Семейства точных расширений турниров Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

2008 Прикладная теория графов № 1(1)

ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ

УДК 519.17

СЕМЕЙСТВА ТОЧНЫХ РАСШИРЕНИЙ ТУРНИРОВ М.Б. Абросимов, А.А. Долгов

Саратовский государственный университет E-mail: [email protected]

В работе рассматриваются некоторые вопросы, связанные с точными расширениями турниров. Обобщается одно семейство, полученное ранее, и предлагаются два новых бесконечных семейства турниров, имеющих точные 1-расширения.

Ключевые слова: орграф, турнир, минимальное расширение, точное расширение, оптимальная отказоустойчивая реализация, точная отказоустойчивая реализация.

Ориентированным графом (далее - орграфом) называется пара G = (V, а), где V - конечное непустое множество, называемое множеством вершин, а а - отношение на множестве вершин V, называемое отношением смежности.

Граф с симметричным и антирефлексивным отношением смежности называется неориентированным графом (далее - графом). Граф с антисимметричным отношением смежности называется направленным графом или диграфом. Граф с пустым отношением смежности называется вполне несвязным и обозначается On, где n - число вершин. Орграф с универсальным отношением смежности называется полным и обозначается Kn .

Симметризацией орграфа G = (V, а) называется граф G = (V, (а и а-1) \ А), то есть симметризация орграфа получается заменой дуг ребрами и удалением петель. Симметризация полного орграфа Kn называется полным (неориентированным) графом и обозначается Kn. Полный диграф без петель называется турниром и обозначается Tn. Турнир можно рассматривать как граф, получающийся из полного графа Kn приданием каждому ребру некоторой ориентации. Основные определения даются в соответствии с работой [1].

Вложением графа Gi = (Vb ai) в граф G2 = (V2, а2) называется такое взаимно однозначное отображение f: V1 ^ V2, что для любых вершин u, v е V1 выполняется следующее условие: (u, v) е a1 ^ (f(u), f(v)) е а2.

Два графа G1 = (V1, а1) и G2 = (V2, а2) называются изоморфными, если можно установить взаимно одно-

значное соответствие f: V1 ^ V2, сохраняющее отношение смежности: (u, v) е а! ^ (f(u), f(v)) е а2, для любых u, v е V1. В этом случае пишут G1 = G2.

Граф G = (V , а ) называется минимальным k-расширением (к - натуральное) n-вершинного графа G = (V, а), если выполняются следующие условия:

1. G является k-расширением G, то есть граф G вложим в каждый подграф графа G , получающийся удалением любых его k вершин.

2. G содержит n+k вершин, то есть | V | = | V + к.

3. а имеет минимальную мощность при выполнении условий 1 и 2.

Граф G* называется точным к-расширением графа G, если любой граф, получающийся удалением произвольных к вершин графа G*, изоморфен графу G.

Понятие минимального k-расширения введено на основе понятия оптимальной к-отказоустойчивой реализации, которое было предложено Хейзом в работе [2]. Понятие точного расширения впервые было введено Харари и Хейзом в работе [3], где рассматривались неориентированные графы. Там же были предложены некоторые семейства графов, которые имеют точное расширение. В работе [4] удалось установить, что среди неориентированных графов только полный и вполне несвязный графы имеют точные к-расширения при любом к. Среди остальных графов выделяются графы, имеющие степенное множество вида {b, b - 1}, у которых число вершин степени b - 1 в точности равно b. Такие графы могут иметь точное 1-расширение, но не могут иметь точное к-расширение ни при каком к > 1. В работах [5, 6] удалось установить связь точных к-

расширений орграфов с точными к-расширениями неориентированных графов и предложить два семейства точных расширений турниров. Данная работа является продолжением в исследовании семейств точных расширений турниров. Приведем некоторые результаты, полученные ранее в [5, 6].

Теорема 1. Пусть G* = (V*, а*) - точное к-расширение орграфа О = (V, а). Тогда отношения смежности а и а* являются одновременно либо рефлексивными, либо антирефлексивными.

Теорема 2. Пусть О* - точное к-расширение орграфа G . Тогда симметризация О* является точным к-расширением симметризации G.

Теорема 3. Пусть G - диграф с числом вершин, большим 1, тогда его точное к-расширение, если оно есть, также будет диграфом.

Теорема 4. Пусть О* - точное к-расширение орграфа G. Тогда дополнение О* является точным к-расширением дополнения G.

Из приведенных теорем следует, что точное к-расширение турнира, если оно существует, также является турниром. Причем дополнение турнира (а это тоже будет турнир) также будет иметь точное к-расширение.

