CC BY
6
Азимут научных исследований: педагогика и психология.
2021. Т.10 №4(37)p-ISSN: 2309-1754; e-ISSN: 2712-8474
МИРОНОВ Алексей Николаевич и другие К ВОПРОСУ О ПРЕПОДАВАНИИ ТЕОРИИ РЯДОВ...
V7TK" 01 (л Í7S ©2021 Контент доступен по лицензии СС BY-NC 4.0
•УД1^ J /O.UIO |(сс) кУ<$) ItEisis an open access article under the CCBY-NC 4.0 license
DOI' 10 26140/anip-2021-1004-0040 iMth^m(https://creativecommons.org/iicenses/by-nc/4.o/)
К ВОПРОСУ О ПРЕПОДАВАНИИ ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ
© Автор(ы) 2021 SPIN: 7323-7945 AuthorID: 10715 ResearcherID: 0-4769-2016 ORCID: 0000-0002-8818-286X ScopusID: 35109674600
МИРОНОВ Алексей Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры
«Математика и прикладная информатика»
Елабужский институт Казанского (Приволжского) федерального университета (423600, Россия, Елабуга, улица Казанская, 89, e-mail: miro73@mail.ru)
SPIN: 9216-1763 AuthorID: 384752 ResearcherID: 0-5527-2016 ORCID: 0000-0002-3299-2601 ScopusID: 56347938200
МИРОНОВА Любовь Борисовна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Математика и прикладная информатика»
Елабужский институт Казанского (Приволжского) федерального университета (423600, Россия, Елабуга, улица Казанская, 89, e-mail: lbmironova@yandex.ru) ORCID: 0000-0002-8409-2111
ЛАТИПОВА Айсылу Фирдависовна, студент
Елабужский институт Казанского (Приволжского) федерального университета (423600, Россия, Елабуга, улица Казанская, 89, e-mail: laisu1998@mail.ru) Аннотация. В статье рассматриваются некоторые аспекты преподавания теории рядов Фурье для бакалавров направления 44.03.05 — педагогическое образование (с двумя профилями подготовки: математика и физика). Описаны структура и возможности применения электронного модуля (который может рассматриваться и как электронное учебное пособие) «Элементы теории рядов Фурье» в рамках цифрового образовательного ресурса «Действительный анализ» для преподавания математических дисциплин на отделении математики и естественных наук Елабужского института Казанского (Приволжского) федерального университета, а также способы работы с ним студентов. Современные подходы к организации учебной работы студентов подразумевают, что студенту необходимо самостоятельно изучить большой объема материала. В связи с этим следует обратить внимание на важность внедрения цифровых образовательных ресурсов в образовательный процесс, которые могут применяться как инструмент организации самостоятельной работы студента. Электронный модуль включает в себя основной теоретический материал по изучаемой теме (в форме лекций), образцы решения задач. Для вычислений в рамках данного модуля используется пакет Maple, который помогает анализировать, исследовать, визуализировать и решать поставленные математические задачи. Студенты могут сами выбирать в какой форме (электронной или печатной) использовать учебное пособие. Электронное учебное пособие соответствует государственному образовательному стандарту и адаптировано к конкретной учебной программе.
Ключевые слова: ряды Фурье, ортогональные системы, математический анализ, символьные вычисления, электронный образовательный ресурс, учебное пособие, самостоятельная работа, цифровое образование, дистанционное образование, Maple.
