CC BY
16
Об учебно-методическом пособии «Ряды Фурье» для бакалавров направления «Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки): математика и физика»
On the textbook "Fourier series" in the system of training of bachelors of the direction "Pedagogical education (with two training profiles): mathematics and physics»
Латипова Айсылу Фирдависовна.
Студентка 5-го курса,
Елабужский институт ФГАОУ ВО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»,
Россия, г.Елабуга. e-mail: aisu1998@mail. ru
Latipova Aisylu Firdavisovna.
5th year student,
Yelabuga Institute of Kazan (Volga Region) Federal University,
Russia, Yelabuga. e-mail: aisu1998@mail.ru
Миронов Алексей Николаевич.
Доктор физико-математических наук, Профессор, Елабужский институт ФГАОУ ВО «Казанский (Приволжский) федеральный
университет», Россия, г.Елабуга. e-mail: miro73@mail.ru
Mironov Aleksey Nikolaevich.
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Yelabuga Institute of Kazan (Volga Region) Federal University,
Russia, Yelabuga. e-mail: miro73@mail.ru
Аннотация.
В статье рассматривается возможность применения методического пособия «Ряды Фурье» для обучения бакалавров направления 44.03.05 - Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки): математика и физика. В первой части описывается теоретическая основа курса. Во-втором приводятся примеры задач, при решении которых может использоваться система символьных математических вычислений Maple.
Annotation.
The article considers the possibility of using the methodological manual "Fourier series" for teaching bachelors of the direction 44.03.05 - Teacher education (with two training profiles): mathematics and physics. The first part describes the theoretical basis of the course. The second section provides examples of problems that can be solved using the Maple system of symbolic mathematical calculations.
Ключевые слова: ряды Фурье, система Maple.
Key words: Fourier series, Maple system.
Проблемы преподавания математического анализа в высших учебных заведениях в последнее время привлекают внимание многих исследователей [1-2]. В связи оптимизацией учебных часов, студентам дается больше материла на самостоятельное изучение. Важную роль играют электронные учебные пособия, которые являются надежной и важной частью образования. Они не только обеспечивают структуру занятий и успеваемости учащихся, но также способствуют прояснению ключевых понятий и основных знаний.
Пособия по математическим дисциплинам отличаются от других пособий по трем параметрам:
1. Математические тексты представляют информацию в очень компактной форме. Например, график функции содержит большой объем информации, такой как поведение функции, точки пересечения по осям х и у, максимальное и минимальное значение функции и многое другое, в зависимости от функции.
2. Пособия по математическим дисциплинам предоставляют методы и подходы к решению задач. Цель состоит в том, чтобы помочь учащимся развить навыки решения задач и критического мышления с помощью примеров, формул и различных письменных и наглядных учебников.
3. Каждая глава в учебнике математики содержит специально разработанные практические упражнения. Поскольку изучение математики требует понимания основных концепций и применения навыков решения задач, практические упражнения помогают учащемуся развить понимание, а также методы, навыки решения задач.
Важнейшую роль, среди математических дисциплин, отводится курсу «Математический анализ». В учебном процессе «Математический анализ» входит раздел «Теория Рядов», который является новым для студентов вуза и важны для формирования математической культуры. В процессе обучения студенты изучают ряды Фурье. Ряды Фурье являются эффективным математическим инструментом решения прикладных задач.
Понятие рядов Фурье было впервые введено в 1807 году французским физиком и математиком Жаком Фурье (1768-1830), посвященных исследованию задач теплопроводности. Эти ряды стали важнейшим инструментом математической физики и оказали глубокое влияние на дальнейшее развитие самой математики. Ряды Фурье представляют собой ряды косинусов и синусов и возникают при представлении общих периодических функций, которые встречаются во многих научных и технических задачах. Поскольку периодические функции часто бывают сложными, необходимо выразить их через простые периодические функции синуса и косинуса. Они играют важную роль при решении обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.
На отделении математики и естественных наук в Елабужском институте Казанского федерального университета по направлению 44.03.05 (педагогическое образование с двумя профилями подготовки: математика и физика) элементы теории рядов Фурье включены в качестве раздела в курс «Математический анализ» и курс «Теория функций действительного переменного» (раздел «Ряды в гильбертовых пространствах»). Данное пособие даст возможность студентам изучить ряды Фурье в гильбертовых пространствах, что позволит решить более серьезные задачи математической физики. Этот метод решение задач также позволит студентам тщательно изучать такие темы, как квантовая механика и обработка сигналов. Пособие будет полезна студентам, интересующимся статистикой (временные ряды), машинным обучением (ядерные методы), математической физикой (квантовая механика) или электротехникой (обработка сигналов).
