О некоторых вопросах устойчивости решений в задачах маршрутной оптимизации Текст научной статьи по специальности «Математика»

34

Л Т БУСЛАЕВА

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ В ЗАДАЧАХ МАРШРУТНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Л Т Буслаева Институт математики и механики УрО РАН

Исслед}ется устойчивость маршрута, в метрической задаче коммиво яжера с функционалом на узкие места при добавлении к множеству начальных городов еще одного города Для маршрута но правилу "иди в ближайший" доказано необходимое и достаточное условие такой устой чивосги "Это условие иллюстрируется на модельном примере для евкли довой и чебышевской метрик Проводится сравнение численных резуль татов решения задачи об устойчивости маршрутов по правилу 'иди в ближаиший" и оптимального

Рассмотрим устойчивость оптимального и приближенною решений метрической задачи коммивояжера (ЗК) с незамкнутым маршрутом и функциона лом на узкие места Содержательный смысл понятия устойчивости решения заключается в следующем Пусть по алгоритму, доставляющему либо оптимальное, либо приближенное решение ЗК, определена траектория, 01вечаю щая матрице затрат А = ¡¡ри |!(т+1)хт Затем коммивояжеру к пепвоначаль ным т городам добавляется для посещения еще один юрод и по выбранному алгоритму определяется решение Если траектория, отвечающая новой матрице А' = 1!/>и11(т+2)х(т+1)> отличается ог первоначальной только одной вари ацией, вызванной новым городом, то траекторию матрицы А будем считать устойчивой относительно нового города (в рамках выбранного алгоритма) новый город не вызывает изменения очередности обхода первоначальных городов Вопросы устойчивости траекторных задач маршругной оптимизации исследовались, например, в [1-5] В данной рабоге для метрической ЗК с функционалом на узкие места получено необходимое и достаточное условие устойчивости решения, отвечающего правилу перехода в ближайшую точку, а также нроре ден вычислительный эксперимент по сравнению решения задачи об устойчи восги по этому правилу с оптимальным решением для случаев евклидовой и чебышевской метрик Для нахождения оптимального решения использовалась процедура последовательного анализа вариантов с отсечением [6]

Постановка метрической ЗК с незамкнутым маршрутом заключаекя в еле дующем В метрическом пространстве Я" имеется т + 1 точка г,, х, € й" г 6 0, т Коммивояжер, начиная движение из начальной точки хо по одному разу посещает каждую точку хг, г € 1, яг, и не возвращается в начальную В матрице затрат А = \\рг] ||(т+1)хт, где рч - р(хг,х}) = Цж, - х,\\, полагаем, что Уг, 1е0,т, рг] ф ргк при з ф к, ),к Е \,т, если г = 0 и ],к € 1,т\{г}, если г ф 0 Обозначим через А — (А(1), , А(т)) очередность обхода точек агА(1), >-сх(т) Затраты, оценивающие обход из начальной точки а-о точек ж,, г € 1,пг, в очередности А 6 (6г)[1,т] [7] определяются формулой

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ УСТОЙЧИВОСТИ

35

С(ж0,А)= max p(xxll), аглг.+п), (1)

ieO,m-l

где обозначено А(0) = 0. Оптимальный маршрут Л° = (А°(1),..., Л°(ш)) и отвечающая ему плата определяются из условия

С{хо,А°)= min max р(хц,}, жЛ(,+1)). (2).

Лб("б!)[1,«>] «е0,т-1

Рассмотрим устойчивость маршрута, построенного по правилу "иди в ближайший". Пусть А = (А(1),. .., А(т)) есть очередность обхода точек гЛ(1)' • 1хЦт)> удовлетворяющая этому правилу. Выбор такой очередности происходит следующим образом За первый номер А(1) примем номер той точки х,, расстояние р(хо,х,) до которой минимально среди всех х}, j G l,m, то есть полагаем А(1) = г, если р(хо,х,) — min_ р(хo,Xj) Второй номер опреде

