К вопросу о разрешимости краевых задач нелинейной теории пологих оболочек типа Тимошенко Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 150, кн. 1

Физико-математические пауки

2008

УДК 517.958:539.3

К ВОПРОСУ О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ТИПА ТИМОШЕНКО

С.Н. Тимергалиев

Аннотация

Статья посвящена доказательству существования решений геометрически нелинейной краевой задачи для пологих оболочек типа Тимошенко, учитывающих деформации поперечных сдвигов. Уравнения равновесия приводятся к системе нелинейных сингулярных интегральных уравнений по плоской области, разрешимость которой устанавливается при помощи принципа сжатых отображений.

Ключевые слова: краевая задача, пологие оболочки тгша Тимошенко, уравнения равновесия, обобщенное решение, оператор, интегральные уравнения, принцип сжатых отображений.

Введение

Все теоремы существования, известные к настоящему времени в нелинейной теории пологих оболочек, получены в рамках модели Кирхгофа Лява (см. [1 5] и цитированную в них литературу). Вопросы существования решений нелинейных задач в рамках других, более общих моделей до сих пор остаются открытыми, и они вошли в список нерешенных проблем математической теории оболочек [1. с. 349]. Настоящая статья посвящена исследованию разрешимости геометрически нелинейных, физически линейных краевых задач для пологих оболочек в рамках сдвиговой модели С.П. Тимошенко, не опирающейся па гипотезы Кирхгофа Лява.

1. Постановка задачи. Вывод уравнений равновесия

Рассматривается следующая модель теории пологих оболочек типа Тимошенко:

I) соотношения деформации-перемещения [6, с. 168 170, 269]:

е0з = Т0' = Ша - 3шх - Бцшз + ш2/2, 3 = 1, 2,

2е12 = 712 = + - 20^2ш\ - 2Б\2гШЗ + Ш1Ш2,

= 73 = - 33 = 1 2, ^

2бЬ = 712 = ^1а2 + ^2а1 - 2^12^А,

24 = 7°з = Ш + * =1, 2,

6зз = 7зз = + V2,

где ш = шза3-; 60 и б1, = 1, 2, - компоненты тангенциальной и изгибной деформации срединной поверхности йо оболочки; 613 , * = 1, 2, - компоненты деформации поперечных сдвигов, е33 - деформация поперечного обжатия; щ, * = 1, 2, -углы поворота нормальных сечений; ш и шз — тангенциальные и нормальное перемещения точек йо; Б3 - составляющие тензора кривизны йо; - символы

Кристоффеля; а1, а2 - декартовы координаты точек плоской ограниченной области П с границей Г, гомеоморф ной £о. В (1) и далее по повторяющимся латинским индексам ведется суммирование от 1 до 3. по греческим индексам от 1 до 2:

II) определяющие соотношения:

аИ = г < з, к < п, г, з = 1, 2, 3,

где 7кп = + а371„ (7^ = 0, к = 1, 2,3), Б^к" - упругие характеристики оболочки:

III) граничные условия:

^|г = ^к|г =0, г =1, 2, 3, к = 1, 2; (2)

IV) на оболочку действуют массовые ^(а1, а2, а3) и поверхностные ^±(а1,а2) силы.

Соотношения (1) для удобства в дальнейших исследованиях запишем в виде

4 = 4 + + 4 = 4 + 4, г, з = 1,2,3, к = 0,1, (3)

= (3 = 1, 2), ¿12 = + ^а1 ,

4' = (з = 1, 2), 4 = + , 4 =0 (г =1, 2, 3, к = 0,1);

4 = ^л - Бц^3(з = 1, 2), Т02 = - 2Б12^3,

4 = -СЛз ^л (з = 1, 2), т1 = -2СЛ2^л, Т03 = V + ^заг (г = 1, 2),

т33 = т3 = 0 (г = 1 2, 3); = /2(з = 1, 2), Х02 = ад3а1 ^3а2 ,

х3з = ^2 + Хк3 = Хц = 0 (к = 1, 2, г,з = 1, 2, 3).

