О вершинах неявно заданных целых полиэдров (часть 2) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобаневского, 2008, № 2, с. 166-172

УДК 511.843

О ВЕРШИНАХ НЕЯВНО ЗАДАННЫХ ЦЕЛЫХ ПОЛИЭДРОВ (Часть 2)

© 2008 г. А.Ю. Чирков, С.И. Веселов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

сЫг7 @уа^ех.ги

Поступила в редакцию 11.03.2008

Продолжение обзора результатов о вершинах выпуклой оболочки всех целых точек полиэдра, опубликованного ранее под тем же названием. Приводятся результаты о вершинах выпуклой оболочки частично целых точек полиэдра. Большинство результатов сопровождается краткими доказательствами.

Ключевые слова: целый полиэдр, вершины целого полиэдра, частично целый полиэдр.

Обозначения

Будем использовать следующие обозначения: % и К - множества целых и вещественных чисел соответственно; |_а_ - ближайшее к а

целое число слева; [а, Ь] - множество целых

чисел на отрезке от а до Ь ; Ма - множество d -элементных наборов, образованных элементами из множества М; Мтхп - множество матриц размерности т х п, с элементами из множества М ; Сопу М) - выпуклая оболочка точек множества М ; V(Р) - множество вершин полиэдра Р.

Пусть I - множество номеров строк, а 3 -множество номеров столбцов матрицы А. Под Аи будем понимать подматрицу матрицы А, расположенную на пересечении строк с номерами из I и столбцов с номерами из 3. Множество, содержащее все номера строк или столбцов, обозначим через * , а дополнение к множеству Т, образованному номерами строк

или столбцов, - через Т (Т = * \ Т).

В работе, кроме целых полиэдров Р1 =

= Сопур п ) рассматриваются частично целые полиэдры Ркх(4_к) = Сопу Р П ^ х К к ]).

1. Верхняя оценка числа вершин целого полиэдра

В первой части статьи не рассматривался подход, изложенный в [1-4], позволяющий получить неулучшаемые по порядку верхние

оценки числа вершин целого полиэдра Р1 . В целях простоты изложения будем считать полиэдр Р ограниченным (т.е. Р - политоп). Заметим, что случай неограниченного полиэдра сводится к ограниченному случаю добавлением дополнительных неравенств. Главная идея подхода заключается в покрытии политопа симплексами и последующей оценкой количества вершин выпуклой оболочки целых точек для каждого симплекса из покрытия. Далее мы будем рассматривать только такие покрытия политопа симплексами, в которых каждый симплекс является выпуклой оболочкой некоторых вершин политопа.

Грани полиэдра Р , размерность которых на 1 меньше размерности Р, будем называть фасетами. Политоп Р размерности d называется простым, если каждая его вершина лежит ровно на d фасетах. Подробно метод покрытия политопа симплексами изложен в [2]. Здесь только отметим следующий факт.

Лемма 1. Пусть Р - простой d -мерный политоп. Тогда существуют покрытие политопа Р симплексами общим числом не более d\V (Р ) и покрытие к -мерных граней Р общим числом не более к! С’к V (р ).

Пусть Р = {г : Ах < Ь }, где А е Я™' ,

Ь е Я™ . Положим /г = (г,в2,...,г™ ) и Р(в)= {х : Ах < Ь + /в}. При всех значениях г е Я , кроме конечного числа исключений, политоп Р(г) - простой. Каждой вершине политопа однозначно соответствует множество но-

меров неравенств, обращающихся на ней в равенство. Вершины простых политопов Р(а) и Р(е), которым соответствуют одинаковые множества номеров неравенств, обращающихся на них в равенство, назовем подобными. Простые политопы Р(а) и Р(в) назовем подобными, если все их вершины подобны. Симплексы $ и X', соответственно из покрытий Р(а) и Р(е), назовем подобными, если их вершины подобны. Покрытия политопов Р(а) и Р(в), образованные подобными симплексами, назовем подобными. Пусть {хп } - бесконечно малая последовательность чисел. Не нарушая общности можно считать, что все политопы Р(ап)

подобны. Положим у(Р)= V(Р(ап )) . Для каждого политопа Р(ап ) по лемме 1 существует покрытие симплексами общим числом не более й!\/(Р). Не умаляя общности можно считать, что у политопов Р(ап) имеются подобные покрытия симплексами, причем количество симплексов в них не больше й!\/(Р). При предельном переходе количество симплексов в покрытии может только уменьшиться. Таким образом, существует покрытие политопа Р , содержащее не более d!v(P) симплексов. Аналогичные рассуждения можно провести и для покрытия симплексами к -мерных граней Р .