jgl.m

ляется из условия А(2) = г, если p{xX(i j. xt) — min p(xui), x,). Продол-

j61,m\{A(l)}

жая этот процесс, получим, наконец, что А(т) = 1,т\ {А(1),..., А(т — 1)} И РХ(т-1),Мт) = Р(хХ(т-1),ХХ(т)) = ||жА(т-1) - Жл(т)|| Так как МЫ ПреДПОложили, что равноудаленных точек среди x,, г G 0,т, нет, то следуя этой процедуре, получим единственный маршрут А = (А(1),.. , А (га)) и отвечающую ему плату (1). Отметим, что маршрут по правилу "иди в ближайший" зависит от выбора метрики и не зависит о г заданного функционала Возникает вопрос что произойдет с маршрутом А, если в обход дополнительно включить точку хт+1,ут+1 G R", отличную от точек хг, i G 0,m? Обозначим маршрут обхода точек хг, г <~ 1, m + 1, из точки хо, также выбранный по правилу "иди в ближайший", через /î = (fi( 1),..., /i(m+ i)) Определим множества S\(t) С Rn и £л(').а(Л ^ следующим образом:

5а(») = S'acoÎ^ac.-i), -^Afo) = i2:2€ p(.xx(x-\),z) < p(xA(»-i), ^a(o)} и

gm0,mj) = gm0.mj)(xm')'rmj)) = {z .z£ Rn, p(xx{l),z) < p(xx(j),z), _

если А(г) > A(j)u p(xx{t),z) < p(xX{,),z), если А(г') < A(j»>, i ф j, ?, j G l,m}.

Будем полагать, что точка хт+\ G Rn может быть любой, отличной от точек г,, г G 0,т. В частности, точка ;rm-ti может принадлежать Fr Sx^ или Fr Ga( i),a(j)> где через F г обозначена граница множества . В этом случае в процедуре "иди в ближайший" для равноудаленных точек дополнительно установим следующие правила:

1) если точка хт+1 G Fr 5а(«)> го из двух точек ха(«) и хт+], равноудаленных от точки жа(,_1), выбираем точку £т-н;

2) если точка xm+i G Fr Ga(j),a(j) равноудалена от точек хцг) и яа(;)> то выбираем точку жд,, k = min(A(i), A(j)).

3) если точка xm+i G Fr £,А(г)Г|^'г GM>),*0)> то полагаем Xm+l G Fr Ga(,),A(jV

Определение. Маршрут X = (А(1),..., A(m)) обхода точек x,, x, G Rn. i G l,m, называется устойчивым относительно точки л'т+ь xm+i G R", если в маршруте /( = (/¿(1),..., ц(т+ 1)) обхода, точек xt, i G 1, m + 1, не нарушается последовательность обхода точек ж,, г £ 1 , m

36

Л. Т. БУСЛАЕВА

Очевидно, что маршрут А = (А(1),..., А(т)) устойчив, если маршрут р. — (/¿(1),. ■ ■, /<(то + 1)) будет одним из следующих (т + 1) маршрутов.

а*<0 = (А(1),..., А(г — 1), m + 1, А(г), ,.,А (m)), Vi€ 1,т + 1

(3)

Определим Vi 6 1, т + 1 множества F, = F,(xx(i),. • •, ^л(т)) следующим образом:

(ЖА(1

m-lt* А(1

• . х\(т))

■ , Яд(т))

•••СА(т))

.®А(т))

т-1

5'А(1) П( П <7а(1),А(!+О); >=i

1 т-2

(5'а(2) \ и~А(.))П( П GA(2),A(> + 2)), <=1 i=l

2 т-3

(5агз)\ U «5л(о) П( П СА(З},А(.+З)); 1=1 1=1

к — 1 т — к

(SMk)\ и 5л(1))П( П ощ)Мг+к)),

1=1

1=1

т-2

• 1 %\(т)) — ($Цт-1) \ U ^A(i)) Г1 ^А(т — 1 ),А(т) >

>=1

Fm(x\(l), (т))

Fm + l(«A(l)> • • • , ЖЛ(т))

= S\(m) \ U

i=l

пп \ и 5А(0

(4)

Теорема. Для того, чтобы маршрут л — (А(1), .., А(т)) был устойчив относительно точки жт+1, жт+1 6 Я", необходимо и достаточно, чтобы эта точка удовлетворяла условию

т + 1

i+l € U ^(ЖА(1), • • • ,*А(т))-t = l

(5)

Если точка хт+1 € F,, то при обходе точек х}, х} 6 Rn, j £ 1, т I, маршрут

определяется по формуле (3).

