CC BY
50
УДК 531.36
Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2015. Вып. 2
А. П. Жабко, С. К. Мышков
К ВОПРОСУ ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9
Изучаются некоторые вопросы асимптотической устойчивости для транспонированной системы, которая отличается от исходной линейной нестационарной системы только операцией транспонирования матрицы. Такая операция в стационарном случае оставляет неизменными не только собственные значения исходной матрицы, но и ее элементарные делители. Поэтому для траспонированной системы сохраняются тип устойчивости и его основные характеристики. Для нестационарных систем динамика более сложная, а переход к транспонированной системе может сопровождаться метаморфозами систем. В общем случае собственные значения нестационарной матрицы не определяют тип устойчивости. Свойства линейных систем полностью характеризуются фундаментальной матрицей. Для автономных систем эта матрица определяется в аналитическом виде. В нестационарном случае, с известными оговорками, ее можно найти численно на конечном интервале времени с подходящей точностью, что, однако, не гарантирует от ошибочных выводов относительно устойчивости системы. В связи с этим получение информации об устойчивости транспонированной системы при известной динамике исходной системы весьма актуально. В работе рассмотрен ряд критериев устойчивости, которые вполне могут оказаться полезными (и единственно возможными) при анализе устойчивости исследуемой нестационарной системы. Приведены примеры нестационарных систем, иллюстрирующие случаи асимптотической устойчивости, экспоненциальной устойчивости и неустойчивости после операции транспонирования. Библиогр. 9 назв.
Ключевые слова: линейные нестационарные системы, асимптотическая устойчивость, экспоненциальная устойчивость, экспоненциальная неустойчивость, транспонированная система.
A. P. Zhabko, S. K. Myshkov
TO THE QUESTION ABOUT ASYMPTOTIC STABILITY OF LINEAR NON-STATIONARY SYSTEMS
St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya embankment, St. Petersburg, 199034, Russian Federation
Some topics of asymptotic stability for the transposed system which differs from the initial linear non-stationary system because of transpose operation are studied. In the stationary case the operation of transposition leaves unchanged not only the eigenvalues, but also the elementary divisors. That remains for transposed systems the type of stability and even its basic characteristics. Unlike the stationary case, for time-varying linear systems the comparison dynamics of the original and transposed systems is more difficult and the same or different types of stability are possible. In the general case, the eigenvalues of time-varying matrix do not define the type of stability. Properties of linear systems are completely characterized by the fundamental matrix. For autonomous systems, this matrix is defined in analytical form.
Жабко Алексей Петрович — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой; e-mail: zhabko@apmath.spbu.ru
Мышков Станислав Константинович — кандидат физико-математических наук, доцент; e-mail: skmyshkov@mail.ru
Zhabko Aleksej Petrovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the chair; e-mail: ghabko@apmath.spbu.ru
Myshkov Stanislav Konstantinovich — candidate of physical and mathematical sciences, associated professor; e-mail:skmyshkov@mail.ru
In the non-stationary case, it can be found numerically on a finite time interval with suitable accuracy, but it does not guarantee against erroneous conclusions about stability of the system. Therefore, obtaining information on the stability of the transposed system when the initial system dynamics is known, is very important. A brief overview of some theoretical results on and criteria for the asymptotic stability which is presented in the paper is used to study the relationship of the initial system and it's transposed system. A few examples illustrate the possible variants of the problem. Bibliogr. 9.
Keywords: linear non-stationary system, asymptotic stability, exponential stability, exponential instability, transposed system.