Изоморфизм графа на самого себя называется автоморфизмом. Две вершины и и у графа G называются подобными, если существует автоморфизм графа G, при котором образом вершины и является вершина у. Граф, все вершины которого подобны, называется вершинно-симметрическим. Граф, не имеющий ни одной пары подобных вершин, называется асимметричным.

Для неориентированных графов в работе [7] было доказано, что граф тогда и только тогда является точным 1-расширением, когда он является вершинно-симметрическим. Оказывается, что для орграфов в общем случае подобное утверждение неверно. Далее будут указаны турниры, которые не являются вершинносимметрическими графами, но являются точными 1-расширениями. Связь точных расширений с вершинносимметрическими орграфами может быть уточнена следующим образом (см. [6]):

Теорема 5. Всякий вершинно-симметрический орграф является точным 1-расширением подходящего орграфа.

1. Семейство транзитивных турниров (Т)

Первое из рассматриваемых в данной работе семейств точных расширений турниров - семейство транзитивных турниров - было впервые описано в работе [5]. Транзитивный турнир - это турнир, у которого из существования дуг (и, у) и (у, т) вытекает существование дуги (и, ш). В частности, в работе [5] доказывается следующая

Теорема 6. Единственным минимальным к-расширением транзитивного турнира Тп при п > 2 является транзитивный турнир Тп+к. Причем это расширение является и его точным к-расширением.

При п = 2 транзитивный турнир Т2 имеет два точных 1-расширения - циклическую и транзитивную тройки. На рис. 1 указана схема построения транзитивного турнира.

Рис. 1

Как видно из схемы, для построения п-вершинного транзитивного турнира необходимо каждую вершину у, соединить с вершинами уг+ь уг+2, ..., у„. Очевидно, что для любого числа вершин существует в точности

один транзитивный турнир. Транзитивный турнир является самодополнительным графом, то есть он изоморфен своему дополнению. На основе транзитивных турниров удалось предложить новое семейство - семейство полутранзитивных турниров, описываемое далее.

Заметим, что в транзитивном турнире все вершины имеют различные полустепени исхода и захода, и следовательно, в нем нет ни одной пары подобных вершин, то есть транзитивный турнир является асимметрическим графом. Таким образом, для орграфов могут существовать точные к-расширения, являющиеся ас-симетричными графами. Семейство транзитивных турниров - первое и пока единственное, найденное из таких семейств.

2. Семейство вершинно-симметрических турниров (8)

В работе [6] предлагается схема построения семейства вершинно-симметрических турниров (см. рис. 2).

Рассмотрим полный (2п + 1)-вершинный граф К2п+1. Разместим его вершины в вершинах правильного п-угольника. Ориентируем ребра К2п+1 следующим образом. Для произвольной вершины у и п следующих за ней по часовой стрелке вершин ребра ориентируем в направлении от у, а для оставшихся п вершин, расположенных от у против часовой стрелки, ориентируем ребра в направлении к у. После проведенной ориентации все вершины будут иметь степени исхода и захода равными п.

Рис. 2

Очевидно, что построенный по описанной схеме турнир будет являться вершинно-симметрическим, более того, он обладает циклической симметрией. По теореме 5 любой вершинно-симметрический граф является точным 1-расширением некоторого подходящего графа. Однако предложенная схема не перечисляет всех вершинно-симметрических турниров.

Рассмотрим алгоритм построения вершинно-симметрических турниров с циклической симметрией.

Пусть G - произвольный вершинно-симметрический граф. Все вершины у такого графа подобны. Это означает, что если такой граф обладает циклической симметрией, то, расположив вершины по кругу, дуги можно нарисовать так, что при повороте графа на угол 360/п в любую сторону будет все время получаться одно и то же изображение. Матрица смежности изображенного таким образом графа будет обладать интересным свойством: каждая строка матрицы будет получаться из предыдущей строки циклическим сдвигом на одну позицию вправо. Таким образом, чтобы перебрать все вершинно-симметрические графы с циклической симметрией, необходимо перебрать все возможные первые строки матрицы смежности и достроить последующие по указанному алгоритму. Однако таким образом могут получиться не только турниры.

На главной диагонали матрицы смежности турнира всегда будут нули. Попробуем разместить в первой позиции единицу и достроить матрицу по указанному алгоритму:

01хххх0 0 01 хххх х001ххх хх001хх ххх001х хххх 0 01 1хххх 00

Поскольку у турнира нет встречных дуг, то на последней позиции первой строки необходимо поставить ноль. Таким образом, в случае турниров половина первой строки матрицы смежности при использовании предложенного алгоритма однозначно определяет вторую половину.