Доказательство. Необходимость Пусть условие (5) не выполнено. Определим непересекающиеся множества L, = Lt(xa(d, ..., a-'A(m)) следующим образом: Li = 5a(i)\ ^i; Lk = (^(jfc) \Ufji1 S\(,))\Fk, Vk = 27m. Предположим, что точка £m+i тогда arm+i € (J™j L,. Покажем, что в этом случае

маршрут А будет неустойчив относительно точки хт+\. Пусть для определенности точка xm+i £ Lk, 1 < к < т. Из условий xm+i £ U*-/ F, и £>n+i ^ Ъ следует, что хт+1 $ Ц^Г/ #4«) и, следовательно,

хт+1 ^ и,=/ Отсюда с учетом того, что среди точек х,,г 6 1,т, нет

равноудаленных, получаем, что р(г) = А(г) Уг € 1, к — 1.

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ УСТОЙЧИВОСТИ

37

Из предположения xm+i £ Lk следует либо жт+1 £ Int SX(k)(xX(k-\), хх(к)) (через IntSj обозначена внутренность множества 5^), либо xm+i £ FrSX(к)-В первом случае выполняются неравенства р{хх^~х), £т+\) < р{х>(к-\), жА(г)) Vi £ к т и мы имеем fi(k) = m + 1. Во втором случае согласно дополнительному правилу мы также выбираем точку хт, то есть полагаем ц(к) = т + 1. Далее во втором случае из условия ^ Fk вытекает, что существует точка

гл(*+1)> г € 1,т— к, для которой справедливо неравенство р(хт+i, £а(«+*о) < р{хт+их\(к)), откуда следует р(к + I) ф А (к). Если же xm+l £ Int Бщ), то либо xm+i £ Fr Сц1b),x(j), либо жт+1 £ Fr GA(fc),a(j), j € F+1,т. Если хт+1 0 Fr G,A(jt)iA(j), то как и во втором случае р(к + 1) ф А (к) Если xm+i £ Fr Сщ),a(j)i 'го из определения множества 6'а(а;^а(;) и условия sm+) £ Lj следует, что \(к) > A(j), j £ fc + l,m С учетом дополнительного правила для равноудаленных точек снова имеем + 1) ф А(к). Доказательства для случаев xm+i £ Ln, п £ l,m\{fc} проводятся аналогично. Таким образом установлено, что если хт+\ ^ ^и то маршрут А не будет устой-

чив относительно точки xm+i.

Достаточность Пусть условие (5) выполнено. Доказательство проводится последовательно для случаев xm+i £ Ft, i = 1, 2,..., т + 1. Предположим для определенности, что хт+\ £ ! < к < т + 1 По определению (4) множества Fk точка xm+i ^ S'a(i), Vi £ I,к — 1 Тогда справедливы неравенства p(xx(l), xx(i+1) < p(xx(tyxm+1) и р{хх(,у хх(,+1)) < p(xx{tyxx{])) Vi £ 0,k — '2,Vj £ i+2,m, откуда следует, что р(г) = А (г) Vi € 1,к~ 1. Условие xm+i £ Fk разобьем на два случая. xm+i £ Fr SX(k) и im+i 6 /it 5л(к)- В первом случае из двух равноудаленных от точки a?A(fe— i) точек xm+i и Х\(к) по установленному правилу мы выбираем точку xm+i, то есть полагаем р(к) = ш +■ 1. Во втором случае из справедливости неравенств p(x\(L-\), Xm+i) < р(хA(fc-i), хЛ(,)) Vi £ к,т получаем также, что ц(к) = т+ 1 Определим р(к + 1) В первом случае ближайшей к точке xm+i является точка х\(к)> так ч'10 + 1) ~ А (к). Во втором случае может оказаться, что xm+] £ Fr ('\(k),\(]) Ддя некоторого j, j £ к + 1,гп, и тогда точка xm+i равноудалена от точек ха(а.) и хХ(3у По определению множеств Fk и СгА(*),а(;) в этом случае А (к) < A(j), так чго мы выбираем точку хХ(ц, то есть полагаем ц(к f 1) = Х(к). Если же xm+1 ^ Fr Gх(к)Мз)' j € к + Т0 равноудаленных точек от точки xm+i нет, и из справедливости неравенств p(xm+i,xA(ifc)) < р(хт+1,хЛ(!)) Vi € к+1,т, имеем р{к + 1) = А (к). Далее очевидно, что в обоих случаях p.(i + 1) = А(г) Vi £ к + 1, т. Следовательно, если xm+i £ Fk, то /i = по формуле (3). Доказательства для случаев i - [,.. ,,к — 1Д1 + 1,. , m + 1 проводятся аналогично. Теорема доказана.