Введение. Линейные системы дифференциальных уравнений в теории устойчивости являются важным классом дифференциальных уравнений, потому что они лежат в основе изучения устойчивости по первому приближению [1—5]. В работе рассматриваются особенности исследования устойчивости для транспонированной системы, которая отличается от исходной системы транспонированием матрицы. Эта операция в стационарном случае оставляет неизменными не только собственные значения исходной матрицы, но и ее элементарные делители. Поэтому для транспонированной системы сохраняются тип устойчивости и его основные характеристики. Для нестационарных систем динамика более сложная, а переход к транспонированной системе сопровождается метаморфозами. От собственных значений нестационарной матрицы, вообще говоря, не зависит тип устойчивости. Свойства линейных систем характеризуются фундаментальной матрицей, которая для автономных систем определяется в аналитическом виде. В нестационарном случае, с известными оговорками, ее можно найти численно на конечном интервале времени с подходящей точностью, что, однако, не гарантирует от ошибочных выводов касательно устойчивости системы. В данной ситуации получение информации об устойчивости транспонированной системы при известной динамике исходной системы весьма актуально. В работе описан ряд критериев устойчивости, которые могут оказаться полезными при анализе устойчивости нестационарных систем. Приведены примеры, иллюстрирующие случаи асимптотической устойчивости, экспоненциальной устойчивости и неустойчивости после операции транспонирования.
Рассматривается линейная нестационарная система дифференциальных уравнений
где х€Яп - вектор координат состояния; £ € [¿о, го) - время. При исследовании устойчивости предполагается, что коэффициенты матрицы а^ (¿) - непрерывные и ограниченные функции, заданные при всех £ ^ ¿о. Заметим, что требование ограниченности ащ (¿) значительно сужает класс динамических систем, для которых получение фундаментальной матрицы возможно в аналитическом (явном) виде. Например, исключается случай, когда а^ (¿) - полином от £ степени п ^ 1, т. е. достаточно интересный класс в теории дифференциальных уравнений.
Наряду с исходной системой (1) будем рассматривать систему
в которой * - знак транспонирования матрицы. Далее для краткости систему (2) будем называть транспонированной. Представляет определенный интерес связь между устойчивостью исходной и транспонированной систем. Кратко остановимся на некоторых результатах, которые дают возможность охарактеризовать данную проблему.
Утверждение 1. Если A(t) = A = const, то исходная и транспонированная системы одновременно будут одного из следующих типов устойчивости: устойчивые,
X(t) = A(t)x(t), x(to) = xo,
(1)
z = A* (t)z, z(to) = zo,
(2)
асимптотически устойчивые, экспоненциально устойчивые, неустойчивые, экспоненциально неустойчивые.
Уточним для определенности два понятия устойчивости в этом утверждении. Определение 1. Система (1) называется экспоненциально устойчивой, если решение х(г,го,хо) удовлетворяет условию
||х(Мо,хо)|| < а ■ в-Ь(г-*о)\\хо\\ Ш > го Ухо е Яп, (3)
где а е Я+, Ь е Я+ - некоторые фиксированные числа; Я+ = (0, то).
Свойство экспоненциальной (а не просто асимптотической) устойчивости позволяет косвенно оценить время переходного процесса, что очень важно, когда речь идет о возможности (и эффективности) парирования внешних возмущений.
Определение 2. Система (1) называется экспоненциально неустойчивой, если решение х(г, го, хо) удовлетворяет условию
||х(Мо,хо)|| > а ■ в^^ЦхоЦ Ш > го Ухо е Яп, (4)
где а е Я+, Ь е Я+ - некоторые фиксированные числа; Я+ = (0,
Замечание. Неравенство (3) говорит прежде всего о том, что динамический процесс затухает не хуже, чем экспонента указанного вида. Такое определение часто используется на практике [2, 6]. Если требуется больше конкретики, то применяется другое определение [1]:
а1 ■ в^^Цхо || < ||х(Мо,хо)|| < а2 ■ ||хо|| Ш > го, Ухо е Яп. (5)
Двойное неравенство (5) характеризует более тонко динамический процесс. Например, если в реальности существует оценка следующего вида:
||х(Мо,хо)|| < а ■ в-Ь(г-*0)2 ||хо|| Ухо е Яп,
то условие (3) хотя и выполняется, но «с запасом», а вот левая часть неравенства (5) уже не имеет места. Подобная особенность может оказаться весьма существенной для объектов с повышенными требованиями к динамике (летательные аппараты типа беспилотник и др.).
Вместе с системой (1) рассматривают сопряженную систему
у = -Л*(г)у, у(го)= уо. (6)
Взаимосвязь между исходной и сопряженной системами достаточно полно изучена (см. [6] и приведенную там библиографию). Здесь отметим только одно обстоятельство, имеющее отношение к устойчивости динамических систем.
