К вопросу о равномерно связных пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 5, 1998

УДК 515.12

К ВОПРОСУ О РАВНОМЕРНО СВЯЗНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Е. В. Моисеев

В статье приводится необходимое и достаточное условие, при котором равномерно связное метризуемое пространство является абсолютным ретрактом.

Понятие равномерно связного ^(7-пространства введено Фоксом

[1]. Оно заключается в существовании на пространстве равномерно связывающего отображения. Легко показать,что ^(7-пространствами являются абсолютные ретракты (см.[1]). Возникает естественный вопрос об обратимости последнего утверждения. Положительный ответ на него получен в случае конечномерных метрических пространств [2],в случае компактных метрических пространств вопрос остается открытым, а в случае произвольных метрических пространств ответ отрицательный. Это следует из известного примера Коути [3] линейного метрического пространства, не являющегося Л ^-пространством.

Дугунджи в работе [2] приводит одно достаточное, но не необходимое условие, при котором метризуемые ^(7-пространства являются абсолютными ретрактами. В данной статье получено условие, которое является не только достаточным, но и необходимым.

Определение . Пусть X—топологическое пространство. Будем говорить, что в окрестности и точки х Е X задана итерированная равномерно связывающая (1ЕС) структура, если существует семейство непрерывных отображений Ап,п = 0,1,..., удовлетворяющее следующим условиям:

© Е. В. Моисеев, 1998

1) Ао = id : и и, А0 = и,

2) Ап+1 : т4п_)_1 — Ап х Ап х I у X, I — [0,1],

К+1(х,у,0) = Л„+1 (у,х, 1) = \х,х,г) = Хп(х),

3) для любой окрестности V любой точки у Е V С II существует

окрестность V1 С V такая, что Ап{у1 х V'... х I х I) С V для

любого п.

Если 11 = С/, то будем говорить, что 7\Е(7-структура задана на пространстве X.

Топологическое пространство с 7\Е(7-структурой будем называть 1Е (7-пространством.

Если 1Е(7-структуры заданы на некоторой окрестности каждой точки пространства X и эти структуры согласованы, т. е. значения отображений Ап не зависят от выбора окрестности, то будем говорить, что на пространстве X задана локальная итерированная равномерно связывающая (ЫЕС) структура.

Соответственно определяются ЫЕС-пространства.

Теорема 1. Пусть X — метризуемое пространство,тогда следующие условия эквивалентны:

1) X является ЫЕС-пространством,

2) X является АМЯ(Ш)-пространством.

Теорема 2. Пусть X— метризуемое пространство, тогда следующие условия эквивалентны:

1) X является IЕС-пространством,

2) X является АЯ(Ш)-пространством.

Доказательство импликации 2 => 1 теорем 1 и 2.

Пусть X — метрическое пространство, тогда X вкладывается изометрически в некоторое линейное нормированное пространство Н(Х) (см.[4, с. 88]) таким образом, что X замкнуто в своей выпуклой оболочке С(Х). Если X является Л7УД(ШТ)-пространством, то существует ретракция г : V —> X некоторой окрестности II экземпляра X в С{Х). В случае ЛД(ШТ)-пространств имеет место равенство и = С(Х).

Пусть х Е X; О' — некоторая окрестность точки х в пространстве С(Х). Пространство С(Х) является локально выпуклым, поэтому

без ограничения общности окрестность О1 можно считать выпуклой. В случае ЛД(ШТ)-пространства X положим О1 = С(Х). Обозначим О = О' Р| С(Х) — окрестность точки х в пространстве X.

Отображения Ап определяем по индукции. Для этого удобно ввести промежуточные отображения : Ап —у X. При п = О полагаем Ао = Ад = гс? : О —У О. Пусть определено отображение А^ : Ап —у X, тогда Л^+1 = (1 - Ь) * Х'п(х) + Ь * Х'п(у), где х,у е А„,г € [0,1]. Отображение Л„ зададим как композицию А„ = г * Х'п.

Проверим три условия определений ЫЕС- и 1Е(7-структур. Первое условие является базой индукции в определении отображений Ап.

Второе условие определений проверяется непосредственно:

Хп+1(х,у,0) = Л„+1 (у,х, 1) = Хп+1(х,х,г) = г(Х'п(х)) = Хп(х).