Модельные примеры. Пусть обход точек происходит на плоскости, то есть Vi £ 0,m-f 1 ж, = (яр^з-,^) € R2■ Из начальной точки х0 — (0;0) совершается обход т (ш — 5) точек: х\ — (4; 4), x-i — (—10; 10), хз = (—5; 1), х4 = (10, -11), «5 = (2; 10) Рассмотрим два случая метрик, евклидову и чебышев-скую

1) евклидова метрика Расстояние р(хг,х3) определяется формулой

38

Л Т. БУСЛАЕВА

= +(.[a)-«Ja)) . (6)

Множество ¿>л(,) есть круг радиуса г — p(^A(t-i)i -^аО)) с центром в точке

жа(1-1) = (жа(«-1)'xa2(i-i))• Множество Ga(i),aü) есть гиперплоскость, разделяемая с гиперплоскостью G,\(j),A(t) линией уровня, являющейся их границей. Линия уровня Fr Ga(i),a(j) есть прямая, проведенная перпендикулярно отрезку, соединяющему точки жа(» и через его середину. По правилу "иди в ближайший" получаем маршрут А = (^(1),- •, А(т)) = (3,1,5,2,4) и плату С(хо, А) по формуле (1), равную 29,00. Определим множества • • • ,3^(5)) G R2> i € 1 > 6> такие, что относительно Vx6 Е Я2, включенной дополнительно в обход, маршрут А = (3,1,5,2,4) остается устойчивым Воспользуемся формулой (4) Множество Sa(i) — S3 есть круг радиуса г = р(хо,%з) = 5 099 с центром в точке х0 = (0;0). Нетрудно проверить, что множество £?a(i),a(2) = Сз,1 = z ■ z € R2, p{^3,z) < p{x\,z) есть полуплоскость, отсекаемая прямой линией, уравнение которой имеет вид 9х + by — 3 = 0. По результатам вычислений имеем S3 f)G3J = S3, S3 f~| 63,4 = S3 и S3 П П ^3,5 = 53 0^3,1- Множество Fi(x3, хх, х5, х2, х4) = ЯзП^зд-Аналогично определяются множества F, V¿ 6 2,6 Отметим, что при обходе точек на плоскости вместо вычислений множеств Ft, i 6 1, 6 по формуле (4) можно их построение выполнить графическим путем. На рис 1 заштрихованы точки хв € Я2, относительно которых маршрут А — (3,1,5,2,4) неустойчив

2) чебышевская метрика Расстояние р(хг,х}) определяется формулой

p(xt, Xj) = max ^ - х^ , - . (7)

Множество S\[i) есть квадрат с центром в точке £a(,_i) и стороной а — р(хA(i-i), ®a(¡)) Стороны квадрата параллельны осям координат. Множества t?A(i),A(j) и разделяет линия уровня, на которой выполняется равен-

ство p(xx(,),z) — p(xx(j),z) Vz 6 Fr Ga(,) a(j) Построение ее разбивается на три случая в зависимости от значения координат точек хг и х3

\ (П (!) (2) (2)

а) если х; = ж] ' или х\ ' = х} , то линия уровня состоит из отрезка,

равного по величине р(х,,х}) и проведенного перпендикулярно отрезку, соединяющему точки х, и Xj через его середину и двух симметричных "конусов" с вершинами в концевых точках и сторонами под углом в 45° к отрезку

с\ О) (1)1 (2) (2)

б) если x¡ — Xj = я, - Xj , то линия уровня есть прямая, проведенная через середину отрезка, соединяющего точки х, и x¡, перпендикулярно к нему.