Утверждение 2. Если система (1) экспоненциально устойчивая, то сопряженная система (6) будет экспоненциально неустойчивой.
Доказательство. Действительно, пусть система (1) - экспоненциально устойчивая. Тогда для ее решения справедлива оценка (3). Между решениями х(г,го,хо) системы (1) и у(г,го,уо) системы (6) есть взаимосвязь, а именно:
х* (г,го,хо) ■ у(г,го,уо) = с, с е я. (7)
Рассмотрим решение сопряженной системы у(г,го,уо) с начальным условием у(го) = хо. При этом равенство (7) примет вид
х*(г,го,хо) ■ у(г,го,хо) = ||хо||2. (8)
Так как х*у = < х,у > - скалярное произведение векторов из Яп, то \х*у\ ^ \ \ х\ \ \ у\ | и с учетом неравенства (3) из (8) получаем
ЦхоЦ2 < Цх*СМо,хо)|| ■ ||у(Мо,хо)|| < а ■ в^^Ы ■ Цу^^хо^.
Оставляя здесь только левую и правую части неравенства, приходим к оценке для решения у(Ь,Ьо,хо) сопряженной системы:
||у(Мо,*о)|| = ||уСМо,Уо)|| > -еь^°)||хо|| = -еь^°)||уо||. (9)
аа
В силу произвольности вектора хо находим, что (9) выполняется при всех уо, а значит, сопряженная система экспоненциально неустойчивая.
Переходя к рассмотрению исходной и транспонированной систем, заметим, что подходящих теоретических результатов немного. Классическим случаем, по-видимому, единственным как общий результат, является неравенство Важевского, поскольку в нем используются свойства симметрической матрицы А(Ь) = (¿)).
Утверждение 3 [2]. Пусть для всех £ ^ ¿о, всех х € Яп и некоторого 7 € Я имеет место неравенство
х*а(ь)х < 7цхц2.
Тогда для любого решения исходной и транспонированной систем верна оценка
||х(£,£о, хо)|| < ЦхоЦ. (10)
Получение оценки (10) связано с вычислением собственных значений матрицы А(Ь) и последующим отысканием супремума. Поэтому на практике применяют достаточное условие, в котором задействованы главные миноры Дк(А(Ь)), к € [1 : п], этой матрицы.
Утверждение 4 [2]. Для того чтобы имело место неравенство (10) с ^ < 0, достаточно, чтобы главные миноры
Дк(¿) = Дк(А(г)) Ук € [1 : п]
удовлетворяли условиям
(-1)к+1 вир Дк(¿) < 0 Ук € [1 : п].
г^о
В работе используется вариант утверждения 4 для случая п = 2. Утверждение 4* [2]. Пусть
2, A(t)= Н)а2й) • \a3(t)ai (t)J
Тогда, для того чтобы имело место неравенство (10) с Y < 0, достаточно, чтобы выполнялись два условия:
sup ai(t) < 0, sup(4 ai(t)a4(t) - (a2(t) + a3(t))2) > 0.
Сформулируем также достаточные условия экспоненциальной неустойчивости для линейных нестационарных систем.
n
Утверждение 5. Для того чтобы исходная и транспонированная системы были экспоненциально неустойчивы, достаточно, чтобы выполнялось такое неравенство:
min inf Хк(A(t)) = 0.
ke[1:n] t^0
Утверждение 5*. Пусть
2, A(t)= (ai (^)У
\аз (t)a4(t)J
Тогда, для того чтобы исходная и транспонированная системы были экспоненциально неустойчивы, достаточно, чтобы выполнялись два условия:
inf ai(t) > 0, inf (4 al(t)a4(t) - (a2(t) + a3(t))2) > 0.
t^o t^o
В стационарном случае тип устойчивости систем (1) и (2) полностью характеризуется собственными числами A¿(A), iG [1 : n], - корнями характеристического уравнения
det(A£-A) = An+a1An-1+ ... + an =0. (11)
В частности, система (1) асимптотически устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда ReAj(A) < 0, i G [1 : n], что эквивалентно условиям Раусса-Гурвица для коэффициентов полинома (11). В нестационарном случае системы (1) эта картина может претерпевать разные метаморфозы, некоторые из которых известны из публикаций.