Для построения всех п-вершинных вершинно-симметрических турниров с циклической симметрией необходимо перебирать не всю первую строку матрицы смежности, а только половину, вторая половина получается из первой, если ее перевернуть и инвертировать, то есть заменить 0 на 1, а 1 на 0.

Очевидно, что вершинно-симметрические турниры существуют только при нечетном числе вершин. Дополнение турнира с циклической симметрией также является турниром с циклической симметрией и таким образом будет построено по этой же схеме.

3. Семейство турниров точных 1-расширений с четным числом вершин (Е1)

На рис. 3 приведена схема построения семейства турниров с числом вершин вида п = 4*к+2. Для построения необходимо расположить вершины по кругу. Далее проводим дуги из каждой нечетной вершины в п/2 последующих, а из каждой четной в п/2 - 1 последующих вершин.

Рис. 3

Теорема 7. Турниры с числом вершин вида п = 4*к+2, построенные по указанной схеме, являются точными 1-расширениями.

Доказательство. Покажем, что схема действительно позволяет строить точные 1-расширения турниров. По построению имеем две группы подобных вершин. На рис. 3 это вершины с четными и нечетными метками. Каждая вершина с нечетным номером имеет степень исхода п/2, каждая вершина с четным номером -степень исхода п/2-1.

Разобьем все множество вершин на пары: [1, 2] [3, 4] [5, 6], ...

Рассмотрим произвольную пару [у,, у,+1]:

Вершина у, соединена с п/2 вершинами у,+1, у,+2, ., у,+п/2.

Вершина у,+1 соединена с п/2-1 вершиной у,+2, ., у,+п/2.

Таким образом, у каждой пары совпадают все дуги, кроме одной, которая находится между ними.

Так как п = 4*к+2, то п/2 будет нечетным числом, п/2-1 четным, таким образом, дуги исходящие из произвольной пары, захватывают другие пары целиком, не разбивая их. В обобщенном виде это утверждение можно записать так: [у,-, у,+1] => [у;+2, у,+3], [у,+4, у,+5], [у,+6, у,+7] ... [у,+п/2-1, у,+п/2].

Из всего вышесказанного легко заметить, что графы, полученные при удалении одной вершины пары, будут изоморфны. Действительно, рассмотрим произвольную пару: в нее входят дуги из (п-2)/4 предыдущих пар, и из нее выходят дуги в (п—2)/4 последующих пар. При удалении одной из вершин пары получаем вершину, в которую входят дуги из тех же п/4 пар и выходят дуги в те же п/4 пары.

Так как все вершины с четными и нечетными метками подобны и граф, получающийся при удалении некоторой вершины с четной меткой, изоморфен графу, получающемуся при удалении некоторой вершины с нечетной меткой, то все подграфы любого графа семейства будут изоморфны. ■

Заметим, что представители данного семейства не являются вершинно-симметрическими графами.

4. Семейство полутранзитивных турниров (Н)

Известно, что у транзитивного турнира (как и у любого бесконтурного графа) существует правильная нумерацию вершин, при которой дуга идет только из вершины с меньшим номером в вершину с большим. При правильной нумерации вершин матрица смежности транзитивного турнира станет верхней треугольной

матрицей. Полутранзитивный турнир получается из транзитивного турнира с числом вершин п = 3*к по схеме, указанной на рис. 4.

Рис. 4

Как видно из схемы, для построения полутранзитивного турнира необходимо в матрице смежности транзитивного турнира переориентировать правый верхний ее квадрат п/3 х п/3.

Теорема 8. Каждый полутранзитивный турнир является точным 1-расширением подходящего турнира.

Доказательство. Пусть Т - полутранзитивный турнир с числом вершин п = 3*к, матрица смежности которого получена по схеме, изображенной на рис. 4. Обозначим его вершины через у1, у2, ., уп .

Если удалять по одной вершине из турнира Т, то будут получены три группы матриц смежности определенного вида (рис. 5), а все множество вершин будет разбито на три класса подобных вершин.

01111|{ 0011К

оооіі|:___

00001111

00000111

ООО

ООО

111

110

110

110

0111111 0011К

0001і|<___

00001111

00000111

ООО

ООО

ООО

100

100

100

00011 111 00011 ООО

00001 111 00001 111

00000 111 00000 111

А в

оті]: оош:

00011^___

00001111 00000111 00011 00001 00000

с

Рис. 5

Очевидно, что для того, чтобы из матрицы вида А получить матрицу вида С, необходимо часть вершин, расположенных в начале, перенести в конец по следующей схеме: уь у2, у3, у4, ... уп => уп/3, уп/3+і, ..., уп, уп/з-і, у п/3 - 2, . . ., уі (рис. 6).

