CC BY
32
СПАЙНЫ З-МНОГООБРАЗИЙ С ВЛОЖЕННЫМИ 2-КОМПОНЕНТАМИ
А.Ю. Маковецкий*
Челябинский государственный университет
В работе изучаются специальные спайны 3 -многообразий и их преобразована, 2-компонента специального спайна называется вложенной, если ее граничная щей является простой замкнутой кривой. В статье доказывается, что для любого спецо ального спайна Р существует такой специальный спайн С} того же многообразия, что все 2-компоненты спайна <2 являются вложенными, и от спайна Р к спайну (} яожю перейти с помощью только увеличивающих преобразований М+1.
Ключевые слова: 3-многообразие, специальный спайн, преобразования сМ
нов.
1. Введение
Одним из основных способов задания 3-многообразий является и задание с помощью специальных спайнов. Каслер в работе [1] доказал, что любое 3-многообразие имеет специальный спайн и по своему специальному спайну многообразие восстанавливается однозначно. Следующий шаг в развитии теории спайнов сделан Матвеевым. В работе [2] описаны преобразования М±х и Ь±х, позволяющие перейти от специального спайна 3-многообразия к любому другому специальному спайну данного многообразия. В работе [4] доказано, что для любых двух специальных спайнов 3-многообразия существует третий спайн этого же многообразия такой, что от первого спайна к третьему спайну и от второго спайна к третьему спайну можно перейти только с помощью преобразований М+1 и £+1.
При решении таких задач в теории специальных спайнов, как усиленный вариант теоремы из работы [4] и изучение дополнительных структур на спайнах оказывается необходимым использовать представление спайна как клеточного комплекса, все 2-компоненты которого являются вложенными. 2-компонента специального спайна называется вложенной, если ее граничная кривая является простой замкнутой кривой.
В данной работе доказывается следующая теорема.
ТЕОРЕМА 1.1. Пусть Р-специальный спайн. Тогда с помощью только преобразований М+1 от спайна Р можно перейти к такому спайну (}' что все 2-компоненты спайна <3 являются вложенными.
* Работа выполнена при частичной поддержке гранта РФФИ №96-01-00847.
/--- — - — - — ж * 7 г — 7"У
/ /
Рис. 1
Ниже приведены необходимые определения.
Класс специальных полиэдров был введен Каслером [1]. В неявном виде они были известны Бингу и Зиману [5; б].
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Компактный полиэдр Р называется специальным полиэдром, если линк каждой его точки гомеоморфен одному из следующих компактных полиэдров: 1) окружности; 2) окружности с диаметром; 3) окружности с тремя радиусами.
Типичные окрестности точек специального полиэдра изображены на рисунке 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Объединение точек типов 2 и 3 специального полиэдра Р называется ее особым графом и обозначается через ЗР.
Особый граф специального полиэдра содержит конечное число точек типа 3, называемых его вершинами. Его оставшаяся часть распадается в объединение тройных линий, т.е. связных компонент множества точек второго типа. При этом допускаются замкнутые (т.е. гомеоморфные окружности) тройные линии. Тройные линии будем называть ребрами особого графа.
Компоненты связности множества Р \ 5Р будем называть 2-компонентамн специального полиэдра Р.
Опишем преобразование специальных полиэдров, введенное Матвеевым в [2]. Выберем в специальном полиэдре Р ребро е. Рассмотрим регулярную окрестность Е1 ребра е, изображенную на рисунке 2. Пересечение окрестности Е\ с остальной частью специального полиэдра Р гомеоморфно объединению двух окружностей, соединенных тремя дугами.
Рассмотрим подполиэдр , который представляет собой поверхность треугольной призмы вместе со средним треугольником и тремя прямоугольниками, которые присоединены к поверхности призмы вдоль трех ее ребер.
Естественная граница подполиэдра Е2 гомеоморфна естественной границе подполиэдра Е\. Если заменить подполиэдр Е\ на подполиэдр Е2, то получим новый специальный полиэдр С}.
Преобразование, состоящее в переходе от специального полиэдра Р к специальному полиэдру <3 обозначается через М. Преобразование, состоящее в переходе от специального полиэдра ф к специальному полиэдру Р обозначается через М-1.
Преобразования М и М-1 изображены на рисуке 2.
Понятие спайна возникло в работе Зимана [6].
