CC BY
58
УДК 519.(3
ЗАДАЧА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ОБХОДА МЕГАПОЛИСОВ © А.А. Чепцов, А.Г. Чепцов
Ключевые слова маршрут; трасса; динамическое программирование; условия предшествования.
Рассматривается задача о посещении конечной сиегемы мегаполисов с условиями предшествования; посещение мегаполисов сопровождается выполнением некоторых работ. Предполагается, что затрати тта перемещения и выполняемые работы агрегируются аддитивно. Рассматривается вариант широко понимаемого динамического программирования, на основе которою конструируется оптимальный алгоритм, реализованный па ПЭВМ. Предлагается способ улучшения маршрута в задаче большой размерности посредством локальной беллмановской вставки с учетом условий предшествования.
Методы решения задач маршрутизации, разработанные в ИММ УрО РАН, неоднократно докладывались на конференциях, проводимых в Тамбове, в 'ГГУ им. Г. Р. Державина; одним из организаторов этих конференций был профессор Александр Иванович Булгаков. безвременно ушедший из жизни в 201Я г., но успевший многое сделать для организации очередной конференции.. Работы. Александра Ивановича; хорошо зішли и знают в Саердловскс-Екатсринбургс; в них содержатся глубокие научные результаты и новые подходы к исследованию широко понимаемых задач управления. Он был энтузиастом математики, педагогом, организатором науки; ему удалось сделать очень многое для университета и всех математиков 'Тамбова, (-■ветлой памяти Александра Ивановича Булгакова посвящается, настоящая статья.
1. Введение
В статье рассматриваются задачи маршрутизации переметений с ограничениями в виде условий предшествования; упомянутые условия возникают в различных задачах (демонтаж энергоблока АЭС, листовая резка деталей в машиностроении, морские п авиационные перевозки) и имеют смысл осуществления некоторых действий в строгой очередности «одно после другого*. Разумеется, упомянутые задачи имеют своим прототипом известную труд 110-рептаемую задачу коммивояжера (ЗК), но содержат полый ряд принципиальных особенностей, связанных с приложениями. В связи с решением ЗК отметим работы |1 3|; отметим также исследования [1;5|, связанные с применением дишшпчсскоіч) программирования (ДП). В связи с ЗК особо отметим метод ветвей и границ В |1| рассматривались многочисленные задачи прикладного характера, в той или иной степени близкие к ЗК. О тметим |7, 8| її связи с «реальными», условиями предшествования в маршрутных задачах, а также |9| її связи с динамической ЗК.
В настоящей работе развивается подход \Щ, связанный с модификацией ДП. отвечающий решению задач о посещении мегаполисов (непустых конечных множеств) при условиях предшествования: монографии 1101 предшествовал целый ряд журнальных статей 111 14]. Отметим |15], где отражено развитие упомянутого подхода для более общих задач маршру тизации (некоторые другие публикации будут указаны ниже). В настоящей статье упомянутые
исследования продолжаются и связываются с идеей улучшения решения маршрутных задач большой размерности посредством вставки фрагментов с элементами ДІI. Важную роль играют при этом условия предшествования, которые в |10,11| (и в ряде других работ) активно использовались для сокращения перебора, В данном случае речь идёт о выделении некоторой «части», этих условий для обработки па основе ДІ I и, напроти и, о встраивании локально допустимых маршру тов в глобальное решение. Само исходное решение большой задачи (маршрут и трасса) может предварительно определяться тем или иным эвристическим методом и быть проанализировано затем с целью выделения неудачного фрагмента, после чего данный фрагмент предлагается заменить «частью», отвечающей идее широко понимаемого ДП. Будем именовать эту процедуру бсллмаиовской вставкой, для которой стремимся (в целях ощутимого улучшения результата) к «охвату» значительного фрагмента первоначального решения. Поскольку реализация ДІ I связана с неизбежными затруднениями в вопросах вычислительной реализации, то при осуществлении упомянутого «охвата», предлагается в максимальной степени задействовать условия предшествования «большой» задачи, вырезая из них «часть», отвечающую заменяемому фрагменту первоначального решения, что требует, конечно, определенного согласования ограничений «большой» задачи и подобных по смыслу ограничений встраиваемой задач и.
2. Обозначения и определения общего характера
Используется стандартная теоретико-множественная символика: кванторы, связки, специальные символы: ^ равно по определению, 0 пустое множество: СІеГ заменяет фразу «по определению». Семейством называем множество, все элементы которого сами являются множествами. Для всяких объектов х и у (случай х у не исключается) через {.г; у) обозначаем множество, содержащее х, у и не содержащее никаких других элементов ( {х:у}
неупорядоченная пара объектов х.у). Если х — объект, то (г} = {г;г) есть одноэлементное
множество, содержащее г. їх л и а и Ь объекты, то [16, с. 67| (о, 6) {{о}; {о; 6}} есть
упорядоченная пара (УП) с первым элементом а и вторым элементом Ь. Для всякой УІІ * через |>т! (z) и рг2(2) обозначаем, соответственно, первый и второй элементы г, однозначно определяемые условием 2' (рг1(г), рг2(г)); если г Є А х И, где А и И множества,
то рГ| (г) Є А и рг2(г) Є В. Как обычно |17|, для любых трёх объектов х, у и г полагаем
(а1, у, г) ^ ((х,у):г). Кроме того, следуя |17|, полаї’аем для любых трёх множеств А, И и С,
что Л х В х С = (Л х В) х С: при р є А х В н д є С имеем, следовательно, свойство (р. у) Є Є Л х В хС. Напомним. что [1б| отношение есть подмножество (п/м) декартова произведения двух множеств, т. е. множество, состоящее из УП.
Для всякого множества Г через 'Р(І ) (через Р'(У’)) обозначаем семейство всех (всех непустых) п/м Г: |’іп(7’) есть (Іеґ семейство всех конечных множеств из 'Р'('У’) (семейство ВСОХ непустых конечных н/м Т).
В дальнейшем широко используется индексная форма записи отображений (см. [15|): если ,4 и И непустые множества и Ьа є Н У а € А. то (6а)««=л есть сіеґ такое отображение /:А—* —> В, что /(а) Ьа Уо: Є Л.
1 |рп обозначении функций двух и трёх переменных используем обычные правила экономии скобок, рассматривая VII и триплеты как аргументы соответствующих функций. Напомним в связи с вышеупомянутыми соглашениями, что при всяком выборе непустых множеств Л, В. С и I), функции / : і'1 х В х С -> В. а также точек х є Л х В и у є С оп]х:делепо значение /(х.у) Є I)', это обстоятельство часто используется в дальнейших обозначениях.
А Д
Всюду в дальнейшем К вещественная прямая, N “ {1; 2;..N0 (0}иМ (0:1; 2;...}
и
М А {г € М„| (к < г) & (г ^ /)} Чк Є М„ V/ є М„ (2.1)
(її (2.1) допускается реализация 0). Далее |0, ос|^ {£ Є М| 0 ^ £}; Д'1^ каждого непустого мно-
жества 5 через 7£+[£] обозначаем множество всех функций из 3 в |0. ос[.
1’сли А и И непустые множества, а ір есті» биекция |18. с. 87| множества А иа ІІ,
то через ф~1 обозначаем биекцию Н на А, обратную к р. І Іерестановкой непустого мно-
жества /, называется биекиия /- на себя (см. [18, с. 87]); каждой перестановке Л множества Ь сопоставляется, стало быть, обратная шцюстаповка А-1 (мпожества Ь), для которой А(А-|(/))= А-1 (А(/)) = / V/ є Ь. Непустому конечному множеству К сопоставляется от мощность Л'| є N. а также непустое конечное множество (Ьі)|А'] всех биекций 118. с. 87] 1>|А'| па
К: пусть |0|АО. И дальнейшем при т є N часто будут использоваться перестановки 1, т, называемые маршрутами. Кроме того, буду г использоваться час тичные маршруты, в качестве таковых рассматриваются элементы (1)і) [/Ч ]. где К € Пп(К) является и/м «промежутка» 1,т при некотором фиксированном тп Є N.
3. Специальные обозначения и понятия; постановка задачи.
В дальнейшем рассматривается (пе в самом общем виде) задача последовательного обхода мегаполисов с условиями предшествования. Предполагается, что с каждым из мегаполисов связано выполнение (исполнителем) некоторых работ. Одной из содержательных задач, приводящих к рассматриваемой проблеме, является задача листовой резки деталей па станках с числовым программным управлением (Т1ПУ) [19]; в этом смысле настоящая работа продолжает |20|. Другие прикладные задачи, имеющие отношение к рассматриваемой ниже проблеме, могу т быть связаны с моделями популяций її биологии.
