируем точки ai £ X,..., a>N £ X. Целью внутренних работ является приведение в действие «рубильника», связанного с каждым мегаполисом. Рассмотрим соответствующую детализацию функций стоимости. Полагаем, что при s £ 1,N фупкция cs
определяется условием: cs(x, y,t) = t p(x, y) при x £ X, y £ Ms и t £ 1,N. Тем самым определены стоимости внешних перемещений. Для оценивания внутренних работ используются функции ci,...,cn, определяемые следующим образом: если s £ 1,N,x £ Ms, y £ Ms и t £ 1,N, to
Cs(x,y,t) = tsp(x,as) + tsp(as,y).
Наконец, функцию f отождествляем с евклидовой нормой на плоскости X. Тем самым определены функции стоимости ci,..., cn, Ci,..., cn, f. Предполагается, что задано двадцатиэлементное множество K, определяющее условия предшествования (итак, имеем 20 адресных пар). Для решения задачи использовался вариант метода динамического программирования, изложенный в статье pi реалртзутощрш оптртмальпое рептетше ОЗМ (2.12). Время счета 58 MPiTi 50 с.
Для вычртслетшй ртспользовалась программа, папртсаппая па Microsoft Visual С I I 2005. Вычртслетшя прор13водр1ЛР1Ст> па ПЭВМ с процессором Intel i7-2630QM с 8Гб оператртвпой памятрт, работающей под управлетшем Windows 7 (ppic. 1).
Далее, вычртслетшя былрт проведены nppi тех же piсходных данных, по в случае
cs(x, y, t) = -p(x, as) + -p(as, y) ys £ 1,N yx £ Ms yy £ Msyt £ 1, N.
Итак, былрт ртзмепепы ctopimoctpi впутрептшх работ. Маршрут pi трасса обхода мегаполртсов ртмеет в этом случае следутощрш вртд (cm. ppic. 2) (время счета 1 ч 07 mpiti).
Из графиков видно, что алгоритм реагирует на изменение внутренних работ «смеще-
»
переходы (геометрртческое рептепрге), в то время как в первом случае преватаровата элементы экономного проведепрш впутрептшх перемещетшй.
Рис. 1. Маршрут и трасса обхода множеств, первый пример
Рис. 2. Маршрут и трасса обхода множеств, второй пример
Заключение
Исследуемая в статье задача имеет своим прототипом известную (трудпорептаемуго) задачу коммивояжера, которая является одной різ классріческріх КР-полных задач [8]. В связрі с методамрі реїттепрія задачрі коммрівояжера см., в частпострі, [9-11]. Отмєтрім іттрірокое рісполь-
зоваттие метода ветвей и границ [12]. В работах [13, 14] для решения задачи коммивояжера построен вариант метода динамического программирования. Задачи о посещении кластеров в пространстве «городов» рассматривались в [15-17]. Последовательное развитие идеи динамического программирования па задачи о посещении конечномерных компактов дано в [18, 19] и в ряде последующих работ. Работы [1-4] определили следующее серьезное продвижение: в качестве фрагментов маршрута встраивались разнообразные (внутренние) работы, выполняемые в пределах мегаполисов. При этом существенную роль в постреттии реализуемых процедур сыграло использование, для целей экономии вычислений, условий предшествования, что было сделано в [20, 21] и в ряде других работ. В [22-25] исследовались вопросы применения вышеупомянутых теоретических методов в некоторых задачах атомной энергетики (в связи с общими проблемами ядерпой энергетики см. [26]). Сейчас отметим только инженерную задачу минимизации дозовой нагрузки персонала АЭС при выполнении работ в помещениях с повышенным уровнем радиации. Исследуется возможность снижения облучаемости посредством рационального выбора маршрута перемещений па территории станции, при выборе которого следует учитывать работы в помещениях с соблюдением технологических требований. Возможен вариант, отвечающий аварийной ситуации (Чернобыль, Фукусима), при которой учет временных зависимостей хотя бы па грубом уровне (попытка такого учета сделана в настоящей работе) может способствовать лучшей реализации вышеупомянутой возможности.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (10-01-96020, 10-08-00484)-Литература
1. Чепцов, А.А. Экстремальная задача маршрутизации с внутренними потерями / А.А. Чепцов, А.Г. Чепцов, П.А. Чепцов // Труды Института математики и механики УрО РАН. - 2008. - Т. 14, № 3. - С. 183-201.