Будем говорить, что симплициальный комплекс коллапсируется на свой подкомплекс, если от комплекса к подкомплексу можно перейти с помощью последовательности элементарных симплициальных стягиваний, где каждое такое стягивание состоит в отбрасывании открытого главного симплекса вместе с его открытой свободной гранью.
Полиэдр коллапсируется на свой подполиэдр, если некоторая триангуляция полиэдра коллапсируется на некоторую триангуляцию его подполиэдра.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Компактный подполиэдр Р с 1ШМ компактного 3-многообразия М с непустым краем называется его спайном, если многообразие М коллапсируется на полиэдр Р.
Компактное многообразие М с непустым краем всегда имеет спайн размерности не более двух.
Под спайном замкнутого 3-многообразия М понимается спайн многообразия М \ ЬШ3, где Г)3 -трехмерный шар М.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Спайн 3-многообразия называется специальным, если он является специальным полиэдром.
2. Устранение средних и плохих ребер
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Пусть ^'-вершина особого графа спайна Рассмотрим окрестность этой вершины в особом графе. Части ребер, которые инцидентны данной вершине и попадают в окрестность, будем называть иглами.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Пусть Е-ребро спайна. Рассмотрим окрестность этого ребра в спайне. Части клеток, которые инцидентны данному ребру и попадают в окрестность, будем называть крыльями.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. Пусть Р-специальный спайн. Будем называть ребро спайна Р хорошим, если все три крыла, инцидентные с данным ребром, принадлежат разным 2-компонентам спайна Р. Если два из трех крыльев, инцидентных данному ребру, принадлежат одной 2-компоненте, а третье крыло принадлежит другой 2-компоненте, то такое ребро будем называть средним. В случае, если все три крыла, инцидентные с данным ребром, принадлежат одной 2-компоненте, то такое ребро будем называть плохим.
120
А.Ю. Маковецкий
А В
Рис. С
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4. Ребро спайна называется петлей, если это ребро цидентно единственной вершине спайна.
ТЕОРЕМА 2.1. Пусть Р-специальный спайн с числом вершин че Ш двух. Тогда, применяя только преобразования М, можно перейти отт на Р к такому специальному спайну что в спайне все ребра буя хорошими и ни одно из ребер не будет являться петлей.
ЛЕММА 2.1. Пусть Р-специалъный спайн с числом вершин не менее дв Тогда применяя только преобразования М можно перейти от спайх<( к специальному спайну Р", не содержащему петель.
Доказательство. Обозначим одну из петель спайна Р через Е1. Ё цидентную ребру Е\ вершину обозначим через У\. Обозначим через Уг од из соседних (по отношению к вершине Ух) вершин. Окрестность вершин» и Уг в спайне изображена на рисунке 3, А. Обозначим две иглы, инп дентных вершине и принадлежащих петле Е\) через N1 и Ы2 Чер Е3 обозначим третью иглу, инцидентную вершине У\. Через Е4, и обозначим три иглы, примыкающие к вершине
Применим преобразование М вдоль ребра, соединяющего верши! У-1 и У2- Получим спайн Р'. В окрестности игл Е\-Е§ спайна Р', мож
только одна петля: содержащая иглы и Ев- Применим к ребру &йна Р', соединяющему вершины, инцидентные иглам Е2, и Es, Ев, »образование М. Получим спайн Р", изображенный на рисунке ЗВ. В местности игл Ev~Eq в спайне Р" петель нет. □
EMMA 2.2. При применении к спайну Р преобразования M вдоль ребра число плохих ребер не меняется, если Е -хорошее или среднее ребро, и Ч£А0 плохих ребер уменьшается на единицу, если Е-плохое ребро.
юказательство. При выполнении преобразования M вдоль ребра спайна Ю ребро исчезает и вместо него появляются три новых ребра. Любому 1угому ребру спайна Р соответствует единственное ребро в полученном £ле применения преобразования спайне. Характер этих ребер в интере-вдцем нас смысле не изменится. Три новых ребра в полученном спайне дут не хуже, чем средними, так как каждое из них инцидентно новой •компоненте полученного спайна. □
EMMA 2.3. Пусть S-спайн без петель и плохих ребер и с числом к сред-IX ребер. Тогда от спайна S с помощью последовательности из двадца-и четырех преобразований M можно перейти к спайну S' без петель и охих ребер и с числом к — 1 средних ребер.
