CC BY
21
2016, Т. 158, кн. 3 С. 322-335
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
УДК 519.68
СМЕШАННЫЙ МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
М.М. Карчевский
Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия
Аннотация
Получены необходимые и достаточные условия разрешимости вариационных задач геометрически и физически нелинейной теории пологих оболочек при неклассических краевых условиях, моделирующих жесткий контакт границы оболочки или нормальную нагрузку в касательной плоскости на границе оболочки. Сконструированы смешанные схемы конечных элементов для приближенного решения указанных задач. Приведены условия разрешимости соответствующих дискретных вариационных задач. Доказана сходимость приближенных решений при измельчении триангуляции области.
Ключевые слова: пологая оболочка, вариационная задача, условия разрешимости, смешанный метод конечных элементов, сходимость приближенных решений
Введение
В предлагаемой работе рассматривается вариационная задача о равновесии пологой оболочки в рамках физически и геометрически нелинейной модели среднего изгиба. Изучаются два варианта неклассических главных (кинематически) граничных условий относительно касательных перемещений срединной поверхности оболочки. В первом варианте полагаются равными нулю касательные смещения в нормальном направлении к контуру срединной поверхности, во втором - в касательном направлении к контуру срединной поверхности. Аналогичные постановки граничных условий для систем линейных уравнений (в частности, для систем уравнений трехмерной теории упругости) изучались в работах [1-5].
В первом параграфе получены условия разрешимости рассматриваемых задач. Проанализировано влияние формы контура срединной поверхности оболочки на корректность постановок граничных условий. Применяемая нами методика близка к использованной в работе [6].
Во втором параграфе конструируются схемы смешанного метода конечных элементов для приближенного решения задач, изучаемых в работе. Получены условия разрешимости соответствующих дискретных задач. Используемые нами схемы построены применительно к линейным задачам теории оболочек в работе [7]. Схемы такого типа для нелинейных задач теории оболочек при граничных условиях жесткого закрепления или шарнирного опирания изучались в [8-10].
В заключительном, третьем, параграфе доказывается теорема о сходимости последовательности приближенных решений. При этом используются только те предположения об исходных данных, которые применялись при обосновании разрешимости рассматриваемых задач.
При дополнительных предположениях типа сильной выпуклости энергетического функционала и гладкости решения исходной задачи удается получить оценки
точности приближенного решения и оценки скорости сходимости итерационных методов градиентного типа для численной реализации смешанного метода конечных элементов. Рассмотрению этих вопросов автор предполагает посвятить отдельную статью.
1. Постановка задач. Исследование разрешимости
Задача о средних прогибах пологой оболочки из физически нелинейного материала формулируется как задача минимизации функционала потенциальной энергии [11, 12]
¥ (и) = J р(е, к) йх — J / ■ ийх — J д ■ ийх (1)
п п г
на пространстве перемещений и = (и\,и2,из), удовлетворяющих главным (геометрическим) граничным условиям. Здесь и\, щ - касательные перемещения, из -прогиб, П - ограниченная область Д2, отождествляемая со срединной поверхностью оболочки, отнесенной к декартовой системе координат, Г - граница области П, ], д - заданные вектор-функции, характеризующие плотности внешних нагрузок. Тангенциальная и изгибная деформации оболочки определяются следу-
2=1, к = к(и) = {к—(
1 Виз Виз / ^ 1 (Вщ 1 Зия-
ющими соотношениями: е = е(и) = {е— (и)}—=1, к = к(и) = {к— (и)}—=1
1 Виз Виз 1 ( Вщ ди- \
е—(и) =е— (и) +к—из + 2 дхт, дх—, е— = 2 + вх;), ^ = 1,2 (2)
к— (и) = — д^Щ, " = 1'2 (3)
к—, г,] = 1,2, - начальные кривизны оболочки. Вещественная функция р(£), £ € Д6, - плотность потенциальной энергии деформации оболочки. В простейшем случае, когда материал оболочки подчиняется закону Гука, р - сумма положительно определенных квадратичных форм от е, к соответственно. Вообще, предполагается, что функция р непрерывна, выпукла и существуют положительные постоянные со, С1, р € (1, те) такие, что
со |£|р < р(£) < С1 |£|р V£ € Д6. (4)
Отсюда, в частности, следует, что р(0) = 0.