И конструкции, рассматриваемой далее, существенно используется модель с мегаполисами (непустыми конечными множествами), что. с одной стороны, согласуется с потребностями практики (ем., например, [19,20] в связи с задачей о листовой резко), а, с другой, доставляет некоторые удобства математического характера.
Условимся о некоторых обозначениях, имея в виду как возможность непосредственного использования схемы на основе (нестандартной версии) ДІІ для решения исходной маршрутной задачи (в случае 4умеренной4 её размерности), так и возможность применения беллмаповекой вставки в решение (маршрут-трасса), полученное тем или иным эвристическим методом. И последнем случае определяемые ниже объекты будут играть роль параметров, которые следует затем "привязать’1 к схеме решения 4большой’’ задачи; последнее по причине затруднений с вычислительной реализацией не может быть построено оптимальным за приемлемый промежуток времени. Фиксируем произвольное непустое множество X, точку ,т° є X. именуемую базой; число Лг N. а также множества М\ є Гіи(Х)..... Лідг є Гіи(Х). называемые
мегаполисами: последние образуют кортеж (Л/^^-ру : 1, ЛГ —» Кіп(А'). Полагаем, что
(а;° І М, V; Є 1..У) & (Мр П Мч = 0 V;; є I; Л' Уу € СТ \ {/;)). (3.1)
Через Р обозначаем множество всех пе{>еетаповок 1. N. т.е. множество всех (по,;шых) маршрутов. Выбор «еР позволяет рассматривать кортеж занумерованных мегаполисов (Ма.[/))ґеу-^; индексу / можно при желании придавать смысл дискретного времени. Далее иа выбор СїЄР накладываются ограничения; сейчас отметим, что для каждого такого выбора можно рассматривать трассу или траекторию
;Г° —► (.Г|,| € Д7„.(|) .Г 1.2 є Л/,>(!)) (-ТЛМ € ЛУ„.(,у) € Л/Л.(,у)). (3.2)
где прямые стрелки соответствуют внешним и смысле (3.1) перемещениям, а коли истые внутренним работам.
Л ____
Условия предшествования. В дальнейшем Р (Ьі)|І,А|; разумеется, Р есть множество (а. на самом деле, группа) псех перестановок индексного множества 1,ЛГ; элементы Р называем (полными) маршрутами. Напомним, что при «єР определена перестановка о-1 є єР, обратная к а. которая. следовательно, также является маршрутом, Среди маршрутов из Р выделяем допуст имые мо предшествованию.
Фиксируем множество К є'Р( I. N х 1. А'); итак. К множество, для которого К С 1. А’ X х 1.АГ (случай К 0 не исключается и соответствует отсутствии) условий предшествования). Элементы К называем адікхтіьіми нарами; итак, гєК. есть УП. для которой рГ|(г)Є1,ЛГ и рг2(г) Єї,ІУ; называем индекс ргі(г) (индекс рг2(г)) отправителем (получателем) адреспоіі нары г. Условия предшествования определяем в виде требования: для каждой адресной пары посещение отправителя должно предшествовать посещению получателя. Тогда 110, часть 2]
А = (о: € Р| а 1 (рг| (*)) < (X 1 (рг2(г')) V* є К} (3.3)
есть множество всех маршрутов, допустимых в вышеупомянутом смысле. Полагаем в дальнейшем, что
УКо € Vі {К) 320 є Ко : рг1(2о) / рг2(г) € Ко. (3,1)
Тогда |10, (2.2.53)1 АєР/(Р); и. в часі'пости, А есп> непустое конечное множестію. Кроме тою, из (3.4) следует, что (її рассматриваемом далее случае) рг, (г) / рг2(г) V* Є К; так, в нашем случае имеет место невырожденность каждой из адресных пар. 11одчеркнём. что ;Г°, А. Л/1...., Д7,у, К играют роль параметров, относительно которых постулируются только условия (3.1). (3.1).
Трассы, согласованные с маршрутом. Пусть (здесь и ниже)
X Л (.г"} и (У Л/,): (3.5)
і 1
яс1ю; что ХєГіи(Х). Заметим, что. согласно (3.2), мы анализируем далее перемещения в
X х X; с этой точки зрения логично н а;0 «заменить» па (а*0.а*0) € X. Обозначаем через
Ъ множество всех кортежей (£*)*©П\Г: 0, А' —► X х X: тогда (3.2) характеризует фактически
некоторый кортеж из 2: го = *, = (.7*1.1,,гх,2): -.., гдг = (.тд'.,,,гд72). Уместно ввести сово-
купность всех таких (соответствующих (3.2)) кортежей. Итак,
Д, А {(2і).да Є А (*> 2{0)) к (2/. Є Ма(1) X Ма{1) V/ Є ТГА) }є Пп(2) V» Є Р. (3.0)
Множества (3.6) можно рассматривать как мучки трасс или траекторий, согласованных її
смысле (3.2) с панерёд выбранным маршрутом. Юсли оєА и (2г),;Є(ПуЄ Д», тоУП («, называем допустимым решением (ДР). Разумеется, Д1* составляют непустое (конечное) п/м Рх£.
Функции стоимости. Мы фиксируем в дальнейшем
с є п, |Х х Х|, («ч)ієШ : ЇТА ^ 7?. | |Х х Х|, / € Я11А| (3.7)
в качестве способов оценивания внешних перемещений, внутренних работ (связанных с мегаполисами) и терминального состояния. По соображениям методического характера полагаем функции (3.7) максимально продолженными.
Замечание 3.1. 'Значения с(х.у) функции с существенны лишь в следующих двух ситуациях: I) х :г° и у € А//, где _уЄІ,А; 2) х € Мі,у € А/,. где і. Є І, Ач/ Є І. А, і / у. При
5 € 1, Л?' значения с.*(х,у) функции с* существенны при а* € Мя и у € Л7,«. Наконец, зиачеиня /(;(■) (терминальной) функции / существенны при .г €. Л//. где I €. I. Л’. 1 (родолжоние данных (существенных) фрагментов функций стоимости до с,Г|,..(3.7) может быть любым (в частности, всегда ВОЗМОЖНО ДООНреДОЛОНИО нулём). □
Отметим, что с, а,..., с\\. / также можно рассматривать в качестве параметров, дополняя таким образом систему (;г°, Д?, Л/х,..., Л/д--,К). И терминах данного (расширенного) набора параметров вводим аддитивный критерий, полагая сначала
Л-1 N
£«|(гг)геал?1 У" с(рг2(«(.)■ | 1)) + У~] + У (р^^А’)) € Р € (^-8)
*-0 *—1
Однако использовать величины С*|('г»)»€(Глг1 (3.8) будем только в случаях а€ А, еД»;
тогда, согласно (З.б),
А'-Х N
^Л(*ч),:ео1у1 = с(.т°,рГ|(гГ)) I ^ с(рг2(гг).рг1(гл ,)) I ^са.(0(г,.) I /(рг>(2л0)- (3.9)
I 1 (.1
11ос|)едством (3.8), (3.9) можно оценивать каждое ДР. Рассматриваемая далее (>сновная задана (03) имеет вид:
д] * ШШ, (X €= А, (^»)^^5ГлГ ^ (3.10)
Перез V условимся обозначать её экстремум (значение), т. о. наименьшее из чисел (3.10) при переборе о еА и (2*)*6оПу € 2а. Как обычно. ДР (а0. (40*еЮу); гдс а° € А и (я?)*6оПу е ххазываем оптимальным, если С«о[(г^)<ей7у| =У. Паша цель состоит в определении V и какого-либо оптимального ДР. Для достижения данной цели используем аппарат ДП, следуя 110, ч. 3|, |1 1|. [211.
4. Динамическое программирование, 1.
Напомним сначала схему расширения 03, следуя [10, ч. 2|. Пусть 'Л = Т>/(1,ЛТ). множества элементы 'Л называем списками (задании); через I обозначаем оператор 110, ч. 2|, действующий в Ш но правилу: при К Є 91
ЦК) А К \ {рг2(г):г еЩК\}, (1.1)
где Е[/\]“{гєК| (рг | (гг) Є К) (рг2(г) Є /\)}. Из (1.1) л( :гко следует, что 1( {/.}) {/} V/. Є I, .V.