Рассмотрим подполиэдр R, изображенный на рисунке 4. Назовем реб-b подполиэдра R внутренним, если обе вершины, инцидентные этому реб-у, принадлежат подполиэдру R. Остальные ребра под полиэдра R назовем вешними. Если 2-компонента инцидентна только вершинам подполиэдра , то такую 2-компоненту будем называть внутренней. Под крылом здесь дем понимать часть 2-компоненты.
РЕДЛОЖЕНИЕ 1. Все внутренние ребра подполиэдра R являются хорошими, и ни одно из них не является петлей.
Доказательство. На рисунке 4 вершины подполиэдра R пронумеро-аны числами от единицы до двадцати шести. С помощью записи вида Etj удем обозначать внутреннее ребро подполиэдра R, инцидентное вершили с номерами г и j, с помощью записи вида Ег будем обозначать внешнее £бро подполиэдра R, инцидентное вершине с номером г. В подполиэдре R екоторые соседние вершины соединены двумя ребрами. Для того, чтобы различать эти ребра, одно из ребер каждой такой пары на рисунке 4 выделено жирно. Выделенные жирно ребра будем обозначать с помощью записи вида Е[3, где г и j номера вершин, инцидентных данному ребру. Два крыла подполиэдра R, помеченные буквами А принадлежат одной и той же
Рис. 4
2-компоненте А спайна S, подмножеством котррого является подполиэдр R. Крыло под полиэдра, помеченное буквой В, принадлежит 2-компоненте В спайна S.
Опишем все внутренние 2-компоненты Ct подполиэдра R с помощью перечисления инцидентных им ребер. С1 : # 1,2, #2,з, #3,1 ; С2 : Е 1,7, #7,8, #8,6, #6,2, #2,1! Сз : #2,3, #3,6, #6,2!
С4 : #2,5, #5,4, #4,25, #25,26, #26,3, #3,2!
С5 : #6,9, #9,8, #8,б!
. ТР ТР Z71 Z71 Ï71 ЕР ТР .
Об • Jti4,5) ^5,12, ^12,21, &21.20, ^20 15, -^15,4, ^4,5,
С. ТР ТР1 ТР JP Ï71 С1 С1 ТР ТР ТР ТР
7 • "3,26, -^26,25, "25,4) -&4,15, ■С'15 11, 10, ^10,14, •С'14,13, ^13,9) ^9,6, ^6,3,
Св ^ #9,6, #6,2, #2,5, #5,12, #12,11, #11,10, #10,9!
C.Z71 ТР ТР ТР ТР ТР ТР ТР ТР ТР ТР
9 • "4,15, "15,14, "14,13, "13,8, 6, ^6,3, -^3,1, ■С'1,7, -^7,16, ^16,18, ^18,19i
СПАЙНЫ 3 МНОГООБРАЗИЙ С ВЛОЖЕННЫМИ 2-КОМПОНЕНТАМИ 123 ^19,20» #20,21, #21,22> #22,24, #24,4!
Сю ■ #ю,п, #п,ю!
Сц '■ #7,8, -^в,13, #13,16, #16,7!
С12 '■ #8,9, #9,13, #13,8!
Cl3 : Ей, 17, #17,18, #18,16, #16,13, #13,14!
Cl4 : #14,15, #15,20, #20,19, #19,17, #17,14!
С15 : #17,19, #19,18, #18,17!
Cl6 : #10,11' #11Д5, #15,14, #14,10!
Cl7 : #19,20, #20i9Í
Cis #21,221 #22,21!
Cl9 : #11,15, #15,20, #20,19, #19,17, #17,23, #23,22, #22,21, #21,12, #12,ll! C20 : #18,19, #19,20, #20,21, #21,22, #22,24, #24,25, #25,26, #26,18! C21 : #25,26, #26,25!
C22 : #23,24, #24,25, #25,26, #26,18, #18,17, #17,23! C23 : #4,24, #24,25, #25,4! C24 : #22,23, #23,24, #24,22-
Опишем также крылья подполиэдра i?, не являющиеся внутренними, г помощью инцидентных им ребер подполиэдра Д. Л : #5,2, #2,1, #12,11, #11,10, #10,9, #9,8, #8,7! В • #23,17, #17,14, #14,10, #10,9, #9,13, #13,1б! Wi : #i,7!
