CC BY
10К вопросу о свободных параметрах и их числе в параллельных проекциях, предназначенных для построения изображений объектов строительства и архитектуры
Гусарова Елена Александровна
старший преподаватель кафедры Начертательной геометрии и графики, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), gusarova_ea@mail.ru
Спирина Елена Львовна
старший преподаватель кафедры Начертательной геометрии и графики, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), spirinael@mail.ru
Макарищев Владимир Дмитриевич
студент института инженерно экологического строительства и механизации (ИИЭСМ), Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), makarishev.vova@yandex.ru
В данной статье рассматривается вопрос о числе свободных параметров в параллельных проекциях. Под числом свободных параметров подразумевается число таких величин, преимущественно геометрических, значением которых необходимо предварительно задаться или установить в соответствии с поставленными условиями, прежде чем приступить к решению той или иной задачи, связанной с построением проекции, нахождением проецирующего аппарата или определением оригинала (объекта проецирования).
Число свободных параметров может изменяться в зависимости от характера задачи, от числа ограничений поставленных ее условием, а также от вида проекций, в которых она решается. Запас свободных параметров характеризует степень свободы при решении каждой конкретной задачи, поэтому по числу параметров можно судить о сравнительных преимуществах различных видов проекций, в которых может быть решена одна и та же задача. Ключевые слова: Параллельная проекция, изображение, плоскости проекций, геометрический образ, фигура, независимые параметры, геометрические элементы
Для получения наглядных изображений пространственных форм тех или иных строительных или архитектурных сооружений, как известно, наиболее часто наряду с центральными проекциями в чертежах используются параллельные проекции (как прямоугольные параллельные проекции, так и косоугольные параллельные проекции).
Рассмотрим некоторые аспекты построения изображений в прямоугольных проекциях, а именно: разберёмся с тем, каким именно числом свободных параметров необходимо предварительно задаться для того, чтобы успешно решить какую-либо задачу в зависимости от поставленных условий. Имеются в виду задачи связанные с построением проекций, нахождением проектируемого аппарата или определением объектов проецирования
Принимаем термины «проекция» пространственной геометрической формы и ее «изображение», под термином «изображение» подразумеваем не только проекцию фигуры, получаемой непосредственным её проецированием на плоскость проекций, но и любую ей подобную. Таким образом, понятие «изображение» не связано с какими-то ни было условиями, определяющими или ограничивающими его размеры, в то время как под «проекцией» мы будем понимать изображение объекта проецирования в натуральную величину и, следовательно, размеры проекции не могут выбираться произвольно. Такое разграничение понятий «проекция» и «изображение» имеет смысл только при параллельной проекции, так как в центральной проекции они не различны.
Задача построения изображения произвольной пространственной геометрической формы становится определенной, если при произвольных четырех некомпланарных точках О1, А1, В1 , С1 пространственной формы выбраны в
О В I» £
55 П П Н
качестве их изображения четыре, произвольно
о ы
а
расположенные на плоскости проекций точки О, А, В , С. Опираясь на четыре выбранные точки изображения можно построить однозначным образом изображение любой пятой точки объекта проецирования, затем шестой, и т.д.
Четыре точки являются необходимым и достаточным числом для однозначной определенности изображения, потому все основные свойства параллельного проецирования можно рассматривать на примере простейшей геометрической формы, построенной как на базисе на четырех произвольно выбранных точках объекта проецирования, но соблюдая,условие,чтобы точки не принадлежали одной плоскости.
Преимущественное значение имеет случай, если четыре точки выбраны не случайным образом, а так, чтобы они определяли прямоугольную систему координат с единичными отрезками вдоль осей, т.е. отрезками, длина которых равна натуральной величине длины. Тетраэдр с прямым трёхгранным углом при вершине О и равными ребрами ОМ, ОЬ, ОЫ рассматривается
как масштабный, т.е. вершина О соответствует началу координат, а три взаимно перпендикулярных ребра этого тетраэдра равных натуральной величине длины служат масштабами координат осей в пространстве (см. рисунок 1)/
Рисунок 1
Можно упростить чертеж и вместо тетраэдра рассмотреть лишь три взаимно-перпендикулярных его ребра ОМ, ОЬ, ОЫ (см. рис. 2).