Следствие 1. Пусть Р — политоп размерности d. Тогда существуют покрытие политопа Р симплексами общим числом не более йЫ(Р ) и покрытие к -мерных граней Р общим числом не более к!Ску(Р).

Известно [5], что количество вершин d -мерного политопа с т фасетами, не превосходи вели4ины ^, т) = +1)/2_ + ^1 .

Следовательно, справедливо

Следствие 2. Пусть Р - политоп размерности d с т фасетами. Тогда существуют покрытие политопа Р симплексами общим числом не более й!^(й, т) и покрытие к-мерных

граней Р общим числом не более к! С Е,(й, т).

Пусть Л — подрешетка X й. При дальнейших построениях потребуется

Лемма 2. Пусть Р = {с є Яй : атх = Ь,

0 < хі < ю при і є [1, d ]} где а > 0. Справедливо неравенство V(Сопу(Р п Л)) < d (1 + 1о§2 d )х х [1 + 1og2 (2 + ю)]-1.

Доказательство. Положим Ті = { є V х

х (Сопу(Р п Л)) : а,(, ^ а А, і є [і, d ]} Компоненты точки ї є Ті удовлетворяют неравенствам Ь/ №аг )< < Ь/аі и 0 < іі <ю, при

1 є [l, й]. Множество Ті обладает свойством

разделенности и, следовательно (см. [6] и первую часть статьи), справедливо неравенство |Т | < (1 + ^2 л)(1 + ^2 (2 + ю))й 2. Утверждение леммы следует из включения V(Сопу (Р пЛ)) = иЛ=1Т-.

Пусть для политопа Р = {х : Ах < Ь}, где А є X тхй , Ь є Хт, rg А = Л < т построено покрытие симплексами Р = и^=1<$- (5 < й/у(Р)). Оценим число вершин выпуклой оболочки целых точек произвольного симплекса $ из покрытия политопа Р. Пусть У1,..., V й+1 - вершины симплекса $ . Обозначим через уі общий знаменатель компонент точки Уг, где і є [1 , й +1 ]. Построим матрицу О, образованную строками (Уі, V, У і) (і є [1 , й +1]). Поскольку вершины симплекса $ являются вершинами политопа Р , то элементы матрицы О по модулю не превосходят величины А, равной максимуму из абсолютных значений миноров порядка й +1 матри-(А Ь\

0 1

чек { є Xй+1 : Ий О| От у є X

цы

. Обозначим через Л множество то-

I

. Положим

{^ уй+1 . п\ 1 п т ^ 7й+1

М = { еЛ : у > 0, ^‘=+1 у {у{ = ^ О| '. Между вершинами $ и Сопу (М ) имеется взаимнооднозначное соответствие. Для оценки V(М) воспользуемся леммой 2, при ю = |ёе! О| . По

I I / I----------^+1

неравенству Адамара ^е! О | < \Дд/ d +1 ^ , и

после элементарных преобразований выводим V($) < 3dd+1 X (1 + 0,5 • ^2 (d +1)+ ^2 А)_1. Используя для оценки числа симплексов в покрытии политопа следствие 2, придем к неравенству

V(PI)й 3d21+1^(d,m)x

x(l + 0,5 • log2 (d +1)+ log2 А)1—1 .

(1)

V(PI) й 3(d — m)21 -2m+1 ^(d —

-m,

x (l + 0,5 • log2 (d — m +1)+ log2 А)1

(2)

Если использовать для оценки числа симплексов в покрытии следствие 1, то получим неравенство

V(Р1 )< 3*2<*+1 х

х (1 + 0,5 • ^2 (* +1)+ 1og2 а)-1 у(Р).