По-видимому, первый пример такого рода дал в 1952 г. Р. Е. Виноград [7], в котором было показано, что даже при условии, когда корни уравнения (11) не зависят от времени t и лежат в левой полуплоскости, линейная нестационарная система может быть неустойчивой.
Пример 1 [7]. Пусть в системе (1)
(t) = / -1 - 9 cos2 6t + 6 sin 12t 12 cos2 6t + 9 sin 6t cos 6t () = y-12sin2 6t + 9sin6tcos6t -1 - 9sin2 6t - 12sin6tcos6t
Собственные числа матрицы A(t), равные Ai = -1, A2 = -10, не зависят от t и лежат в левой полуплоскости. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что матрица
ФИ = 5
( e2t(cos6t + 2sin6t)+ 2e2t(cos6t + 2sin6t)-\
2e-13t(2 cos 6t - sin 6t); e-13t (2 cos 6t - sin6t);
e2t(2cos6t - sin6t) — 2e2t(2cos6t-sin6t)+
y2e-13t(cos 6t + 2 sin 6t); e-13t (cos 6t+2 sin 6t) J
является фундаментальной матрицей решений системы (1), нормированной в 1о = 0. Однако из-за присутствия в Ф(£) слагаемых с экспонентой в21 существуют частные решения х(Ь,хо) системы (1), для которых ||х(£,хо)|| = то. Таким образом,
корневой критерий асимптотической устойчивости ИеЛДА^О,« € [1 : п], а вместе с ним и критерий Раусса-Гурвица, в общем случае не применим для нестационарных систем.
В 1974 г. М. Ву (М. Wu) привел пример нестационарной системы [8], который отвергает использование критерия неустойчивости стационарных систем: если среди
n
собственных значений постоянной матрицы имеются собственные значения с положительной вещественной частью, то система будет неустойчивой. Пример 2 [8]. Пусть в системе (1)
, . _ 1 /-11 + 15зт124 15 соэ 124
15 соэ 124 —1 — 15 зи1124
Здесь матрица А (4) - симметрическая, а потому все ее собственные значения вещественны: Лх = 2,Л2 = —13, У4. Так как Лх > 0, то в стационарном случае это означало бы неустойчивость системы (1). Здесь нормированная в 4о =0 фундаментальная матрица решений системы (1) имеет вид
^ \
( 3e-t(cos 64 + 3 sin 64)+ e-t (cos 64 + 3 sin 64)- \
3e-10í(cos64 - 3 sin 64); e-10t(cos64 - 3sin64);
3e-t(3 cos 64 — sin 64)- e-t(3 cos 64 — sin 64)+
\^3e-10t(3 cos 64 + sin 64); e-10t(3cos64 + sin64))
При этом ||Ф(4)||<го, У4, и ||Ф(4)||^0 при Следовательно, система (1) в этом
примере будет асимптотически (и даже экспоненциально) устойчивой [2, 6].
Еще более неожиданным выглядит изменение характера устойчивости при такой элементарной операции как транспонирование матрицы. Для стационарных систем здесь все обстоит более чем благополучно: исходная и транспонированная матрицы имеют одинаковые характеристические полиномы, так что собственные значения (и даже элементарные делители) их совпадают. Поэтому исходная и транспонированная системы одновременно будут устойчивыми, асимптотически устойчивыми или неустойчивыми. Для нестационарных систем возможны и другие варианты. Пример 3. Пусть для исходной системы (1) матрица
a(4)Í-1 - 2sin24 2 - 2cos24 А(4)=^-2 - 2 cos 24 -1 + 2 sin 24
Характеристическое уравнение для данной матрицы имеет вид (Л +1)2 = 0, его корни Л12 = -1. В стационарном случае это означало бы асимптотическую устойчивость. Преобразованием x = S(4)y с матрицей Ляпунова
= (cos4 sin4
- sin 4 cos 4
систему (1) приведем к виду y = B(4) y, в котором матрица B(4) равна
B(4) = S-1(4)(A(4)S(4) - S(4))= (-3 -1
Характеристический полином det^E-B) = Л2 + 2Л - 2 имеет корни Л12 = Так как один из них положительный, то приведенная система - неустойчивая, а вместе с ней будет неустойчивой и нестационарная система (1).