W2 : #7,1б!
W3 : #1,3, #3,26, #26,18, #18,16!
W4 : #5,12!
И^б : #12,21, #21,22, #22,23! : #5,4, #4,24-
Выясним, является ли каждое внутреннее ребро подполиэдра Ä плохим, хорошим или средним. Для этого рассмотрим все три инцидентных данному ребру крыла и проверим, принадлежат ли они одинаковым или разным 2-компонентам.
Ребро Ei,2 инцидентно 2-компонентам Ci, С2, W3. Поэтому ребро E¡ ,2 является хорошим. Аналогичным образом рассмотрим остальные ребра. Ребро #2,з инцидентно 2-компонентам С\, Сз, С4. Ребро #1,3 инцидентно 2-компонентам С\, С2, C;¡. Ребро Eij инцидентно 2-компонентам С2,С$, W\. Ребро #7,8 инцидентно 2-компонентам С2, C'j l, А. Ребро #8,6 инцидентно 2-компонентам С2, Си, С9. Ребро #б,2 инцидентно 2-компонентам С2, С3, G'g. Ребро #3,6 инцидентно 2-компонентам Ребро #2)5 инцидентно 2-компонентам С4, Се, А. Ребро #5,4 инцидентно 2-компонентам С4,Св, W&.
Ребро #4,25 инцидентно 2-компонентам С4, С7, С2з. Ребро #25,26 инцидентно 2-компонентам C4,C2i,C22-Ребро #25 26 инцидентно 2-компонентам С7, С2о, С2ъ Ребро #26,3 инцидентно 2-компонентам С4, С7, W3. Ребро #6,9 инцидентно 2-компонентам С5, С7, Ребро #9,8 инцидентно 2-компонентам С$,С\2,А. Ребро #5,12 инцидентно 2-компонентам Сб, Cg, W4. Ребро #12,21 инцидентно 2-компонентам Cs, С19, Ребро #21,20 инцидентно 2-компонентам Сб,Сэ,С2о-Ребро #20,15 инцидентно 2-компонентам C6,Ci4,Ci9. Ребро #15,4 инцидентно 2-компонентам Сб, С7, Сд. Ребро #15,и инцидентно 2-компонентам С7, Ci6, С19. Ребро #11,10 инцидентно 2-компонентам Сю-
Ребро #(i ю инцидентно 2-компонентам Сю, Cíe, А. Ребро #12,11 инцидентно 2-компонентам Cs,C\q,A. Ребро #ю,9 инцидентно 2-компонентам С&,А,В. Ребро #15,14 инцидентно 2-компонентам С9, С14,С\в-Ребро #14,13 инцидентно 2-компонентам C7,C9,Ci3. Ребро #ю,14 инцидентно 2-компонентам Cr^Cie, В. Ребро #13,9 инцидентно 2-компонентам С-!,С\2,В. Ребро #13,8 инцидентно 2-компонентам Сд, Си, С12. Ребро #7дб инцидентно 2-компонентам Сд, Си, Т-У2. Ребро #16,18 инцидентно 2-компонентам Cg,Ci3, W3. Ребро #18,19 инцидентно 2-компонентам Cg,Ci5,C2o-Ребро #19,20 инцидентно 2-компонентам С17, С19, С2о-Ребро #19 20 инцидентно 2-компонентам C9,Ci4, Сп-Ребро #21,22 инцидентно 2-компонентам Cíe, Сю, Сго-Ребро #21 22 инцидентно 2-компонентам С9, С18, W5. Ребро #22,24 инцидентно 2-компонентам Со, С2о, Сг4-Ребро #24,4 инцидентно 2-компонентам Сд,С2з, WV Ребро #13,16 инцидентно 2-компонентам Cn,Ci3, В. Ребро #14,17 инцидентно 2-компонентам Ci3,Ci4, В. Ребро #17,18 инцидентно 2-компонентам Ci3,Ci5,C22-Ребро #19,17 инцидентно 2-компонентам Ci4,Ci5,Cig. Ребро #17,2з инцидентно 2-компонентам С19, С22, В. Ребро #24,25 инцидентно 2-компонентам С2о, C22, С2з-Ребро #23,22 инцидентно 2-компонентам Ci9,C24, W5. Ребро #23,24 инцидентно 2-компонентам С22,С24, We-Ребро #226,18 инцидентно 2-компонентам С2о,Сг2, W3.