Правую часть неравенства можно рассматривать как произведение числа вершин «непрерывного» политопа «близкого» к Р на верхнюю оценку числа вершин в задаче групповой минимизации. Для оценок, приводимых ниже, справедливы аналогичные замечания.

Полученная оценка (1) переносится на случай произвольного задания полиэдра. При этом используется связь (см. [6-8]) между минорами матрицы А и матрицы, образованной фундаментальной системой решений Ах = 0.

Лемма 3. Пусть А е Я™хЛ, ^ А = ™ < * и

Аналогичным образом можно получить верхнюю оценку числа вершин выпуклой оболочки целых точек политопа при других способах задания политопа.

Правые части неравенств (1), (2) зависят от столбца свободных членов Ь . Следуя [10, 11] избавимся от этой зависимости. Пусть

Р = {х : Ах < Ь }, где А е 7 ™х* , г^4 = * < ™, Ь е 7™. Для V е V(Р1) найдется Н е V (р), что \А(у - н)^ < *5 , где 5 - максимум из абсолютных значений миноров матрицы А порядка * (см. [11, 12]). Для каждой вершины Н полиэдра Р определим множество номеров строк У Н {: 0 < Ьу - ан < *5 }. Положим РН = = { : Ьу - *5 < а ух < Ьу, у е } Справедливо нек (р V Р ) Поскольку

'j ---J

включение V (Pi ) с u

строки матрицы C є R

(1 -m)x1

образуют базис Ъ — Aj *w <

то величина А для политопа

пространства решений Ах = 0. Найдется такое число Р, что для любого т -элементного

подмножества У с Ы ] выполнено равенство ёе! АУ = (-1) 3 ёе! С- .

Рассмотрим политоп Р = {х : Ах = Ь, х > 0},

где А е 7™' , ^ А = т, Ь е 7™ . Представим общее целочисленное решение системы уравнений Ах = Ь в виде х = Ну + х0, где

Н е 7*х(*-™)

= {у : Ну + х0 > 0}.

РН не превосходит *252 , и по неравенству (1)

VР/ ) < 3*+1^(*, 2™)1 + 2,51og2 (* + 1)+

+ 2^2 5)* 1. Число вершин полиэдра Р не превосходит ^(*, ™), и, значит,

V (Р1) < 3*м+^(*,™%(*,2™)х

x(l + 2,5log2 (d +1)+ 2log2 б)1 1 .

(3)

x0 є Z

d и положим P' = Столбцы матрицы

H ' =

(H

\

образуют фундаментальную

ч0 - 1У

систему решений Ах + Ьхй+1 = 0 , и по лемме 3 для любого ™ -элементного подмножества У с [1, * +1] справедливо равенство

. Наибольший общий

|ёег(А, ь)у| = рйег Н

делитель миноров порядка ™ матрицы Н равен 1 (см., например, [9]), поэтому Ре 7 . Пусть А - максимум среди абсолютных значений миноров порядка ™ матрицы (А, Ь). Из сказанного следует, что все миноры порядка * - ш +1 матрицы Н' по абсолютной величине не превосходят А. Поскольку V(Р1) = V(Р/), то из (1) выводим неравенство

22 Аналогичные формулы получаются при других способах задания полиэдра.

Правая часть неравенства (З) при фиксированной размерности d представляет собой полином, старший член которого равен

md log1 1 б . Вероятно, степень при m можно понизить до 1/ 2, но на сегодняшний день доказательство этого факта в общем случае авторам не известно.

При получении оценок (l)-(3) существенно использовалось предположение о целочисленно-сти элементов матрицы коэффициентов при неизвестных. Для политопа предположение о цело-численности элементов этой матрицы не существенно. В [3] верхняя оценка числа вершин PI выражена через метрические характеристики политопа P . В качестве таких характеристик рассматриваются его объем Vol(P) и диаметр

D(P): D(P)= maxx^p|x — y|.