Рассмотрим теперь транспонированную систему (2) с матрицей
А*(4) = (-1 - 2sin24 -2 - 2cos24 А (4) V 2 - 2 cos 24 -1 + 2 sin 24
Естественно, здесь также корни A^A*) = -1. С помощью преобразования z = S(t)y с матрицей S(t), что и раньше, транспонированную систему приведем к стационарному случаю, но с матрицей такого вида:
- = (I1 -1
Характеристический полином det(A_E — В) = А2 + 2А + 6 имеет два комплексных корня Л12 = — 1 ± i л/5- Так как вещественная часть у них отрицательная, то приведенная система - экспоненциально устойчивая, а вместе с ней будет экспоненциально устойчивой и нестационарная транспонированная система. Таким образом, для нестационарных систем свойство асимптотической устойчивости может теряться (приобретаться) даже при транспонировании матрицы. Заметим, что сопряженная система (6) для данной транспонированной системы будет в соответствии с утверждением 2 экспоненциально неустойчивой.
Пример 4. Пусть для исходной системы (1) матрица
Í 1+sin21 cos t 1 - sin31 у-1 + sin t cos2 t 1 - sin21 cos t
Характеристическое уравнение (11) для A(t) имеет вид A2 - 2A + 2 - sin t = 0, т. e. его корни будут зависеть от t. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что матрица
, ,ч t( cos t + sin t — sin t cos t sin t cos t - sin t - cos2 t cos t
является фундаментальной матрицей решений системы (1), нормированной в to = 0. Ясно, что из-за присутствия в í>(t) множителя et все решения x(t, xo) = $(t) xo, xo = 0, будут неограничены, а исходная система будет экспоненциально неустойчивой.
Для транспонированной системы характеристическое уравнение имеет прежний вид. Преобразованием z = S(t)y с прежней матрицей S(t) транспонированную систему (2) приведем к нестационарному виду y = B(t)y, где
s(t)=(1 -2+1sint
Вычислим производную по t от y2(t) вдоль решения y(t, yo) преобразованной системы; получим
jty2(t) = y*(t)(B(t) + B*(t))y(t) = 2 (у\ + sin tyiy2+y¡). Отсюда следует, что
^\\ут2>\т\\2^\\у^у0)\\2>е%0\\2.
Последнее неравенство означает, что транспонированная система экспоненциально неустойчива. Таким образом, в рассматриваемом случае исходная и транспонированная системы являются экспоненциально неустойчивыми, т. e. свойство неустойчивости здесь сохраняется. Экспоненциальная неустойчивость исходной и транспонированной систем также следует из утверждения 5, так как в данном примере ¡л =1.
Вернемся к примерам 1, 2 и исследуем соответствующие транспонированные системы. В примере 2 [8] матрица A(t) - симметрическая, а потому исходная и транспонированная нестационарные системы асимптотически устойчивые. В примере 1 [7] фундаментальная, нормированная в ¿о = 0, матрица решений для транспонированной системы равна
' cos(^fI-6)i sin6t(cos^Pi + -JLsin^Pt)'
J^sin(v^X_6)t cos6t(cosv^It+_|=sinv^It)y
Можно показать, что ||Ф(^)|| ^ 2.3e~~i —> 0 при t —> оо, а потому транспонированная система асимптотически устойчивая.
Следует отметить, что свойством асимптотической устойчивости могут обладать или нет одновременно обе системы. Для этого достаточно рассмотреть нестационарную систему (1) с матрицей треугольной структуры, например,
x(t)= A(t) x(t), A(t)= ^ , (12)
где Aij2 € R, a(t) G C[to, ж) и supt>to |a(t)| < то. Если коэффициенты Aij2 < 0, то исходная (12) и транспонированная системы будут асимптотически устойчивые. Если же хотя бы один из них положителен, то они обе неустойчивые.