Таким образом, перечислив все внутренние ребра подполиэдра Я мы цедились, что все они являются хорошими и ни одно из них не является итлей.П
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. От подполиэдра Еу, изображенного на рисунке 2, к подполиэдру Я можно перейти с помощью двадцати четырех преобразований М.
Доказательство Леммы 2.8. По Предложению 2.10 заменим окрестность некоторого среднего ребра в спайне 5 на подполиэдр К с помощью двадцати четырех преобразований М. Характер ребер, не пересекающихся с подполиэдром Д, при этом не изменится. Каждое внешнее ребро подполиэдра Я находится во взаимно-однозначном соответствии с некоторым ребром исходного спайна 5. Внешнее ребро инцидентно тем же 2-компонентам, что и соответствующее ему ребро в спайне 5. Поэтому характер этих ребер также не изменится. По Предложению 2.9 все внутренние ребра подполиэдра й являются хорошими. Поэтому в полученном спайне плохих ребер не будет, а число средних уменьшится на единицу.
В полученном спайне среди ребер, не пересекающихся с подполиэдром й, петель нет, в силу того, что петель нет в исходном спайне Б. По Предложению 2.9 петель нет и среди внутренних ребер подполиэдра К. Внешнее ребро подполиэдра Д, инцидентное вершине 1, петлей являться не может, так как каждое из трех других ребер, инцидентных вершине 1, инцидентно и некоторой вершине с другим номером. По этой же причине петлями не могут быть внешние ребра, инцидентные вершинам 7, 16, 5, 12, 23 соответственно. Поэтому любое ребро в полученном спайне не является петлей. □
Доказательство Теоремы 2.5. По Лемме 2.6 применением к спай-ну Р нескольких преобразований М можно получить спайн Р' без петель. Пусть Б-некоторое плохое ребро спайна Р' и п-число плохих ребер в спайне Р'. По Лемме 2.7 применение преобразования М вдоль ребра Е даст спайн Р" числом плохих ребер п — 1. По Леммам 2.6 и 2.7 применением нескольких преобразований М из спайна Р" можно получить спайн Р'" без петель и с числом плохих ребер те — 1. Применяя индукцию по числу плохих ребер, получим, что от спайна Р можно перейти к спайну 5 без петель и без плохих ребер и с числом т средних ребер. По Лемме 2.8 от спайна 5 с помощью нескольких преобразований М можно перейти к спайну 5' без петель и без плохих ребер и с числом средних ребер т - 1. Применяя индукцию по числу средних ребер получим, что от спайна 5 можно перейти к спайну <3 без петель, без плохих ребер и без средних ребер. □
Рис. 5
3, Устранение плохих вершин
Будем говорить, что 2-компонента спайна п раз проходит через данную вершину спайна, если при движении по граничной окружности данной 2-компоненты пересечем данную вершину п раз. Назовем два крыла, инцидентных данной вершине V, противоположными, если в окрестности вершины V они пересекаются в единственной точке: самой вершине V
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Вершина V спайна Р называется хорошей, если любая 2-компонента спайна Р проходит проходит через вершину V не более одного раза, и плохой - в противном случае.
ТЕОРЕМА 3.1. Пусть Р-специальный спайн с числом вершин не менее двух Тогда, применяя только преобразования М, можно перейти от спай-
Р к такому специальному спайну Q, что в спай не Q все вершины бу-9 хорошими, все ребра будут хорошими и ни одно из ребер не будет уться петлей.
ЁДЛОЖЕНИЕ 3. Любое ребро, инцидентное вершинам подполиэдра F, Сраженного на рисунке 5, не является петлей, является хорошим ре-% и все вершины подполиэдра F являются хорошими.