Рис. 6

Если продолжить процесс и переставить еще п/3 вершин по заданной схеме в матрице вида С, то получится матрица вида В (рис. 7).

Рис. 7

Таким образом, все максимальные подграфы полутранзитивного турнира изоморфны. ■

Далее в таблице указываются все турниры с числом вершин до 10 и их точные 1-расширения, а также семейства, к которым относятся эти точные 1-расширения. Турниры в таблице представлены своими максимальными минорными кодами (см. [6]) и векторами, составленными из степеней исхода вершин в порядке неубывания. В 1-м и 4-м столбцах указывается число вершин турнира и его точного 1-расширения соответственно.

В приведенной таблице только два турнира не принадлежат ни одному из описанных семейств: 5-вершинный турнир с кодом 982 и 9-вершинный турнир с кодом 68424641622. Дополнительный интерес эти турниры представляют тем, что они имеют точные 1- и 2-расширения, не имея точных к-расширений при к > 2. Такая ситуация невозможна для неориентированных графов, а для орграфов это пока единственные известные примеры.

N Максимальный минорный код турнира Вектор степеней турнира N Семей- ство Максимальный минорный код точного 1-расширения Вектор степеней точного расширения

2 1 (0, 1) 3 8, Н 5 (1, 1, 1)

2 1 (0, 1) 3 Т 7 (0, 1, 2)

3 7 (0, 1, 2) 4 Т 63 (0, 1, 2, 3)

4 59 (1, 1, 2, 2) 5 8 947 (2, 2, 2, 2, 2)

4 63 (0, 1, 2, 3) 5 Т 1023 (0, 1, 2, 3, 4)

5 982 (1, 2, 2, 2, 3) 6 31435 (2, 2, 2, 3, 3, 3)

5 1011 (1, 2, 2, 2, 3) 6 Е1, Н 32359 (2, 2, 2, 3, 3, 3)

5 1023 (0, 1, 2, 3, 4) 6 Т 32767 (0, 1, 2, 3, 4, 5)

6 31435 (2, 2, 2, 3, 3, 3) 7 8 2011853 (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3)

6 32487 (2, 2, 2, 3, 3, 3) 7 8 2079175 (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3)

6 32767 (0, 1, 2, 3, 4, 5) 7 Т 2097151 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)

7 2097151 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) 8 Т 268435455 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)

8 267242391 (3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4) 9 8 68414052123 (4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4)

8 267716381 (3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4) 9 8 68535393593 (4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4)

8 268298127 (3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4) 9 8 68684320527 (4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4)

8 268428175 (2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5) 9 Н 68717612831 (3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5)

8 268435455 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) 9 Т 68719476735 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)

9 68424641622 (3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5) 10 35033416510570 (4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5)

9 68717879055 (3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5) 10 Е1 35183554076191 (4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5)

9 68719476735 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) 10 Т 35184372088831 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

10 35033416510570 (4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5) 11 8 35874218506823866 (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5)

10 35183822519839 (4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5) 11 8 36028234260315167 (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5)

10 35105255749749 (4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5) 11 8 35947781887743157 (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5)

10 35175217913391 (4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5) 11 8 36019423143312439 (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5)

10 35184372088831 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) 11 Т 36028797018963967 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

ЛИТЕРАТУРА

1. Богомолов А.М., Салий В.Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука, 1997.

2. Hayes J.P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. V. C-25. No. 9. P.875 - 884.

3. Harary F., Hayes J.P. Node fault tolerance in graphs // Networks. 1996. V. 27. P. 19 - 23.

4. Абросимов М.Б. Минимальные расширения дополнений графов // Теоретические задачи информатики и ее приложений. Саратов: СГУ, 2001. Вып. 4. С. 11 - 19.

5. Абросимов М.Б. Минимальные расширения транзитивных турниров // Вестник ТГУ. Приложение. 2006. № 17. С. 187 - 190.

6. Абросимов М.Б., Долгов А.А. Точные расширения некоторых турниров // Вестник ТГУ. Приложение. 2007. № 23. С. 211 - 216.

7. Абросимов М.Б. Некоторые вопросы о минимальных расширениях графов // Изв. Саратовского университета. 2006. № 6. С. 86 - 91.