В приложениях особый интерес представляют линейные системы, асимптотически и экспоненциально устойчивые при t ^ to. Поэтому остановимся на типах нестационарных систем, когда исходная и транспонированная системы одновременно асимптотически и экспоненциально устойчивые. Сопоставляя решения систем (1) и (2), прежде всего устанавливаем, что они одинаковы во всех вариантах устойчивости по Ляпунову, если матрицы A(t) и Ф^) коммутируют:
A(t^(t) = Ф(^А^) т > t0. (13)
Заметим, что это обстоятельство всегда имеет место для A(t) = const. Далее, так как в случае коммутируемости
Ф *(t) = [A(t^(t)]* = ^(t)A(t)]* = A* (t^*(t),
то для транспонированной системы в качестве фундаментальной матрицы будет матрица Ф*^). Но поскольку норма ||Ф^)|| инвариантна к операции транспонирования, то в случае асимптотической устойчивости
||Ф(^|| = ||Ф*(t)|| —- 0, t — ж,
а в случае экспоненциальной устойчивости
||Ф(^|| = ||Ф*(t)|| < Ke-a(t-to).
Тем самым обе системы являются асимптотически устойчивыми или экспоненциально устойчивыми. Условие (13) принадлежит к «трудно проверяемым», так как в нестационарном случае аналитическое выражение для Ф^) - большая редкость. Из доступных вариантов выполнения (13), пожалуй, единственным и наиболее общим будет случай Лаппо-Данилевского, когда матрица A(t) коммутирует со своим интегралом:
t t
A(t) j A(t)dT = j A(t)drA(t). (14)
to to
В этом случае фундаментальной матрицей решений системы (1) является матричная
Л \
экспонента Ф(£) = ехр § А(т)йт , причем имеет место и обратное утверждение [9,
с. 10]. Так как
t t J А* (г)drA*(t)= A(t) j A(t)d
to L to
A(t )dT A(t)
t
= A* (t) J A* (t)dT,
то фундаментальной матрицей транспонированной системы будет матрица exp ¡J A* (t )dT I = I exp J A(t )dT I = Ф*(t).
Условие (14) накладывает на структуру матрицы A(t) определенные ограничения. В этом отношении характерен следующий результат [9, с. 12]. Пусть A(t) -аналитическая и удовлетворяет (14). Тогда если при некотором t ^ to сама A(t) или ее интеграл f*o A(t)dT имеют попарно различные собственные значения {Ai(t),...,An(t)}, то существует невырожденная постоянная матрица S, такая, что S-1A(t)S = diag(Ai(t), ...,An(t)), yt ^ t0. Ясно, что при условии Aj(t) ^ а < 0, Уг G [1 : n] исходная и транспонированная системы будут экспоненциально устойчивые, а если Ai(t) ^ а > 0, Уг G [1 : n], то обе системы - экспоненциально неустойчивые.
Заключение. В работе исследована взаимосвязь свойств устойчивости исходной и транспонированной систем в нестационарном случае. При выполнении ряда условий этот вопрос удается решить с помощью критериев устойчивости. Приводимые примеры иллюстрируют особенности решения рассматриваемой задачи.
Литература
1. Зубов В. И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973. 272 с.
2. Еругин Н. П., Штокало И. З. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. Киев: Виша школа, 1974. 472 с.
3. Карелин В. В. Точные штрафы в многоточечной задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2009. Вып. 4. С. 104-109.
4. Александров А. Ю., Косов А. А. Об устойчивости гироскопических систем // Вестн. С.-Пе-терб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2013. Вып. 2. С. 3-13.
5. Тихомиров О. Г., Темкина Е. В. Асимптотическое положение покоя для систем однородных нестационарных дифференциальных уравнений // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2014. Вып. 3. С. 58-65.
6. Адрианова Л. Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1992. 240 с.