Пусть V = Ш1 (П) х Ш1 (П) х Ш2 (П), где Ш1 (П), р> 1, - пространство Соболева. Через Vт обозначим подпространство пространства V, полученное замыканием множества функций СТО(П) х СТО(П) х С0°(П), удовлетворяющих граничным условиям и(х) ■ и(х) = 0, х € Г. Здесь V - единичная нормаль к Г, и = (и1, и2) -вектор касательных перемещений. Пусть, далее, Vv - подпространство функций из V, полученное замыканием множества функций СТО(П) х СТО(П) х С™(П), удовлетворяющих граничным условиям и(х) ■ т(х) =0, х € Г, где т - вектор касательной к Г.
Будем полагать далее, что / € [Ьч(П)|з, д = (дьд2) € [Ьч(Г)]2, 1/р + 1/q =1, к— € Ьр! (П), р1 > р.
Задачу минимизации функционала ¥ на пространстве Vт естественно назвать задачей о жестком контакте границы оболочки (задача I).
Задачу минимизации функционала ¥ на пространстве Vv будем называть задачей о нормальной нагрузке на границе оболочки (задача II).
Будем предполагать, что Г € С1. Через ^ обозначим линейное пространство вектор-функций и = (и1,и2), определенных на П и таких, что и1(х) = а,1 + 5х2,
U2(x) = a2 — Sx,, где a,, a2, S - постоянные. Хорошо известно (см., например, [13]), что R - подпространство пространства W, (П) х W, (П), определяемое условиями eij(U) = 0, x € П, i,j = 1, 2. Пусть VTt2, Vv,2 - линейные пространства двумерных вектор-функций, определенных на П и таких, что их компоненты совпадают с первыми двумя компонентами пространств VT, Vv соответственно.
Лемма 1. Если область П - круг, то R П VT,2 есть множество всех вектор-функций U = (u,,ис) вида u,(x) = Sx2 U2(x) = —Sx,, x € П, S = const. В противном случае R П VT,2 = {0} .
Доказательство. Выполняя при необходимости сдвиг начала координат, мы можем считать, что R = {u(x) = (Sx2, —Sx,), x € П, S = const}. Предположим, что кривая Г задана неявным уравнением у>(x,, x2) = 0. Если U € R2 П VT,2 , U = 0, то
Sx2 ^ — Sx, ^ =0, S = 0, x € Г. (5)
dx1 0x2
Решая уравнение (5), получим, что ф = p(x2 + x2), где Фр - произвольная дифференцируемая функция, то есть Г - окружность с центром в начале координат. □
Лемма 2. Для любой области П с границей класса C1 имеем R П Vv,2 = {0} .
Доказательство. Рассуждая, как и при доказательстве предыдущей леммы, получим, что если U € R2 П Vu,2 , U = 0, то
Sxi+ Sx,2^~ =0, S = 0, x € Г. (6)
ду ду
---+ 0x2 т,—
дх1 дх2
Следовательно, у = у(х1 /х2), где у - произвольная дифференцируемая функция, то есть Г - прямая, проходящая через начало координат, что нелепо. □
Пусть
К|2 = {и £ Ут,2 : У и ■ гйх = 0 Vг € П2р| Ут,2}. а
Понятно, что УГ^2 отличается от Ут,2 лишь, когда область & - круг.
Замечание 1. Если допустить, что Г - липшицева кусочно-дифференцируемая кривая, то лемма 1 сохраняется с заменой & на область, ограниченную дугами окружностей с центром в начале координат. Лемма 2 сохраняется без изменений.
Совершенно аналогично теореме 4 из [13] доказывается, что существуют положительные постоянные С1, С2 такие, что
ы\1,р < С1||е(и)||р Vй £ Ут,2, (7)
Ы\1,Р < С2\\е(и)\\р Vй £ У„,2. (8)
2
Здесь \1йИ 1,Р = \|и1 \^¿са) + \и2\ш}(а), \\е(и)\\р = \\еч(и)||Ыа) ■
»3 = 1
Лемма 3. Для разрешимости задачи I в случае, когда & - круг (с центром в начале координат), необходимо выполнение условия1)
J (/1x2 - /2x1) йх + J(§1x2 - 92x1) йх = 0. (9)
Это условие означает, что главный момент касательных усилий, распределенных по П и Г, относительно начала координат равен нулю.
Доказательство. Пусть вопреки условию (9) сумма интегралов в левой части (9) положительна и пусть и$ = 6(х2, —х\, 0). Тогда и$ € Ут и
¥(и) = J(/1x2 - /2x1) ¿х + ! (#1Х2 - #2x1) ¿х^ ^ -ж п г
при 6 ^ ж. □
В соответствии с леммой 3 под решением задачи I будем понимать решение задачи минимизации функционала ¥ на пространстве Ут^2. При этом для нагрузки /, д можно считать выполненным условие (9).