Рядов Фурье широко используются в математической физике - особенно там, где изучаются волны и колебания. А этот круг чрезвычайно широк — астрономия и астрофизика, акустика, теория приливов, радиотехника, электротехника и т.д.[3-5]. С развитием компьютеров преобразования Фурье поднялись на качественно новый уровень. Данная методика прочно закрепилась практически во всех сферах науки и техники. В качестве примера можно привести цифровой аудио- и видеосигнал. Его реализация стала возможной только благодаря теории, разработанной французским математиком в начале девятнадцатого века. Так, ряд Фурье в комплексной форме позволил совершить прорыв в изучении космического пространства. Кроме того, это повлияло на изучение физики полупроводниковых материалов и плазмы, микроволновой акустики, океанографии, радиолокации, сейсмологии.
Учебное пособие «Ряды Фурье» включает в себя теоретическую часть (конспект лекций) и подбор задач с подробно разобранными решениями. Такая структура даст возможность одновременно усвоить теоретическую часть и усиливать практические навыки решения математических задач. Пособие содержит примеры решения задач с использованием пакета символьных математических вычисления Maple. Maple - это продвинутая аналитическая среда для решения задач и программирования. Аналитический движок, на котором работает Maple, включает мощную систему символьных вычислений, которая выражает и управляет сложной математикой
Вопросы студенческой науки
Выпуск №5 (57), май 2021
с помощью автоматизированных формализмов и систем знаний. Основными источниками при разработке учебного пособия являлись [6-9].
Первый раздел включает в себя:
1. Задача разложения функции в тригонометрический ряд.
Дается понятие тригонометрического ряда, тригонометрической системы функций и ее свойств.
2. Тригонометрический ряд Фурье.
Вводится понятие тригонометрического ряда Фурье, выводятся формулы для коэффициентов Фурье.
3. Частичные суммы ряда Фурье.
Выводится представление частичных сумм через интеграл Дирихле.
4. Разложение кусочно-гладкой функции в ряд Фурье.
Данная тема включается в себя теорему, которая может интерпретироваться следующим образом: любой периодический процесс, представленный кусочно-гладкой функцией, с любой точностью можно представить в виде частичной суммы ряда Фурье.
5. Комплексная форма ряда Фурье.
Общий член ряда Фурье преобразуется с помощью формулы Эйлера. Получена комплексная форма ряда Фурье для функции с периодом 2п
/(х) = £
6. Ряд Фурье для четных и нечетных функций периода 2п.
Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье по косинусам и синусам.
7. Ряд Фурье для функций с любым периодом.
8. Ортогональные системы векторов и базисы в гильбертовом пространстве.
Излагаются понятия: базис пространства Д" , ортонормированная система векторов, процесс ортогонализации, базис в гильбертовом пространстве.
9. Ряд Фурье по ортогональной системе векторов.
Неравенство Бесселя, замкнутость и полнота системы векторов в гильбертовом пространстве.
Второй раздел содержит подбор задач с подробно разобранными решениями, который включает в себя вопросы: разложение в ряд Фурье, ортогональные системы функций, улучшение сходимости тригонометрических рядов Фурье по методу А.Н. Крылова. Рассмотрим несколько примеров:
Пример 1. Дан ряд
ж
п
——^тпх , (к = 5)
Улучшить сходимость данного тригонометрического ряда, доведя коэффициенты ряда до порядка ^. Решение. Используем ряд геометрической прогрессии, запишем п п 1/11 \ 1 1 1 1 \ 1 1 1
1+ — + — +•••)=-( 1 +^7 + ^--Т" ) = - + + -
П П 1/11 \1|
"-1 =П2 (1_1\ = п[1+^ + ^+"') = п\
I2 — 1 12 Л__п\ п2 п4 / п\ п2 п4 ^__п п3 п3(п2_1)
( п2) V п2'
И, следовательно, имеем
ж ж ж ж
^п V-1 sm пх V-1 sm пх V-1 sm пх
п п3 ¿—1п3(п2_1)
п=2 п=2 п=2
П=-ж
п=2
п=2
Вопросы студенческой науки
Выпуск №5 (57), май 2021
Используя таблицу некоторых тригонометрических разложений, получаем Hn=2 sin"* = — sinx, 0 <
sin х, 0 < х < 2п. Откуда окончательно находим 3пх2 + 2 (п2 — 3)х + 6 п
х < 2 п, £
sinnx х3-3пх2 + 2п2х
•п=2 „3
12 Л,3
f(x) = ■
го
12
2 sin X + У
Sin ПХ
Z.J П3 (п2 — 1)
п=2
,0 < х < 2я
Для вычислений рядов Фурье используется пакет Maple, который существенно упрощается процесс рутинных вычислений, помогает анализировать, исследовать, визуализировать и решать математические задачи практически из всех областей математики. Позволяет обращать больше внимание на фундаментальные вопросы теория рядов [4,8]. Часто бывает необходимо представить функцию в простом и единообразном виде. Для периодических функций часто используют разложение в тригонометрический ряд Фурье. Такое разложение используют, например, для анализа сигналов электрических цепей. В Maple нет стандартной функции для такого разложения, позволяющей производить разложение функции в тригонометрический ряд Фурье. Однако можно создать собственную процедуру разложения в ряд Фурье.
Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию /(х) определенную следующим образом
/«=( 0;,
—л < х < 0 0 < х < п
Рисунок 1 Решение примера 1 с помощью пакета Maple Выше представлено разложение функции / (х) в тригонометрический ряд Фурье. Изобразим разложение исходной функции.
Рисунок 2 График разложения функции в ряд Фурье
Получили разложение
л ^
/W = 2 + Z
(1 — (-1)") sinnx л
= 2 +
I
2 sin(2m — 1)х 2m — 1 '
п=1 т=1
Пример 3. Разложить в ряд Фурье на интервале (0; следующим функцию /(х) = Представим разложение функции / (х) в тригонометрический ряд Фурье
Рисунок 3 Решение примера 2 с помощью пакета Maple Изобразим исходную функцию и ее разложение.
п
> piot{ (Jr,f), x — xl.. х2, color — [ blue, black], thickness - 2, Iinestyle - [3,1 ])
1: КД 14\
1 I
I 4
I V
A
V
Рисунок 4 График разложения функции в ряд Фурье
Получили разложение
ж
Zsin пх
-, 0 < х < 2л
п=1
Данное учебное пособие даст возможность студенту самостоятельно изучить раздел теории рядов Фурье или восполнить пробелы в знаниях. Круг применение рядов Фурье широк, а его преподавание и хорошо подготовленный материал даст возможность студенту углубить свои знания и раскрыть свои потенциал. Для проверки своих результатов, студенты могут использовать Maple и избежать повторения трудоемких вычислений. Описанное учебное пособие также может быть интегрировано как составная часть в цифровой образовательный ресурс по учебной дисциплине «Действительный анализ», предназначенный для сопровождения дисциплины «Теория функций действительной переменной».
Список используемой литературы
1. Татьяненко С.А. Применение электронного учебного пособия по высшей математике в учебном процессе технического вуза // Наука и образование: Новое время. — 2016. — №1(12). — С. 52-58.
2. Худенко В.Н. К вопросу о визуализации учебного материала в процессе преподавания математического анализа // Фундаментальные исследования. — 2008. — № 3. — С. 62-64.
3. Филимоненкова Н.В., Данилова К.А., Миронова П.Н. Исследование эффекта Гиббса при аппроксимации разрывных функций и обработке контрастных изображений // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика. — 2014. — № 4-1. — С. 353-357.
4. Мамаев А.Р., Терлецкий С.Г., Суляндзига Е.П. Визуализация преобразования Фурье с использованием пакета компьютерной математики Maple // Современные тенденции и проекты развития информационных систем и технологий. Хабаровск: Хабаровский государственный университет экономики и права. — 2018. — С. 56-60.
5. Волошиновский К.И. Преобразование Фурье на базе 4-ех точечной аппроксимации для датчиков рабочей частоты САУ // Современная наука: Актуальные проблемы теории и практики. Серия: естественные и технические науки. — 2019. — №11. — С. 52-61.
6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 572 с.
7. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 3. — М: Дрофа, 2006. — 351 с
8. Эдвардс Ч.Г., Пенни Д.Э. Дифференциальные уравнения и краевые задачи: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB. — М.: ООО «И. Д. Вильямс», 2008. — 1104 с.
9. Кожевников Н.И., Краснощекова Т.И., Шишкин Н.Е. Ряды и интеграл Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. — М.: Наука, 1964. — 184 с.
