CC BY
15
УДК 515.146
DOI 10.21685/2072-3040-2018-2-5
Е. И. Яковлев, В. Ю. Епифанов
НОВЫЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ БАЗИСОВ ГРУПП ГОМОЛОГИЙ ДВУМЕРНЫХ ПСЕВДОМНОГООБРАЗИЙ1
Аннотация.
Актуальность и цели. Объекты исследования - двумерные компактные полиэдры с заданным евклидовым клеточным разбиением, являющиеся псевдомногообразиями с краем. Цель - создание новых эффективных алгоритмов для вычисления базисов групп абсолютных и относительных гомологий по модулю 2.
Материалы и методы. Предложена процедура редукции к аналогичной задаче для полиэдров меньшей размерности и содержащих меньшее количество клеток.
Результаты. Разработаны алгоритмы, не использующие матрицы инци-денций. Дано их строгое математическое обоснование.
Выводы. Для рассматриваемого класса полиэдров алгоритмы данной работы намного эффективнее стандартных.
Ключевые слова: полиэдр, псевдомногообразие, группа гомологий, алгоритм.
E. I. Yakovlev, V. Yu. Epifanov
NEW ALGORITHMS FOR COMPUTING BASES OF HOMOLOGY GROUPS OF TWO-DIMENSIONAL PSEUDOMANIFOLDS
Abstract.
Background. The objects of research are two-dimensional compact polyhedra with an Euclidean cell decomposition, which are pseudomanifolds with boundary. The goal is to create new effective algorithms for computing the bases of absolute and relative homology groups modulo 2.
Materials and methods. Proposed a reduction procedure to a similar problem for polyhedra of lesser dimensionality, containing fewer number of cells.
Results. We develope algorithms which do not use incidence matrices. Their mathematical justification is given.
Conclusions. For the class of polyhedra under consideration, the algorithms presented in this paper are much more efficient than the standard ones.
Key words: polyhedron, pseudomanifold, homology group, algorithm.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 16-01-00312-a) и Программы фундаментальных исследований НИУ ВШЭ в 2018 г. (проект № 95).
© 2018 Яковлев Е. И., Епифанов В. Ю. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.
Введение
Первые алгоритмы в комбинаторной топологии появились еще в 1930-е гг. Но по-настоящему вычислительная топология начала развиваться с 1990-х гг. в связи с бурным развитием компьютерной техники. Еще одним стимулирующим фактором стало появление большого числа интересных приложений. Например, в [1] разработаны методы устранения топологического шума в компьютерных моделях, в статье [2] группы гомологий используются при моделировании и оптимизации сенсорных сетей, в [3] обсуждаются топологические характеристики случайных полей, используемые при численном моделировании нефтегазовых коллекторов. В работе [4] предложен метод устранения топологического препятствия к реализуемости одной численной схемы решения трехмерных задач механики сплошных сред методом конечных элементов.
Для вычисления групп гомологий имеются универсальные алгоритмы [5, п. 21-23]. Они основаны на приведении матриц инциденций клеток соседних размерностей к нормальной диагональной форме. Однако полиэдры, используемые на практике, например в механике деформируемого твердого тела при расчетах на прочность, могут состоять из десятков миллионов клеток (конечных элементов). Работа с матрицами таких размеров предъявляет большие требования к ресурсам используемой компьютерной техники и может занимать много времени. Поэтому для важных частных случаев целесообразно создание более эффективных и экономных алгоритмов.
Исследования в этом направлении ведутся. Например, в [6] использовано усовершенствование метода приведения матриц инциденций к нормальной форме Смита. Для нахождения базисов групп гомологий замкнутых двумерных ориентируемых многообразий применяются алгоритмы, основанные на разбиении поверхности на дерево и кодерево [7]. В работе [8] предложен метод построения базиса группы одномерных гомологий триангулированного замкнутого 2-многообразия, основанный на построении из симплексов клеточного разбиения с минимальным числом двумерных клеток.