В соответствии с [10, (2.2.51)1 имеем, что
(I - [>і)|/\'| А {а є (Ьі)| К\ | а(т) € 1({а(г): і € т, | А'|}) Ут € 1, | А'|}
{«€ (Ьі)|К'||а(т) € I(К \ {«(г): і є І, т — І}) Ут є 1, |АГ| }-Є И-2)
<е'Р'((Ы)|л-|) у к є т
(напомним, что 1,0 0. а потому при // Є ЭД и а € (I — Ъ))[Н | <у.( I) € 1(//)). При этом [10,
(2.2.32), т(х>рема 2.2.11
А = (I - Ы)[17А'| = {о: є Р о(т) є 1(1, N \ {«(/) : і є 1, т - 1}) Ут є 1, Л7}. (1.3)
Из (4.3) следуе т простое правило пошагового построения маршрутов, допустимых і го предшествованию: в момент І I выбираем її Є 1(1, Лг); если / Є 1, Л' — I и индексы ^'і€І,Л?,... ... ,;/> Є 1, N уже найдены, то выбираем у(+| € 1(1. N \ {,/я: я Є 1,*}). Разумеется, упомянутые
процедурі,і выбора }\ € 1(1, /V),32 € 1(1. .V \ {^'|})...., Є 1(1, N \ {]я : в Є 1, N - 1}) (имеется и виду случай N >3) можно подчинить тем или иным дополнительным условиям.
Частичные трассы. Коли А €91, то |А| € 1, А и через Ък обозначаем множество всех кортежей (^і)^о |Д-| :0,|А| -^ХхХ. При этом Ъ = По аналогии с (3.2) полагаем при
X Є X. К Є Ш И О: є (Ьі) \К\. что
г(х, К. а) Л {(г^да є ЪКI (го (а-, я)) к. {г, <Е М,т х Л/„(*, Ш Є Т7^)}, (4.4)
получая исякий раз і ієн устое конечное множество (и (4.4) важен случай а: є (I — Ьі)| /\"|). Но аналогии с (3.8) полагаем, что
~ Д|К1_1 / \ 1А'1 . .
£«І(^)ієо^|Л'] = У] с(рг2(г£).рг|(г4, і)) | £ са(()(^) І Дрг>(2|л:|)) (15)
ЧКєт У«е(Ы)[А] У(г.;)ге^е2к.
Разумеется, посредс'пюм (4.5) можно, при атеХ и /\’єШ, оценивать качество УІI (а,
для которых а€ (I — Ьі)|/\’| и (^г),;Є0 элемент множества (4.4). Это позіюляет определить
при .г є X и К € 'Л частичную задачу (43)
К\ тіп» а є ^ _ ЬІ)і/іГИ^)іє(Щп € К-а'): { иі)
задаче (4.6) сопоставляется значение (экстремум) г.*(аг, К) € |0. оо| в виде наименьшее из чисел С,т|г| К|, а Є (I — М)[/\ |,г Є 2(х. А. а). Учитывая (1.3) и то, что 2а 2{х°, I. А,а) при «є А, получаем равенство
У= ф-°, ГА). (1.7)
В силу (1.7) систему т13 (4.6) рассматриваем и качестве расширения 03. Полагаем также, что
с(;х, 0) = /(.г) Ух є X. Тем самым завершается определение зависимости V є Я. \ |Х х Т>( 1. А)|, имеющей смысл функции Веллмана. При этом (см. |Г1.21,22|)
г(т. К) гпіп тій [с(;Т. ргі(л)) І с.і(а) І V(рг2(г). /\ \ (/))] Ух € X У/\ Є 'Л; (1.8)
■ ]Є1(К) хем,хм^1 ' ^ к И
в (1.9) имеем уравнение Веллмана. соответствующее расширению па основе (1.6). Из (1.7). (4.9) имеем, и частности, что
V тіп гпіп [с(х°,рг1(л)) I гДг) I г(рг2(г), I, Д’\ {/})]- (1.9)
5. Динамическое программирование, 2.
Напомним экономичную версию ДІІ, предложенную в 110, §1.9]. Для этого, прежде; всего, введём существенные (по предшествованию) списки: список К Є 'Л называем существенным, если У г Є К (рг'|(г) Є К^=> (рг2(*) Є А). Все прочие списки из Л далее не рассматриваем. Итак.
(? = {/і Є ‘Л|Уг є К (рі'і(г) Є А)=г- (рг2(*) Є ^)} (5.1)
(х:ть множество всех существенных списков. Коли я € 1, А, то Л (/\ Є £/|л |А|) есть мно-
жество вега .4 -элементных существенных СПИСКОВ. Ясно, ЧТО семейство [Яі'.ІЄ I. Д) образует
разбиение С (5.1). Разумеется. </д- = (1, Ат} и при К] = (рг, (г): г Є К} (Кі —множество
всех отправителей) справедливо равенство Я\ {{£}:/ € I, Д \Кі}. Кроме того, |21, с. 60|
{А \ {і} : К Є Я,Л Є ЦК)} V* € 2~У. (5.2)
Итак, имеем рекуррентную процедуру па осмоие (5.2): (?д/ —> Єх-і - —*Я\. Из |10, предло-
жение 1.9.2] следует, что / 0 Ук € I, N.
Для последующих построении понадобится обратная в некотором смысле процедура: если ,ч є 1. Лг — 1 и К е б», то полагаем, что
Л(К) д {./ Є I-Л \ К| {і} и /С Є & 11}. (5.3)
В связи с (5.3) напомним |21, предложение 1]:
и є 1({«} и К) V» є 1, А’ 1 УК є дя Уп, є Л(К). (5.1)
Наконец, из |21, (36)] имеем, что
МК) / 0 V* € I. /V - 1 УК Є Я,- (5.5)
Предложение 5.1. Если « Є 1, Лг — 1, то справедливо равенство
9» 11= и {{Л и К : ] є Л(К)}. (5.6)
К ЄІ/,.
Доказательство. Обозначим через И множество в правой части (5.6). Тогда 1} силу (5.3) получаем, что
ПС&+І. (5.7)
Пусті» И €9а+\. Тогда, согласно (5.2),
Н\{і}єб, УіЄІ(Н); (5.8)
здесь мы учли, что $ + 1 Є 2, N. Напомним, что, поскольку II Є 91 (см. (5.1)), непременно
І(//)єШ и, в частности, 1(11)/0. Выберем ?гєІ(//). Тогда, в частности, пеП (см. (4.1)).
Из (5.8) получаем, что
Н Л Н \ М € д,, (5.9)
причём {«} и Н Н. Заметим, что, согласно (5.3), (5.9),
Х(П) = у ( 1.д-\// и} и Я Є б„ I! } • (5.10)
При этом я € I, Лг и, согласно (5.9), п£Н; в итоге «€ I, Л?\ //, причём {те}иН Нєбх\-і но
выбору II. Следовательно (см. (5.10)). їі.є^Гя(іі). а тогда ио определению О и с учётом (5.9) получаем, что II = {и} и IIЄ П, чем и завершается проверка вложения 11 С О. С учётом
(5.7) имеем требуемое равенство 0* \ і £ї. □
Предложение 5.1 характеризует свойство определённой полноты процедуры пошагового паращиваиия существенных списков, указанной в (5.3). Напомним, что семейство <у\ определяется (по К) явным образом.
Слои пространства позиций. Следуя |21,22|, введём непустые п/м X х Р(1,Л’), обозначаемые далее через /А), 1)\,..., /А\. В терминах
М = У Мі є Р'(Х) ієШ\Кі
определясь! Д): А) = {(а;, 0): х є М) = М х (0); кроме тот, I)д- = {(.г0.1, Л7)} (сипглетон). Если #ЄІ,ЛТ —1 и К е О», то в терминах
ма\к\* у м:і є р'(х)
зємк)
(см. (5.5)) определяем клетку ВЯ[А'| = {(.т. К): .т е ./VI,, [А’1}. С помощью упомянутых клеток конс труируем множестка !)у, . . . ; /Л\ -1 ;
/л, Л и ВДЛ € 'Р'(Х X д„) Ув € 1.Л' - 1. (5.11)
кев,
В (5. 11) определены промежуточные (‘лои в Хх<?; множества Дь О)•■■■• Т)\ именуем слоями пространства позиций. Легко видеть, что (у, К \ {.?’}) € /Л-1 Уа‘€1.Л? V К €@я V;/ е= I(/\ ) Уу€ еМу. В частности, (см. (5.11)). имеем очошииоо следствие:
(рг2(г), К \ (,/})е /Л-1 У« € ТТЛГ У(.г, К) € /Л У'/ € 1(/\) Уг € Л// х Л/,. (5.12)
6. Попятная процедура.