X

о

x

(4)

Главная идея при получении верхней оценки, зависящей от диаметра политопа, заключается в замене каждого из неравенств исходной системы на достаточно «близкое» неравенство с целочисленными коэффициентами и последующей оценкой числа вершин по формулам (1). В результате получим оценку (см. [3])

V (Р) < а. (а + \У -1 ^, т+2а )>

х(1+1св2 ((а + \)р(р)))-1.

Отметим, что в неравенстве (4) под а можно понимать размерность политопа (а не пространства), а под т - количество фасет политопа. Если для политопа Р известна величина V (Р ), то вместо оценки (4) можно воспользоваться следующим неравенством

V (Р) < а. (а + 1)за-1^(а ,1+за )х

х(1+1СВ2 ((а + 1)о(р))) 1 v(р).

При преобразовании пространства унимоду-лярной матрицей не меняется объем политопа и количество вершин выпуклой оболочки целых точек политопа, зато меняется диаметр политопа. При соответствующем выборе унимодуляр-ного преобразования можно добиться, чтобы объем и диаметр политопа были связаны соответствующими неравенствами. В результате получится следующая оценка: за-ь

V(Р) ^ б\(б + іуа—1 ^(б,т + 2б) х( + ІС82 (б +1) Усі (Р)|

(5)

менные через «целые» и затем свести исходную задачу к подсчету числа вершин к -мерного целого полиэдра. Полиэдр Р будем считать ограниченным (иначе можно добавить неравенства). Поскольку при построении верхней оценки используется разбиение политопа на симплексы, то естественно вначале покрыть к -мерные грани Р симплексами, а затем оценить число вершин в каждом симплексе. По следствию 2, существует покрытие к -мерных граней

Р , содержащее не более к\С1к1 Е,(б, т) симплексов. Рассмотрим симплекс $ из этого покрытия. Обозначим вершины симплекса $ через У1,...,Ук+1. Пусть точка Vі получена из Уі отбрасыванием последних б — к компонент, где і є [і,к +1]. Положим $' = Сспу(у'1,.,у'к+1).

Нетрудно у&диіь^ что у ($'1 ) = У ($кх(1—к )) . Для оценки V ($' 1) введем матрицу О , образованную строками (уг- V,, У і) (і є 1, к +1]), где уі - общий знаменатель компонент точки Vі.

Поскольку вершины симплекса $ являются вершинами политопа Р , то элементы матрицы О по модулю не превосходят величины А, равной максимуму из абсолютных значений

(Л ЬЛ

. Да-

V

0 1

/

справедливая в предположении телесности выпуклой оболочки целых точек политопа. При известной величине v(Р) вместо неравенства (5) можно использовать оценку

V (Р )< а. (а + 1)за-1^(а ,1+за )х

х( +1082 (а +1)* Ус1 (Р)| 1 v(р).

2. Верхняя оценка числа вершин частично целого полиэдра

Результаты предыдущего раздела переносятся на частично целочисленный случай. Следуя [1, 3], обсудим технические моменты, связанные с переносом верхних оценок. Пусть

Р = {х : Ах < Ь}, где А е 1тха, Ь е 7т и Г8 А = а < т, к е М ]. Вершины полиэдра Ркх(а-к) принадлежат к -мерным граням полиэдра Р . На к -мерной грани ё - к линейно независимых неравенств обращается в равенство. Это позволяет выразить «дробные» пере-

(6)

миноров порядка й +1 матрицы

лее как и при выводе неравенства (1), имеем V$' 1) < 3кк+1 (1 + 0,5 • 1о82 (к +1)+1о82 Л)-1 и, следовательно,

VРкх(а-к))< 3к2к+1С%(а,т)х

х (1 + 0,5 • 1о82 (к +1)+ 1о82 Л)-1 .

При известной величине v(Р) вместо (6) можно использовать оценку

V (Ркх(а-к))< 3к2к+С х

х (1 + 0,5 • 1о82 (к +1)+ 1о82 Л)-1 v(P).