Настоящая работа посвящена разработке новых методов вычисления базисов групп гомологий по модулю 2 (абсолютных и относительных) для двумерных полиэдров, являющихся псевдомногообразиями с краем.
1. Изучаемые конструкции и вспомогательные алгоритмы
Компактный выпуклый многогранник 5 евклидова пространства Е называется (евклидовой) клеткой. Если клетка имеет размерность п, то у нее есть грани размерностей ] = 0,1,...,п, которые также являются клетками. Клетки 5 и ^ пересекаются правильно, если они не имеют общих точек или их пересечение является гранью каждой из клеток 5 и Клетки размерностей 0 и 1 обычно называют вершинами и ребрами.
Объединение Р конечного набора правильно пересекающихся клеток является полиэдром. Его размерность равна наибольшей размерности клеток, из которых Р состоит. Набор клеток полиэдра Р, включающий вместе с каждой клеткой все ее грани, будет обозначаться символом К(Р). Полиэдр размерности п однороден, если каждая его клетка является гранью некоторой п-мерной клетки из комплекса К(Р).
Наиболее часто в качестве клеток используются симплексы и гексаэдры. Если K(P) состоит из симплексов, то представление P в виде их объединения называют триангуляцией. Гексаэдры комбинаторно эквивалентны кубам. Поэтому в случае, когда K(P) состоит из гексаэдров, говорят о кубическом разбиении полиэдра P. В механике сплошной среды клетки также называют конечными элементами, а K(P) - сеткой конечных элементов.
Пусть P - «-мерный однородный полиэдр, X = s0,sb...,se - последовательность его «-мерных клеток, причем для каждого j пересечение клеток с номерами (j - 1) и j является клеткой размерности (« - 1). Тогда X называется «-мерным путем в P с началом s0 и концом sq.
Однородный «-мерный полиэдр P называется сильно связным, если для любых его «-мерных клеток существует соединяющий их «-мерный путь. В общем случае полиэдр распадается на компоненты сильной связности.
Для вычисления базисов групп гомологий требуется умение строить компоненты сильной связности.
Алгоритм 1. Вычисление компонент сильной связности однородного полиэдра P размерности «.
1. Построим дуальный граф G, для которого вершинами считаются «-мерные клетки полиэдра P, а ребрами - пары «-клеток, пересекающихся по общей грани размерности (« - 1).
2. Найдем компоненты связности G1,. ,Gk графа G.
3. Если V, - список вершин компоненты G,, то обозначим P,- объединение клеток из У,. Тогда P1,...,Pk - набор компонент сильной связности полиэдра P.
Важную техническую роль в вычислительной топологии играет процедура коллапсирования. Ее смысл состоит в уменьшении количества клеток в комплексе K(P) с сохранением топологических характеристик полиэдра P.
Пусть P - полиэдр размерности «. Предположим, что комплекс K(P) содержит клетку s размерности (« - 1), инцидентную только одной «-мерной клетке t. Удалим t и s из K(P) и обозначим P* - объединение всех оставшихся клеток. При этом говорят, что подполиэдр P* получен из P элементарным коллапсированием в размерности «. Коллапсирование P ^ Q есть композиция конечной последовательности элементарных коллапсирований. Легко показать, что этом случае включение i: Q ^ P является гомотопической эквивалентностью и потому индуцирует изоморфизмы групп гомологий. Кол-лапсирование в размерности « считается полным, если его продолжение невозможно.
Алгоритм 2. Полное коллапсирование полиэдра P в размерности « [8].
1. Составим очередь S из клеток размерности (« - 1), инцидентных точно одной «-мерной клетке полиэдра P.
2. Пока очередь S не станет пустой, будем выполнять действия 2.1-2.4:
2.1. Выберем клетку s из очереди S и удалим ее из списков S и K(P).