Отметим, что с учётом (5.11) корректно определяются сужения функции Веллмана: если 5 <Е 0, .\, 10 функция | |/Л| задаётся естественным правилом
гн(х, К) = 1'{х. К) V(х,К)еОн. (6.1)
Из (6.1) следует, в частности, что Со €7?.+ [/Л)| определяется условием
*й(а\0) /(х) У.г € М (6.2)
и, таким образом, г\) известна. Из (1.9) и (5.12) следует в свою очередь.
Предложение 6Л. Если » е 1. ЛГ, то преобразование г.’„-1 в г>„ имеет вид
1-я(х, К) нпп ^ггпп [с(.т. ргх(г)) I с^(г) И’.,_| (рг2(г), К \ {.у})] У(.г. К) е /Л- (6.3)
Из (4.7) и (6.1) имеем, что V ?;,\ (;г°. 1. .V). а потому, согласно (6.3).
V гпш_ ГШП [с(.г°. рг, (г)) I с^г) I кц-\(рг2(г), I, Л; \ {.у})]. (6.4)
Алгоритм построения слоев функции Веллмана на функциональном уровне.
Предлагается следующая процедура, состоящая из 3 этапов.
1) Используя 0х = {1.ЛГ} в качестве цачалыютч) элемента; конструируем на основе (5.2) семейства С? |..... С?\г.
2) Располагая £?/,£€ 1:.\, конструируем ;ця каждых $ € 1, /V — 1 и К € 9 а множество
Уа{К) (5.3). с помощью которого всякий раз определяются „М*!А"| и клетка Зачем
посредством (5.11) определяются слои !)\..... /Л\-1; поскольку /Л) и /Лу известны, мы получаем кортеж (/Л)»@П7 непустых множеств, составленных каждое: из позиции.
3) С использованием предложения 6.1 находим слои функции Веллмана. В самом доле (6.2) определяет го- Если шеО, Лт — 1, то г,п преобразуется в т„, \ т ио правилу, вытекающему из (6.3):
игп I I (т. К) = шш шш [с(,т. рг, (г)) | с,(г) Гст(рг2(г),Л' \ {]})] У (.т. К) е 1)т \ 1; (6.5)
в (6.5) учитываем, что. согласно (5.12); (рг2(г), К \ (,/})е 1)гп при (х, К) е 1)т | ьу е 1(Л) и г€Му х Д/у. После .V этапов, подобных (6.5), все функции г’ол’т • -е.у будут построены и. в частности, будет определено значение V. Кортеж (еДчеоТ? обычным для теории ДП образом используется при построении оптимального ДР.
Сейчасограничимся соисем кратким обсуждением (напомним, что г|0) (а:0, а:0); см. раз-
дел 3). Полагаем этапы I) 3) завершенными; с учётом (0.1) выбираем j| €1(1, А7) и € Є Л /}, х V/), так, что
V с(рг2(а(01),рг|(2(|))) |Г|,(г(|)) И’л-і (рг2(г(1)), I, А \ Ці}); (6.0)
согласно (5. 12), (рг2(г^1 *), I, А \ Ц і)) € 1> ,V_ і и в силу предложения 0.1
^\'-і(рг2(г(І)), 1, А'\ Ці}) пип П1ІП [с(рг2(г"■*■■), рг,(г))+с^г)+
.>сі;і.Л’\{.іі }: -^ •• 0х Д/1 (0.7)
І і’1у-2(рг2(г),1.^\ ОиЛ)];
в (6.7) учтено, что, согласно (5.12), (рг2(г), I, А \ {іі;;/}) (рг2(г), (I, N \ Ці» \ Ц})€ /Лу-2
при ;і Є І( І, А \ 0і}) и а € А/:; х Л/,. Выбираем с учётом (6.7) ,і2 € І( І. А \ 01}) и € М\2 х
х АІу2 так, что при этом
ї,’дг_і (рг2(и(1)), 1. Лп\0і})= с(рг2(г(|)).рг,(а(2))) І %(г(2)) І гдг_2(рг2(г(2)), ;Іа»5 (6.8)
где (см. (5.12)) (рг2(г^), 1.І\Г\ Д?\г-2. Из (6.6), (6.8) следует, в частности, что
V = с(рг2(г^).ргі(г^1 '>)) І с(рг2(г(1>),рг1(г(2))) ІСц(г0)) І сь(г^) І
ИЧ-2(рг2(г(2'), 1. А'\ ’
Если А 2, то. как легко видеть (см. (0.2), (6.9), построение оптимального ДІ * завершено. Если же Лг > 2. то процедуру последовательного выбора экстремальных элементов (см. (6.7).
(6.8)) следует продолжить ви ють до исчерпывании списка задании.
7. Локальное улучшение маршрутов и трасс.
Рассмотрим одни из вариантов применения вышеизложенной конструкции па основе ДП дли локального улучшения ДР, построенного па основе эвристических алгоритмов.
Итак, пустії хо Є X, п Є N, 4 п, і. \ € І’іп(А'),..., Лп € І ’іп(.г). І Іолагаем выполненными условии, подобные (3.1):
(хо Уj є 1, п) & (Ьр П Ь,/ = 0 V/; є 1,п У(/ є 1, п \ {р}). (7.1)
В дальнейшем подразумевается, что (/>і,.... /,„) «большой», кортеж мегаполисов; точнее, 2< ІУ < п, а целевой кортеж раздела 3 является его «частью». Через Р обозначаем множество всех перестановок 1, п:Р = (Ы)[1. п]; выбор перестаповки, т. о. маршрута, из Р должен, нообше говоря, осуществляться при соблюдении условий предшествования. С пел 1.ІО введения последних фиксируем ЯеР(1,п х I,п); У11 из Я также называем адресными. Подобно А раздела 3. мы в виде
Л А {а- € Р| а~1 (рг | (г)) < аГ1 (рг2(г)) Уг є Я} (7.2)
им(н:м множество всех Я-допустимых (по предшествованию) маршрутов; содержательный смысл условий предшествования и Я-допустимости аналогичен разделу 3. Постулируем, что
УЯо Є Р'(іі) Зац Є Яо : рг|(го) / рг2(£) У^ Є Яц. (7.3)
Из (7.2), (7.3) следует (см. [10, (2.2.53)]), что ЛєР^Р) и, в частности, Л€ Ріп(Р).
Подобно разделу 3. определяем трассы, согласованные с маршрутом, полагая для удобства обозначений
п
*={*,) и (У ъ). (7.1)
г—1
Тогда через 3 обозначим множество всех кортежей (г»)^о1Г: 0.п->1хХ. Полагаем далее, ттто трассы определяются подобно (3.0): если Р £ Р, то
Л ,-4.. ____ —.
3;< “ {(^)*епи € 31 ((-о (хо,хо)) € Ьв(1) * ^ € I. п)}е 1чп(3). (7.5)
Как и в раздело 3. VII (/?, 0?*)«€Вл)? где /?€ Д и (-чО,;еГп ^ 3^. рассматриваем как ДР «большой». задачи. Ясно, что так определённые ДР составляют непустое конечное н/м Р х 3. По аналогии с (3.7) ои|кцс;хяом функции стоимости в «большой». задача;:
сь € п+[х х Х\,с] е 7г+[ЭЕ х ЗЕ]......с;, € 7г+[ЭЕ х Х\, /: € 7г+[Э£]. (7.0)
Разумеется, определение (7.0) избыточно, но при таком способе построение основных элементов «большой», задачи значительно упрощается (см. содержательное обсуждение существенных фрагментов функций (3.7) в разделе 3). Если Р е Р и е 3, то полагаем, что
£ с:(рг2(г4),рг,(г41 О) I Х>;(*£) I Г{рг2{гп))
*“° (7.7)
Е [ск(рга(2х),рГ|(2л1)) |4У | (2,, п )] | /ь(рг2(г„)).
*-о ■ 1 1 '
Рассматриваемая инже «большая», задача имеет вид:
^#К^*)геи.11-1 * Н1Ш, Р £ А. (*'г),;^() п £ Ъ-,1‘ ( 1 -8 )
Итак, в (7.7), (7.8) определена задача, подобная 03 (3.10). Мы полатаом; однако, что размерность задачи (7.8) является достаточно большой (Л7 < п). чем затрудняется построение точного её решения (данная задача, как и (3.10). является труднорешаемой 1! традиционном понимании); 1! этой связи предполагается, что в задаче (7.8) используется тот или иной эвристический алгоритм (см., например, жадный алгоритм работы [23]).