N
а
«
а б
Рисунок 2
Подсчитаем параметры при параллельном проецировании.
Рассмотрим чертёж на рисунке 3, он представляет т схему параллельного проецирования трёх произвольных отрезков в пространстве, исходящих из одной точки, и в частности, трёх взаимно-перпендикулярных единичных отрезков, с целью определения числа геометрических величин, которые необходимо знать для того, чтобы иметь вполне определённую как пространственную форму, так и её проекцию на картинной плоскости К.
Рисунок 3
Три произвольных отрезка, О1 А1 , О1 В1, О1 с сходятся в одной точке О1 и не лежат в
одной плоскости. Направление проецирования задано в виде отрезка ^ О1. Плоскость картины обозначена буквой К.
Проекции пространственных точек О1, А1, В и с на плоскость К обозначим, теми же
буквами, соответственно, О, А , В и С, но без индекса 1.
Луч ^ О1 изображён на рисунке 3 как горизонтальный, а отрезок О1 С1 изображён расположенным в вертикальной плоскости V, проходящей через проецируемый луч ^ О1. Такого расположения в пространстве всегда можно достигнуть не меняя взаимного расположения элементов схемы.
Плоскости, проходящие чрез отрезки О1 А1 и О1 В1, обозначим буквами J и G .
Подсчитаем число независимых параметров из числа геометрических величин, определяющих расположение элементов представленной на рисунке 3 пространственной схемы, причём воспользуемся вертикальной плоскостью V и
горизонтальным лучом ^ О1 на ней, как базой для привязки остальных элементов.
Предположим, что плоскость К перпендикулярна лучу О1 О, тогда направление луча О1 О
определяется также и положение плоскости К в пространстве с точностью до её параллельного перемещения. Теперь "привяжем" три отрезка
О1 А1, О1 В1, О1 С1 , для этого достаточно задаться их длиной, что соответствует заданию трёх параметров, и углами, определяющими как положение плоскостей J и О по отношению к плоскости V (два угла ц и Л), так и наклон отрезков О1 А1 , О1 В1 , О1 С1 к проецирующему
лучу О1 О (три угла е, п., г) что соответствует заданию количества параметров. Таким образом, понадобилось: 3 + 5 = 8 параметров.
После того, как три пространственных отрезка заданы как по длине, так и по положению относительно луча О1 О и плоскости V , проекции О А ,
0 В, ОС этих отрезков на плоскости К перпендикулярной лучу О1 О конкретно определены.
Восемь параметров можно получить, задаваясь другими геометрическими величинами этой схемы. Например, за базу для привязки элементов схемы возьмем плоскость К с изображением на ней точки О и направления ОС, тогда для задания самого изображения необходимо использовать пять параметров: два угла и длина трёх отрезков. Направление проецирования определяется получением точки О и дополнительных параметров не требует. Для определения трёх пространственных отрезков О1 А1 ,
01 В1, О1 С1 необходимо задать три угла, определяющие их наклон к плоскости К. Итого восемь параметров.
В качестве базы можно взять, пространственный тетраэдр О1 А1 В1 С1 (рисунок. 4).
Для определения самого тетраэдра необходимо задать шесть параметров, например, шесть отрезков, соединяющих попарно все четыре точки О1 , А1 , В1 , С1 т.е. шесть рёбер тетраэдра. Для привязки направления проецирования достаточно двух параметров, например, задать два угла, образуемые лучом О1 О с какими-либо двумя из рёбер тетраэдра, исходящими из вершины О1 . Итого восемь параметров.
Рисунок 4
Таким образом, задаваясь любыми восемью независимыми геометрическими величинами, входящими в рассматриваемую схему параллельного проецирования, можно определить эту схему как единую пространственную систему, в которой произвольным остаётся расстояние от плоскости К до пространственной геометрической фигуры, как не имеющее значение при изучении свойств параллельной проекции.
Проанализирован частный случай положения плоскости К, когда она перпендикулярна направлению проецирования.
В случае, произвольного положения плоскости К, необходимо общее число параметров увеличить на два, так как для определения положения плоскости с точностью до её параллельного перемещения необходимы два параметра. Если базой для привязки элементов схемы служит сама плоскость К, то два параметра необходимы для задания направления проецирования, т.к. О1 О не перпендикулярна плоскости К.