2. Чепцов, А.А. Экстремальная задача маршрутизации перемещений с ограничениями и внутренними потерями / А.А. Чепцов, А.Г. Чепцов, П.А. Чепцов // Изв. ВУЗов. Математика. - 2010. - № 6. - С. 64-81.
3. Чепцов, А.Г. Метод динамического программирования в экстремальных задачах маршрутизации с ограничениями / А.Г. Чепцов // Изв. РАН. Теория и системы управления.
- 2010. - № 3. - С. 52-66.
4. Чепцов, А.Г. Экстремальные задачи маршрутизации и распределения заданий: вопросы теории / А.Г. Ченцов. - М.; Ижевск: НИЦ «Регулярна и хаотическая динамика», Ижевский итт-т компьютер, исследований, 2008. - 240 с.
5. Толков, Л.В. К вопросу оптимального выбора маршрута в условиях временного дисконтирования / Л.В. Толков, А.Г. Чепцов // Кибернетика и систем, анализ. - 1999. - № 1.
- С. 95-106.
6. Куратовский, К. Теория множеств / К. Куратовский, А. Мостовский. - М.: Мир, 1970.
- 416 с.
7. Кормен, Т. Алгоритмы: построение и анализ / Т. Кормен, Ч. Лейзерсотт, Р. Ривест. -М.: МЦНМО, 2002. - 960 с.
8. Гэри, М. Вычислительные машины и трудпорептаемые задачи / М. Гэри, Д. Джонсон; пер. с англ. Е.В. Левттера и М.А. Фрумкитта. - М.: Мир, 1982. - 416 с.
9. Меламед, И.И. Задача коммивояжера. Вопросы теории / И.И. Меламед, С.И. Сергеев, И.Х. Сигал /'/ Автоматика и телемеханика. - 1989. - № 9. - С. 3-34.
10. Меламед, И.И. Задача коммивояжера. Точные алгоритмы / И.И. Меламед, С.И. Сергеев, И.Х. Сигал // Автоматика pi телемеханика. - 1989. - № 10. - С. 3-29.
11. Меламед, И.И. Задача коммивояжера. Приближенные алгоритмы / П.П. Меламед, С.И. Сергеев, И.Х. Сигал // Автоматика pi телемехатшка. - 1989. - № 11. - С. 3-26.
12. Алгоррттмы для рептетшя задачрт о коммртояжере / Дж. Лрттл, К. Муртрт, Д. Cvpihpi, К. Кэрел // Экоттомртка pi математртческрте методы. - 1965. - Т. 1, вып. 1. - С. 94-107.
13. Беллмап, Р. Прртметтетше дртттамртческого программртроватшя к задаче о коммртояжере / Р. Беллмап // Кртберттетртческртй сборттртк. - М.: Mpip, 1964. - Т. 9. - С. 219-228.
14. Хелд М., Карп P.M. Прршепетше дртттамртческого программртроватшя к задачам упорядо-чепрш / М. Хелд, P.M. Карп // Кртберттетртческртй сборттртк. - М.: Mpip, 1964. - Т. 9. -С. 202-218.
15. Laporte, G. Generalized Travelling Salesman Problem Through n-Sets of Nodes: an Integer Programming Approach / G. Laporte, Y. Nobert. // INFOR. - 1983. - V. 21, № 1. - P. 61-75.
16. Henry-Labordere, A.L. The Record-Balancing Problem: a Dynamic Programming Solution of a Generalized Travelling Salesman Problem ./' A.L. Henry-Labordere //' Rev. Franc. Inform. Rech. - 1969. - V. 3 - .№ 2. - P. 43-49.
17. Лейтеп, А.К. Некоторые модртфрткатщрт задачрт коммртвояжера / А.К. Лейтеп // Тр. ВЦ Тарт. ун-та. - 1973. - Вып. 28. - С. 44-58.
18. Коротаева, Л.Н. Об одной модртфрткатщрт метода дртттамртческого программртроватшя в задаче последовательного сблртжетшя / Л.Н. Коротаева, А.Н. Сесекрттт, А.Г. Четщов // Журп. вычртсл. математрткрт pi мат. Фртзрткрт. - 1989. - Т. 29, № 8. - С. 1107-1113.