Доказательство. На рисунке 5 вершины подполиэдра # пронумеро-Ы числами от единицы до двадцати трех. С помощью записи вида #¿,3-ем обозначать внутреннее ребро подполиэдра F, инцидентное верши-с номерами i и j, с помощью записи вида Ei будем обозначать внешнее ро подполиэдра R, инцидентное вершине с номером г. В подполиэдре R оторые соседние вершины соединены двумя ребрами. Для того, чтобы цшчать эти ребра одно из ребер каждой такой пары на рисунке 5 выде-Ю жирно. Выделенные жирно ребра будем обозначать с помощью записи la E'l]t где i и j номера вершин, инцидентных данному ребру. Крылья 1полиэдра, помеченные буквами А, В и С принадлежат сответственно компонентам А, В я С спайна S.
Опишем все внутренние 2-компоненты С; подполиэдра F с помощью ечисления инцидентных им ребер.
CI ■ #2,3) #2,3!
С-1 : #1,2, #2,3, #3,4, #4,1;
Сз: #з,4, #4,6, #б,з;
С4: #6,7, #6,7;
С5 '■ #1,2, #2,9, #9,1;
Сб '• #2,3, #3,6, #6,7, #7,8) #8,9, #9,2!
CV : #4,18, #18,19, #19,21, #21,22! #22,5, #5,7, #7,6, #6,4',
Cs '■ #10.13, #13,12, #12,11, #11,10!
С9 : #5,7, #7,6, #6,4, #4,1, #1,9, #9,8, #8,14, #14,16, #16,15, #15,13, #13,10, #10,17, #17,18, #18,19, #19,20, #20.23, #23,5Í Сю '• #8,14, #14,8',
Си •' #14,16, #16,15, #15,13, #13,9, #9,8, #8,14! C12 : #12,13, #13,15, #15,12; ^13 : #11,12' #12,1Ь С14 : #10,11, #11,17, #17,ю;
C15: #17,11, Sil ,12) #12,15, #15,16, #16,20, #20,19, #19,18' #18,17i
Cl6 : #15,16' #16,15í
Cl7 : #19,18, #18,19'
Ci8 : #19,20, #20,21, #21,19¡
C19 : #21,22, #22,2ii
C20 : #20,23, #23,22, #22,21' #21,205
С21 : #5,23, #23,22, #22,5!
Опишем также крылья подполиэдра #, не являющиеся внутренним», с помощью инцидентных им внутренних ребер подполиэдра F.
А : #5,22) #22,21) #21,19) #19,18) #18,4) #4,3) #3,2, #2,li # : #14,8, #8,7, #7,6, #6,3, #3,2, #2,9, #9,13, #13,12, #12,11, #11,10; С : #23,22, #22,21, #21,20, #20,16, #16,15) #15,12, #12,11, #11,17! m : #1,9, #9,13, #13,10;
: #10,17! W3 : #1,4, #4,18, #18,17! W4 : #5,7, #7,8, #8,14Í W5 : #14,16, #16,20, #20,23! W<3 '■ #5,23-
Выясним, является ли каждое внутреннее ребро подполиэдра F плохим, хорошим или средним. Для этого рассмотрим все три инцидентных данному ребру крыла и проверим, принадлежат ли они одинаковым или разным 2-компонентам.
Ребро #1,2 инцидентно 2-компонентам С2,Съ, А. Поэтому ребро E¡¡} является хорошим. Аналогичным образом рассмотрим остальные ребра. Ребро #2,з инцидентно 2-компонентам С\, А, В. Ребро #2 3 инцидентно 2-компонентам С i, С2, С&-Ребро #з,4 инцидентно 2-компонентам CJ2, Сз, А. Ребро #4д инцидентно 2-компонентам С2,Сд, W3. Ребро #4,6 инцидентно 2-компонентам Сз,С7, Сд. Ребро #б)з инцидентно 2-компонентам Сз,Св,В. Ребро #6 7 инцидентно 2-компонентам С4, С7, В. Ребро #g 7 инцидентно 2-компонентам С4, Со, Сд. Ребро #2,9 инцидентно 2-компонентам С$,Съ,В. Ребро #9,1 инцидентно 2-компонентам С'ь,Сд, Wi. Ребро #7,8 инцидентно 2-компонентам Се, В, W.%. Ребро Eg g инцидентно 2-компонентам Сб,С9,Сц. Ребро #4,18 инцидентно 2-компонентам Су, А, В. Ребро #18,19 инцидентно 2-компонентам Су,Сд,Сп. Ребро #[8 19 инцидентно 2-компонентам С15, Сп, А. Ребро #19,21 инцидентно 2-компонентам С7, Ci8, А. Ребро #21,22 инцидентно 2-компонентам С\д,А,С. Ребро #21,22 инцидентно 2-компонентам С7, Сю, С20. Ребро #22,5 инцидентно 2-компонентам C-¡,C2\, А. Ребро #5,7 инцидентно 2-компонентам С7, Сд, W4. Ребро #ю,1з инцидентно 2-компонентам С&,Сд, W\. Ребро #13,12 инцидентно 2-компонентам Съ,С\2,В. Ребро #12,11 инцидентно 2-компонентам Cs,B,C.