Используя неравенства (7), (8) и рассуждая аналогично доказательству теоремы 2 из [6], можно установить, что справедлива
Теорема 1. Пусть для функции р : К6 ^ К выполнены сформулированные выше условия (см. (4)). Тогда каждая из .задач I, II имеет решение при выполнении одного из следующих условий: 1) р> 2;
2) 1 <р< 2, /1,/2, д1, д2 =0;
3) р = 2, /1, /2, д1, д2 достаточно .малы в смысле норм Ь2(П), £2(Г) соответственно.
Отметим, что при доказательстве теоремы 1 используется
Лемма 4 [6, лемма 2]. При выполнении сформулированных выше условий на функцию р функционал О : Ьр(П) ^ К, определяемый равенством
О(е, к) = J р(е, к) ¿х, п
есть выпуклый непрерывный и слабо полунепрерывный снизу функционал.
2. Построение смешанной схемы метода конечных элементов. Исследование разрешимости
Мы ограничимся здесь и в последующих параграфах рассмотрением задачи I. Задача II изучается аналогично.
Всюду в дальнейшем будем полагать, что область П - многоугольник. При этом будем предполагать выполненными условия регулярности задачи Дирихле для
уравнения Пуассона. Это означает, что для любой функции и € Шр (П) р| Шр(П)
\\и\\ шр (п) < с||Ди||Мп), (10)
где постоянная с зависит только от области П (см. [14, с. 225], [15, с. 208-221]).
Построим конформную регулярную триангуляцию Тн области П (см. [16]). Через Н обозначен максимальный из диаметров треугольников триангуляции. При измельчении триангуляции будем предполагать, что более подробная триангуляция получается путем разбиения треугольников более грубой триангуляции. Через
о о
Н (Н1) будем обозначать подпространство функций из Шр (П) (Шр(П)), являющихся полиномами степени не выше I > 1 по совокупности переменных на каждом из треугольников триангуляции Тн. Через Н[ т обозначим подпространство пространства Ут,2 двумерных вектор-функций таких, что каждая их компонента принадлежит Н1. Заметим, что поскольку область П - многоугольник, а сужение
где
функции из Hl на сторону конечного элемента есть полином степени l от соответствующей дуговой координаты, то конечномерное подпространство HliT очевидным образом описывается системой линейных уравнений относительно узловых параметров узлов конечных элементов, принадлежащих Г.
Под приближенным решением задачи I будем понимать функцию
о
y = (У1,У2,У3) е Vh = Hi-itх Hl, (11)
являющуюся решением задачи минимизации
min Fh(y), (12)
v^vh
Fh(y) = J <f(£(y), Kh(y3)) dx - J f ■ ydx - J g ■ ydx, (13)
п п г
а функции Kh(уз) = {к2(y3)}2j=i e Hi определяется при помощи соотношений
iк<y»dx=2яцдх-+дхзё)dx Vпе Hi, (14)
пп
являющихся системами линейных уравнений относительно узловых параметров функций Khj(уз) , i,j = 1, 2.
Исследование разрешимости задачи (12) выполняется аналогично исследованию разрешимости исходной задачи (задачи I) и опирается на обобщенную теорему Вейерштрасса (см., например, [17]). Возникающие при этом отличия и дополнительные трудности вызваны тем, что задача (12) не является внутренней (конформной) аппроксимацией задачи I.
Нам потребуются вспомогательные результаты.
Лемма 5 [16, с. 143, теорема 3.2.6]. Существует не зависящая от h постоянная c1) такая, что для любой функции y е Hi
mm«ivy(x)i < h^^J \vy(x)\pdX 'p
п
Следующий результат обобщает лемму 2 из работы [8].
о
Лемма 6. Для любой функции y eHi
2
\\y\\wP(п) < W(y)\\Lp(п). (15)
Доказательство. В соответствии с (14) имеем
Jvy ■V-qdx = j(К\(у) + K2h2(y))^dx Vц eHi . пп
Таким образом, можно считать, что y есть решение по методу конечных элементов однородной задачи Дирихле для уравнения Пуассона с правой частью
1)В дальнейшем постоянные, не зависящие от Н также будем обозначать буквой с, возможно, с индексами.
