К вопросу о непрерывных селекциях в бесконечномерном случае Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск б, 1999

УДК 515.12

К ВОПРОСУ О НЕПРЕРЫВНЫХ СЕЛЕКЦИЯХ В БЕСКОНЕЧНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ

Е. В. Моисеев

В статье рассматривается условие, сформулированное в терминах метрики, при выполнении которого многозначные отображения в стандартных предположениях допускают непрерывные селекции.

Предварительные определения и обозначения. Пусть (Х,р) — метрическое пространство. Непрерывное отображение (реализацию) / : Р —>• X политопа Р (см. [1, с. 78]) в пространство У будем называть г-реализацией, если оЫат(/(а)) < £ для любого симплекса а Е Р. Соответственно, 0-мерной г-реализацией политопа Р будем называть непрерывное отображение / : Ро —;► X (где Ро это 0-мерный остов политопа Р), если выполняется условие сИат(сг П Ро) < £ Для любого симплекса а Е Р.

Пусть ^ = {*5} — семейство подмножеств пространства X. Реализацию / политопа Р будем называть г-близкой к семейству з, если для любого симплекса а Е Р существует Б Е в такое, что /(а) С В(Б,е) (где В(Б, г) = {х Е Х\р{х^Б) < г}).

Будем говорить, что реализация / политопа Р удовлетворяет условию (/, Р, 5, й, г), если для любых а Е Р, *5 Е 5 включение /(ст П Ро) С Р(*5,5) влечет /(сг) С Р(*5,г).

Определение. Семейство $ = {*5} подмножеств пространства X будем называть равномерным относительно реализаций политопов (рорп-семейством), если для любого £ > 0 существует 6 > 0 такое, что любая 0-мерная реализация любого политопа Р, ^-близкая к семейству з, продолжается до полной реализации / таким образом, что выполняется условие (/, Р, 5, й, г).

© Е. В. Моисеев, 1999

Семейство s будем называть локально равномерным относительно реализаций политопов (дрорп-семейством), если для любых ту, £ > О существуют S(£,rj) > 0 и > 0 ( зависящее только от г]) такие, что любая 0-мерная /i-реализация любого политопа Р, ^-близкая к семейству s, продолжается до полной 77-реализации и при этом выполняется условие (/, Р, s, 5, е).

Теорема 1. Пусть Y — полное метрическое ANR(A4)-пространство (см. [1, с. 95]), F : X —>• Y — многозначное полунепрерывное снизу отображение паракомпакта X в Y. Семейство s = {F(x);x Е X} является лрорп-семейством, состоящим из замкнутых подмножеств Y. Пусть А — замкнутое подмножество X. Тогда для любой непрерывной селекции g отображения F\a найдется такая окрестность U множества А в пространстве X, что селекция g продолжается до непрерывной селекции отображения F\jj.

Теорема 2. Пусть Y — полное метрическое пространство, F : X —>• Y — многозначное полунепрерывное снизу отображение паракомпакта X в Y. Семейство s = {F(x);x Е X} является рорп- и лрорп-семейством, состоящим из замкнутых подмножеств Y. Тогда отображение F обладает непрерывной селекцией.

JlEMMA 1. Пусть F : X —>■ Y — многозначное полунепрерывное снизу отображение паракомпакта X в метрическое пространство Y. Тогда для любых чисел г, ц > 0, любого непрерывного отображения k : X —>• Y, такого, что k{x) Е B(F(x), |е) для любого х Е X, существуют открытое локально конечное покрытие 7 пространства X и отображение р : Ро (7) Y 0-мерного остова нерва покрытия 7 (см. [2, с. 118]) в пространство Y такое, что для любой точки х Е X, любого множества U Е 7 условие х Е U влечет: p(U) Е B(F(x),/jl) и p(p(U),k(x)) < £ .

Доказательство. Для всевозможных пар z,y Е У, удовлетворяющих условию p(z,y) < min(^£, |/i), введем обозначение Gzy = k~1(B(z, F~1(B(yJ \р)). В силу непрерывности отображения к и полунепре-рывности снизу отображения F множества Gzy открыты. В силу условия к{х) Е B(F(x), |е) эти множества образуют покрытие пространства X. Впишем в него локально конечное покрытие 7. Произвольному элементу U покрытия 7 сопоставим точки z(U),y(U), для которых U С Gzy, и точку p(U) Е B(z(XJ), ^е) П B(y(U), \р). Пусть U Е 7 и х Е U. Так как к(х) Е B(z(U), ^£), то p(p(U),k(x)) < £.

Далее, ПО построению X Е С^(?7)у(?7), поэтому Р(ж) П В (у (и), \р) / 0 и, следовательно, р(£7) Е В (у (и), \р) С ОмР(ж).

Лемма доказана. □

ЛЕММА 2. Пусть выполняется условие теоремы 1, тогда для любых чисел £,Г] > 0 существует число т(г]) (зависящее только от г]) такое, что если к : X —> У — непрерывное отображение, удовлетворяющее условию к{х) Е В(Г(х),т(г})) для любой точки х Е X, то существует непрерывное отображение д : X У такое, что д{х) Е В(Р(х),е) и р(д(х), к{х)) < г] для любой точки х Е X.