в) если не выполняются условия а) и б), то линия уровня состоит из трех прямых: отрезка, проведенного перпендикулярно максимальной разности координат точек х, и X] и двух лучей, проведенных из концов этою отрезка под углом в 45° и 135°. Величина этого отрезка г = а\ П а2> где а\ и

то сере-

аг есть отрезки величины р(хг,х:1) Если р{хг,х}) -дины этих отрезков имеют координаты (ж, у\) и (х,у2) соответственно, где

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ УСТОЙЧИВОСТИ

39

Рис. 1. Заштрихованы точки х6 неусюйчивости маршрута А = (3,1,5,2,4)

х = тш^1',^) + 0,5 - г/1 ~ х[2\ г/г = ^ Если же —

(2) (2)

х\ ' — х} , то координаты середин отрезков о г и а о определяются по аналогии с первым случаем.

При обходе заданных точек по правилу "иди в ближайший"' получаем маршрут А = (А(1), ,А(5)) = (1,5,3,2,4) и плату С(хо,Х) по формуле(1), равную 21,00 Как и в случае евклидовой метрики, построение множеств Ри » = 1,6, для случая чебышевской метрики можно осуществить графическим путем На рис 2 заштрихованы точки хь £ В?, относительно которых маршрут А = (1,5,3,2,4) не сохраняет устойчивость

Численная процедура последовательного анализа вариантов с отсечением. Покажем, что для нахождения оптимального решения метрической ЗК с функционалом на минимакс (2) можно использовать процедуру последовательного анализа вариантов. Эта процедура была разработана для решения динамических задач маршрутной оптимизации в рамках декомпозиции [6] Отсечения неперспективных вариантов в ней проводятся по аналогии с отсечениями в методе ветвей и границ. Использование этой процедуры для решения ЗК с аддитивным функционалом показано в [8]

Опишем кратко ее применение для метрической ЗК с функционалом на узкие места. Итак, пусть метрика задана Требуется определить оптимальное решение Ао = (А°(1),. ., А°(ш)) 6 (&г)[1, т], которое обеспечивает равенство (2) Пусть выбрана некоторая начальная очередность Х(0> € (6г)[1, т]. Из начальной

40

Л Т БУСЛАЕВА

N

«г

N

1

?

к

-1-1-1--1-1-,-х

Рис 2 Заштрихованы точки х5 неустойчивости маршрута А = (1,5, 3,2,4)

точки жо в этой очередности осуществим обход всех точек £л(1), , -ЕА(т)> и *5а" тем для заданной метрики по формуле (1) вычислим величину С(хо, А0) Примем очередность 1а первое приближение оптимальной очередности А0, то есть положим (А°(1), ,А°(т)) = (А^(1), ,А(°)(т)) Значение С{х0, Х(0)) примем за первое приближение оптимального значения С0 — <7(2:0, А0) функционала (2)

Пусть в процессе счета реализовалась очередность и = ("(1), , Кт)) Последовательно вычисляя для г — 0, 1, , т — 1 величины тах/?(х'1/(,), также последовательно будем сравнивать их с величиной С0 Если для какого-то номера г, г < т — 1 окажется, чго тахр(х„^, > (7°, то очередность

А(°) предпочтительней очередности и В этом случае счет для номеров к > г прекращается, все очередности А £ (6г)[Т7т], в которых первыми компонентами являются соответственно числа г^(1), , ^(г), бракуются Это означает, что из множества (6г)[1, т] сразу отсекаются (т — г)1 перестановок, а счет следует продолжить для очередности г/ — (^(1), — 1),!>(1 + \),у{г),р{г + 2), ,и(т)) Если же для очередности V = (г^(1), счет выполнен до конца, и при этом плата С(х0, ¡/), определенная формулой (1), оказалась меньше, чем величина С'0, то тогда очередность у принимается за новое приближение оптимальной очередности А0, а значение С(хо, у) — за новое приближение оптимального значения С0 = С(хо, А0) функционала (2)

Анализ вариантов заканчивается, когда будут выработаны все перестановки чисел 1,т Оптимальными очередностью и значением функционала (2)

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ УСТОЙЧИВОСТИ

41

будут найденные в результате такого анализа очередность Л° и величина С° = С(х0, Л»).