7. Виноград Р. Е. Об одном критерии неустойчивости в смысле А. М. Ляпунова решений линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1952. Т. 84, № 2. C. 201-204.
8. Wu M. Y. A Note on Stability of Linear Time-Varying Systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1974. Vol. AC-19, N 2. 162 p.
9. Жабко А. П., Харитонов В. Л. Методы линейной алгебры в задачах управления. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1993. 320 с.
References
1. Zubov V. I. Ustojchivost' dvizhenija [Stability of motion]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1973, 272 p. (in Russ.)
2. Erugin N. P., Shtokalo I. Z. Kurs obyknovennyh differenscial'nyh uravnenij [Course of ordinary differential equations]. Kiev, Vysshaya shkola Publ., 1974, 472 p. (in Russ.)
3. Karelin V. V. Tochnye shtrafy v mnogotochechnoj zadache dlja obyknovenyh differencial'nyh uravnenij [Exact penalties in multi-points problem for ordinary differential equations]. Vestn. of St. Petersburg University. Series 10: Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2009, issue 4, pp. 104-109. (in Russ.)
4. Aleksandrov A. Yu., Kosov A. A. Ob ustojchivosti giroskopicheskih sistem [On stability of gyroscopic systems]. Vestn. of St. Petersburg University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2013, issue 2, pp. 3-13. (in Russ.)
5. Tikhomirov O. G., Temkina E. V. Asimptoticheskoe polozhenie pokoja dlja sistem odnorodnyh nestacionarnyh differenscial'nyh uravnenij [Asymptotic quiescent position for systems of homogeneous non-autonomous differential equations]. Vestn. of St. Petersburg University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2014, issue 3, pp. 58-65. (in Russ.)
6. Andrianova L. Ya. Vvedenie v teoriju linejnyh differencial'nyh uravnenij [Introduction in the theory of linear differential equations.] St. Petersburg, St. Petersburg University Press, 1992, 240 p. (in Russ.)
7. Vinograd R. E. Ob odnom kriterii neustojchivosti v smysle A. M. Ljapunova reshenij linejnoj sistemy obyknovennyh differenscial'nyh uravnenij [About one criterion of the non-stability in the sense of A. M. Lyapunov the solutions of a linear system of differential equations]. Dokl. AN USSR, 1952, vol. 84, no. 2, pp. 201-204. (in Russ.)
8. Wu M. Y. A Note on Stability of Linear Time-Varying Systems. IEEE Transactions on Automatic Control, 1974, vol. AC-19, no. 2, 162 p.
9. Zhabko A. P., Kharitonov V. L. Metody linejnoj algebry v zadachah upravlenija [The Methods of linear algebra in control problems]. St. Petersburg, St. Petersburg University Press, 1993, 320 p. (in Russ.)
Статья поступила в редакцию 17 февраля 2015 г.
Правила оформления и условия приема статей в журнал «Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10»
I. Правила публикации статей
В журнале публикуются оригинальные, ранее не опубликованные исследования в областях прикладной математики, процессов управления или информатики, а также статьи математического характера в области вычислительной техники и механики. Объем статьи, включая таблицы, иллюстрации, и т. п., — от 6 до 15 журнальных страниц.
II. Правила оформления статей
1. Статья должна быть представлена в редакцию в распечатанном (два экземпляра) и электронном видах. Редакция принимает статьи в формате LTeX 2е. Под электронной версией, представляемой автором, подразумевается исходный ТЕХовский файл (например, MyArticle.tex), соответствующий ему файл *.ps, или *.pdf, ТЕХ-файлы с Резюме, Summary и авторефератом и отдельные файлы иллюстраций, если таковые имеются.
2. Не вводите свои собственные макроопределения, команды и декларации (не используйте в Вашем ТЕХ-файле \def, \renewcommand, \numberwithin).
3. На первой странице статьи должно быть:
УДК, инициалы и фамилия автора (или авторов), название статьи, адрес и место работы.
4. Для открывающих кавычек используйте «, для закрывающих — ». Для «кавычек „внутри" кавычек» открывающие — „ и " — закрывающие. В английском тексте (в Summary) открывающие кавычки ", закрывающие ".