19. Четщов, А.А. О рептепрш задачрт маршрутной оптртмртзацрш методом дртттамртческого про-граммртровапрш / А.А. Четщов, А.Г. Четщов // Автоматртка pi телемехапртка. - 1998. -.№ 9. - С. 117-129.
20. Четщов, А.Г. Марптрутртзацрш с условршмрт предптествовапрш (задача курьера): метод дртамршеского программрфовапрш / А.Г. Четщов, П.А. Четщов // Вести. УГТУ-УПИ. На передовых рубежах паукрт pi ршжеперпого творчества. - Екатерршбург, 2004. - Ч. 1, № 15 (45) - С. 148-152.
21. Четщов, А.А. О реалртзацрш метода дртамршеского программртроваття в обобщенной задаче курьера / А.А. Четщов, А.Г. Чепцов // Тр. Ип-та математрткр! pi мехатшкрт УрО РАН. - 2007. - Т. 13, .№ 3. - С. 136-160.
22. Разработка оптршальпых алгоррттмов вывода АЭС ртз эксплуатацртрт с ртспользовапртем методов математртческого моделртровапрш / О.Л. Таптлыков, А.Н. Сесекрт, С.Е. Щекле-PiTi, А.Г. Чепцов// Изв. ВУЗов. Ядерпая эпергетртка. - 2009. - № 2. - С. 115-120.
23. Возможпостр! математр1ческр1х методов моделртровапрш в рептепрш проблемы спртжепрш облучаемострт персонала / О.Л. Таптлыков, А.Н. Сесекрт, С.Е. Щеклерттт, Ф.А. Балупт-крш, А.Г. Четщов, А.П. Хомяков // Вопросы радртацртоттттой безопаспострт. - 2009. - № 4.
- С. 39-49.
24. Использоватше метода дртттамртческого программртроватшя для оптртмртзацрпт траекторрпт перемещеттрш работтшков в радртацртотттто опасных зонах с целью мртттртмртзацрш облучеттрш / А.Н. Сесекрттт, О.Л. Таптлыков, С.Е. Щеклерттт, М.К). Куклрттт, А.Г. Четщов, А.А. Кад-ттртков // Изв. ВУЗов. Ядерпая эттергетртка. - 2006. - № 2. - С. 41-48.
25. Сесекрттт, А.Н. Задачрт марптрутртзацрш перемещетшй / А.Н. Сесекрттт, А.А. Четщов, А.Г. Четщов. - СПб: Лань, 2011. - 240 с.
26. Таптлыков, О.Л. Оргаттртзацртя pi техттологртя атомной эттергетрткрт / О.Л. Таптлыков. -Екатерртттбург: УГТУ-УПИ, 2005. - 148 с.
Александр Георгиевич Четтцов, члеп-корреспопдепт РАН, зав. отделом, Институт математики и механики УрО РАН (г. Екатеринбург, Российская Федерация), [email protected] .ш.
Павел Александрович Чепцов, кандидат физико-математических паук, научный сотрудник, Институт математики и механики УрО РАН (г. Екатеринбург, Российская Федерация), [email protected].
Bulletin of the South Ural State University. Series «Mathematical Modelling, Programming & Computer Software:»,
2013, vol. 6, no. 2, pp. 88-107.
MSC 93CXX
On the Nonstationary Variant of Generalized Courier Problem with Interior Works
A.G. Chentsov, Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, Russian Federation, [email protected],
P.A. Chentsov, Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, Russian Federation, [email protected]
The problem of the sequential circuit of megalopolises with preceding conditions and necessity of the interior works in megalopolises is considered in the article. It is supposed that the costs of permutations depend on the parameter having the sense of a discrete time. The above-mentioned dependence can reflect priorities of clients connected with served megalopolises and partially compensating inputs of executers. The constructed method corresponds to dynamic programming in a broad sense which is applied to solve the route problem with constraints. The extension of the problem, which use equivalent transformation of the system of constraints as a result of which route admissibility by precedence is changed into admissibility by deletion (the task from the list), introduced in the article. Therefore route constraints are reduced to the system of constraints by current interchange that allows us to obtain Bellman equations. To apply the later in the computational procedure of layers construction of Bellman equation we use the approach which implies the construction of the whole array of the values for the function mentioned; this approach is based on the use of essential lists of tasks (by precedence), which the saving of computations is achieved by.