Через ¿и и ¿А обозначим вариации соответственно потенциальной энергии деформации и работы внешних приложенных к оболочке сил:

¿и = Ц[С^7° ¿70п + Яр"(7° ¿7кп + ¿70«) + С?^¿7кп1 ¿П, п

¿А = JJ[Rj(а1 ,а2^- + Ьл(а\а2^л] ¿П, ¿П = Я ¿а1 ¿а2, п

(4)

к к к

аГ = ! ^ ^ с».=] ^а3 ^=] ^(а3,2

—к —к —к

к

а1, а2) = (а1, а2) + •' (а\а2)+ / ^ (а1,а2,а3) ¿а3, з = 1, 2, 3,

к

к

.Щ»1,»2) = ^Ч»1,»2) - ^(»..а2),» + / ^»■^О3)»3 .о3, г = 1, 2

—к

2» = const - толщина оболочки.

Для вывода уравнений равновесия оболочки используем вариационный принцип Лагранжа. в соответствии с которым

¿и = ¿А. (5)

При помощи традиционных рассуждений из вариационного соотношения (5) получим уравнения равновесия вида

(СТ4л)аА + СС^Т^ + Ri =0, г = 1, 2,

(СТ л^3„А )а„ + (СТ л3)аА + СБлм Т+ R3 = 0, (6)

(СМ;л)аА - СТ43 - 2С^Т33 + ссглмм+ Ь4 = 0, г = 1, 2,

в которых усилия Т« и моменты М« даются формулами

Т« = С«к" 7кк„ + С«к" 71„,

м« = С«к"7кк„ + С«*^« г,з = 1, 2, 3;

символ (СТ®л)аА означает дифференцирование по пвременной ал, при этом по А ведется суммирование.

Если в (6) вместо усилий и моментов подставить выражения из (7). а деформации 7« заменить с помощью (3), то придем к уравнениям равновесия в обобщенных перемещениях, которые представим в виде

К-) + ¿:лМ + К (а) + СДа) + ^ = 0, г = 1, 2, 3,

К-) + СМ + Кж(а) + С3+4(а) + Ь4 = 0, г =1, 2,

где /«*,« — линейные формы относительно своих переменных:

#*>к) = с «1 + (С;21„ + С;%)«к„1а2 + +С2?и«ка2а2 ],

С4«кп — — С к««

Кг(а) и (а) - линейные и нелинейные операторы: К<(а) = (ССрлкп)аА ек„ + (СС^)а. 71м + СС^Т^а +

+ СС:йл^(тлм)а, + СС1мТел^

С4(а) = (ССрлк"Хкк„)«А + СС^Т^, г =1, 2,

К3(а) = (ССрл3к" )аА ек„ + ССрл3к" (т^ )аА + (ССл3кп)аА 71„+

+ ССл3к"(тк1„ )аА + СБлм Тел^, (9) С3(а) = (СТ^3«А )а„ + (ССрл3к" /к„ )аА + СБлм Т^

К3+4 (а) = (СС«лк" )аА ек„ + (ССЦ^ )а 71м+

+ СС«лк"(Ткк„)аА + ССЦ5^(тлм)аг - СТе43 + СС1ММел^,

С3+4(а) = (СС4лк"/к„)аА + СС^М^ - СТ^3 - 2С^Т33, г = 1, 2;

Т*^, М^ и Т^, М^ — линейные и нелинейные части Тлм, Млм относительно перемещений; а = (^1, ^2,^3,^1,^2) — вектор обобщенных перемещений.

Уравнения равновесия (8) представляют собой систему пяти нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка относительно обобщенных перемещений. Таким образом, требуется найти решение системы (8). удовлетворяющее граничному условию (2).

