CC BY
35
5. ГрунскийИ. С., Татаринов Е. А. Алгоритм распознавания графов // Труды Четвертой Междунар. конф. «Параллельные вычисления и задачи управления» РАСО’2008. М.: Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2008. С. 1483-1498.
УДК 519.17
К ВОПРОСУ О ТОЧНЫХ РАСШИРЕНИЯХ ТУРНИРОВ
А. А. Долгов
Ориентированным графом называется пара О = (V, а), где V — конечное непустое множество, называемое множеством вершин, а а — отношение на множестве вершин V, называемое отношением смежности.
Граф с антисимметричным отношением смежности называется направленным графом, или диграфом. Полный диграф без петель называется турниром.
Граф Н называется точным к-расширением графа О, если О изоморфен каждому подграфу Н, получающемуся путем удаления любых его к вершин.
Первое из известных семейств точных расширений турниров — семейство транзитивных турниров — было описано в работе [1]. Транзитивный турнир — это турнир, у которого из существования дуг (и, у) и (у,'ш) вытекает существование дуги (п,/ш). В работе показано, что точным к-расширением турнира Тп при п > 2 является транзитивный турнир Тп+к.
В работе [2] рассматривается схема построения семейства вершинно-симметрических турниров. Оказывается, что графы этого семейства обладают циклической симметрией.
Удалось показать, что любой циклически-симметричный граф является точным 1-расширением. Семейство, описанное в [2], не является единственным семейством турниров с циклической симметрией. В докладе представляется схема, позволяющая построить все графы с заданным числом вершин, обладающие циклической симметрией. Также указывается необходимая модификация алгоритма, позволяющая получить с его помощью только циклически-симметричные турниры.
Рассмотрим операцию над парой графов О1 и О2, назовем ее операцией вершинной подстановки графа О1 в граф О2.
Результатом вершинной подстановки графа О1 = ^1,а1) в О2 = ^2,а2), где
| VI| = п1, |^| = п2, будет граф О = (V, а), такой, что:
1) V = {уг- |г = 1,П1,] = 1, П2}, IV| = П1 х П2;
2) (уг,к ,vj,t) £ а, если к = Ь и (уг, у-) € а1 или если к = Ь и (ук, уг) € а2.
Удалось доказать, что граф, получающийся в результате вершинной подстановки транзитивного турнира в циклически-симметричный турнир, является точным 1-расширением, отличным от графов, принадлежащих описанным семействам.
ЛИТЕРАТУРА
1. Абросимов М. Б. Минимальные расширения транзитивных турниров // Вестник Томского госуниверситета. Приложение. 2006. №17. С. 187-190.
2. Абросимов М. Б., Долгов А. А. Точные расширения некоторых турниров // Вестник Томского госуниверситета. Приложение. 2007. №23. С. 211-216.