Сейчас мьт полагаем, что найдено какое-то ДР (А. (Ь)*)*€(Гп) задачи (7.8): Ае А, (Ь)г)г:е^€
Е За- Мы ставим своей полью улучшить значение СлК^ОгеапЬ привлекая 03 (3.10). В этой связи напомним, что А е Р и при этом
А-1 (рг,(г))< А-1 (рг2(г)) V* е Я. (7.9)
Кроме того. (Ь»)1ед^: 0,п—х ЭЕ; Ьо = (хо.хо) и
Ь/ £ Ьт х Ь\(1) V/. £ 1.п. (7.10)
Ус.товимся о следующих правилах действий. Фиксируем чис то \> € 1. п, для которого и I Лг I
+ I < п (здесь .V е N соответствует предположениям раздела 3; па неформальном уровне полагаем, что А выбрано, исходя из возможностей вычислительной реализации схемы ДП: в настоящее время алгоритм, реализованный на ПЭВМ, позволяет полагать N 31). Конкретный выбор и может осуществляться на основе анализа ДР (А, (Ь,;)ге^). Тогда ;/ I я € Е 1.п - I \/в€1,Л'- 11оэтому определены индексы А(у +1) £ 1: п,..., А(^+/V) £ 1, п. С учётом этого принимаем следующее соглашенш;:
А/, Л Ьм„+Я) V* € ГЖ (7.11)
Пусть Г = {Х(и I »): « Є 1. Лг). а Л: 1, N —* Г определяется правилом
ЛЛ (А(;/ I я)),еШ; (7.12)
Л есті> биекция 1,ЛГ на Г:|Т| /V и Ає(Ьі)|Г|. Тогда, согласно (7.11). имеем при ./ Є I. Л равенство Д/, где Л(;/) А {и I ;/’). Введём в рассмотрение следующее множество
Я = {г є Й|(рГ|(г) є Г)&(рг2(г) є Г)} є ’Р(Л). (7.13)
Тогда есть и/м 1,пх1,п. Соответственно. полагаем
К А{(л-1(рг1(2)),А-|(рг,(г))): г€Я}, (7.14)
получая, коиечио, вложение Kcl.JVxl.2V. Д ія К (7.11) используем множество А раздела
з. Итак, мы конкретизируем К раздела 3 посредством (7.14), после чего «включаем» (3.3). Ясно, что У«€ А, \fzeQ
а-1 (Л_|(рг|(г)))< а_|(л_|(рг>(2))). (7.15)
При этом в случае «ЄР композиция Л о о: отображений а и А есть отображение 1.ЛГ па Г
и, более того, биекция 1.ЛГ па Г. При этом, согласно (7.15). имеем, что
(Л о «)_і(рг1(г))< (Л о о:)_1(рг2(а)) Уо: є А \fzeQ. (7.10)
Предложение 7.1. Множество К (7.11) обладает свойством (3.1).
Доказательство. Пусті» КдЄ'Р^К), т. е. Ко непустое и/м К. Тогда Ко С К и
V/) є Ко Зг Є : I) = (^А 1 (рТ|(,г)).Л 1 (рг2(£))^- (7.17)
Из (7.17) вытекает с очевидностью, что
УЛ. є Ко Зг е О : ^Л(рг1(Л.)),Л(рг2(Л.))^ г. (7.18)
Из (7.13). (7.18) получаем также очевидное свойство
(Л (|)Г| (/г)), А (рга(Л))) Є д У/г є К0 (7.19)
и, как следствие, (см. (7.13)). Н Л |Гл(рг,(Л,)), А(рг2(Л.))^: Л. Є Ко|є Т'ІЯ). С учётом (7.3)
подберём 2* Є II так, что при этом
рід (г*) / рг2(г) У/Г Є Н. (7.20)
Теперь, используя (7.19) и определение //. подберём /г* Є К о так, что при этом
г* = (А (рг, (/<*)), А(рг2(А*))). (7.21)
Из (7.20), (7.21) следует теперь, что
А(рг1(/г*))/рг2(г) Уг Є Н. (7.22)
И этом случае из определения II и (7.22) вытекает, что
Л(рг, (Л*)) / Л(рг2(Л)) Ш <Е К0. (7.23)
Как следствие, из (7.23) следует свойство
Ргі(Л*) / рг2(Л) V/?. Є Ко. (7.24)
11о выбору Л* получаем из (7.24), что Зго є Ко: рг1(*о) / рг2(2) УгєКо. Поскольку множество
Ко выбиралось произвольно, предложение доказано (К (7. 11) удовлетворяет (3.1)). □
Напомним, что (см. предложение 7.1, определения раздела 3) А есть непустое п/м Р. Возвращаясь к (Ь,)г€^. отметим, что 1і„ є X х X. а потому рг2(Ь,/)єХ. Мі.і полагаем далее, что в построениях раздела 3
;г° рг2(Ь7/). (7.25)
Следуем теперь соглашениям раздела 3 в конкретизации, определённой в настоящем разделе. В данной локальной задаче с базой (7.25) используем ДР раздела 3.
Рассмотрим нужную в дальнейшем конкретизацию функций стоимости (3.7). Здесь, конечно, следует учесть, что, согласно (3.5), (7.4) и (7.11), X С X. Поэтому с в (3.7) можно
определить посредством сужения с^:
ф) л с1{г) V* € X х X. (7.26)
Кроме того, заметим, что, согласно (7.6),
4(1) є Я I [£ х £1,..., 4(ДГ) Є п І [X х X]. (7.27)
С учётом этого определяем функции С|,...,С\' следующим образом: если у Є I, Л', то <ц € Є Я. | [X х Х| имеет вид
ф) А <*т(г) V* е X х X. (7.28)
Иными словами, при у Є 1, N функция определяется в виде сужения на X х X.
Заметим, что
<-г*і7)(*0 =ло^)(ї)('г) Vа Є А- V* Є X х X. (7.29)
Наконец, / Є % і [X] определяем условием
/(.г) = С1 (.Т. рГ, (Ь„ I д- | , )) | СА(„ , д; , І)(ЬІ/ I ,у1 I) Мх Є X. (7.30)
В терминах (7.26), (7.28). (7.30) определяется аддитивный критерий раздела 3: каждой УП «€ А, (2і)ІЄол Є сопоставляем число €4ї|(гі)іє5^| (3.9). В результате получаем вариант задачи (3.10).
Пусть (а0,(Ч:ть оптимальное ДР задачи (3.10) в упомянутой её конкретизации: «° є А, (*° )ІЄоіу Є 2пи и при этом
ОКФісо^Н < 1 V" є А У(гі)іеШ є гп. (7.31)
Обсудим оегтеетиенный вариант «встраивания», («°, в Решение (А. «боль-
шой», задачи. Начнём с рассмотрения процедуры «встраивания». «° в маршрут А. Д. ія этого заметим, прежде всего, что при ІЄ1У+ !,/>' + А1 определен]»! индексы і — ;/Є 1, N .а {і —V) є 1, -V и, как следствие,
(Л о «°)(/ - і/) Л(а°(і — ;/)) А(;/ I о;°((-//))е Г. (7.32)
При этом множества 1. V, и +1, и+ N. и + /V +1. п образуют разбиение 1,п. С учётом этого введём отображение г/, действующее в I. п, посредством следующего правила, учитывающего
(7.32):
І) = А и) V; є 1,17) к (ли) = (Л о а0) (у - //) V у є Ї/ | 1777 і IV) & & (''/(І) А А(;/) V;/ € і/ І /V | I, п).
(7.33)
Предложение 7.2. Отображение Г) еС'п> допустимый маршрути «большой», задаче;: // € Є А-
Доказательство. Свойство г/ЄР легко следует из биектпвноети А .а и Л. Ограничимся сейчас проверкой допустимости г/ по предшествованию, фиксируя произвольную адресную
пару в є «большой» задачи. Тогда в є 1. п х 1,п. рг-|(0) Є 1. п и рг2(0)є1. п. По выбору А
им(Н’м неравенство
А"1 (рг,(0))< А-1 (рг-2(0)). (7.34)
Возможен (см. (7.13)) один из следующих двух случаев
(0€Я) V (0Є Я\0). (7.35)
Упомянутые в (7.35) случаи рассмотрим отдельно.