2. Исследование разрешимости системы (8)

Будем предполагать выполненными следующие условия:

1) So _ кусочно-гладкая поверхность, склеенная из конечного числа поверхностей класса C 3;

2) упругие характеристики имеют частные производные первого порядка попеременным а1, а2, ограниченные в Ü;

3) F f

F е Lp(fi) х Li[-h, h], F± е Lp(0) Vp > 2;

4) О - одпосвязпая область с кусочно-гладкой границей Г классa C^ (0 < в < <i);

5) D ее Dio1,о2) >0вй

Систему (8) будем исследовать в пространстве Wp2)(0) , p > 2. Назовем вектор

a = (wi, W2, W3, vi, V2) обобщенных перемещений обобщенным решением задачи

равновесия, если a принадлежит пространству Wp ;(П), p > 2, почти всюду в О

удовлетворяет системе (8) и граничному условию (2). Заметим, что в силу теоремы

(2)

вложения для соболевских пространств (Í2) при р > 2 обобщенное решение а принадлежит а = (р — 2)/р.

Известно [7, с. 266-267], что функцию a G Wp2)(Q), удовлетворяющую граничному условию (2), можно представить в виде

н(с, z)p(o de dn = Tp, z = e + in, (10)

где p = (pi, p2, p3, p4, p5) - вещественная вектор-функция иространства Lp(Q), p > 2, H(Z, z) - гармоническая функция Грина для области О. В дальнейшем, не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что О - единичный круг: |z| < 1, z = a1 + ia2. Функция Грина для единичного круга имеет вид: H(Z, z) =

= (1/n)ln |(z - Z)/(1 - zZ)|.

Решение системы (8) будем искать в виде (10). Продифференцируем (10) по

а~= И Hz(C z)p(o de dq = -¿ // (^зт - Y^I) pío

П " П " " (11)

as = "¿ II (rb " ibz)Ж) d*dlh

n

где аг = (aai + iaa2 )/2, az = (aai — iaa2 )/2. Продолжая вектор-функцию p(z) на всю плоскость C то закону p*(z) = p(z) при |z| < 1 и p*(z) = — (1/|z|4)p(1/z) при |z| > 1, соотношение (11) можно представить в виде

ай=Тр*/ 4, а~ = Тр* /4, (12)

Tf=_ijjmdidr„ Tf = -ijjm

C C

Известно [7, с. 39, 46], что T/ - вполне непрерывный оператор из Lp(0) в Lq(О)(1 < q < 2p/(2 — p)), если 1 < p < 2, и из Lp(0) в C(p-2)/p(0), если p > 2. Кроме того, существуют обобщенные производные

dTf f dTf 1 [[J^rKrl - Яf П^

~эГ = ^ — = -ñJJ (T^Fde<&? = s/' ( 3)

C

где Sf =--11 ——— дщ.

где £/ - линейный ограниченный оператор в Ьр(О), р > 1 [7, с. 267], причем

Ц57|ир(П) < Лр||/||МП). (14)

Используя (13), соотношения (12) еще раз продифференцируем по г, г:

a1zz=Sp*/A, а~~=Бр*/А, (15)

I /У

*]] (с-5)

с

Так как аакак = 2ахг + (- 1)к-1(а22 + агг) (к = 1, 2), аа1 а2 = 21тагг, то с учетом (15) почти всюду в О получим векторные соотношения

а0к0к = р/2+{-1)к-1ЯеЗр*/2 (к = 1,2), а,а1а2 = 1т%/2,

, 1 (16) аак = И.е (гк Тр*) (к =1, 2).