ON THE TUITION THE THEORY OF FOURIER SERIES FOR STUDENTS OF PEDAGOGICAL SPECIALTIES
© The Author(s) 2021
MIRONOV Aleksey Nikolaevich, doctor of physical and mathematical sciences, professor of the Department "Mathematics and Applied Informatics" Kazan (Volga Region) Federal University, Yelabuga Institute (423600, Russia, Yelabuga, streetKazanskaya 89, e-mail: miro73@mail.ru) MIRONOVA Lyubov Borisovna, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of the
Department "Mathematics and Applied Informatics" Kazan (Volga Region) Federal University, Yelabuga Institute (423600, Russia, Yelabuga, street Kazanskaya 89, e-mail: lbmironova@yandex.ru) LATIPOVA Ajsylu Firdavisovna, student Kazan (Volga Region) Federal University branch in Syzran (423600, Russia, Yelabuga, street Kazanskaya 89, e-mail: laisu1998@mail.ru) Abstract. The manuscript deals with some aspects of teaching the theory of Fourier series for bachelors of the direction 44.03.05 — pedagogical education (with two training profiles: mathematics and physics). The article describes the structure and possibilities of using the electronic module (which can also be considered as an electronic textbook) "Elements of the theory of Fourier series" in the framework of the digital educational resource "Real Analysis" for teaching mathematical disciplines at the Department of Mathematics and Natural Sciences of the Yelabuga Institute of Kazan (Volga Region) Federal University, as well as ways of working with it for students. Modern approaches to the organization of academic work imply that the student must independently study a large volume of material. In this regard, it is necessary to pay attention to the importance of introducing digital educational resources into the educational process, which can be used as a tool for organizing independent work of a student. The electronic module includes the main theoretical material on the topic under study (in the form of lectures), samples of problem solving. For calculations within the framework of this module, the Maple package is used, which helps to analyze, investigate, visualize and solve the set mathematical problems. Students can choose in what form (electronic or printed) to use the textbook. The electronic textbook complies with the state educational standard and is adapted to a specific curriculum.
Keywords: Fourier series, orthogonal systems, mathematical analysis, symbolic calculations, electronic educational resource, textbook, independent work, digital education, distance education, Maple._
MIRONOV Aleksey Nikolaevich and others
ON THE TUITION THE THEORY OF FOURIER SERIES...
Azimut of Scientific Research: Pedagogy and Psychology.
2021. T.10. №4(37)p-ISSN: 2309-1754; e-ISSN: 2712-8474
Постановка проблемы в общем виде и ее связь с научными и практическими задачами. В настоящее время в систему высшего образования активно внедряются цифровые технологии, прежде всего в форме цифровых или электронных образовательных ресурсов, а также различных интернет-технологий, обеспечивающих возможность дистанционного ведения образовательной деятельности. Большое внимание развитию цифровой образовательной среды придается в Казанском (Приволжском) федеральном университете, где постоянно разрабатываются и внедрению в учебный процесс новые цифровые образовательные ресурсы, модернизируются уже существующие. В Казанском федеральном университете создан Институт передовых образовательных технологий КФУ, который координирует работу в данном направлении. Предполагается решение многих задач в направлении цифровой организации учебного процесса и развития цифровых компетенций студентов и преподавателей.
В рамках данной статьи рассматриваются некоторые аспекты внедрения элементов цифрового образования на примере цифрового образовательного ресурса «Действительный анализ» на базе системы LMS МOODLE, размещенного на платформе дистанционного образования КФУ edu.kpfu.ru.
Анализ последних исследований и публикаций, в которых рассматривались аспекты этой проблемы и на которых обосновывается автор; выделение неразрешенных раньше частей общей проблемы. В связи с тем, что в последние годы уделяется большое внимание самостоятельной работе студентов, а количество времени, отводимое на контактное (аудиторное) изучение математики сокращается, возникает необходимость помочь студентам эффективно организовать самостоятельную работу с учебным материалом. Большую помощь здесь могут оказать адаптированные к конкретной рабочей программе дисциплины учебные пособия и электронные (цифровые) образовательные ресурсы. Вопросы внедрения элементов дистанционного обучения на основе цифровых технологий в систему высшего образования обсуждаются многими авторами в зарубежных странах [1]-[9] и в России [10]-[16]. Проблемы, связанные с разработкой и использованием учебных пособий (в том числе электронных) в обучении, обсуждаются, например, в работах [17]-[19].
Цели статьи. Можно утверждать, что среди математических дисциплин, преподаваемых будущим учителям математики, важнейшая роль отводится курсу «Математический анализ». При этом такие разделы этого курса, как «Дифференциальное исчисление», «Интегральное исчисление» начинают изучать в средней школе. Раздел «Ряды» является принципиально новым для студентов вуза, в тоже время этот раздел чрезвычайно важен как в формировании математического мышления и математической культуры, так и в прикладном аспекте, теория рядов широко применяется в математических расчетах и доказательствах как в различных разделах самой математики, так и в других науках (прежде всего в механике, физике, технических науках).