-(к21(у) + кН2(у)). Положим, что функция и - решение этой задачи Дирихле. Тогда (см. [18])
\\у - и\крчп) < сН\\кН1(у) + кн2(у)\ьр(п). (16)
Далее, для любого элемента К триангуляции Тн справедлива оценка (см. [16, с. 128])
' \1/2Р /г \1/Р
/ \и - И;и|2р ¿х) < ск(р-1/р){ / \ихх\р ¿х) , К к
о 2 где И;и €Нг - интерполянт функции и, \ихх\р = ^ |д2и/дх^дх^ | , поэтому
1,3 = 1
^ , [ \У(и - Пгu)\2p¿^/ < сНр-1\и\Шр2(п) < сНр-1\кН1(у) + к2н2(у)\\Мп) кстк\ К J
(мы использовали здесь также (10)). Отсюда получаем неравенство
Ци - Пи\\шгр < сН(р-1)/р\\к21 (у) + к22(у)\\Мп). (17)
Применяя теперь лемму 5 и оценки (16), (17), будем иметь, что
\\у - Пги\\Ш21р(П) < \у(у - П'и)\\р/ \^(у - Пги)\р ¿х <
р(п)
п
< Н2 \\у - Пги\ЩРр1(п) < сН2р-2\к11(у) + *22(у)\\ьЛп),
следовательно
\\У - Пги\Ш2р(п) < сН(р-1)р\\к\х(у) + кН22(у)\\Ьр(п). (18)
Таким образом,
\\у\\ш2р(п) < \\у - Пги\\ш2р(п) + \\и - П1и\\ш2р(п) + \\и\\ш2р(п) <
2
< с(Н(р-1)/р + 1)К1(у) + К22(у)\\ьр(п) < с ^ Ыэ(у)\\ьр(п).
1,3 = 1
□
Очевидным следствием (15) является оценка
2
„Л /
< ^ Н(у)\\ Ьр (п) V у €Нг ■ (19)
1,3=1
Лемма 7. Пусть
*02(у) = У р(£(у), к2(уз)) ¿х. (20)
п
Тогда
Ы\ш(п) < с(¥он + ¥о2н) Vу € Ун, г = 1, 2. (21)
Доказательство. Имеем
дуг ( ) 1 (дуЛ ,
дь = £гг(У) " 2 Ш) -
поэтому
По лемме 6
Кроме того,
дуг
дх;
¿х < с^ ( |е«(у)^ + п
дуз
дхг
2р
+ 1к;гУз1Р ¡¿Х.
дуз
дхг
2р 2 ¿Х < с^ Н(у)\\1Рр(п).
1к;;уз1Р ¿Х <\\Ы\РЬрг\\уз ГЬр< с\\уз\\РЬр
при 1/г + 1/г' = 1, следовательно,
2
У кгуз 1Р ¿Х < с£ \\whj(у)\\£р(п).
1,3 = 1
Таким образом,
/|дх;[¿х < с(Шу)\\1р(п) + Е Н(у)\\%(п) + Е Ныг
\РЬр(п) ^ ^ \\шг^'\\Ьр(п) "Г" \\шг^'\\Ьр(п)
г,3=1 г,3=1
г = 1, 2. Аналогично устанавливается, что
ду1 + ду2 дх2 дх1
¿х <
Вследствие (7) из (22), (23) вытекает (21).
(22)
2 2 < с(\Ыу)\\1р(п) + Е Н(у)\\%(п) + Е Н(у)\!р(п)) .
¿,3=1 ¿,3=1
(23)
□
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда .задача (12) имеет хотя бы одно решение.
Доказательство. Как уже отмечалось, мы будем опираться на обобщенную теорему Вейерштрасса. Это означает, что нам будет достаточно установить коэр-цитивность и непрерывность функционала функционала ^. Введем на пространстве У^ норму, определяемую равенством
2 Г 2
\\у\\Р = у Е К-(у)1Р ¿х + у Т,1уу;1Р ¿х.
¿,3=1
¿=1
V
V
Вследствие леммы 7 получаем, что Еоь(у) ^ +ж при \\у\\ ^ ж. Вновь используя лемму 7, а также лемму 6, будем иметь
Ен(у) = Еоь(у) ^У / ■ уЛх ^У д ■ уЛх > Еон(у)-
- с(Ш\ьч (П) + ||д1 \\ьч (Г) + \Ш\ьч (п) + \Ы\ьч (Г))(Еоь(у) + ¥о\(у))1/р-
-\\/э^ (П)(Еоь(у))1/р. (24)
Будем различать следующие случаи.