Полученный результат распространяется на другие способы задания полиэдра. Пусть Р = {х : Ах = Ь, х > 0}, где А е гтха , Ь е 2т , Г8 А = т < а , к е [1, а ] и ранг матрицы, образованной последними а - к столбцами А , равен г (поскольку Г8 А = т, то к > т - г). Обозначим через Л максимум из абсолютных значений миноров порядка т матрицы (А, Ь). Не нарушая общности, можно считать, что А[г+1т][к+1а] = 0 , т.к. иначе добьемся этого ра-

венства с помощью последовательности эле-

V(Ркх(б—к)) < (к\)(к + 1)3к—1^(к,3к + 1)х

ментарных унимодулярных преобразований над 1 Л (9)

системой уравнений. Представим общее цело- х С* ^(ё, т )1 +1082 ((к + 1)0(Р )))-1.

численное решение системы А[г+1т][1к ]Х[1к ] =

д+г-т п 3. Достижимость верхних оценок числа

= Ь[г+1т] в виде Х[и] = Нг + с , г є 2 г т. Положим Т = у): Л[1,г][1,кНг + Л[1,г][к+ы]У = Ь, Нг + с > 0, у > 0} Вершин^і V(ркх(б—к^ и

вершин выпуклой оболочки целых и частично целых точек полиэдра

В [13] строится нижняя оценка среднего

V (Т(к+г-т уа-к)) связаны биективным отображе- числа вершин некоторого класса целых и поли-нием, определяемым формулами Х[1к]= Нг + с, эдров. Пусть Р = {х : Ах < Ь} - простой поли-

V(Ркх(б—к))< 3(к + г — т)2(к+г—т^ х

^ \jrtrp Л эдр, Л є 2тх , Ь є 2т , Г8 Л = й < т , 5 - мак-

Х[к+Ы] = У . Для °ценкИ УЩк+г—ту(б—к)\ вос- ’ „

1 1 симум абсолютных значений миноров порядка

пользуемся рассужд™ми, проведенными при б матрицы Л . Обозначим через Ес матрицу выводе неравенства (6) и получим

порядка б , отличающуюся от единичной первой строкой, равной с, через е1 - вектор

хСб—т — т,й)х (7) (1,0,...,0)Т . Определим аффинное преобразова-

х(1 +0,5 • іс82 й + іс82 а) . ние тс а по формулам хс а(х)= (252а) х

Для получения од™, не зависящей от пра- х (Есх + а • е1). Если с1 * 0, то к аффинному вых частей Ь , можно воспользоваться рассуждениями, использованными при выводе форму- преобразованию Хс а существует обратное 1С а .

лы (3). Пусть Р = { : Лх < Ь], где Л є 2тхй , Положим Р(с, а)= {с: Хс а(х)є Р] Множество

г§Л = й < т, Ь є 2т и 5 - максимум абсолют- полиэдров p{c,а), где ає[0, А —1] с1 =А и

ных значений миноров порядка й матрицы Л . су є [0, А — 1], при у є [2,й], обозначим через

Для вершины w полиэдра Р построим множе- Кр^ . Величину с(Р, А)= |КРА|—1 ХТеК V (Т1) ство номеров неравенств Jw = {: Ьу — є РА

— aуW < й5] и положим Рм’ = {с: Ь

і

— й5 <

назовем средним числом вершин выпуклой оболочки целых точек полиэдра на классе КРА .

< аіх < Ьі, у є ^ } Справедливо включение Положим Ь' = 252АЬ — аД,1. Полиэдр Р(с,а)

V(Ркх(й—к))= (Р VРь<й—к)) Из (6) следует определяется системой неравенств ЛЕсх < Ь' с

целыми коэффициентами. Максимум абсолют-(ркх(й—к)^< 3к2к+1 Сбк, тХ(й,2т)х ных значений миноров порядка й матрицы

х (1 + 2,5 • іс§2 (й +1)+ 2ісв2 5)—1. ЛЕс равен 5А. Для w є¥(Р) определим мно-

жество У, образованное номерами неравенств, Получим верхнюю оценку числа вершин w

Ркх(й—к) через диаметр Б(Р). По лемме 1 най- обращающ™ в равенство на точке w и по, » тл ложим Рw = {: Л- *х < Ь- <