The use of the theory developed can be connected with the problems dealing with the reduction of radioactive influence on employees of atomic power plants at work under emergency conditions as well as the problems of transport service for a great number of clients under conditions of priority influencing the choice of service discipline.
Keywords: route, preceding conditions, dynamic programming.
References
1. Chentsov A.A., Chentsov A.G., Chentsov P.A. Extreme Routing Problem with Internal Losses [Ekstremal’naya zadacha marshrutizatsii s vnutrennimi poteryamij. Trudy Instituta rna.terna.tiki i rnehaniki UrO RAN, 2008, vol. 14, no. 3, pp. 183-201.
2. Chentsov A.A., Chentsov A.G., Chentsov P.A. An Extremal Constrained Routing Problem with Internal Losses. Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 2010, vol. 54, no. 6, pp. 54-68.
3. Chentsov A.G. Dynamic Programming Method in the Extreme Routing Problems with Constraints [Metod dinamicheskogo programmirovaniya v ekstremal’nykh zadachakh marshrutizatsii s ogranicheniyamij. Izvestia Rossiiskoi Akademii Na.uk. Teoriya i Systerny Upravleniya [Journal of Computer and Systems Sciences International], 2010, no. 3, pp. 52-66.
4. Chentsov A.G. Ekstremal'nye zadachi marshrutizatsii i raspredeleniya zadaniy: voprosy teorii [Extreme Problems Routing and Assignment of Tasks: Theory]. Moscow, Izhevsk, 2008. 240 p.
5. Tonkov L.V., Chentsov A.G. On the Question of the Optimal Choice Route in Temporary Discount [K voprosu optimal’nogo vybora marshruta v usloviyakh vremennogo diskontirovaniya]. Kibernetika. i sistem. analiz [Cybernetics and Systems Analysis], 1999, no. 1, pp. 95-106.
6. Kuratovskij K., Mostovskij A. Teoriya. mnozhestv [Set Theory]. Moscow, Mir, 1970. 416 p.
7. Corinen T.H., Leiserson C.E., Rivest R. L., Stein C. Introduction to Algorithms. MIT Press, 2009. 1312 p.
8. Garey M.R., Johnson D.S. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. N.Y., W.H. Freeman k. CO, 1979. 416 p.
9. Melamed I.I., Sergeev S.I., Sigal I.H. The Traveling Salesman Problem. Problems in the Theory [Zadacha kommivoyazhera. Voprosy teorii]. Avtomatika i telemekhanika [Automation and Remote Control], 1989, no. 9, pp. 3-34.
10. Melamed I.I., Sergeev S.I., Sigal I.H. The Traveling Salesman Problem. The Exact Algorithm [Zadacha kommivoyazhera. Tochnye algoritmyj. Avtomatika i telemekhanika [Automation and Remote Control], 1989, no. 10, pp. 3-29.
11. Melamed 1.1., Sergeev S.I., Sigal I.H. The Traveling Salesman Problem. Approximate Algorithms [Zadacha kommivoyazhera. Priblizhennye algoritmyj. Avtomatika i telemekhanika [Automation and Remote Control], 1989, no. 11, pp. 3-26.
12. Lit! Dzh., Murti K., Suini D., Kjerel K. Algorithms for Solving the Traveling Salesman Problem [Algoritmy diva resheniya zadachi o kommivoyazherej. Ekonomika. i matematicheskie metody [Economics and Mathematical Methods], 1965, vol. 1, pp. 94-107.
13. Bellman R. The Application of Dynamic Programming Problem to the Traveling Salesman [Primenenie dinamicheskogo programmirovaniya k zadache o kommivoyazherej. Kiberneticheskij sbornik, Moscow, Mir, 1964, vol. 9, pp. 219-228.
14. Held M., Karp R.M. The Use of Dynamic Programming to the Problem of Ordering [Primenenie dinamicheskogo programmirovaniya k zadacham uporyadocheniyaj. Kiberneticheskij sbornik, Moscow, Mir, 1964, vol. 9, pp. 202-218.
15. Laport.e G., Nobert. Y. Generalized Travelling Salesman Problem Through n-Set.s of Nodes: an Integer Programming Approach. INFOR, 1983, vol. 21, no. 1, pp. 61-75.