Здесь

^ р* = (р1* ,р2*,р3*,р4*,р5 *)-

Теперь выражения (10), (16) для обобщенных перемещений и их производных подставим в систему (8). После несложных преобразований получим систему нелинейных сингулярных интегральных уравнений по области О относительно вектор-р

акд рд + Рк (р)+ Кк(р)+ 5 (р) — /к, к =1, 2,..., 5, (17)

где Рк(р) = Re(6kj5рд *) (здесь и в (17) суммировапие по з ведется от 1 до 5), Кк(р) — Кк(Тр), Ск(р) — Ск(Тр), /к = (к = 1,2, 3), /3+к = -Ьк (к = 1,2), акд = С(Ср11д + Ср22д )/2 — АД,

Ькд = С[Ср11Д - Ср22Д + г(Ср21Д + Ск12д )]/2 — Брд (з = 1, 2, 3),

ак,3+д = Акд, 6к,3+д = Бкд (з = 1, 2, к = 1, 2, 3), а3+к,д = Акд,

Ь3+к,д = Бкд(з = 1, 2, 3), а3+к,3+д = , б3+к,3+д = Б^' (к,з = 1, 2);

, и , Б^ определяются то тем же формулам, что и Акд, Бк, с той лишь разницей, что вместо индекса "р" необходимо взять "*" и "и". При помощи матриц

А =(ад )5Х5, Р (р) = (Р1 ,...,Р5)Т, К (р) = (К1,...,К5)Т,

С(р) = (С1 ,...,С5)Т, / = (/1,...,/5)Т

Т

ной форме

Лр + Р(р) + ВД + ад=/, р=(р1,...,№)т. (19)

Пусть в О выполняется условие

det А = 0. (20)

Тогда (19) эквивалентно уравнению

р + Р(р)+ К (р)+ 5(р) = / (21)

гдеР = А-1Р = (Рь.^ДГ, К_= А-1К = (^1,...,^5)т, <5 = А-1С = = (С?1,..., С?5)т, / = А-1/ = (Тъ ..., /5)Т, А-1 = (а«)5х5 - обратная матрица. Справедлива следующая

Лемма 1. Пусть выполнены условия 1) 5). Тогда

1) Рд (р) и Кд (р) - линейные ограниченные и вполне непрерывные операторы в Ьр(О), р > 2 соответственно, причем ||Рд(р)||ьр < Лрцдк||рк||ьр (по к суммирование от 1 до Б), ||Кд (р)||Ьр < кд ЦрЦ^ (з = 1,..., 5), ||р||Ьр = |р1|Ьр + ...+ ||р5||ьр, р > 2, д = ||ад„Ке6„к||с + ||адп1т6пк||с (по п суммирование от 1 до 5);

<5д(р) - нелинейные ограниченные операторы в ЬР(О), р > 2, причем для любых р1, р2 € ЬР(О), р > 2, принадлежащих шару ||р||ьр < г, справедливы оценки ||5д (р1) - 5 (р2)||ьр < г(1 + г)|р1 - р2|ь^ р > 2 (з = 1,..., 5); кд, -известные положительные постоянные, зависящие от физико-геометрических характеристик оболочки и норм операторов Тр, Тр, 5р.

Справедливость леммы устанавливается при помощи формул (9). (18) с учетом соотношений (14), (16), свойств операторов Т/, Т/, 5/, принадлежности искомого обобщенного решения задачи пространству С^(О), а = (р - 2)/р.

Используя лемму 1, для матричных операторов Р(р), К(р), <5(р) получим следующие оценки

|РТ(р)|ьр < Л^ЦрЦ^, ||К(р)|ьр < к|р|Ьр, (22)

Н^р1) - 5(р2)|ьр < £г(1+ г)|р1 - р2|ьр,

где ц = тах + ... + ), к = к1 + ... + к^ # = #1 + ... + #5.