Ребро Е'п u инцидентно 2-компонентам Cs,Ci3, С15. Ребро #цдо инцидентно 2-компонентам С$,Си,В. Ребро #8,14 инцидентно 2-компонентам Сю, Сц, В. Ребро #8,14 инцидентно 2-компонентам Сд, Сю, W4. Ребро #14,16 инцидентно 2-компонентам Сд,Сц, W5. Ребро #16,15 инцидентно 2-компонентам Cn,Ci6,C. Ребро #16,15 инцидентно 2-компонентам Cg,Ci5,Ci6. Ребро #15дз инцидентно 2-компонентам Cg,Cn,Ci2. Ребро #ю,17 инцидентно 2-компонентам Cg, С14, Ребро #17,18 инцидентно 2-компонентам Cg, С15, W3. Ребро #ig,2o инцидентно 2-компонентам Cg,Ci5,Ci8-Ребро #20,23 инцидентно 2-компонентам Сд,Сго, W5. Ребро #23,5 инцидентно 2-компонентам Cg,C2i, Wß. Ребро #1з,g инцидентно 2-компонентам Сц, В, W\. Ребро #15,12 инцидентно 2-компонентам Ci2,Cis,C. Ребро #ц,17 инцидентно 2-компонентам Ci4,Cis,C. Ребро #16,20 инцидентно 2-компонентам Ci5,C, W5. Ребро #20,21 инцидентно 2-компонентам Cis,C2o, С. Ребро #23,22 инцидентно 2-компонентам С20, С21, С. Таким образом, перечислив все внутренние ребра подполиэдра F мы убедились, что все они являются хорошими и ни одно из них не является петлей.
Докажем, что все вершины подполиэдра # являются хорошими. Для этого опишем для вершины с номером i три пары противоположных крыльев, инцидентных данной вершине, с помощью номеров тех 2-компонент, которым эти крылья принадлежат.
l:(Wi,C2);
(С5, W3);
(А,с9).
Эта запись означает, что вершине номер 1 инцидентна пара противоположных крыльев, принадлежащих 2-компонентам W\ и С2, пара противоположных крыльев, принадлежащих 2-компонентам С5 и Wz и пара противоположных крыльев, принадлежащих 2-компонентам А и Cg. Поэтому вершина номер 1 подполиэдра F является хорошей вершиной. Проверим остальные вершины подполиэдра F.
2: (А, Св);
(CbCs); (С2,В). 3 : (Ci,C3); (А, Св); (В,С2).
А.Ю. Маковецкий
4 : (С2,С7); (С3, W3); (Д Се).
5 : (C2i,W4); (С7, We); (А,С9).
6 : (Сз,С4); (Се, С7); (С9, В). 7:(C4,W4);
(С7, Се);
(С9,Я).
8 : (Се, Сю); (Сц, W4);
(Се, В).
9 : (С5, Сц); (Ce,Wi); (С9,В).
10 • (Wi.CM); (C8,W2); (С9,В).
11 : (Cu, C13);
(C8,C);(C15,S). 12:(C12,C13); (C8,C); (C15,B).
13 : (C12, Wi); (С8,Сц); (C9,JB).
14 : (Сю, W5); (Cn,W4); (C9,B).
15 : (Ci2,Ci6); (Cut C15); (Ce,C).
16 : (Cie.We);
(Сц, C15);
(Се, С).
17:(Ci4,W3);
(Ci5,W2);
(C9,C).
СПАЙНЫ 3 МНОГООБРАЗИЙ С ВЛОЖЕННЫМИ 2-КОМПОНЕНТАМИ
Рис. 6
18:(Ci7,W3); (Ci5, Cr); (Се, Л). 19 : (С1Г,С19);
(Cl5, C7);
(C9,A). 20:(C15,C2O), (Cas, W5); (C9,C).