16. Henry-Labordere A.L. The Record-Balancing Problem: a Dynamic Programming Solution of a Generalized Travelling Salesman Problem. Rev. Franc. Inform. Rech., 1969, vol. 3, no. 2, pp. 43-49.
17. Lejt.en A.K. Some Modifications of the Traveling Salesman Problem [Nekot.orye modifikatsii zadachi koinmivoyazheraj. Tr. VC Tart, un-ta, 1973, issue 28, pp. 44-58.
18. Korot.aeva L.N., Sesekin A.N., Chentsov A.G. A Modification of the Dynamic Programming Method in the Problem of Sequential Approach [Ob odnoy modifikatsii inetoda dinamicheskogo programmirovaniya v zadache posledovateknogo sblizheniyaj. Zhurn. vychisl. matematiki i mat. Fiziki [Computational Mathematics and Mathematical PhysicsJ, 1989, vol. 29, no. 8, pp. 1107-1113.
19. Chentsov A.A., Chentsov A.G. The Solution of the Route Optimization by Dynamic Programming [O reshenii zadachi marshrutnoy optimizatsii inetodom dinamicheskogo programmirovaniyaj. Avtornatika i telernekhanika [Automation and Remote Control], 1998, 110. 9, pp. 117-129.
20. Chentsov A.G., Chentsov P.A. Routing to the Terms of Precedence (Task Courier): Dynamic Programming Method [Marshrutizatsiya s usloviyami predshestvovaniya (zadacha kur’era): inetod dinamicheskogo programmirovaniyaj. Vestnik UGTU-UPI. Na peredovyh rubezhah nauki i inzhenernogo tvorchestva [Herald of UGTU-UPI. At the Frontiers of Science and Engineering], 2004, Ch.l, no. 15 (45), pp. 148-152.
21. Chentsov A.A., Chentsov A.G. On the Implementation of the Dynamic Programming Method in the Generalized Problem of Courier [0 realizat.sii inetoda dinamicheskogo programmirovaniya v obobshchennoy zadache kur’eraj. Trudy Instituta rnaternatiki i rnehaniki UrO RAN, 2007,'vol. 13, no. 3, pp.136-160.
22. Tashlykov O.L., Sesekin A.N., Scheklein S.E., Chentsov A.G. Development of Optimum Algorithms for Decommissioning of Nuclear Power Plants with Using of Mathematical Modelling [Razrabotka optimarnykh algoritmov vyvoda AES iz ekspluatat.sii s isporzovaniem metodov matematicheskoffo modelirovaniva|. Izvestiya VUZ. Nuclear Power Engineering, 2009, no. 2, pp. 115-120.
23. Tashlykov O.L., Sesekin A.N., Scheklein S.E., Balushkin F.A., Chentsov A.G., Homjakov A.P. The Mathematical Modelling Techniques in Solving the Problem of Reducing Personnel Exposure [Vozmozhnosti matematicheskikh metodov modelirovaniya v reshenii problemy snizheniya obluchaemosti personalaj. Voprosy radiatsionnoy bezopasnosti [Radiation Safety], 2009, no. 4, pp. 39-49.
24. Sesekin A.N., Tashlykov O.L., Scheklein S.E., Kuklin M.Ju., Chentsov A.G., Kadnikov A.A. The Use of Dynamic Programming to Optimize the Path of the Radiation Workers in Hazardous Areas in Order to Optimize Exposure [IspoPzovanie inetoda dinamicheskogo programmirovaniya diva optimizatsii traektorii peremeshcheniya rabot.nikov v radiatsionno opasnykh zonakh s tsel’yu minimizatsii oblucheniyaj. Izvestiya VUZ. Nuclear Power Engineering, 2006, no. 2, pp. 41-48.
25. Sesekin A.N., Chentsov A.A., Chentsov A.G. Zadachi rnarshrutizatsii pererneshcheniy [Problem of Routing Movements]. St. Petersburg, Lan’, 2011. 240 p.
26. Tashlykov O.L. Organizatsiya i tekhnologiya atornnoy energetiki [Organization and Technology of Nuclear EnergyJ. Ekaterinburg, UGTU-UPI, 2005. 148 p.
Поступила в редакцию 6 июля 2012 г.