Одним из важнейших разделов теории функциональных рядов является теория рядов Фурье. Ряды Фурье являются эффективным математическим инструментом решения прикладных задач, а также известны как источник множества глубоких математических проблем и содержательных задач. В Елабужском институте Казанского (Приволжского) федерального университета для студентов педагогического направления с двумя профилями подготовки (математика, физика) элементы теории рядов Фурье включены в качестве раздела в курс «Теория функций действительного переменного» (раздел «Ряды в гильбертовых пространствах»). Для изучения теории рядов Фурье разработан электронный обучающий модуль, интегрированный в цифровой образовательный ресурс «Действительный анализ», который
можно рассматривать также как учебное пособие в электронном виде. Указанный модуль призван способствовать более глубокому освоению раздела «Ряды Фурье в гильбертовом пространстве» при изучении студентами дисциплины «Теория функций действительной переменной», в том числе в форме самостоятельной работы студентов. Целью статьи является описание и оценка эффективности разработанного электронного образовательного модуля как части цифрового образовательного ресурса «Действительный анализ».
Используемые в исследовании методы, методики и технологии. Для оценки эффективности указанного электронного модуля цифрового образовательного ресурса применялись следующие методы: педагогический эксперимент, анкетирование, тестирование, опрос обучаемых. Эксперимент проводился в двух академических группах отделения математики и естественных наук Елабужского института Казанского (Приволжского) федерального университета, направление 44.03.05 — педагогическое образование (с двумя профилями подготовки: математика и физика), бакалавриат, пятый год обучения. Общее количество принявших участие в эксперименте студентов — 34 человека.
Основной материал исследования. В связи с указанными выше проблемами и тенденциями авторами данной статьи разработано учебное пособие «Элементы теории рядов Фурье», которое может использоваться студентами самостоятельно (в электронной форме или в виде традиционного печатного пособия), либо как часть цифрового образовательного ресурса. Предполагается интегрировать учебное пособие в имеющийся на сайте дистанционного образования КФУ edu.kpfu.ru цифровой образовательный ресурс «Действительный анализ», предназначенный для сопровождения дисциплины «Теория функций действительной переменной».
Учебное пособие «Элементы теории рядов Фурье» включает в себя теоретическую часть (конспект лекций) и подбор задач с подробно разобранными решениями. Пособие содержит примеры решения задач и использованием пакета символьных математических вычисления Maple.
Первый раздел пособия, содержащий теоретический материал, включает в себя традиционный перечень вопросов, изучаемых при пером знакомстве с гармоническим анализом: тригонометрический ряд Фурье, частичные суммы ряда Фурье (теорема Римана об осцилляции, интеграл и ядро Дирихле), теорема о разложении кусочно-гладкой функции в ряд Фурье, комплексная форма ряда Фурье, ряд Фурье для четных и нечетных функций периода 2п, ряд Фурье для функций с любым периодом, системы векторов и базисы в гильбертовом пространстве (ортонормированные системы векторов, процесс ортогонализации, базисы в гильбертовом пространстве), ряд Фурье по ортогональной системе векторов.
Второй раздел содержит задачи с подробно разобранными решениями по всем основным аспектам рассмотренной теории.
Приведем некоторые примеры рассмотренных задач.
1. Разложить в ряд Фурье кусочно-постоянную функцию / Ос) на интервале [—т.. тг]:
/Ы =
2. Используя комплексную форму записи, найти ряд Фурье для функции
asiiu
/■« = ——-—j. Ы<1.
1 — 2a cos j: + н* Эта задача иллюстрирует эффективность метода разложения в ряд Фурье в комплексной форме.
3. Найти три члена ортогональной с весом р Ос) =
-1, -n< x < —
n 7T
0, 2 2
■n
1, -<x<s.
Азимут научных исследований: педагогика и психология.
2021. Т.10 №4(37)p-ISSN: 2309-1754; e-ISSN: 2712-8474
МИРОНОВ Алексей Николаевич и другие К ВОПРОСУ О ПРЕПОДАВАНИИ ТЕОРИИ РЯДОВ...
на промежутке [0, -Н») последовательности многочленов, полученной путем ортогонализации последовательности Ьх.х2, ...,хп,...
4. Улучшить сходимость данных тригонометрических рядов методом А. Н. Крылова, доведя коэффициенты ряда до порядка
П = 1
«2 + 1
С*1 -1)
COSitl , (ic = б),
Для решения указанных выше задач можно использовать систему символьных вычислений Maple, который существенно упрощается процесс рутинных вычислений, позволяет обращать больше внимание на фундаментальные вопросы теория рядов [20]-[22]. Система Maple — это математическое программное обеспечение, которое позволяет чрезвычайно эффективно анализировать, исследовать, визуализировать математические задачи, в том числе в учебных целях.