2.2. Удалим из K(P) единственную «-мерную клетку t, инцидентную s.
2.3. Для каждой (« - 1)-мерной грани b клетки t, отличной от s, найдем новое количество k(b) инцидентных b клеток размерности «.
2.4. Если k(b) = 1, то добавим b в очередь S.
Наиболее важный класс полиэдров образуют многообразия. К сожалению, их стандартное определение не алгоритмично. Поэтому нужны более подходящие критерии, хотя бы для важных частных случаев.
Для клетки s из K(P) объединение всех содержащих s клеток полиэдра P обозначается символом St(s) и называется ее звездой. Имеет место [8]
Предложение 1. Двумерный полиэдр P является многообразием в том и только том случае, если выполнены условия:
1. Любое ребро b из K(P) инцидентно одной или двум двумерным клеткам полиэдра P.
2. Для любой вершины v из K(P) звезда St(v):
а) не равна v,
б) сильно связна.
Если полиэдр P размерности 2 удовлетворяет условиям (1) и (2а) предложения 1, то он будет называться псевдомногообразием (в отличии от [5], сильной связности P мы не требуем). Таким образом, у псевдомногообразия P нет ребер ветвления, но P может иметь особые вершины, окрестности которых негомеоморфны плоскости.
Однородный полиэдр размерности n называется псевдомногообразием, если любая его (n - 1)-мерная клетка инцидентна одной или двум клеткам размерности n. Клетка размерности (n - 1), инцидентная только одной n-мерной клетке из K(P), является краевой. Объединение DP таких ребер представляет собой край псевдомногообразия P.
2. Основные алгоритмы и их обоснования
Сразу отметим, что для двумерных псевдомногообразий построение базисов групп H2(P) и H2(P, DP) является более простой задачей, чем решение аналогичной задачи для одномерных гомологий.
Теорема 1. Предположим, что n-мерное псевдомногообразие P состоит из компонент сильной связности P1,...,Pm. Тогда, если все компоненты имеют непустой край, Hn(P) = 0. Если найдется такое k > 0, что компоненты Pi,. ,Pk замкнуты, а остальные имеют край, то rank Hn(P) = k и компоненты P1,...,Pk образуют базис группы Hn(P).
Доказательство. В рассматриваемой ситуации Hn(P) = Zn(P). Пусть z - цикл из Zn(P), а zj - пересечение z с комплексом K(Pj). Предположим, что множество zj не пусто и не содержит все n-мерные клетки из K(Pj). Тогда в K(Pj) найдутся n-клетки s и t, первая из которых лежит в zj, а вторая нет. Пусть X = s0,s1,...,sq - n-мерный путь в Pj, с началом s и концом t. Тогда найдется наибольший номер i, 0 < i < q, такой что si принадлежит циклу z. При этом общая (n - 1)-мерная грань клеток si и si+1 инцидентна не менее чем двум n-клеткам цикла z, а также n-клетке si+1. Это противоречит определению псевдомногообразия. Таким образом, либо zj = 0, либо zj содержит все n-мерные клетки из K(Pj). С другой стороны, компонента сильной связности является n-циклом тогда и только тогда, когда не имеет края. Следовательно, любой цикл z из Zn(P) является суммой некоторых циклов из набора P1,...,Pk. Осталось заметить, что различные компоненты сильной связности не могут иметь общих n-клеток. Поэтому циклы P1,. ,Pk линейно независимы.
Согласно теореме 1 корректен следующий алгоритм.
Алгоритм 3. Вычисление базиса группы H2(P) для двумерного псевдомногообразия P:
1. С помощью алгоритма 1 построим список S, состоящий из компонент сильной связности полиэдра P.
2. Для каждого элемента Q списка S выполним действия 2.1-2.2:
2.1. Найдем край DQ псевдомногообразия Q.
2.2. Если край DQ не пуст, то удалим Q из S.