1) І Іусть сначала ОеС}. Имеем свойс тва рг, (0) є Г и рг2(0)€Г; как следствие,
(л-1 (рг-,(0)), А-1 (рг2(^)))е К, (7.36)
согласно (7.14). С учётом (7.3(3). К-допустимости о,() и простейших свойств композиции и А получаем, что
(Л о а0)"1 (РЧ(0))< (Л о а0)-1 (рг2(0)), (7.37)
откуда с учётом (7.33) и легкопроверяемых равеиетв
>г' (рГі((?)) V + (Л О а0)"1 (р1д(0)),
Ч~] (рЪ(0)) у + (Л о а0)"1 (рг2(0)), вытекает. что (ргі(0))<*/ (рг2(0)) в рассматриваемом случае 1); имеем импликацию
(в є С}) => (//“' (ргі (в)) < 1)~1 (Р^))) • (7-38)
2) Пусть вєЯ\С^. Согласно (7.13), имеем, что
(рГ|{6>) ^ Г) V (рг2(0) І Г). (7.39)
Обе возможности, отмеченные в (7.39), рассмотрим отдельно.
2.1) Пусть рг| (в) <^Г. Легко видеть, что в этом случае
(Л о о°)(») Ф рг,(6>) V» є СТ (7.10)
(исиользуем биоктишюеть А). С учётом (7.33) и (7.10) получаем, что
г/(У) / рг1(<?) V;/ Є у І І.;/ І .V. (7.11)
С учётом (7.ТІ) и биективностн г/ имеем, что
ГГ] (ргі(^))€ Т7у и і/ І /V | 1,11, (7.12)
откуда легко следуе т равенство
гГЧ рг1((9))=Л-|(рг1(6»)) (7,13)
и, как следствие, в силу (7.9). (7.31) имеем неравенство
Ч_,( рг,((9))<Л-,(рг2(6>)). (7,11)
При этом (рг2($) ф. I ) V(рг2(^) € I )• Кеш рг2(0) ф. Г, то, подобно (7.13). проверяется равенство
/у-1 (рг2(0)) = А-1 (рг2(0)). а тогда из (7,11) следует, что
Ч~' (рч(0))< Ч~' (рг2(0))- (7.45)
Тем самым устанавливается (при условии рГ|(6>) ^Г) истинность имп ликации
(рг2(0) ф Г)^> ^1 (рг|(6»))< //_ 1 (р 1'2((9))). (7.16)
11усть теперь (при условии ргА(0) £ Г) справедливо включение рг2(0) € Г. Тогда
§^Л-'(рг2(0))€й\Г (7.47)
и, как следствие, (см. (7.12)) А-|(рг2(0)) // | я». Учитывая (7.11). получаем попочку нера-
венств
Г Г' (рг, (0)) < V + 80 ^ V + А'. (7.48)
означающую (см. (7.12)) непременно. что
(7.19)
С другой стороны, из (7.47) имеем с учётом биектиниости а0, что
" I 1 < ■/Г1(рг2(61)) (7.50)
(используем также второе выражение в (7.33)). В итоге справедливо (при условии рг2(0) 6 Г) неравенство (7.15), что означает истинность (при условии рг, (0) £ Г) импликации
(рг2(0) € Г)=> (*Г‘ (Рг1 (0))< *Г1 (рг2(0)))- (7-51)
Стало быть (см. (7.46)), в рассматриваемом случае 2.1) всег,да ны пол поется (7.45). Итак, уста-Iювле] га им 11л ика1щя
(рг,{0) ф Г)=> (г/-1 (рг,(6»))< г)~' (рг2(0))). (7.52)
2.2) I |усть теперь рг2(0)^Г. Тогда, как легко видеть, (Л о а°)(§) / рг2(0) \/в€1,Л\ С учётом (7.33) получаем следующее свойство: //(;/) / рг2(0) >/_/€«' I 1,1/ I N. И силу биективпости г/ это означает, что г/-1 (рг2(0))^ и I К I Л и. стало быть.
Ч~1 (рг2(0))€ I, п \ V + 1, V + Л'. (7.53)
Им (7.33) и (7.53) получаем равенство А-|(рг2(0)) г/-1 (рг2(0)). С учётом (7.31) имеем
А-1 (рг|((!>))< ?7_1 (рг2(^))- (7-54)
Отметим две очевидные возможности
(ргх(0) £ Г)у(рг1(<?) € I')- (7.55)
Эти дне возможности рассмотрим отдельно.
Допустим снапала. что ргА(0) £ Г. гГогда подобно способу проверки (7/13) уетанавливаетея равенство А-|(рГ|(0)) г/-1 (рГ|(^)) (т. е. (7/13)). а потому в силу (7.51) имеем (7.15). Итак,
установлена импликация
(ргі (0) І Г)=> (V' (рг,(()))< //"' (р:>г2(0))) (7.56)
(условно рг2(0) ^ Г предполагается выполненным).
Пусть теиерь рГ|((9) є Г. Тогда иіо = А-1 (рг( (<9))е 1. N и, как следствие, для // I гг# € Є V + 1, V + N имеем. что
V + и'о 1 (А{у + и'о)) А-1 (ргА(0)) < Г)~1 (рг2(0))
(учитываем (7.5 1)). Это означает, что г/ I 1 <г/-1 (рг2(0)). С учётом (7.53) получаем, что
Ч~Х (ргй(0))є " І N I (7.57)
отку,ча вытекает (см. (7.33)), кстати, что »?-1 (рг2(#)) А-|(рг2(0)). Далее, и рассматриваемом случае (А о а* )_ 1 (рг, (0)) є 1, N. откуда легко вьпюдится сиойство ц~1 (рг, (0)) Є и +1, и + .V. С учётом (7.57) получаем неравенство (7.15) при условии ргі(0) Є I'. Итак,
(рг і (0) Є Г) =► (V1 (рг і [в))< г Г1 (рг2(0))) (7.58)
при условии рг2(0) ^ Г. Тогда из (7.55). (7.56) и (7.58) вытекает при упомянутом условии, что (7.15) имеет место во всех возможных случаях. Импликация
(рг2(0) І Г)=> (Vі (рг,(0))< *Г' (рг2(0))) (7-59)
установлена. Тогда, согласно (7.39), (7.52) и (7.59), получаем (7/15) в случае 2). т. е. при О Є Є Л \ С}. Итак, имеем импликацию
(0е Л\<У) =>- ^_|(рг|(0))с п~'{рг2(0)))- (7.60)
Из (7.35). (7.38) и (7.60) получаем окончательное неранепспю ??_1(рі‘1(^))< /?_І(рг2(0)) но всех возможных случаях. Поскольку выбор 0 был произвольным, установлено, что г/-1 (рі'і(л))< <г/-' (рг2(г)) Vг'Є Л. ( ' учётом (7.2) имеем требуемое свойство г/ Є Л. □
Рассмотрим естествеппую процедуру встраивания (^ієїііу в тР!1(ч:У (Ьг)*©тн 'большой’1 задачи. С учётом (3.6) и (7.11) имеем, что (см. (7.25))
(^0 (;Г°- ;г°) (Рг2(Ь;у), рГ2(Ьі/))^ & (гр € /-'(Лоо:0Н*) X Г(Аоп°)(і) V/: Є І . Л?). (7.61)
С другой стороны, имеем (7.10) и. в частности.
Ьр € 1-х (у) х (7.62)
Наряду с (7.62) из (7.10) легко извл(;кается свойство
1і(/1 я Є (ч) х ідґл) V*.ч є 1,Л. (/.63)
Из (7.11). (7.12) и (7.63) вытекает следующая система включений:
Є А/, х Д /.« У.ч с 1, А . {7.61)
Из (7.7) получаем, и частности, что
Сл1(Ь*)»0ш1 = I & I ^ (7-<»)
где слагаемые в правой части определяются (см. (7.12), (7.30)) выражениями
//— I //
д
§1 = ^с:(рг2(Ь^.рг1(Ь/п)) I (7-^)
10 /1
л Лг-1 .V
^2 “ ^ с^(рг'2(Ь/1,,), рГ|(Ь/ и,. |)) I I /(рг2(Ь„+л')), (7.07)
/.—О /—1
11—1 II
§3 А ^2 ^(рГ2(Ь():РГ,(Ь(|1))+ ^2 (■•л(4)(Ь/.) + /Ь(РГ2(Ьп))-
!—1> | лч 1 1—1' I N I 2
Введём кортеж (Ь^)/е^у : 0, Л;-»ХхХ посредством условий
(Ь0 (я0,я°))&(Ь,. Л Ь„|(. у/ € I. .V).