1) Пусть р> 2. Тогда из (24) следует, что Еь(у) ^ ж при Еоь(у) ^ ж.
2) Пусть 1 < р < 2, /1, /2, д1, д2 = 0. Тогда Ен(у) ^ ж при Еоь(у) ^ ж.
3) Пусть р = 2 , \\/1\ь2 (П^ \\gl\L2(Г), \\/2\\L2(П), \\д2\ь2(Г) достаточно малы. Тогда Ен(у) ^ ж при Еоь(у) ^ ж. Таким образом, при выполнении условий теоремы функционал Еь коэрцитивен. Непрерывность функционала Еь непосредственно следует из непрерывности функции р. □
Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда для любого решения у задачи (12) выполнены следующие априорные оценки: 1) если р > 2, то
1/(р-2) (П) I +
< с1 ( \\gl\\Lq (Г) + \\g2\\Lq (Г) + \\/i\\Lq (П)) ^ ¿=1 '
+ с2 ( \\gl\\Lq (Г) + \\g2\\Lq (Г) + 53
V ¿=1
\Lq (П)
2/(р-2)
2) если 1 < р < 2, /1, /2, д1, д2 =0 то
^/з^П^ + С2
2/(р-1). Lq(П) '
3) если р = 2, \\/г\^2(П), \ЫЬ2(Г), Ъ = 1, 2 достаточно малы, то
\\у\\ < с(1 + 12),
(25)
(26) (27)
где
2 2 2(П) + \^2(П) + ^¿^(Г^Д1 - с2 53(Ш\ъ(П) + ^¿^(Ы) .
Доказательство. Если у - решение задачи (12), то вследствие (24) 0 = Ел(0) > Ек(у) = Еон(у) - I / ■ у Лх д ■ у Лх > Еон(у)-
ПГ
- с (\\/1^(П) + \gl\Lq(Г) + тк(П) + \g2\Lq(Г))(Еоь(у) + Ео2ь(у))1/Р-
-\ЫК (П) (Еоь(у))1/р.
Элементарный анализ последнего неравенства при различных значениях р приводит к следующим оценкам:
Еон(у) < сА \\gl\Lq (Г) + \\д2\^(Г) + 53^^(П)
1/(р-2)
L
если р > 2;
Foh(y) < ,
если 1 <р < 2, ¡1, ¡2, 91, д2 = 0;
Foh(y) < С11
если р = 2, а \\/г\\ь2(п), \\д;\\ь2(г), г = 1, 2, достаточно малы. Применяя теперь лемму 7, получим (25)—(27). □
3. Исследование сходимости приближенных решений
Приведем сначала ряд вспомогательных результатов.
Лемма 8 [16, с. 143]. Пусть р> 1, I > 1. Тогда
! \Чп1Р ¿х < сН-РУ 1п1Р ¿х V ц € Щ. (28)
пп
Лемма 9. Пусть у € Щ1,
I (у) = вир
! уп ¿х
п
\ьч(п)
Тогда
С11 (у) < \\у\\ьр(п) < С21 (у) Vу € Щ1.
Доказательство. Достаточно заметить, что для у, п € Щ1
! пу ¿х = £ ^к мук • Пк,
ксъ
где - якобиан аффинного преобразования элемента К на базисный, М - матрица масс базисного элемента, у к, Пк - узловые параметры функций у, п, отвечающие элементу К, норма \\п\\ь (п) на пространстве Щ1 эквивалентна равномерно по Н норме
Мч
{ \1/я
\'ь„(п) = £ ^(Мпк • пк)я/2 , к
к сГн
и воспользоваться затем неравенством Гельдера. □
Лемма 10. Пусть и = (иьи2) € К,2П (Wlp (П) х Wlp (П)), 1 > 2, П^и = = (П—и1, П1_и2), - интерполянт функции и . Тогда П—1и € Щ1-1}Т и
\\У(иг - П1 — и; ) \\ Ьр(п) < сН'-1 \\иг\\ш1 (п^ г = 1, 2.