После окончания работы алгоритма 3, список S будет состоять из циклов, образующих базис группы гомологий H2(P).
Для вычисления группы H1(P) понадобятся дополнительные свойства групп гомологий.
Теорема 2. Пусть P - полиэдр размерности n, n > 1, а Q - его подполи-эдр, полученный из P удалением внутренности одной n-мерной клетки s. Тогда:
- если существует n-мерный цикл полиэдра P, содержащий клетку s, то rank Hn(P) = rank Hn(Q) + 1 и включение i: Q ^ P индуцирует изоморфизм групп гомологий в размерности (n - 1);
- в противном случае группы Hn(P) и Hn(Q) изоморфны и имеет место равенство rank Hn-1(Q) = rank Hn-1(P) + 1.
Доказательство. Составим последовательность Майера - Виеториса для триады (P,Q,s) [8, п. 2.3]. Заметим, что группы гомологий клетки s равны нулю для положительных размерностей. Пересечение полиэдров Q и s совпадает с границей Ds клетки s. Поэтому Hn(Ds) = 0, а группа Hn-2(Ds) = 0 при n > 2 и изоморфна Z2 при n = 2. Но включения i1: Ds ^ Q и i2: Ds ^ s индуцируют изоморфизмы в нульмерных гомологиях, и потому образ гомоморфизма Hn-1(P) ^ Hn-2(Ds) всегда равен нулю. В результате для всех n > 1 получим точную последовательность
0 ^ Hn(Q) ^ Hn(P) ^ Hn-\(Ds) ^ HUQ) ^ Hn-\(P) ^ 0. (1)
Группа Hn-1(Ds) = Zn-1(Ds) изоморфна Z2 и порождается циклом Ds. Поэтому если клетка s принадлежит некоторому n-мерному циклу полиэдра P, то по построению Hn(P) ^ Hn-1(Ds) - эпиморфизм. В этой ситуации (1) распадается на две короткие точные последовательности:
0 ^ Hn(Q) ^ Hn(P) ^ Z2 ^ 0 и 0 ^ Hn-1(Q) ^ Hn-1(P) ^ 0.
Этим первое утверждение доказано.
Во втором случае гомоморфизм Hn(P) ^ Hn-1(Ds) равен нулю. Поэтому из (1) получаем точные последовательности:
0 ^ Hn(Q) ^ Hn(P) ^ 0 и 0 ^ Z2 ^ Hn_1(Q) ^ Hn_1(P) ^ 0,
откуда следует второе утверждение теоремы.
Теорема 3 в ряде случаев позволяет существенно упростить вычисление групп гомологий и их базисов. В частности, это относится к случаю, когда P - двумерное псевдомногообразие.
Алгоритм 4. Вычисление базиса группы H1(P) для двумерного псевдомногообразия P:
1. Вычислим край DP псевдомногообразия P.
2. Если край DP не пуст, то положим Q = DP и перейдем к шагу 4.
3. Удалим из списка K(P) произвольную двумерную клетку. Объединение оставшихся клеток обозначим Q.
4. С помощью алгоритма 2 выполним полное коллапсирование полиэдра Q в размерности 2. Получим подполиэдр G полиэдра Q.
5. Если в К(О) есть двумерные клетки, то присвоим переменной Р значение G и вернемся к шагу 3.
6. С помощью алгоритмов теории графов найдем неотрицательное целое число г и (при г > 0) фундаментальные циклы 2Ь.. ,,2г графа G.
Теорема 3. Если после завершения работы алгоритма 4 получим г = 0, то Н1(Р) = 0. В противном случае гомологические классы найденных циклов 2\, ..., 2г образуют базис группы Н1(Р).