Из (7.67) и (7.69) получаем очевидное равенство
Л‘-1 .V
§'2= ^ сь(рг2(Ь/,),рг1(Ь/, I |)) | I /(рг2(Ьдг)). (7.70)
10 /. 1
Введём и рассмотрение тождественную перестановку 1 € Р, полагая далее, что 1:1, /V —> 1. /V определяемся выражениями !(,§) з У-5 € 1, /V. С учётом (3.6) и (7.64) легко проверяется, что
(!>')/,еоТТ? € 2,\. (7.71)
Отметим теперь. что па самом деле в рассматриваемой конкретизации 03 (3.10) А.
Замечание 7.1. Проверим последнее утверждение; фиксируя С € К. Тогда С (л-1(рг,(Ч)),Л-1 (рг2(я))), где q € Ц, По свойствам Л имеем неравенство
А_1(рг|(ч))< А_1(|,г2(ч))- (7.72)
где ргА(я) €Г и рт2(Ч) € Г. согласно (7.13), причём, как легко видеть.
(Л(рг,(О) = РП(ч)) & (Л(рг2(0)= рг2(я))• (7.73)
Из (7.73) вытекают (см. (7.12)) следующие два равенства
А
1 (рг1 (ч)) ^ + РГ|(С)) & (а ' (рг2(ч)) ^ + рг2(С)).
С учётом (7.72) получаем, что рг, (С) < рг2(С). Поскольку 1 тождественная перестановка, а выбор с был произвольным, установлено. что 1 € А.
гГакпм образом. У11 (1, (11/;)(дру) (см. (7.71)) есть ДР 03 (3.10) и. согласно (3.8), определена величина С[|(11()^6й7у| € |0, оо|, причём, как легко видеть.
Из (7.31) и (7.74) нытекает очеиидпое перанепспю
£а°\($)&оя\ < (7.75)
Склеивание трасс. Снойстно (7.75) характеризует но суги дела факт улучшения (пеухуд-тттепия) «глобального» ДР. Пронернм эго. Поскольку ХсХ,
ЮгёШ ■ "• V -ЗЕх!
и, стало быть, € X х X V/. € и, и + /V. С учётом этого ннедём 15 рассмотрение кортеж
(Ы)^: (ГЙ^ХхХ. (7.70)
о 11 ре; 1е.] I я е м ] >1 й с л е, (у ю I н и м н и ра ] 5 и л а м и:
Л ~о
(Ь* Ь* У/ е 0, /') .V, (1^ г(_и У£ € и I 1.;/ I Л?)&(Ь* Ь* У/: € и \ N I 1.п). (7.77)
Предложение 7.3. Кортеж (7.76), (7.77) является трассой, согласованной с маршрутом П ■ (Ь/.)/£(Щ € 3?/-
Доказательств следует из определений. Таким образом, (у, (Ь*)<6д^) ест]> ДР «большой» задачи, а потому определено значение €|0, оо|, для предстанлеиня которого ине-
Ч— 1 1>
А ^с:(|»2(Ь). рГ,(Ь, | ,)) |
А
1.-0 I,-1
// | А' и | А' | 1
'ч(')'
§2 = 5^ сь(рг2(Ь<), рг-1 (Ъ* I О) I 5^ (7.79)
І-У і—и+1
11 — 1 II
8.ч = ^ сч(рг2(Ьі),рГ|(Ьі і і)) і 51 сч(*)(^) 1 /Чрг2(Ьп))- (7.80)
1-і/ І А' І І І.-і> І Дг І 2
В самом деле. согласно (7.7), (7.78)—(7.80) имеем равенство
£?,І(М,.Єо1ЇІ §і+& + &». (7.81)
Представление (7.78)—(7.80) подобно (7.64)—(7.68). С учётом (7.33). (7.66), (7.77) и (7.78) получаем равенство §| =8|. Кроме того, 82 = Се0[(^)*€о7уI (дяишю равенство легко следует из
(7.33), (7.77)), а тогда, согласно (7.75).
§2^82. (7,82)
Наконец, имеем с учётом (7.33) и (7.77) равенство 83 = 83. В результате (см. (7.82))
8| I §2 I 8ц ^ 8| I §2 І 8.4. (7.83)
Из (7.64), (7.81) и (7.83) вытекает с.юдующее
Предложение 7.4. Встраивание локального ДР (о0, (*і ),ео"Ту) и глобальна; ДР
(А, (Ь*)гЄ()-і^) «большой» задачи не ухудшает результат: <й/|(Ь*)ІЄ{р^| <Сд|(Ь*)4^р^|.
8. Вычислительный эксперимент.
Рассматривались задача маршрутизации на плоскости: X RxR, 1Іредполагалось, ттто
функция в (7.0) определена условием с^.г. у) ** р(х. у), где р евклидово расстояние на плоскости: здесь х Є X и у Є X ■ Условимся, что каждому мегаполису сопоставлен плоский вектор; исполнитель должен прибыть в точку мегаполиса, затем достичь упомянутый вектор, после чего, выбрав произвольный город мегаполиса, переместиться в пего и затем покинуть мегаполис. Итак, фиксируем а і € X...., au 6 X и. кроме того, числа
/іі є|0. эс|,.... /{„ €|0, оо|.
І Іолагаем, что при всяком ;j € I, п (функция с;;, имеет вид:
Г^(т.у) “ fi,j(p(:t\ a:j) I p[a.j, у)) V.r Є X Vy € X.
Здесь fij играет роль коэффициента замедления или ускорения при выполнении работы, связанной с обслуживанием Д7/. Допускается, что для одних мегаполисов реализуется замедление, а для других — ускорение. В отношении р (см. (7.6)) условимся, что при х Є X P('J') =
= <>р{х, (0. ())). где <, є]0. эс[. Полагая хц = (0.0). мы приходим, следовательно, к замкнутой
задаче (но постановке требуется возврат па базу).
Рассматриваемый в настоящей статье способ локальной оптимизации на основе МДІI маршрута и трассы обхода системы множеств, полученных в результате применения приближенного алгоритма, бьтл реализован в виде программы для I Г-Ж М. В качестве приближенного метода использована адаптированная иод специфику данной задачи версия известного жадного алгоритма |23|, для которой принято название «иди в ближайший». 1 Ірограмма написана на языке программирования С—Ь (использована среда разработки Hmbarcadero C-t— Builder ХК5). работающая в 61-х разрядной операционной системе семейства Windows не ниже Windows 7. Вычислительная часть программы реализована в отдельном от интерфейса пользователя потоке. Дія случая решения задачи на плоскости имеется возможность графического отображения траектории движения по множествам и увеличения отдельных участков графика; возможно сохранение изображения в файл графического формата bmp. Программа предоставляет возможность ввода индекса v, начиная с которого производится локальная оптимизация, а также длины оптимизируемого участка исходного маршрута N . І Ірименение локальной оптимизации будет носить итерационный характер: сначала оптимизируется участок доставляемой жадным алгоритмом траектории (1-я итерация), а далее применяется локальная оптимизации к маршруту и трассе, получаемым на предыдущей итерации.
Вычислительный эксперимент проводился на портативном компьютере (notebook) с центральным процессором Intel Core І7, объемом ОЗУ (і гВ с установленной операционной системой Windows 7 xfi-1 SP1 Максимальная.
В нашем примере рассматривается задача обхода 60 мегаполисов (п = 60) па плоскости. Множества являются равномерными сотками па окружностях по 12 точек в каждой. Еще раз отметим, что функции И (с.,-в (7.6) заданы посредством евклидова расстояния, при
- L
использовании В С. | , .... С„ соответствующих коэффициентов /{J, . а внутренние работы
в мегаполисах заключаются it переходе из точки входа в некоторую точку, ассоциированную с мегаполисом (для выполнения в ней некоторых внутренних работ) и затем перемещении в точку выхода из мегаполиса. В нашем примере начальная точка х совпадает с началом координат, а условия предшествования (множество Я ) заданы посредством указания 17 адресных нар. Описания мегаполисов (перечисление точек) и адресных пар опустим но соображениям объема. При реализации процедуры локальном оптимизации па всех итерациях «длина» оптимизируемого участка траектории равна 15 (Аг 15).
Приведем численные результаты работы программы (явное указание маршрута и трассы опускаем по соображениям объема). В результате применения жадного алгоритма получили величину совокупных затрат 4988,18, время счета составило менее 1 с. Полученная траектория движения приведена на рис. 1.
-120 -100 -ВО -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120
Рис. 1. Маршрут и трасса обхода множеств после применения жадного алгоритма
Мы провели 12 итераций, заключающихся в локальной оптимизации маршрута и трассы. Приведем кратко их результаты (величины совокупных затрат):
4851.2.