Доказательство. Первая часть утверждения леммы вытекает из того, что на каждой стороне каждого элемента триангуляции ^ - полином степени I — 1, совпадающий в I различных точках с функцией и. Вторая часть есть хорошо известная оценка погрешности интерполяции (см., например, [19, с. 150]). □
Лемма 11. Пусть и € Wl+'2 (П) р| Wp(П), I > 2. Тогда
\\Khj(Пи) + д2и/дх;дхз\\Ьр(п) < сН1-1, г,з = 1, 2. (29)
Доказательство. Заметим прежде всего, что
||4 (П{и) + д2и/дхндхз ||МП) < ЦК2 (П;М) + П; (д2и/дхндхз )||МП) +
+ ||д2п/дхдхз — П,Хд2и/дхгдхз)||Ма). (30) Пусть, далее, ц - произвольная функция из Н1. Запишем очевидное равенство
г]
а
(х?(П;и) +П;(д и/дхгдх]))-цйх =
= 1 (х? (П;и) + д2 и/дхгдх] )ndx — J (д 2и/дхгдх] — П;(д2и/дхгдх] ))цйх. (31) аа
Используя определение (14) и интегрируя по частям, получим, что
[( ? (П ) + Я2 /Я Я ) л 1 [ (д(П;и — и) дП + д(Пи — и) дп\ А (32)
¡(кг](П;и) + ди/дхдх]= 2^ дхг Щ + дх] дхУх. (32) аа
Применяя теперь неравенство Гельдера, а затем лемму 8, будем иметь, что (х? (П;и) + д2и/дхгдх] )ndx
а
Кроме того,
< сН-1ЦУ(щ — и)ЦЬр(а) ЦпЦь,(а). (33)
(д2 и/дхгдх] — П;(д 2и,/дхгдх] ))цdx
<
< Цд2и/дхгдх] — П;(д2и/дхгдх])||Ма) !п!ьч(а). (34) Для завершения доказательства учтем, что в силу оценок из [19, с. 150]
- и)^Ьр(а) < ^^^(а),
Цд2и/дхгдх] — П,(д2и/дхгдх])||ьр(а) < с^ЦиЦ^2(а),
и воспользуемся леммой 9 для оценки первого слагаемого в правой части неравенства (30). □
Лемма 12. Пусть последовательность функций у такова, что у ^ и
'№), к?] (
(то есть слабо) в пространстве , х? (у) ^ д2и/дхгдх] , г,] = 1, 2, в Ьр(&)
при Н — 0 . Тогда у — и в Ш2Р(&) ( сильно).
Доказательство. Как и при доказательстве леммы 6, будем считать, что у есть решение по методу конечных элементов однородной задачи Дирихле для уравнения Пуассона с правой частью (х^у) + х2?2(у)). Положим, что функция решение этой же задачи Дирихле. Используя (17), (18), получаем, что
и
Цу — и2ЦЩ1р < сН(р-1)/Цх21 (у) + х22(у)Цьр(п) — 0 (35)
при Н — 0, так как Цх21(у) + х?(у)Цьр(а) равномерно ограничена, поскольку последовательности х?(у), г,] = 1, 2, слабо сходятся. В силу регулярности задачи
Дирихле < c^Kth1(y) + К22(у)\\ьр{п] < С1 • Отсюда, используя компактность
вложения Wp2(l) в W^d и (35), нетрудно вывести, что последовательность uh сходится сильно к u при h ^ 0 в пространстве W2ip(i) • Таким образом,
\\у — u\\wp < \\у — uhWw2ip + \u - uh\\wip ^ 0 при h ^ 0 • □
Теорема 4. Существует последовательность у = (у2, У2,Уз) решений за° 1 2 дачи (12) такая, что уi ^ ui, i = 1,2, 3, в Wp(l), кц (уз) ^ d2u/dxidxj,
£ij(у) ^ £ц (u), i,j = 1,2 в Lp(i) при h ^ 0, где u = (ui,u2,u3) - решение задачи I.