Доказательство. По определению лрорп-семейства для любых г, г] > О существуют 6(е,г]) и /^(77) > 0 такие, что выполняются требуемые свойства. Положим т(г]) = —, тогда по лемме 1 существуют открытое локально конечное покрытие 7 пространства X и отображение р : Ро(т) ~^ ^ такие, что если х Е Е/, то р(£7) Е

В(Г(х),6(е,г))) и р(р(и),к(х))—. Таким образом, р является 0-

мерной /^-реализацией политопа Р(7), й-близкой к семейству $ = {Р(ж) : ж Е X}, следовательно, она продолжается до р-полной ^-реализации и при этом выполняется условие (р, Р, 5, й, г).

Далее, пусть : X —>• Р(7) — каноническое отображение пространства X в нерв покрытия Р(у) (см. [2, с. 119]). Положим д = роС, тогда если х Е [/1 П ... П [/&, то <7(ж) Е р(сг), где сг — симплекс с вершинами По построению (Иат{р{сг)) < |, а также

р(р(и{), к{х)) < для г = 1,..., к, следовательно, р(д(х), к{х)) < г].

Аналогично р(ст) Е Р(Р(ж),г), то есть д(ж) Е Р(Р(ж),г). Лемма доказана. □

ЛЕММА 3. Пусть Р : X —> У — многозначное полунепрерывное снизу отображение паракомпакта X в метрическое пространство У и семейство {Р(ж) : х Е X} является рорп-семейством.

Тогда для любого числа е > 0 существует непрерывное отображение д : X —> У, удовлетворяющее для любой точки х Е X условию:

/меад.е).

Доказательство. Ниже обозначение £(г) будем использовать в контексте определения рорп-семейства. В силу полунепрерывности снизу отображения Р семейство открытых множеств Р_1(Р(?/, ^^-),у Е У)

является открытым покрытием пространства X. Впишем в него открытое локально конечное покрытие 7. Сопоставим каждому множеству и Е 7 точку ро(и) = у такую, что и С Р~1(В(у, . Таким

образом, ро является отображением 0-мерного остова Ро(т) нерва покрытия 7, которое непрерывно продолжается по определению рорп-семейства на весь нерв Р{7).

Пусть : X —> Р{7)— каноническое отображение пространства X в нерв покрытия Р(7), тогда отображение д определим как композицию д = ро(5. Если точка х Е С/1П.. .ПЕ/&, где — элементы покрытия 7, то д(ж) Е р(сг), где сг — симплекс с вершинами По

построению £>(£/*) Е В(Г(х), £(б)), следовательно, р(сг) С В(Г(х),е), что и требовалось доказать. □

Доказательство теоремы 1. Любое непрерывное отображение замкнутого подмножества паракомпакта в банахово пространство непрерывно продолжается на весь паракомпакт (см. [2, с. 116]), а пространство У в условиях теоремы вкладывается как замкнутое подмножество в банахово пространство, поэтому существуют окрестность и подмножества А в пространстве X и непрерывное отображение к : и —>• У, продолжающее отображение д. Для х Е X положим г(х) = р(к(х),Р(х)).

Докажем, что для любого а > 0 множество г-1([0,а[) открыто в 11. Пусть х Е 11 и г > 0. Рассмотрим окрестность

Ох = р-\В(к(х),г(х) + |) П к~\к{х), |).

Если t е Ох, то существует у Е ^(£) Г\В(к(х), г(х) +1), следовательно, справедлива цепочка неравенств:

Р(Ч*),У) < Р(Н*),&(ж)) + р(к(х),у) < | + г(ж) + | = г(х) + £,

поэтому г(£) < г(ж) + г. Утверждение доказано.

Продолжим доказательство теоремы. Обозначим через и окрестность подмножества А, равную г-1 ([0, т(|)[), где обозначение т(|) использовано в контексте формулировки леммы 2. В соответствие с этой леммой существует непрерывное отображение /1 : V —> У, удовлетворяющее заключению леммы для г] = | и г = шт(^-, г(^-)). Продолжая подобные рассуждения, получим последовательность непрерывных отображений fn : и —У У,п = 1,2,... Эти отображения

будут удовлетворять условиям:

Pc(fn, fn+i) < —u fn(x) £ B(F(x), для любого x £ U.

Последовательность функций fn является фундаментальной, следовательно, сходится к некоторой непрерывной функции, для которой p(f(x),F(x)) = 0, то есть f(x) Е F(x). Теорема доказана. □

Доказательство теоремы 2. В силу леммы 3 существует отображение k : X Y такое, что p(k(x),F(x)) < т(|) для любой точки х Е X. Обозначение т(|) используется в контексте формулировки леммы 2. Далее, дословно повторяя заключительную часть доказательства теоремы 1, строим однозначную непрерывную селекцию. Доказательство теоремы закончено. □

Resume

This paper is devoted to selection theorems for set-valued mappings. As a result, we get some metric conditions under which set-valued mappings with ordinary properties admit continuous selections.

Литература

[1] Борсук К. Теория ретрактов. М.: Мир, 1971.

[2] Федорчук В. В., Филиппов В. В. Общая топология. Основные конструкции. М.: Изд-во МГУ, 1988.

Петрозавозаводский государственный университет, математический факультет,

185640, Петрозаводск, пр. Ленина, 33