4842,36.
4693,58.
4646.02.
4646.02.
4646.02.
4612,44.
4582,09.
4539,79.
10-я итерация (с 23-го пункта маршрута): 4539,78.
11-я итерация (с 42-го пункта маршрута): 4536,53.
12-я итерация (с 3-го пункта маршрута): 4536,53.
1-я итерация (со 2-го
2-я итерация (с 16-го
3-я итерация (с 44-го
4-я итерация (с 30-го
5-я итерация (с 10-го
6-я итерация (с 25-го
7-я итерация (с 40-го
8-я итерация (с 35-го
9-я итерация (с 28-го
Время счета на каждой итерации всякий раз получалось разное; оно колеблется от 4 с до 3 мин. 1 с. При этом оно сильно зависит от того, сколько адресных пар, заданных для исходной системы мегаполисов, попало в данный подлежащий оптимизации участок траектории. Улучшение результата по сравнению с жадным алгоримом составило около 9 процентов.
Рис. 2. Маршрут и трасса обхода множеств после многократной локальной оптимизации
Как видно из приведенных числовых результатов, не всякая итерация являет результативной в плане улучшения результата, мы остановились на 12-й итерации, обнаружив, что
уменьшение величины совокупных затрат прекратилось.
ЛИТЕРАТУРА
1. Меламед И.И., Сергеев С.И., Сигал И.X. Задача, коммивояжера. Вопросы теории // Автоматика и телемеханика. 1989. № 9. С. 3-34.
2. Меламед И.И., Сергеев С.И., Сигал И.X. Задача коммивояжера. Точные алгоритмы // Автоматика и телемеханика. 1989. № 10. С. 3-29.
3. Меламед И.И., Сергеев С.И., Сигал И. X. Задача коммивояжера. Приближенные алгоритмы // Автоматика и телемеханика. 1989. № 11. С. 3-26.
4. Беллман Р. Применение динамического программирования к задаче о коммивояжере / Кибернетический сборник. Т. 9. М.: Мир, 1964.
5. Хелд М., Карп P.M. Применение динамического программирования к задачам упорядочения / Кибернетический сборник. Т.9. М.:Мир, 1964.
-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120
6. Литл Jim:.. Муріші К.. СуіпшД., К: грел К. Алгоритмы для решения чадячи о коммивояжере // Экономика, и ма.чч:ма.тические методы. 1905. Т.І. Ими. I. (91-107.
7. Ташльтмі О.Л., Спаями А.П., ІЦиктят ('.П., Чащоа А. Г. Ра,зрабоч'ка оптимальных алгоритмов вывода. АЭС из эксплуатации с использованием методов мачема тического моделирования // Изв. вузов. Я дер идя энергетика. 2009. .4* 2. С. 115-120.
8. Сг.ссюпі. Л. II.. Ташлыкоа О.Л.. ІЦе.клсип (’.П., Куклип М. К).. Чепцов Л.Г., КшНтнч/ч Л.Л. Использование метода динамического программирования для оптимизации траектории перемещения работников в ради-ациоппо оттасттьтх зоиах с целью мипимиза пни облучения .’/ Изв. пулов. Я дерлая энергетика. 2000. » 2. С.
11-18.
9. Сергеев С.И. Гибридпые системы управления и динамическая задача коммивояжера Автоматика и толемехапика. 2008. X* I, С, 15-51.
10. Чепцов Л.Г. Экстремальные задачи марптрутизаі(ии и распределения задаиий: вопросы теории. Москва; Ижевск: РХД. 2008. 238 с.
11. Чепцов Л.Л.. Чепцов Л. Г., Чепцов П.Л. Метод итераций в задачо маршрутизации с впутрепиими потерями , Труды Ииститута математики и механики УрО РАН. 2009. Т. 15. УЧ. С. 208-287.
12. Чепцов Л.А., Чепцов Л.Г. К вопросу о рептепии задачи последовательного обхода мпожосто с использованием "пезамкпутой"задачи коммивояжера Автоматика и телемехаиика. 2002. .VI I. С. 151-100.
1 3. Чепцов Л .Л.. Чепцов Л. Г. Редукция задач мартпрутпой оптимиза пии // Автоматика и телемеханика. 2000. VI0. С. 130-150.
I I. Чепцов Л.Л. Метод итераций в задаче последовательного обхода мпожеетв (обобщенная задача коммивояжера па узкие места) // А лгоритмы и программные средства параллельных вычислений: |Об. ттауч. тр.|: Екатеринбург: УрО РАН. 2002. Вып. 0. (209-230.
15. Сессюш. Л.II., Чспцоо А.Л.. Чіяшмі А.Г. Обобщенная задача курьера с функцией затрат, зависящей от списка заданий // Извесчия Академии наук. Теория и системы управления. 2010. .V" 2. (!. 08-77.
10. Курмш/чскиіі К.. Мін:т<ші:кіі.іі. А. Теория множечтв. М.: Мир. 1970. 110 с.
17. Дьедоиие. Ж. Осповы совремеппого анализа. М.: Мир. 1901. 130 с.
18. Кармен Т., Лейзерсон Ч., Риве.сіп Р. Алгоритмы: построение и анализ. М.: МЦ1ІМО, 1990. 960 с.
19. Петунии А.А. О некоторых стратегиях формирования маршрута инструмента при разработке управляющих программ для машин термической резки материала 7 Вестник УГАТУ. Серия: Управление, вычислительная техиика и ипформатика. 2009. Т. 13. Х“ 2 (35). С. 280-280.
20. Петунии, А.А.. Ченцов А.Г.. Ченцов П.А. К вопросу о маршрутизации движения инструмента в машинах листовой резки с числовым программным управ лением // Науч.-техп. ведомости СЛТбГТТУ. Сория: Информатика. Телекоммуникации. Управление. 2013. Л* 2 (109). С. 103-1 I I.
21. Ченцов А. Г. Одна параллельная процедура построения фупкции Бсллмапа в обобіцепной задаче курьера с внутренними работами .7 Ііестник Южно-Уральского гоеударсчвенного университета. Серия: Математическое моделирование и проіраммирование. 2012. 18 (277). .4" 12. С. 53-75.
22. Че.тшч А.Г. Одна параллельная процедура построения функции Веллмана в обобщенной задаче1 курьера, с внутренними рабочими // Автомач ика и телемеханика. 2012. .4" 3. С. 131-119.
23. Че.тшч А.А.. Ччпцгм А.Г., Ччпцгм II.А. Экстремальная задача маршрутизации с внутренними потерями /V Груды Института математики и механики УрО РАН. 2008. Г. I I. .4" 3. С. 183-201.
IБЛАГОДАРНОСТИ: Работа пыполттетта в рамках программ Президиума РАН (проекты .V* 12-11-11012, .Vs 12-11-1-1019) н мри финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследовании (проекты 11 .Vя 12-01-00537, .V* 13-08-000-13, .V* 13-01-90111 Укр_ф_а).
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Chentsov A.A.. Chentsov A.G.
THE PROBLEM OF MEGALOPOLISES CONSISTENT DETOURING
The problem of visiting a finite system of megalopolises with precedence conditions is under discussion; visiting megalopolises is accompanied by some work execution. It is assumed Ihal transference and mirk expenses aggregat e additively. The version of broadly understood dynamical programming is considered on which basis the optimal algorithm is build and then performed on PC. Гог a high dimensional problem, a
method of the route improving is offered: it is done by means of the local Bellman embedding with provision for the precedence conditions.
Key words: route; trace; dynamical programming; precedence conditions
Чсндов Александр Георгиевич, Институт математики и механики им. II.II. Красовского Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, член-корреспондент РАН, доктор физикоматематических наук. профессор, заведующий отделом управляемых систем, e-rriai 1: chei itsovSimm.uran.ru
Chentsov Alexander Georgiyevich, Institute of Mathematics and Mechanics Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg. Russian Federation, Corresponding Member of the Russian Academy of Sciences, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head Managed Systems Department, e-mail: cheiitsovftimm.uran.ni
1 leiiHon Алексей Александрович, Уральский федеральный университет им. первого Президента России |».Н. Ельцина, г. Екатеринбург, Российская Федерация, кандидат физико-математических паук, e-mail: chentsovSiimm.uran.ru
Chentsov Alexey Aleksandrovich, Ural Federal University named after the First President of Russia B.W Yeltsin, Yekaterinburg, Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, e-mail: chenfsovftimm.uran.nl