Доказательство. Из априорных оценок решения задачи (12) (см. теорему 3, а также (19)) вытекает, что существует последовательность у = (у2, у2, уз) решений задачи (12) такая, что
°
Vi ^щ, i = 1,2,3, в Wp(i), (36)
Kij(уз) ^ Kij,£ij(у) ^ £ij, i,j = 1, 2, в Lp(i) (37)
при h ^ 0• Дальнейшее сводится к тому, чтобы доказать, что u = (ui,u2,u3) -решение задачи I, а кц = -d2u/dxidxj, Eij = Eij (u), i,j = 1,2 • Прежде всего, точно так же, как при доказательстве теоремы 4 из [8], устанавливается,
что u3 € Wp(l) и Kij = —д2u/dxidxj • Далее, пространство VT рефлексивно, следовательно, u € VT, то есть u • v(x) = 0, x € Г • Используя предельные соотношения (36) непосредственно получаем, что ej (у) + kj^jуз ^ eij (u) + kju3 в Lp(i), i,j = 1,2 при h ^ 0 • На основании леммы 12 заключаем, что дуз/dxi ^ du3/dxi (сильно) в L2p(l) при h ^ 0, i = 1,2 • Отсюда следует, что eij = Eij (u), i,j = 1, 2 • Осталось установить, что F(u) = inf F(v) • Вследствие слабой полунепрерывности снизу функционала G (см^ лемму 4) имеем, что F(u) < lim Fh(у) • Положим d = inf F(v) Для любого e > 0 можно указать
функцию v = (vi,v2,v3) € VT p| (Сж (i))3 такую, что F(v) < d + e • По функции v построим функцию у € Vh (см^ (11)), полагая уi = ni-ivi при i = 1,2, уз = niv3 • Ясно, что Fh(у) < Fh(z) • Используя леммы 10-12, получим, что Kij (гз) ^ —d2u/dxidxj, Eij(z) ^ Eij (u), i,j = 1, 2, в Lp(i), откуда вследствие непрерывности функционала G вытекает, что Fh(z) ^ F(v) при h ^ 0 • Поэтому
d < F(u) < Иш Fн(у) < lim Fh(z) = F(v) < d + e. В силу произвольности e отсюда получаем, что F(u) = d • □
Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 15-01-05686, 15-41-02315, 15-41-02569).
Литература
1. Эйдус Д.М. О смешанной задаче теории упругости // Докл. АН СССР. - 1951. -Т. 76, № 2. - С. 181-184.
2. Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала. - М.: Гостехиздат, 1952. - 216 с.
3. Dubinskii Yu.A. Some coercive problems for the system of Poisson equations // Russ. J. Math. Phys. - 2013. V. 20, No 4. - P. 402-412.
4. Дубинский Ю.А. О некоторых граничных задачах для систем уравнений Пуассона в трехмерной области // Дифференц. уравнения. - 2013. - Т. 49, № 5. - С. 610-613.
5. Карчевский М.М., Шагидуллин Р.Р. О краевых задачах для эллиптических систем уравнений второго порядка дивергентного вида // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2015. - Т. 157, кн. 2. - С. 93-103.
6. Карчевский М.М. О разрешимости вариационных задач нелинейной теории пологих оболочек // Дифференц. уравнения. - 1991. - Т. 27, № 7. - С. 1996-1203.
7. Астраханцев Г.П. О смешанном методе конечных элементов в задачах теории оболочек // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 1989. - Т. 29, № 10. - С. 1492-1504.
8. Карчевский М.М. Смешанный метод конечных элементов для нелинейных задач теории пластин // Изв. вузов. Матем. - 1992. - № 7. - С. 18-23.
9. Karchevsky M.M., Zabotina L.Sh. On some class of mixed finite element schemes for nonlinear shell theory problems // Матем. заметки ЯГУ. - 1995. - Т. 2, Вып. 2. -С. 121-139.
10. Заботина Л.Ш., Карчевский М.М. О смешанных схемах конечных элементов для нелинейных задач теории оболочек // Изв. вузов. Матем. - 1996. - № 1. - С. 45-52.
11. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. - М.: Наука, 1989. - 376 с.
12. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. - М.: Наука, 1983. - 447 с.
13. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для системы уравнений теории упругости в неограниченных областях. Неравенства Корна // Усп. матем. наук. -1988. - Т. 43, Вып. 5. - С. 55-98.
14. ГильбаргД., Трудингер H. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. - М.: Наука, 1989. - 464 с.
15. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. - М.: Наука, 1973. - 576 с.
16. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. - М.: Мир, 1980. -512 с.
17. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. - М.: Наука, 1972. - 415 с.
18. Rannacher R., Scott R. Some optimal error estimates for piecewise linear finite element approximations // Math. Comput. - 1982. - V. 38, No 158. - P. 437-445.
19. Даутов Р.З., Карчевский М.М. Введение в теорию метода конечных элементов. -Казань: Казан. ун-т, 2011. - 237 с.
Поступила в редакцию 14.06.16
Карчевский Михаил Миронович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры вычислительной математики
Казанский (Приволжский) федеральный университет
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: [email protected]
ISSN 1815-6088 (Print)
ISSN 2500-2198 (Online)
UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI
(Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)
2016, vol. 158, no. 3, pp. 322-335
Mixed Finite Element Method for Nonclassical Boundary Value Problems
of Shallow Shell Theory
M.M. Karchevsky
Kazan Federal University, Kazan, 420008 Russia E-mail: [email protected]
Received June 14, 2016 Abstract
The necessary and sufficient conditions for the solvability of the variational problems of the geometrically and physically nonlinear shallow shell theory by nonclassical boundary conditions modeling the rigid contact of the shell boundary or the normal load in the tangent plane on the shell boundary are obtained. The mixed finite element schemes for approximate solving of these problems are constructed. The solvability conditions for the corresponding discrete problems are deduced. The convergence of the approximate solutions by refinement of the domain triangulation is proved.