Доказательство. Шаг 3 выполняется, если край ВР является пустым множеством. Согласно теореме 1 в этом случае каждая компонента сильной связности псевдомногообразия Р представляет собой двумерный цикл. Но тогда по теореме 2 удаление двумерной клетки из списка К(Р) не меняет одномерную группу гомологий. Следовательно, группы Н1(Р) и И1(0) изоморфны. Полученный полным коллапсированием Q подполиэдр G гомотопически эквивалентен Q. Таким образом, группы Н1^) и Н1(0) также изоморфны. Осталось заметить, что после завершения цикла 3-5 алгоритма G есть граф, поэтому группа гомологий Н1(0) совпадает с группой циклов Z1(G). Теорема доказана.
Далее обсудим методы вычисления групп относительных гомологий пары (Р,ВР), где Р - двумерное псевдомногообразие, а ВР - его край.
Для двумерных гомологий все обстоит просто. Пусть полиэдр Q получен из Р стягиванием края ВР в точку. Тогда группа относительных гомологий Н2(Р,ВР) изоморфна группе абсолютных гомологий Н2^) [9, п. 5]. Так как Q - псевдомногообразие без края, то по теореме 1 базис группы Н2^) образуют компоненты сильной связности Q1,...,Qk полиэдра Q. Но для любого j = 1,...,к компонента Qj получается из некоторой компоненты сильной связности Р}- исходного псевдомногообразия Р стягиванием в точку края ВPj. Отсюда следует, что компоненты сильной связности Р1,.,Рк полиэдра Р образуют базис группы Н2(Р,ВР). Для их вычисления имеется алгоритм 1.
Символом соп(ВР) будем обозначать конус над краем ВР.
Алгоритм 5. Вычисление базиса группы Н1(Р,ВР) для двумерного псевдомногообразия Р:
1. Вычислим край ВР псевдомногообразия Р.
2. Построим конус соп(ВР) и объединение СР полиэдров Р и соп(ВР).
3. Удалим из списка К(СР) произвольную двумерную клетку. Объединение оставшихся клеток обозначим Q.
4. С помощью алгоритма 2 выполним полное коллапсирование полиэдра Q в размерности 2. Получим подполиэдр G полиэдра Q.
5. Если в К^) есть двумерные клетки, то присвоим переменной СР значение G и вернемся к шагу 3.
6. С помощью алгоритмов теории графов найдем неотрицательное целое число г и (при г > 0) фундаментальные 21,.,2г циклы графа G.
7. Из каждого цикла 2„ j = 1,...,г, удалим ребра, принадлежащие списку К(соп(ВР)), если они там имеются.
Теорема 4. Если после завершения работы алгоритма 5 г = 0, то Н1(Р,ВР) = 0. В противном случае гомологические классы относительных циклов 21+С1(ВР),., 2г+С1(ВР) образуют базис группы Н1(Р,ВР).
Доказательство. По построению все компоненты сильной связности полиэдра СР являются двумерными циклами. Поэтому согласно теореме 2 после шага 3 группы Н1(СР) и изоморфны. Как и в теореме 3, после
шага 4 изоморфны группы H1(Q) и Hi(G), а после шага 6 гомологические классы [zi], ..., [zr] образуют базис группы Hi(CP).
Включение P ^ CP индуцирует изоморфизм групп гомологий H1(P,DP) и H1(CP) [9, п. 5]. А это значит, что полученные удалением из z1, ..., zr ребер конуса con(DP) относительные циклы порождают базис группы Hi(P,DP).
3. Анализ эффективности
Мы везде предполагаем, что на входе известны следующие данные:
1. Списки клеток всех размерностей комплекса K(P).
2. Для каждой k-мерной клетки s из K(P) список клеток размерности k + 1, инцидентных s.
Рассмотрим алгоритм 3. На шаге 1 требуется найти компоненты сильной связности двумерного псевдомногообразия P. Построение дуального графа G требует O(m) элементарных действий, где m - число одномерных клеток. Построение компонент связности графа G может быть выполнено за время O(e), где e - число ребер графа [10, п. 7.3]. Но по определению псевдомногообразия e не превышает числа m. Таким образом, сложность шага 1 равна O(m).