дется покрытие к -мерных граней Р симплек- 1 Jw 0 ™ >

сами, количеством не превосходящим

к\Ска^(й, т). Пусть $ - симплекс из покрытия Лсмма 4. Если р(с, а) є Кра , то

с вершинами V!,...,Ук+1. Обозначим через ^(Р(с,а)1 )=^wєv(р)Vр (с,а)1причем мяо-

точку, полученную из Уі отбрасыванием по-

жества в правой части равенства попарно не

пересекаются.

|- -| I р ^ ^ ^ I V I / р

следних ё - к компонент, где 1 е 1,к + 1|. По- _ „ т,/п«/

Доказательство. Пусть у еУ\Р (с, .

ложим ^' = Сопу(у'1,_,у'к+1). Нетрудно убедиться в равенстве V (ка-к)) = V (Р' 1) . Воспользовавшись неравенством (4) для оценки

V (р ' 1), выводим тельно, компоненты столбца А А/ г по абсо-

1

Положим и = Ь'—ЛЕсу и г = иУ . Сумма компонент г строго меньше а|det ЛУ |, и, следова-

1

лютной величине меньше 5Л. Легко проверить, Положим а„ \ т • -У”\ к1 , Ь = т , где

2 ч -1 11 к=1 ’ 1 ’ м

что и = 25 Л(Ь -^)+ ^г. Если 1 * , то 1 = 1,2,...,т , у = 1,2,...,ё . Политоп

Ьу - Ау.^ >5 1 и и у > 25Л-5Л= =5Л> 0. С = {х : Ах <Ь} является двойственным к цик-

Поскольку uJ = г > 0 , то у е Р(с, а)1 . Из лическому политопу (см. [5]) и является про-

м.

. . и стым. Число вершин политопа С равно

Р(с, а), с Р™ (с, а), следует у еУ (Р(с, а) ), и ., ч ^ а (ё+7)

л- ' ' ^(ё, т). Далее, 5 < тй (ё+2) и все миноры мат-

значит, V(Р(с,а) и„,еУ(РV(Р™(с,а) ). л Т/Г /1АЧ

’ ' V ’ л;— (р) V V ^ л) рицы А отличны от нуля. Из (10) выводим

Покажем обратное включение. Пусть С(с, л)> 0,25 • а-л-ф, т)юа (п Л-2й2 (ё + 2)1п т

у еУ (Р(с, а)), а Их - линейная форма, мак- ,11Ч .ч

а из (11) получаем ск(С,Л)> 0,25

симальное значение которой на Р(с, а) дости- , „ ч , , Ч/ ч >

х к На, тСш, х([п Л-к (ё - к + 1)ё + 2)1п ж,. гается в единственной точке у. Обозначим че- ' а ' ' '

При фиксированной размерности простран-рез ™ такую вершину Р , что максимум ли- *5

„ , , г>/ Л ства ё и Л > т правая часть полученных не-

нейной формы Их на Р(с,а 1 достигается в

равенств оценивается снизу полиномом, стар-

точке т-1». Очевидно, что у е У (Р™ (с,а)1) ший член которого равен т^ 1пё-1 Л . Следо-

и, значит, V (Р(с, а)1 )= и„,еУ (Р )У Р (с, а)1). вaтельно, при фиксированной размерности по-

ч литопа оценки (1), (2), (4), (5) можно улучшить

Если у еУ (Р™ (с, а)1), то и у <5Л, при у е Jw, не более, чем в константу раз. Аналогичный

и и, >5Л при у * Jw. Итак, по вершине факт справедлив и для оценок (6), (7), (9). При у этом фиксирована не размерность политопа, а

у еУ (р(c, а)1) однозначно определяется мно- количество целых переменных.

жество J' , а значит, и вершина ™ . Лемма до-

w

казана.

Список литературы

Из леммы 4 следует равенство 1. Чирков А.Ю., Шевченко В.Н. О числе вершин

с(Р,Л)=У ( ,с(Р™,Л). Используя подход, выпукдай оболочки пересечения п°лгодра с цшто-

( ) численной решеткой // Нижегор. ун-т. им. Н.И. Ло-

изложенный в работах [13, 14] и первой части бачевского, Н. Новгород, 1993. 12 с. Деп. в ВИНИТИ

работы нетрудно получить следующее неравен- 29.07.93, № 2165-В93.