Keywords: shallow shell, variational problem, solvability conditions, mixed finite element method, convergence of approximate solutions
Acknowledgments. This study was supported by the Russian Foundation for Basic Research (projects nos. 15-01-05686, 15-41-02315, 15-41-02569).
References
1. Eidus D.M. On the mixed problem of the theory of elasticity. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1951, vol. 76, no. 2, pp. 181-184. (In Russian)
2. Mikhlin S.G. The Minimum Problem for a Quadratic Functional. Moscow, Gostekhizdat, 1952. 216 p. (In Russian)
3. Dubinskii Yu.A. Some coercive problems for the system of Poisson equations. Russ. J. Math. Phys., 2013, vol. 20, no. 4, pp. 402-412.
4. Dubinskii Yu.A. On some boundary value problems for a system of Poisson equations in a three-dimensional domain. Differ. Equations, 2013, vol. 49, no. 5, pp. 583-587.
5. Karchevsky M.M., Shagidullin R.R. On boundary value problems for elliptic systems of second-order equations in divergence form. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2015, vol. 157, no. 2, pp. 93-103. (In Russian)
6. Karchevsky M.M. Solvability of variational problems of the nonlinear theory of shallow shells. Differ. Uravn., 1991, vol. 27, no. 7, pp. 1996-1203. (In Russian)
7. Astrakhantsev G.N. On a mixed finite-element method in problems of shell theory. USSR Comput. Math. Math. Phys., 1989, vol. 29, no. 5, pp. 167-176.
8. Karchevsky M.M. A mixed finite element method for nonlinear problems in the theory of plates. Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved., 1992, no. 7, pp. 18-23. (In Russian)
9. Karchevsky M.M., Zabotina L.Sh. On some class of mixed finite element schemes for nonlinear shell theory problems. Mat. Zametki YaGU, 1995, vol. 2, no. 2, pp. 121-139.
10. Zabotina L.Sh., Karchevsky M.M. On mixed finite element schemes for nonlinear problems in the theory of shells. Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved., Mat., 1996, no. 1, pp. 45—52. (In Russian)
11. Vorovich I.I. Mathematical Problems of Nonlinear Theory of Shallow Shells. Moscow, Nauka, 1989. 376 p. (In Russian)
12. Berdichevskii V.L. Variational Principles in Continuum Mechanics. Moscow, Nauka, 1983. 447 p. (In Russian)
13. Kondrat'ev V.A., Oleinik O.A., Boundary value problems for partial differential equations in non-smooth domains. Korn inequalities. Usp. Mat. Nauk, 1988, vol. 43, no. 5, pp. 55—98. (In Russian)
14. Gilbarg D., Trudinger N. Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. Moscow, Nauka, 1989, 464 p. (In Russian)
15. Ladyzhenskaya O.A., Ural'tseva N.N. Linear and Quasilinear Elliptic Equation. Moscow, Nauka, 1973. 576 p. (In Russian)
16. Ciarlet P. Finite Element Method for Elliptic Problems. Moscow, Mir, 1980. 512 p. (In Russian)
17. Vainberg M.M. Variational Method and Method of Monotone Operators in the Theory of Nonlinear Equations. Moscow, Nauka, 1972. 415 p. (In Russian)
18. Rannacher R., Scott R. Some optimal error estimates for piecewise linear finite element approximations. Math. Comput., 1982, vol. 38, no. 158, pp. 437-445.
19. Dautov R.Z., Karchevsky M.M. Introduction to the Theory of Finite Element Method. Kazan, Kazan. Univ., 2011. 237 p. (In Russian)
/ Для цитирования: Карчевский М.М. Смешанный метод конечных элементов для ( неклассических граничных задач теории пологих оболочек // Учен. зап. Казан. ун-та. \ Сер. Физ.-матем. науки. - 2016. - Т. 158, кн. 3. - С. 322-335.
For citation: Karchevsky M.M. Mixed finite element method for nonclassical boundary value problems of shallow shell theory. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2016, vol. 158, no. 3, pp. 322-335. (In Russian)