При выполнении шага 2 для каждого ребра b из K(P) нужно проверить размер списка инцидентных 2-клеток, который не превышает двух. Поэтому сложность шага 2 также O(m). Итак, доказано
Предложение 2. Алгоритм 3 вычисления базиса группы H2(P) для двумерного псевдомногообразия P имеет сложность O(m), где m - количество одномерных клеток в комплексе K(P).
Оценка шага 1 алгоритма 4 была получена выше. Шаги 2, 3 и 5 имеют сложность O(1). Шаг 4 представляет собой коллапсирование. В этом процессе каждое ребро b псевдомногообразия P используется не более трех раз. Сначала оно проверяется при построении края DP, из ребер которого и создается очередь S. Если b не попало в S сразу, то оно может быть добавлено туда после удаления инцидентной b двумерной клетки. Наконец, любое ребро из очереди S удаляется из нее. Поэтому сложность шага 2 алгоритма 4 также равна O(m). Каждый фундаментальный цикл графа G может быть найден методом поиска в ширину за время O(e), где e - число ребер из G [10, п. 7.3]. Следовательно, на построение всех циклов zb...,zr требуется O(er) действий. Поскольку e < m, то общая сложность алгоритма 4 равна O(mr).
Алгоритм 5 отличается от алгоритма 4 построением конуса con(DP) и удалением из найденных циклов ребер, принадлежащих конусу. Поскольку число ребер в con(DP) заведомо меньше 2m, то эти действия не могут изменить асимптотическую сложность. Таким образом, верно
Предложение 3. Вычисление базисов групп H1(P) и H1(P,DP) для двумерного псевдомногообразия P с помощью алгоритмов 4 и 5 может быть выполнено за время O(mr), где m - количество ребер в комплексе K(P), а r -ранг группы H1(P) или H1(P,DP).
Заключение
Пусть псевдомногообразие P состоит из k0 вершин, k1 ребер и k2 двумерных клеток, m = max{k0,k1,k2}. Тогда классический алгоритм вычисления
групп гомологий H1(P) с коэффициентами из поля Z2, основанный на приведении матриц инциденций к нормальной диагональной форме, имеет сложность O(m3). Таким образом, алгоритмы 3-5 существенно эффективнее стандартных.
Если параметр m принимает очень большие значения (например, порядка 106), то матричный алгоритм может оказаться неприменимым в практических вычислениях в силу ограниченности памяти компьютеров. Ни в одном нашем алгоритме матрицы не используются, все процедуры выполняются только со списками. Это значительно расширяет область практического применения алгоритмов с точки зрения допустимого количества клеток в комплексе K(P).
Библиографический список
1. Guskov, I. Topological noise removal / I. Guskov, Z. J. Wood // Graphics Interface Proceedings. - 2001. - P. 19-26.
2. De Silva, V. Homological sensor networks / V. De Silva, R. Glirist // Notices of the American mathematical society. - 2007. - Vol. 54, № 1. - P. 10-17.
3. Базайкин, Я. В. Численный анализ топологических характеристик трехмерных геологических моделей нефтегазовых месторождений / Я. В. Базайкин, В. А. Байков, И. А. Тайманов, А. А. Яковлев // Математическое моделирование. -2013. - Т. 25, № 10. - С. 19-31.
4. Яковлев, Е. И. Применения топологии в одной численной схеме решения задач механики сплошных сред / Е. И. Яковлев, Д. Т. Чекмарев, В. Ю. Епифанов // Современная геометрия и ее приложения : матер. междунар. конф. (Казань, 27 ноября - 3 декабря 2017 г.). - Казань : КФУ, 2017. - С. 164-168.
5. Зейферт, Г. Топология / Г. Зейферт, В. Трельфалль. - Ижевск : НИЦ РХД, 2001. - 448 с.
