CC BY
24
Механика деформируемого твердого тела Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1801-1802 1801
УДК 539.3
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПОЛОГИХ УПРУГИХ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК В РАМКАХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ И ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ СДВИГОВОЙ МОДЕЛИ С.П.ТИМОШЕНКО
© 2011 г. С.Н. Тимергалиев
Камская государственная инженерно-экономическая академия, Набережные Челны
Поступила в редакцию 15.06.2011
Изучается разрешимость системы уравнений, описывающей состояние равновесия пологих упругих анизотропных оболочек с жестко заделанными краями в рамках геометрически и физически нелинейной сдвиговой модели С.П. Тимошенко. Доказывается, что система уравнений при заданных граничных условиях имеет единственное обобщенное решение.
Ключевые слова: напряженно-деформированное состояние, уравнения равновесия, оболочка, краевая задача, обобщенные перемещения, обобщенное решение, интегральное представление, оператор, теорема существования.
1. Постановка задачи. Введение понятия обобщенного решения задачи
Рассмотрим уравнения равновесия упругих пологих анизотропных неоднородных оболочек типа Тимошенко:
(DTlX )ах+ DG^T^ + R1 = 0, i = 1,2,
(DT )аЦ+(DT x + DBX^T ^ + R 3 = 0,(1)
(DM 'x )aX - DT13 + DG( M ^ + N' = 0, i = 1,2, где T' - усилия, M' - моменты; RJ (j = 1,3), N1 (i = 1, 2) - внешние силы; у°n, y\n - компоненты деформаций [1, с. 168-170, 269]:
Л = WjaJ - J + w3aJ /2 ( J = 1,2)
0 V
Y12 = w1a2 + W2a1 - 2G12W -2B12W3 + W3a'W3a2 ' Yj = Vja J - G vV' ^2 =V1a2 + v 2a1 - 2Gil VA,,
Y03 = w3aj +vj (J = 1,2), Y03 =Yj -0 (j = 1,3); W' (i = 1, 2) и w3 - тангенциальные и нормальное перемещения точек срединной поверхности S0 оболочки; V' (' = 1, 2) - углы поворота нормальных сечений; Bj - составляющие тензора кривизны S0; Gk - символы Кристоффеля; а1, а2 - декартовы координаты точек плоской ограниченной области Q с границей Г, гомеоморфной S0; a" = = B'Jknykn + a'/ (' <J, k < n; ',J, k, k = 1,3) - определяющие соотношения; ykn =YL +a3Ykn; 2h = = const - толщина оболочки.
Край оболочки предполагается жестко за-
щемленным:
1г= Ук 1г= 0, ] = 1,3,к = 1,2. (2) Краевую задачу (1), (2) будем изучать в обобщенной постановке. Пусть выполнены следующие условия: 1) квадратичная форма В^у^у положительно определена во всем объеме, занятом оболочкой; 2) П — односвязная область с кусочно-гладкой границей Г класса С (0 < в < 1); 3) нелинейные части ст* напряжения для любых двух векторов деформации ук = (ук11, ук12, ук13, 1к,22, Ук^ Ук^, У к а =7 Ъ + а 3Т к 'а, к = 1, ' 2,
< Г
принадлежащих шару удовлетворяют неравенствам
C*(yi) -с*(у2) 1
wP1 (Q)xi1[ -h, h]
<a*(r) X
Yf
■y m
m=0
P > 2,
WJ(1)(Q)
где постоянная с* (r) такова, что lim с* (r) = 0;
r—
4) внешние силы Rk, N e Lp(Q), p > 2, j = 1, 2, k = 1,3; 5) характеристики упругости Б1111, Б1212 и якобиан D имеют по а1, а2 частные производные первого порядка, принадлежащие простран-
jijkn
и Gk, BH - част-
(/ /
ству Са (О), а остальные В ные производные первого порядка, ограниченные в О ; 6) якобиан В = В(а}, а2) > 0 в О.
Определение. Будем говорить, что вектор обобщенных перемещений а = (w1, w2, w3, v1, v2)
1802
С.Н. Тимергалиев
есть обобщенное решение задачи равновесия (1), (2), если a е Жр2-* (П), p > 2, почти всюду удовлетворяет системе (1) и поточечно граничному условию (2) (Wp2 (П) - пространство Соболева).
2. Исследование задачи (1), (2)
В основе метода исследования лежат интегральные представления для обобщенных перемещений, удовлетворяющих граничным условиям (2). Для тангенциальных перемещений и углов поворота, удовлетворяющих условиям (2), интегральные представления строятся с использованием общего решения неоднородного уравнения Коши-Римана вида да ^ /дZ = р ^ ( = 1, 2), в кото -ром Pj — произвольные комплексные функции, принадлежащие пространству Lp(О), p > 2; Ю1 = = Й1(Ю0), Ю2 = цм, w0 = ^^ w2), v0 = (V!, V,);
операторы О/вводятся формулами
1=д ^(/и +4*0+оЯ/ /)],
ш} = 1 - (-1)1-1,
/ = (/1, /2), = ] В1" (а3)тйа3.
-к
Для прогиба интегральное представление берется в виде
wз( 2) = Ц Н (С, г )рз(С)й^йП,
п
12
С = ^ + /'п, 2=а + га ,
где р3 — вещественная функция пространства Lp(О), р > 2; Н(£, 2) — гармоническая функция
Грина для единичного круга О.
Построенные таким образом интегральные представления позволяют свести систему (1) к системе нелинейных интегральных уравнений по области О относительно функций р = (р1, р2, р2) следующего вида
р + О(р) = 0, (3)
где С(р) — нелинейный ограниченный оператор в Lp(О), 2< р < 2 + £ (е > 0 — достаточно малое число), причем для любых р1 е Lp(О), 2 <р < 2 +
< r, имеет место
+ £ , принадлежащих шару | оценка
11^(Р1) - а(р2)|^ < с(1 + г)(2 + г)[г + а* (г) +
+ га*( г)]||р1 - р21| Lp - Ч11Р1 -Р\р, где постоянная д зависит от физико-геометрических характеристик оболочки.
Радиус г шара фиксируем так, чтобы выполнялось неравенство д < 1. Пусть внешние силы, действующие на оболочку, удовлетворяют условию ||^(0)|| < (1 — д)г. Тогда к уравнению (3) можно применить принцип сжатых отображений [2, с. 146], согласно которому уравнение (3) в шаре ||р^ < г имеет единственное решение г е Lp(О), 2 < р < 2 + е.
Список литературы
1. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Казань: Изд-во КГУ, 1975. 326 с.
2. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956. 392 с.
THE STUDY OF THE STRESSED-STRAINED STATE OF THE GENTLY SLOPING ELASTIC ANISOTROPIC SHELLS IN THE FRAME OF S.P. TIMOSHENKO GEOMETRICALLY AND PHYSICALLY NONLINEAR SHIFT MODEL
S.N. Timergaliev
The solvability of the system of equations, which describes the state of the equilibrium of gently sloping elastic anisotropic shells with the rigidly sealed edges in the frame of S.P.Timoshenko geometrically and physically nonlinear shift model, is studied. It is proved that the system of equations with the assigned boundary conditions has a unique generalized solution.
Keywords: stress-strained state, equations of equilibrium, shell, boundary-value problem, the generalized displacements, the generalized solution, integral form, operator, the existence theorem.