ство оР,5)> 0,25 • а-аш (л(1 + ё + ё5Уё ), где 2. Чирков АЮ Теорема КаратеоДори и покры-

а тие многогранника симплексами // Нижегор. ун-т им.

ш (г) - многочлен У'£=1 (- 1)+У-1'/(а -1)!. Тем Н И. Лобачевского Н. Новгород, 1993. I2 с. Деп. в

1 1 ВИНИТИ 19.03.93, № 668-В93.

самым получена следующая нижняя оценка

^ 3. Чирков А.Ю. О связи числа вершин выпуклой

о(Р 5)> 0 25• V(Р)ё ^ш(л(1 + ё + ё5)ё (10) оболочки целочисленных точек полиэдра с его мет-

^ рическими характеристиками // Труды 2-й межд.

Приведенные построения переносятся на конф. «Математические алгоритмы». Н. Новгород:

частично целочисленный случай. Пусть Изд-во ННГУ, 1997. С. 169-174.

к е [1,ё -1] и, дополнительно, матрица А[к+1ё] 4. Веселов СИ-, Чирков АЮ. Оценки числа

вершин целых полиэдров // Дискрет. анализ и ис-не имеет вырожденных миноров порядка след. операций. 2007. Серия 2. Том 14. № 2. С. 14-31.

ё - к . Обозначим через 51 максимальное по 5. Бренстед А. Введение в теорию выпуклых

абсолютной величине значение минора порядка многогранников. М. Миp, 1988. 240 с.

6. Шевченко В.Н. Качественные вопросы цело-

и - к матрицы А[к+1,а]» . Множество политопов численного программирования. М.. Физматлит, 1995.

Р(с,а), где ае[0,Л-1], с е [0,Л-1]кх{)У-к 1927)' Ш . б й

7. Шевченко В.Н. Алгебраический подход в це-

обозначим через КР 5 к. Средним числом вер- лочисленном программировании // Кибернетика.

1984. № 4. С. 36-41.

8. Веселов С.И., Шевченко В.Н. Оценки минимального расстояния между точками некоторых целочисленных решеток // Комбинаторно-алгебраические методы в прикладной математике. Горький: ГГУ,

Ок (Р,5)> 0,25 • к-кС*\У(Р) х 1980. С. 26-33.

ч-к> (11) 9. Касселс Дж. Введение в геометрию чисел //

хшк ^(2 + к + к5^-1) М.: Мир, 1965. 421 с.

шин назовем величину ск (Р, А) = |КРАк | 1 х

х ЕТеКрАк \¥ (Ткх(й—к)^ . Справедливо неравенство

10. Шевченко В.Н. Верхние оценки числа крайних точек в целочисленном программировании // Математические вопросы кибернетики. 1992. Вып. 4. С. 65-72.

11. Cook W., Gerards A.M.H., Schrijver A., Tar-dos E. Sensetiviti theorems in integer linear programming // Mathematical Programming. 1986. 34. Р. 251-264.

12. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования. Т. 2. М.: Мир, 1991. 342 с.

13. Чирков А.Ю. О нижней оценке числа вершин выпуклой оболочки целочисленных и частично целочисленных точек полиэдра // Дискретный анализ и исследование операций. Новосибирск, 1996. Т. 3. № 2. С. 80-89.

14. Веселов С.И. Нижняя оценка среднего числа неприводимых и крайних точек в двух задачах дискретного программирования // Г орьк. ун-т, Г орький, 1984. 8 с. Деп. в ВИНИТИ 3.06.84, № 619-В84.

ON VERTICES OF IMPLICITLY DEFINED INTEGER POLYHEDRA (Part II) A. Yu. Chirkov, S.I. Veselov

The article continues the review of results for the vertices of the convex hull of all integer points in a polyhedron published earlier under the same title. The results for convex hull vertices of partially integer points are also presented. Most results are followed by brief proofs.