Из изложенного можно сделать следующие выводы:
1. При определении числа параметров рассматривают элементы пространственной схемы проецирования в их единстве и взаимной связи, как единую систему, в которой элементы зависят друг от друга и равноправны в этой зависимости.
2.Число параметров для одного и того же объекта проецирования зависит лишь от способа проецирования, но не зависит от того какие из независимых геометрических величин задаются и какие подлежат определению, как функции заданных.
3. При проецировании простейшего геометрического образа, например, тетраэдра число параметров остаются: для прямоугольной параллельной проекции - 8 параметров, для косоугольной параллельной проекции - 10 параметров.
О В I» £
в
п П Н
Рассмотрен общий случай параллельного проецирования трёх произвольных отрезков
О1 А1, О1 В1 , О1 с . Если на какие-либо из
элементов этой схемы проецирования предварительно наложить определённые условия, ограничивающие дальнейший свободный их набор, то число свободных параметров соответственно должно быть уменьшено.
Литература
1. Добряков А.И., Попов Н.А., Притуленко П.В. Курс Начертательной геометрии, 1936 г.
2. Глазунов Е.А., Четверухин Н.Ф. Аксонометрия. М.:ГТГЛ, 1953г.
3. Князьков М.А., Красильников А.А. Основы начертательной геометрии и графики. 1948 г.
4. В.О. Гордон, М.А. Семенцов-Огиевский. Курс Начертательной геометрии, Москва. «Высшая школа», 2000 г
5. Н.Н. Крылов. Начертательная геометрия. Москва. «Высшая школа», 2011 г
6. Б.Г. Жирных, В.И. Серегин, Ю.Э. Шари-кян Начертательная геометрия. Москва. Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2015 г.
7. Чекмарев А.А. Инженерная графика. Учебник для прикладного бакалавриата. Издатель - Юрайт . 2017 г.
8. Н. Брилинг, С. Балягин, С. Симонин -Справочник по строительному черчению Строй-издат. 1987 г.
9. Ю.И. Короев Черчение для строителей. Издание седьмое, стереотипное. Москва 2001 г.
On the question of free parameters and their number in parallel projections intended for constructing images of construction and architecture objects. Gusarova E.A., Spirina E.L., Makarishchev V.D. National Research Moscow State University In this paper, we consider the number of free parameters in parallel projections. By the number of free parameters is meant the number of such quantities, predominantly geometric values, the value of which must be predetermined or set in accordance with the set conditions, before proceeding to solve a problem related to the construction of the projection, the projection or the definition of the original (projection object). The number of free parameters can vary depending on the nature of the problem, on the number of constraints imposed by its condition, and on the type of projections in which it is solved. The stock of free parameters characterizes the degree of freedom in solving each particular problem, therefore, by the number of parameters one can judge the comparative advantages of different types of projections in which the same problem can be solved.
Key words: Parallel projection, image, projection plane, geometric image, figure, independent parameters, geometric
References
1. Dobryakov AI, Popov NA, Pritulenko P.V. Course Descriptive
geometry, 1936.
2. Glazunov EA, Chetverukhin NF Axonometry. IVI.: rTn, 1953r.
3. Knyazkov MA, Krasilnikov AA Fundamentals of descriptive
geometry and graphics. 1948
4. V.O. Gordon, M.A. Sementsov-Ogievsky. Course in Descriptive Geometry, Moscow. Higher School, 2000
5. N.N. Krylov. Descriptive geometry. Moscow. Higher School,
2011
6. B.G. Fatty, V.I. Seregin, Yu.E. Sharikyan Descriptive geometry. Moscow. Publishing house MSTU. N.E. Bauman. 2015
7. Chekmarev AA Engineering graphics. Textbook for applied
bachelor's degree. Publisher - Yurayt. 2017
8. N. Brilling, S. Balyagin, S. Simonin - Handbook of construction
drawing Stroiizdat. 1987
9. Yu.I. Koroyev Drawing for builders. The seventh edition, sto-
reotype. Moscow, 2001.
U
a
s
«
a б