В качестве основных источников, послуживших основой данного модуля, можно указать [23]-[26].
По результатам работы студентов с цифровым образовательным ресурсам можно сделать следующие выводы. Студенты отмечают как положительные, так и отрицательные стороны использования цифровых образовательных ресурсов, при этом в целом результат анкетирования и опросов студентов дают ту же картину, что и в работах других авторов (см., например, [4], [27]-[33]). На основании исследования мнения студентов можно утверждать, что цифровые и электронные образовательные ресурсы улучшают успеваемость и качество обучения только в том случае, когда их использование сопровождается аудиторными занятиями с классическими формами взаимодействия преподавателя и студентов на лекциях и практических занятиях.
Выводы исследования. Таким образом, обсуждаемый модуль в рамках цифрового образовательного ресурса (электронное учебное пособие) для студентов педагогического направления является полезным инструментом организации самостоятельной работы студентов и воспитания их математической культуры. Ряды Фурье являются мощным инструментом математического исследования самых разных задач — особенно там, где исследуются волны и колебания. А этот круг чрезвычайно широк — астрономия и астрофизика, акустика, теория приливов, радиотехника, электротехника и т.д. Изучение этого раздела математики необходимо будущему учителю и исследователю. Применение такого модуля для организации самостоятельной работы студентов должно сопровождаться работой по данной теме в рамках аудиторных занятий. Возможно дальнейшее исследование возможностей применения электронных учебных пособий, в которых используются пакеты символьных вычислений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Arnold R. Will distance disappear in distance studies? Preliminary considerations on the didactic relevance of proximity and distance // Journal of Distance Education. 1999. Vol. 2, Issue 14. Pp. 1—9.
2. Guri-Rosenblit S. "Distance education" and "e-learning ": Not the same thing //Higher Education. 2005. Vol. 49. Pp. 467-493.
3. Guri-Rosenblit S. Eight paradoxes in the implementation process of E-learning in higher education. // Higher Education Policy. 2005 Vol. 18, Issue 1. Pp. 5-29.
4. Guri-Rosenblit S. E-teaching in higher education: An essential prerequisite for e-learning // Journal of New Approaches in Educational Research. 2018. Vol. 7, Issue 2. Pp. 93-97.
5. Guri-Rosenblit S. Open Universities: Innovative past, challenging
present and prospective future // International Review of Research in Open and Distance Learning. 2019. Vol. 20, Issue 4. Pp. 180-194.
6. Kebritchi M., Lipschuetz A., Santiague L. Issues and challenges for teaching successful online courses in higher education: a literature review // Journal of Educational Technology Systems. 2017. Vol. 46. Pp. 4-29.
7. Andrade M.S., Miller R.M. Virtual online teams: The development of cross-cutting skills for business students // CSEDU 2020. Proceedings of the 12th International Conference on Computer Supported Education, 2020. Vol. 1. Pp. 442-449.
8. Tchoshanov M.A. Learning sciences perspective on engineering of distance learning. Part 1 // Higher Education in Russia. 2021. Т. 30. № 2. С. 33-49.
9. Tchoshanov M.A. Learning sciences perspective on engineering of distance learning. Part 2 // Higher Education in Russia. 2021. Т. 30. № 3. С. 43-58.
10. Анисимова Т.И. Организация самостоятельной работы бакалавров средствами дистанционного обучения // Фундаментальные исследования. 2013. № 11-4. С. 747-750.
11. Anisimova T.I., Krasnova L.A. Interactive Technologies in Electronic Educational Resources //International Education Studies. 2015. Vol. 8, No. 2. Pp. 186-194.
12. Миронов А.Н., А.А. Торопова. Электронный образовательный ресурс «Дифференциальные уравнения» для бакалавров направления «Математика и компьютерные науки» // Современная наука. Актуальные проблемы теории и практики. Серия «Гуманитарные науки». 2015. № 11-12. С. 107-109.
13. Ganeeva, A.R., Anisimova T.I., Sukhanova N.V., Mugallimova S.R. Students'individual work on studying the discipline «Mathematics Teaching Methodology» by using distance technologies // Espacios. 2017. Vol. 38, Issue 40.