Для генерации перестановок используется алгоритм, в котором заложен принцип перестановок чисел с конца. Принцип генерации следующий: первые /, / < т чисел в перестановке не меняются, пока не выработаются перестановки всех последних т — I чисел.В результате отгенерируются т\ перестановок чисел 1,т. Отметим, что счет при таком анализе вариантов не дублируется.

Сравнение устойчивости алгоритмов маршрутизации. Проведем сравнение численных результатов решения задачи об устойчивости маршрутов, полученных по правилу "иди в ближайший", и оптимальных маршрутов. Определим множество М0 = М\\({жо} а;,), где М\ — {г = (¿1,22) : 6 [-25;25], 22 € [—25;25]}. При проведении расчетов точка ж6 6 Я2 "пробегает" множество Мо с шагом Аг — 1 по обеим координатам. Число расчетов при этом равно 2595. Это сравнение также проведем для евклидовой и чебышевской метрик.

1) евклидова метрика. Расстояние р{х1,х]) определяется формулой (6). При обходе заданных гп = 5 точек из начальной точки хо — (0; 0) по процедуре последовательного анализа вариантов получаем оптимальный маршрут А0 = (5,3,2,1,4) и плату (7° С(хо, А0) = 16,155. Как показали расчеты, при обходе т — 6 точек, когда точка хв € Мо, маршрут А0 = (5, 3,2, 1,4) неустойчив относительно 1608 точек. Эти точки заштрихованы на рис. 3. На этом же множестве А/о маршрут по правилу "иди в ближайший" А = (3,1,5,2,4) неустойчив относительно 267 точек (см. рис. 1).

2) чсбышевская метрика. Расстояние р(х{,х3) определяется формулой (7). По процедуре последовательного анализа вариантов получаем оптимальный маршрут А0 = (5,3,4,1,2) и плату С0 — С(х0,А°) = 15,00. По результатам расчетов при обходе т = 6 точек, когда точка хв € Мо, оптимальный маршрут неустойчив относительно 1884 точек (см. рис. 4). Маршрут по правилу "иди в ближайший" А = (1,5,3,2,4) неустойчив на множестве Мо относительно 426 точек (см. рис 2).

Результаты расчетов показали, что маршрут по правилу "иди в ближайший" более устойчив, чем оптимальный, как для евклидовой, так и для чебышевской метрик.

42

Л. Т. БУСЛАЕВА

•1.

-22.1 -Н.7 -7.-1

7.4 Н.7 22.1

Рис. 3. Заштрихованы точки хе неустойчивости маршрута Л° = (5,3,2,1,4)

Рис. 4. Заштрихованы точки хе неустойчивости маршрута Л° = (5,3,4, 1, 2)

О НАИМЕНЬШЕМ УКЛОНЕНИИ В СРЕДНЕМ

43

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Леонтьев В.К. Устойчивость задачи комивояжера // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1975. Т. 15. № 5. С. 1298-1309

[2] Гордеев Э.Н., Леонтьев В.К., Сигал И.Х Вычислительные алгоритмы для нахождения радиуса устойчивости в задачах выбора // Журн. вычисл. математики и мат.физики. 1983. Т. 23. № 4. С. 973 979

[3] Гордеев Э.Н., Леонтьев В.К. Использование исследования устойчивости для решения задач выбора // Мат. методы в распознавании образов и дискретной оптимизации. М.: ВЦ АН СССР, 1987. С. 36-51.

[4] Сотсков Ю Н. Исследование устойчивос7пи приближенного решения булевой задачи минимизации линейной формы // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1993. Т. 33. № 5. С. 785-795.

[5] Козерацкая Л.Н., Лебедева Т Т., Сергиенко И.В. Задачи дискретной оптимизации: исследование устойчивости // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1993. Т. 2, вып. 1. С. 13-30.

[6] Буслаева Л.Т., Ярош Л.М. О численной процедуре решения одной маршрутной задачи управления линейной системой // Задачи последовательного управления и конструкции расширений Свердловск, 1990 С. 12-21.

[7] Александрии Р. А., Мирзаханян Э А. Общая топология. М.. Высш. шк„ 1979. 336 с.

[8] Буслаева Л. Т., Ченцов А. Г. О декомпозиции процесса последовательного выбора вариантов // Мат. моделирование. 1991. Т. 3. № 4. С. 103-113.