Семейство точных 2-расширений турниров Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

2010 Прикладная теория графов №3(9)

ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ

УДК 519.17

СЕМЕЙСТВО ТОЧНЫХ 2-РАСШИРЕНИЙ ТУРНИРОВ

А. А. Долгов

Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, г. Саратов

E-mail: [email protected]

В работе рассматривается семейство турниров, имеющих точное 1- и 2-расширение, но не имеющих точного 3-расширения. Это единственное известное семейство графов с таким свойством и четвертое среди семейств графов, имеющих точное k-расширение при k > 1.

Ключевые слова: граф, точное k-расширение, циркулянт.

Введение

Ориентированным графом (орграфом) называется пара G = (V, а), где V — конечное непустое множество, называемое множеством вершин, а а — отношение на множестве вершин V, называемое отношением смежности.

Граф с симметричным и антирефлексивным отношением смежности называется неориентированным графом. Граф с антисимметричным отношением смежности называется направленным графом, или диграфом. Полный диграф без петель называется турниром [1].

Граф H называется точным (вершинным) k-расширением графа G, если граф G изоморфен каждому подграфу H, получающемуся путем удаления любых его k вершин и всех связанных с ними дуг (ребер).

Два графа Gi = (Vi,ai) и G2 = (V2,a2) называются изоморфными, если можно установить взаимно однозначное соответствие f : V1 ^ V2, сохраняющее отношение смежности: (u,v) Е а1 (f(u),f(v)) Е а2 для любых u,v Е V1. Изоморфизм гра-

фа на самого себя называется автоморфизмом. Множество автоморфизмов графа G образует группу, обозначаемую Aut(G).

Две вершины u и v графа G называются подобными, если существует автоморфизм графа G, при котором образом вершины u является вершина v. Граф, все вершины которого подобны, называется вершинно-симметрическим.

Циркулянтом называется n-вершинный граф G, такой, что, если его вершинам приписаны метки от 0 до n — 1, то из вершины i в вершину j проходит дуга тогда и только тогда, когда (i — j) mod n Е S, где S — некоторое подмножество множества Zn\{0}. Известно, что группа автоморфизмов циркулянта G = (V, а) транзитивна, то есть для всех v,u Е V существует ^ Е Aut(G), такой, что <^(v) = u.

Группа Г, действующая на множестве X, называется дважды транзитивной, если для любых x1,x2,y1,y2 Е X, таких, что x1 = y1, x2 = y2, в группе Г найдется такое отображение <£, что ^(x1) = y1 и <^(x2) = y2.

Среди неориентированных графов существует всего два семейства графов, имеющих точное k-расширение при k > 1, —это полные и вполне несвязные графы [2]. Сре-

ди ориентированных графов точное к-расширение при к > 1 могут иметь только графы, симметризация которых является полным графом [3]. Таким образом, в классе направленных графов точное к-расширение при к > 1 могут иметь только турниры. Для турниров на данный момент известно только одно семейство точных к-расширений при к > 1 — это турниры с транзитивным отношением смежности (транзитивные турниры) [3]. Кроме того, в работе [4] приводится пара турниров, обладающих интересным свойством. Эти турниры имеют точное 1- и 2-расширение, но не имеют точного к-расширения при к > 2. На рис. 1 приведен один из этих турниров и его точные 1- и 2-расширения.

Рис. 1. Турнир и его точные 1- и 2-расширения

Данная работа посвящается описанию семейства точных 2-расширений турниров, к которому принадлежит и упомянутая пара.

Семейство турниров Tn

Рассмотрим р-вершинный граф G = (V, а), где р — простое и р > 2. Пусть V = = {vo, Vi, . . . , vp-i} —множество вершин G. Из вершины Vi в вершину Vj есть дуга только в том случае, когда (j — i) — квадратичный вычет по модулю р, то есть по теореме Эйлера (j — і)(р-1)/2 = 1 (mod р). Обозначим полученный граф через Тр.

Рассмотрим общий вид матрицы смежности этого графа:

( (1 — 1)(р-1)/2 modр (2 — 1)(р-1)/2 modр ... (р — 1)(р-1)/2 modpN^

(1 — 2)(р-1)/2 modр (2 — 2)(р-1)/2 modр ... (р — 2)(р-1)/2 modр

\ (1 — р)(р-1)/2 modр (2 — р)(р-1)/2 modр ... (р — р)(р-1)/2 modр J

Рассмотрим отображение на множестве вершин графа Тр, при котором vi переходит в V(i+1) mod р. Пусть в исходном графе была дуга из vi в Vj, значит, (j — і)(р-1)/2 = 1 mod р. После отображения получаем Vj ^ V(j+1) mod р, Vi ^ V(i+1) mod р. В полученном графе существует дуга из V(i+1) mod р в V(j+1) mod р, если выполняется соотношение

(j + 1 — (i + 1))(р-1)/2 = (j — ¿)(р-1)/2 = 1 (mod р).

Значит, отображение Vi ^ V(i+1) mod р является автоморфизмом данного графа. Применив нужное количество раз данный автоморфизм, мы сможем отобразить любую вершину графа в любую другую. Получается, что группа автоморфизмов графа Тр транзитивна. Известно, что граф с транзитивной группой автоморфизмов является точным 1-расширением [1]. Кроме того, то, что циклическая перестановка является автоморфизмом, означает, что Тр является циркулянтом [6].