Предположим, что выполнено условие

ц< 1. (23)

Так как [7, с. 270] Лр = ||£||ьр непрерывна по р и Л2 = 1, то найдется такое е > > 0, что выполняется неравепство < 1, если 2 < р < 2 + е. Тогда линейный Ра ( р)

(I + Р)-1, ограниченный в Ьр(О), 2 < р < 2 + е, применив который к уравнению (21), придем к эквивалентному уравнению

р + Ко(р)+ Со(р)= /о, (24)

где Ко(р) = (I+Р)-1К(р), Со(р) = (I+Р)-15(р), /о = (I+Р)-1 /, I - тождественный оператор. Заметим, что Ко(р) - линейный вполне непрерывный, а Со(р) -нелинейный ограниченный операторы в Ьр(О), 2 <р < 2 + е. Покажем, что уравнение

р + Ко(р)=0 (25)

имеет лишь тривиальное решение в Ьр(О), 2 <р < 2 + е. Пусть р € Ьр(О), 2 < < р < 2 + е, есть ненулевое решение уравнения (25). Этому решению р согласно формуле (10) соответствует вектор а = ^2) обобщенных перемеще-

ний, который удовлетворяет граничному условию (2) и является решением системы линейных однородных уравнений

еК-) + I 1ЛМ + К4(а)=0, г =1, 2, 3, (26)

К) + еК) + К3+Да) =0, г =1, 2.

Равенства в (26) умножим соответственно на и>1, и>2, и>3, после чего

О.

равенство

|[[Тек"(а)ек„(а) + Мек"(а)ек„(а)] ¿О = 0,

левая часть которого есть удвоенное выражение потенциальной энергии линейной деформации. Поэтому е](а) = 0 (г,з = 1, 2, 3, к = 0,1), или с учетом (3), (4) в развернутом виде:

^¿а - Олтх - Бц= 0, з = 1, 2, 2 + - 20Л2адл - 2Б12^3 = 0,

- ОЛ,-= 0, 3 = 1, 2, (27)

^1а2 + - 20^2^Л = 0,

V] + =0, з = 1, 2.

В (27) из 4-го равенства вычтем 5-е и разность прибавим к 6-му. умноженному на мнимую единицу г. Полученное таким образом равенство при помощи комплексной функции V = VI + Ш2 запишется в виде ^ + + $2^ = 0 (01, 02 - известные функции, зависящие от О^-) • Последнее соотношение означает, что v(z) - обобщенная аналитическая функция в П, принадлежащая пространству СО,(П), а = (р - 2)/2 и удовлетворяюще граничному условию V|г = 0. В силу теоремы единственности для обобщенных аналитических функций [7, с. 123] имеем: v(z) = 0 в П. Тогда из последних двух равенств в (27) с учетом граничного условия (2) для и>з получим, что и>з = 0 в П. С помощью аналогичных рассуждений из первых трех равенств в (27) будем иметь и>1 = ^2 = 0 в П. Таким образом, а = 0 в П. Если теперь принять во внимание (15), то получим р = 0 в П, то есть уравнение (25) имеет только нулевое решение в Ьр(П), 2 < р < 2 + е. Следовательно, существует обратный оператор (I + Ко)-1, ограниченный в £Р(П), 2 < р < 2 + е, используя который, уравнение (24) запишем в эквивалентном виде:

Р + 0,(р) = /,, (28)

где 0,(р) = (I + Ко)-10о(р), /, = (I + Ко)-1/о.

Применяя оценки в (22), для любых р1, р2 £ Ьр(П), 2 < р < 2 + е, принадлежащих шару ||р||ьр < г, будем иметь:

Ц0*(р1) - О,(р2)||Ьр < 0,|р1 - р2||Ьр,

где 0, = 0||(/ + Ко)-1||ьр||(/ + Р)-1||ьрг(1 + г). Радиус г шара возьмем таким, чтобы имело место неравенство

0, < 1. (29)

Далее, предположим, что внешние силы, действующие на оболочку, удовлетворяют условию

||/,||ьр < (1 - 0,)г. (30)

В этих условиях к уравнению (28) можно применить принцип сжатых отображений [8, с. 146], согласно которому уравнение (28) в шаре ||р||ьр < г имеет единственное решение р £ £Р(П), 2 < р < 2 + е. Зная р, по формуле (10) находим обобщенные перемещения (3 = 1, 2, 3), V]; (к = 1, 2).