5. В десятичных дробях используется только десятичная запятая.
6. Между инициалами и фамилиями ставьте неразрывные пробелы: А.~А.~Иванов.
7. Общепринятые сокращения русского языка должны содержать неразрывные пробелы.
8. Нумеровать следует только те формулы, на которые имеется хотя бы одна ссылка в тексте данной статьи.
9. При использовании сокращений слов в обозначениях величин применяйте команду \text, например $S_{\text{eff}}$ или $B_{\text{MaKc}}$.
10. Список литературы приводится в конце статьи и оформляется в соответствии с ГОСТом Р 7.0.5—2008. Нумерация ссылок дается арабскими цифрами в квадратных скобках и приводится по порядку их появления в тексте, в том числе во введении. При ссылке на переводное издание необходимо привести в скобках его оригинальное название и имя автора.
11. Отдельно дается References. Порядок приведения соответствует русскому списку литературы. Названия источников даются по следующим правилам: 1) ФИО автора (для русскоязычных работ — транслитерация ФИО в системе Library Congress); 2) название на оригинальном языке для всех работ, кроме англоязычных (для русскоязычных — транслитерация названия работы в системе Library Congress); 3) название англоязычных работ (для них п. 2 пропустить) или перевод названия на английский язык для всех остальных работ; 4) название источника: журнал, конференция и т. п. (для русскоязычных — транслитерация в системе Library Congress и перевод на английский зяык), для монографий — место и название издательства (для русскоязычных — транслитерация); 5) год, номер тома, выпуск, диапазон страниц (аналогично русскому списку источников).
12. В виде трeх отдельных ТЕХовских файлов приводятся Резюме на русском языке и Summary — на английском, объeмом не менее 5—6 фраз, примерно 100 слов (с указанием фамилии автора и названия статьи по-английски), а также автореферат (не более 0,5 с.) с кодами УДК. В конце реферата и Summary обязательно должны быть приведены ключевые слова, соответственно на русском и английском языках, и указаны количества источников литературы, иллюстраций и таблиц.
13. В самом конце статьи указывается электронный адрес (e-mail), почтовый адрес с индексом, ФИО автора, с которым предпочтительно вести переписку, а также номер телефона, служебного или домашнего.
Также предоставьте, пожалуйста, следующую информацию обо всех авторах: 1) фамилия, имя, отчество (все полностью); 2) учeная степень; 3) должность и/или звание; 4) телефон; 5) e-mail.
III. Требования к иллюстративному материалу
14. Все иллюстрации должны быть напечатаны и присоединены к распечатке статьи.
15. Общее требование ко всем рисункам: во-первых, ширина ^ 14 см, высота ^ 19 см; во-вторых, все рисунки должны быть чeрно-белыми, никакие цвета, даже оттенки серого, недопустимы (необходимо также предоставить в виде отдельных файлов оригиналы всех рисунков в их первоначальном формате, размере, разрешении и цветовой гамме).
16. Рисунки-фотографии и другие растровые изображения, на которых отсутствует какой-либо текст, представляются в виде файлов формата *.jpg или *.tiff. Желательное разрешение 1200 dpi, во всяком случае, не ниже 600 dpi.
17. Рисунки-фотографии и другие растровые изображения, содержащие текст, необходимо представлять в векторном формате *.pdf, *.eps, *.ai, *.cdr. При этом текст должен быть векторным. Также желательно, чтобы векторными были элементы типа осей координат и засечек на них (минимальная толщина линий — 0,4 pt).
18. Штриховые иллюстрации (графики, схемы и пр.) должны быть представлены в векторном формате.
19. Весь текст в иллюстрациях должен быть набран 9-м кеглем (шрифтом с засечками Times New Roman).
20. В конце статьи должны быть приведены подписи к рисункам. Все рисунки должны быть пронумерованы и иметь название.
С подробной информацией о правилах опубликования и оформления статей в журнале «Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10» можно ознакомиться, обратившись по электронной почте Факультета прикладной математики—процессов управления СПбГУ (e-mail: vkarelin@apmath.spbu.ru; vlkarelin@mail.ru).