6. Cubical singular simplex model for 3D objects and fast computation of homology groups / Chao Jinhui, Nakayama Jyouji // Pattern Recognition, Proceedings of the 13th International Conference on IEEE. - 1996. - Vol. 4. - P. 190-194.
7. Biggs, N. Spanning trees of dual graphs / Norman Biggs // Journal of Combinatorial Theory, Series B. - 1971. - Vol. 11, № 2. - P. 127-131.
8. Яковлев, Е. И. Вычислительная топология / Е. И. Яковлев. - Н. Новгород : Изд-во Нижегород. гос. ун-та, 2005. - 214 с.
9. Дубровин, Б. А. Современная геометрия. Методы теории гомологий / Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. - М. : Наука, 1984. - 344 с.
10. Ахо, А. В. Структуры данных и алгоритмы / А. В. Ахо, Д. Э. Хопкрофт, Д. Д. Ульман. - М. : Вильямс, 2001. - 384 с.
References
1. Guskov I., Wood Z. J. Graphics Interface Proceedings. 2001, pp. 19-26.
2. De Silva V., Glirist R. Notices of the American mathematical society. 2007, vol. 54, no. 1, pp. 10-17.
3. Bazaykin Ya. V., Baykov V. A., Taymanov I. A., Yakovlev A. A. Matematicheskoe modelirovanie [Mathematical modeling]. 2013, vol. 25, no. 10, pp. 19-31.
4. Yakovlev E. I., Chekmarev D. T., Epifanov V. Yu. Sovremennaya geometriya i ee prilozheniya: mater. mezhdunar. konf. (Kazan', 27 noyabrya - 3 dekabrya 2017 g.) [Modern geometry and its application: proceedings of an international conference (Kazan, November 27th - 3rd December 2017)]. Kazan: KFU, 2017, pp. 164-168.
5. Zeyfert G., Trel'fall' V. Topologiya [Topology]. Izhevsk: NITs RKhD, 2001, 448 p.
6. Chao Jinhui, Nakayama Jyouji Pattern Recognition, Proceedings of the 13th International Conference on IEEE. 1996, vol. 4, pp. 190-194.
7. Biggs N. Journal of Combinatorial Theory, Series B. 1971, vol. 11, no. 2, pp. 127-131.
8. Yakovlev E. I. Vychislitel'naya topologiya [Computing topology]. Nizhniy Novgorod: Izd-vo Nizhegorod. gos. un-ta, 2005, 214 p.
9. Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Sovremennaya geometriya. Metody te-orii gomologiy [Modern geometry. Methods of geometry teaching]. Moscow: Nauka, 1984, 344 p.
10. Akho A. V., Khopkroft D. E., Ul'man D. D. Struktury dannykh i algoritmy [Data structures and algorithms]. Moscow: Vil'yams, 2001, 384 p.
Яковлев Евгений Иванович доктор физико-математических наук, профессор, старший научный сотрудник лаборатории «Топологические методы в динамике» ВШЭ, Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики (Россия, г. Нижний Новгород, ул. Б. Печерская, 25/12)
E-mail: eyakovlev@hse.ru
Епифанов Владислав Юрьевич аспирант, Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского (Россия, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23)
E-mail: vepifanov92@gmail.com
Yakovlev Evgeniy Ivanovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, senior staff scientist, "Topological methods in dynamics" laboratory, Higher School of Economics (25/12 B. Pecherskaya street, Nizhny Novgorod, Russia)
Epifanov Vladislav Yur'evich Postgraduate student, Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod (23 Gagarina avenue, Nizhny Novgorod, Russia)
УДК 515.146 Яковлев, И. В.
Новые алгоритмы для вычисления базисов групп гомологий двумерных псевдомногообразий / Е. И. Яковлев, В. Ю. Епифанов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. - № 2 (46). - С. 47-55. БОТ 10.21685/2072-3040-2018-2-5.