Таким образом, доказана

Теорема 1. Пусть выполнены условия 1) 5), (20), (23), (29) и (30). Тогда задача равновесия для пологих оболочек типа Тимошенко в некотором шаре про-(2)

странства < р < 2 + е имеет единственное обобщенное решение

а = v1, v2) £ ^Р2)(П), 2 < р < 2 + е.

В заключение с целыо иллюстрации условий (20). (23) разрешимости задачи равновесия рассмотрим случай изотропной однородной оболочки типа Тимошенко.

Имеем

£пп = д2222 = 2ЬЕ/(1 - р2), ^Р122 = 2^Ер/(1 - р2), ^Р212 = ЬЕ/(1 + р),

^Р313 = ДР323 = к2Ж/(2(1 + р)), ^и111 = Д2222 = 2^3Е/(3(1 - р2)),

Д1122 = 2^3Ер/(3(1 - р2)), Д1212 = Л.3Е/(3(1 + р)), =0 (г,3,к,п = 1, 2, 3)

и остальные Вгр]]п также равны нулю. Здесь Е - модуль Юнга, р - коэффициент к2

По формулам (18) непосредственными вычислениями находим:

ап = а22 = Д(3 - р)^Е/(2(1 - р2)), а33 = Рк2Е^/(2(1 + р)),

а44 = а55 = Д(3 - р)^3Е/(6(1 - р2)),

остальные коэффициенты а^ равны нулю. Тогда условие (20) примет вид 3-р = 0. Далее, из (18) получаем

6ц = ШЕ/(2(1 - р)), &12 = гЬц = &21, Ь22 = -Ьц,

644 = Р^3Е/(6(1 - р)), 645 = ¿644 = 654, 655 = -644,

остальные коэффициенты 6^ = 0.

Вычисляя обратную матрицу А-1 и подставляя ее эле менты а^- в выражения для 9^ (см. лемму 1), получаем

211 = 912 = 921 = 922 = 944 = 945 = 954 = 955 = (1 + р)/(3 - р);

остальные 9г= 0. Тогда 9 = 2(1 + р)/(3 - р) и условие (23) принимает вид 2(1 + р)/(3 - р) < 1, которое выполняется при р < 1/3.

Summary

S.iV. Timergaliev. Он Resolving Boundary Value Problems of Nonlinear Theory for Timoslienko Types Shallow Shells.

The article is devoted to proving the existence of solutions of geometrically nonlinear boundary value problem for Timoslienko type shallow shells which take into account the deformations of cross displacements. Equilibrium equations are reduced to a system of nonlinear singular integral equations 011 flat, region, the resolution of which is established with the help of compressed reflections principle.

Key words: boundary value problem. Timoslienko type shallow shells, equilibrium equations, generalized solution, operator, integral equations, compressed reflections principle.

Литература

1. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука, 1989. 376 с.

2. Воров ич И.И., Лебедев Л.П. Некоторые вопросы механики сплошной среды и математические проблемы теории тонкостенных конструкций // Прикладная механика. 2002. Т. 38, 4. С. 3 20.

3. Карчевский М.М. Нелинейные задачи теории пластин и оболочек и их сеточные аппроксимации // Изв. вузов. Математика. 1985. Л' 10. С. 17 30.

4. Карчеоский М.М. О разрешимости вариациоппых задач нелинейной теории пологих оболочек // Дифферепц. уравнения. 1991. Т. 27, Л' 7. С. 1196 1203.

5. Тимсргалиев G.H. Теоремы существования в нелинейной теории топких упругих оболочек: Дис. ... д-ра физ.-матем. паук. Казань. 2003. 340 с.

6. Гамшов К.З. Основы нелинейной теории топких оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1975. 326 с.

7. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988. 512 с.

8. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956. 392 с.

Поступила в редакцию 22.11.07

Тимергалиев Самат Низаметдинович доктор физико-математических паук, проректор по научной работе Камской государственной ипжеперпо-экопомической академии, г. Набережные Челны. Е-шаП: .чатшЛ timQmail.ru