14. Гильманова Г.Р., Миронов А.Н., Миронова Л.Б. О месте курса по выбору «Элементы теории специальных функций» в системе обучения бакалавров направления «Математика и компьютерные науки» // Современные проблемы науки и образования. 2017. № 6.; URL: http:// www.science-education.ru/ru/article/view?id=27259
15. Sozontova E.A., Prodanova N.A., Rakhmatullina L.V, Konovalova E.V. Efficiency of remote technologies on the approaching the content of a e-learning mathematics course using Moodle system: Case study // Periodico Tche Quimica. 2020. Vol.17, Issue 35. P. 1159-1174.
16. Ефремова О.И. Некоторые психологические эффекты «двойного зажима» в практике дистанционного преподавания в вузе // Психология обучения. 2021. № 1. С. 58-68.
17. Пенкина Ю.Н., Яхонтова И.М. Электронные учебные пособия: тенденции разработки и использования в учебном процессе // Информационное общество: современное состояние и перспективы развития. Краснодар: Кубанский государственный аграрный университет имени И.Т. Трубилина. 2017. С. 220-222.
18. Татьяненко С.А. Применение электронного учебного пособия по высшей математике в учебном процессе технического вуза //Наука и образование: Новое время. 2016. №1(12). С. 52-58.
19. Худенко В.Н. К вопросу о визуализации учебного материала в процессе преподавания математического анализа// Фундаментальные исследования. 2008. № 3. С. 62-64.
20. Филимоненкова Н.В., Данилова К.А., Миронова П.Н. Исследование эффекта Гиббса при аппроксимации разрывных функций и обработке контрастных изображений // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика. 2014. № 4-1. С. 353-357.
21. Мамаев А.Р., Терлецкий С.Г., Суляндзига Е.П. Визуализация преобразования Фурье с использованием пакета компьютерной математики Maple // Современные тенденции и проекты развития информационных систем и технологий. Хабаровск: Хабаровский государственный университет экономики и права. 2018. С. 56-60.
22. Волошиновский К.И. Преобразование Фурье на базе 4-ех точечной аппроксимации для датчиков рабочей частоты САУ // Современная наука: Актуальные проблемы теории и практики. Серия: естественные и технические науки. 2019. № 11. С. 52-61.
23. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 572 с.
24. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 3. М: Дрофа, 2006. 351 с.
25. Эдвардс Ч.Г., Пенни Д.Э. Дифференциальные уравнения и краевые задачи: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB. М.: ООО «И. Д. Вильямс», 2008. 1104 с.
26. Кожевников Н.И., Краснощекова Т.И., Шишкин Н.Е. Ряды и интеграл Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. М.: Наука, 1964. 184 с.
27. ЗабороваЕ.Н., ГлазковаИ.Г., Маркова Т.Л. Дистанционное обучение: мнение студентов // Социологические исследования. 2017. № 2. С. 131-139.
28. Бочкарева Т.Н., Мубаракшина А.Р. Цифровое образование в Российской Федерации: реалии и перспективы // Гуманитарные науки. 2019. № 1. С. 11-16.
29. Сагитова Г.Р., Ледяев М.Я. Дистанционное обучение сегодня. что думают врачи-педиатры? // Вестник Волгоградского государственного медицинского университета. 2021. № 1 (77). С. 48-51.
30. Иванов А.А. Синергетика дистанционного образования // Синергетика природных, технических и социально-экономических систем. 2020. № 17. С. 124-130
31. Филиппова О.А., Долгополова Л.Ю. Проблемы формирования электронной информационно-образовательной среды университета // Вестник Поволжского государственного университета сервиса.
MIRONOV Aleksey Nikolaevich and others
ON THE TUITION THE THEORY OF FOURIER SERIES..
Azimut of Scientific Research: Pedagogy and Psychology.
2021. T.10. №4(37)p-ISSN: 2309-1754; e-ISSN: 2712-8474
Серия: Экономика. 2017. № 3 (49). С. 161-165.
32. Пец К.А., ЖихареваЕ.А., Мустафаева С.Н. Эволюция формирования и развития образовательного потенциала в России // Экономика и управление: новые вызовы и перспективы. 2016. № 11. С. 187-191
33. Носкова А.В., Голоухова Д.В., Проскурина А.С., Нгуен Т.Ха. Цифровизация образовательной среды: оценки студентами России и Вьетнама рисков дистанционного обучения // Высшее образование в России. 2021. Т. 30. № 1. С. 156-167.
Статья поступила в редакцию 03.06.2021 Статья принята к публикации 27.11.2021