В работе [5] указано, что при р = 4n + 3 граф такого вида является турниром. Рассмотрим пример при р = 7. Квадратичными вычетами по модулю 7 являются числа

12 mod 7=1, 22 mod 7 = 4 и 32 mod 7=2. Значит, матрица смежности графа T7 имеет вид

/ 0 1 1 0 1 0 0 \

0 0 110 10 0 0 0 1 1 0 1

1 0 0 0 1 1 0 .

0 1 0 0 0 1 1

1 0 1 0 0 0 1

1101000

Заметим, что граф T7 изоморфен точному 2-расширению турнира, изображенного на рис 1.

Найдем все автоморфизмы для графа Хр. Для этого воспользуемся алгоритмом, предложенным Морисом в [6] и основывающимся на следующей теореме:

Теорема (Бернсайд, 1901). Пусть Г — транзитивная группа, действующая на множестве из р элементов, р — простое. Тогда либо Г — дважды транзитивная группа, либо

Г {Fa,,b • а Є Н С Zrpi b Є ^р}, где Fa,,b(Vi) V(ai+b) mod р.

Данная теорема задает вид всех автоморфизмов указанного графа !,. Алгоритм их получения заключается в нахождении таких а Є Z>, для которых отображение Fa,b(Vi) = V(ai+b) mod р является автоморфизмом. В результате получим множество Н, включающее найденные а. Если множество Н совпадает с Zp, то группа Г — дважды транзитивная группа.

Рассмотрим отображение множества вершин графа T», при котором вершина с номером i переходит в ia mod р. Пусть в исходном графе есть дуга из Vi в Vj. После отображения получим: Vi ^ Via mod р, Vj ^ Vja mod р. В полученном графе существует дуга из Via в Vja, если выполняется соотношение

(ja — ia)^-1^2 = 1 (mod р).

Перепишем полученное соотношение:

а(р-1)/2(7 — і)(р-1)/2 = 1 (mod р).

Очевидно, что (j — і)(р-1)/2 = 1 (mod р), так как в исходном графе есть дуга из Vi в Vj. Следовательно, а(р-1)/2 = 1 (mod р).

Таким образом, отображение Fa,b(Vi) является автоморфизмом T только в случае, когда а Є Z* есть квадратичный вычет. Примечательно, что если a — квадратичный невычет, то отображение Fa,b(Vi) является антиавтоморфизмом для данного графа (то есть такой перестановкой вершин, при которой все дуги графа заменяются на обратные).

Так как в Zp всего (р — 1)/2 квадратичных вычетов, то общее число автоморфизмов для T получается равным р(р — 1)/2. Заметим, что количество автоморфизмов совпадает с количеством всевозможных пар вершин без учета порядка. Если удастся показать, что для любой пары вершин Vi и Vj, i = j, среди всех автоморфизмов графа Tj, можно найти точно один автоморфизм, которому соответствует перестановка вида Vi, Vj,... или Vj, Vi,..., то получится, что при удалении любой пары вершин мы получим изоморфные графы, а значит, !р является точным 2-расширением.

То, что у !р не может быть пары различных автоморфизмов, первые две вершины в которых совпадают, но идут в другом порядке, очевидно, поскольку, поменяв местами две первые вершины у любого турнира, мы изменим направление дуги, которая

связывает эти две вершины, а перестановка остальных вершин на эту дугу никак не влияет.

Остается вопрос, может ли у Tp существовать пара различных автоморфизмов, не меняющих две начальные вершины графа. Мы уже описали вид всех автоморфизмов Tp; очевидно, интересующий нас вопрос можно сформулировать так: существуют ли x, y, b G Zp, x = y, и a G Zp, такие, что

x = ax + b (mod p); y = ay + b (mod p).

Отсюда получаем a =1 и b = 0, то есть таким свойством обладает только тождественный автоморфизм.

Из всего описанного следует, что граф Tp является точным 1-расширением, а если p — простое число вида 4n + 3, то Tp является точным 1- и 2-расширением для подходящих турниров.

Таким образом, турниры, которые являются точными 2-расширениями, существуют при числе вершин 7,11,19, 23, 31,...

ЛИТЕРАТУРА

1. Богомолов А. М., Салий В. Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука, 1997.

2. Абросимов М. Б. Минимальные расширения дополнений графов // Теоретические задачи информатики и ее приложений. Саратов: СГУ, 2001. №4. С. 11-19.

3. Абросимов М. Б. Минимальные расширения транзитивных турниров // Вестник Томского госуниверситета. Приложение. 2006. №17. С. 187-190.

4. Абросимов М. Б., Долгов А. А. Семейства точных расширений турниров // Прикладная дискретная математика. 2008. №1. С. 101-107.

5. Eplett W.J.R. Self-converse tournaments // Canadian Mathematical Bulletin. 1979. No. 22. P. 23-27.

6. Morris J. Automorphism groups of circulant graphs — a survey // Graph Theory, Trends in Math. 2006. P. 311-325.