21 : (Ci8,Ci9);
(C30, A); (C7,C). 22:(C7,C); (Cjg, C21);
(А,с20). 23 : (С731, (С20,жб); (Се, С).
Таким образом, все двадцать три вершины являются хорошими вершинами. □
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. От подполиэдра Е\ из рисунка 2 к подполиэдр^ F можно перейти с помощью двадцати одного преобразования М.
Доказательство Теоремы 3.2. В силу Теоремы 2.5 можно считать, что спайн Р является спайном с только хорошими ребрами и спайн Р не имеет петель. Пусть ^-некоторая вершина спайна спайна Р. Если некоторая 2-компонента проходит через вершину не менее трех раз, то в окрестности этой вершины есть ребро, которое является не лучшим, чем , средним, что противоречит выбору спайна Р. Поэтому любая 2-компонента спайна Р проходит через вершину VI либо один раз, либо два раза по паре противоположных крыльев.
Предположим, что некоторая 2-компонента спайна Р два раза проходит через вершину Ух.
Обозначим через У2 некоторую соседнюю по отношению к вершине VI вершину. Окрестностью этих двух вершин является подполиэдр изображенный на рисунке 2. По Предложению 3.4 с помощью нескольких преобразований М можно заменить в спайне Р подполиэдр Е\ на подполиэдр изображенный на рисунке 5. По Предложению 3.3 ни одно из внутренних ребер, подполиэдра # не является петлей, все внутренние ребра подполиэдра # являются хорошими и все вершины подполиэдра Р являются хорошими.
Внешнее ребро подполиэдра Е, инцидентное вершине 1, петлей являться не может, так как каждое из трех других ребер, инцидентных вершине 1, инцидентно и некоторой вершине с другим номером. По этой же причине петлями не могут быть внешние ребра, инцидентные вершинам 10, 1?, 5, 14, 23 соответственно. Поэтому любое ребро в полученном спайне не является петлей.
Таким образом, мы перешли от спайна Р к спайну Р' без петель, без плохих и средних ребер и с числом плохих вершин на единицу меньше, чем в спайне Р. Индукцией по числу плохих вершин получаем, что с помощью преобразований М можно перейти от спайна Р к спайну С}. □
Теорема 1.1 следует из Теоремы 3.2. Тем самым Теорема 1.1 доказана.
Опишем подполиэдр типа О. Подполиэдр типа С? представляет собой поверхность цилиндра вместе со средним диском и несколькими прямоугольниками, которые присоединены к поверхности цилиндра вдоль его
Теорема 1.1 следует из Теоремы 3.2. Тем самым Теорема 1.1 доказана.
Опишем подполиэдр типа О. Подполиэдр типа С представляет собой поверхность цилиндра вместе со средним диском и несколькими прямоугольниками, которые присоединены к поверхности цилиндра вдоль его образующих. Пример подполиэдра типа С изображен на рисунке 6. Окрестность в спайне любой вложенной 2-компоненты устроена аналогично под-полиэдру (9.
Список литературы
1. Casier В.G. An embedding theorem jor connected 3-manifolds with boundary// Ptoc.Amet.Math.Soc. 1965. Vol. 16. P. 559-566.
2. Matveev S.V. Transformations of special spines and Zeeman conjecture// Malh.USSR-Izv. 1988. Vol. 31. P. 423-434.
3. Macovetsky A. Transformations on special spines of 3-manifold and branched surfaces// Knots'96 Conference/Workshop report for fifth MSJ international research institute knot theory, Tokyo, 1996. P. 126-127.
4. Маковецкий А.Ю. О преобразованиях специальных спайное и специальных полиэдров// 1999. Т. 65, №3. С. 354-361.
5. Bing R.H. Some aspects of the topology of 3 manifold related to the Pomcare Conjecture// Lectures on modern Math., edited by T.L. Saaty Inc. 1964. Vol.11.
6. Zeeman E.G. On the dunce hat// Topology. 1963. Vol. 2. P. 341-358.
SUMMARY
We study special spines of 3-manifold and their transformations. 2 component of special spine is called embedded, if boundary curve of this 2 component is simple closed curve. In this work is proved that we can pass from arbitrary special spine to the special spine, which has only embedded 2-components, by transformations M+1 only.