В силу непрерывности ретракции г для любой окрестности V точки х Е X в пространстве X существует выпуклая окрестность У” точки х в пространстве С(Х) такая, что г (У”) С У”. Рассмотрим окрестность V1 — V” П X точки х в пространстве X. Ясно, что V' С V. Выпуклость окрестности У” влечет включение: А'П(У' х V'... х I х I) С V” для любого п Е -/V", а включение г(0) С V обеспечивает выполнение условия: АП(У' х V' х ... х I х I) С V для любого п Е N. Таким образом, условие 3 в определениях 1ЕС- и ЫЕС-структур выполняется и доказательство импликаций 2=> 1 теорем 1 и 2 закончено.

Доказательство импликации 1 => 2 теоремы 1. Доказательство будем проводить с помощью характеризационной теоремы Дугунджи (см.[2]) :

Теорема 3. Пусть У равномерно локально связно. Тогда У является ANR(Ш)-пространством тогда и только тогда, когда для любого открытого покрытия Щ пространства У существует такое измельчение V, что для любого политопа Р, любой частичной реализации / : Ро ~^► У в V нульмерного остова Р° (см.[2]) существует полная реализация Р в Ш.

Итак, пусть X — некоторое ЫЕС-пространство, W — некоторое открытое покрытие X. Впишем в Ш покрытие V = V, состоящее из таких множеств V, что семейство ХП(У XV х ... х I х /), п Е N, вписано в Ш. Это возможно сделать в силу третьего условия в определении 7\Е(7-структуры.

Пусть /о: Ро —;► X — некоторая частичная ¥-реализация нульмерного остова политопа Р, то есть такое отображение, что система /о(сгПРо), где сг пробегает все симплексы из Р, вписана в V. Положим, по определению, отображение /о : сг П Ро —> Ао равным /о (множество Ао обозначено в соответствии с основным определением).

Полную реализацию политопа Р будем строить, последовательно продолжая отображение на п-мерные остовы. Пусть существует частичная Ш-реализация п — 1-мерного остова политопа Р. Зафиксируем семейство гомеоморфизмов Н между п-мерными симплексами триангуляции Рп и стандартным п-мерным шаром Вп в пространстве

. Мы предполагаем, что заданы отображения /п-1 : сгПРп —> Ап_ 1 и /п-1 : Рп_1 —у X, которые связаны равенством /п-1 = Ап_1 * /п-ъ где сг пробегает все п-мерные симплексы триангуляции Р.

Определим два отображения : Рп —>• Рп_1 и рг~ : Рп —>• Рп_1 следующим образом: каждой точке х Е Рп соответствует точка

Н{£) = £ = (^1, ...^), принадлежащая п-мерному единичному шару Вп. Спроектируем точку к(х) = £ вдоль первой координатной оси на границу шара Вп, получим две проекции (£) = (л/1 — Ц — ... — ^^, • • •,

ир“(£) = (—1/1 — ^2 — ••• 2, ...*п). Положим рг+ равным /г-1 *р+*

/г, аналогично положим равным /г-1 * к.

Отображение /п: ст П Рп —>• Лп = Лп_х х Лп_х х I определим так: /п(ж) = (/гг-1 хрг+(г),/„_1 х рг~(х),к(х)), где

ч _ лЛ - *2 - -*П - *1

2* у/1-4-..Л*

(если д/1 — ^ ^ = 0, то положим &(ж) = 1).

Соответственно отображение fn определяется как композиция fn — Ап * /п-

Отображение fn непрерывно на любом п-мерном симплексе, кроме двух точек, отображающихся в полюсы шара Рп, следовательно, композиция Ап * /п непрерывна на любом п-мерном симплексе в силу второго свойства IЕС-структуры. Второе условие в определении 1Е(7-структуры также обеспечивает равенство fn\pn-l = /п_1. Таким образом, является непрерывным продолжением /п-1-

Конструкция покрытия V обеспечивает тот факт, что все отображения fn являются частичными Ш-реализациями политопа Р.

Положим отображение / равным на каждом n-мерном симплексе политопа Р отображению /п. В силу сказанного / действительно являются продолжением /о и, кроме того, W-реализацией.

Итак, все условия теоремы Дугунджи выполнены и X является ЛЛ/^(ШТ)-пространством.

Доказательство импликации 1=>2 теоремы 2.

По теореме 1 пространство X является ANR(ffl). По замечанию 3 в работе [5] и его доказательству необходимо проверить, что X связно в любой размерности, но X является равномерно линейно связным пространством, а это влечет связность в любой размерности (см.[2]). Доказательство теорем закончено. □

Resume

It is given the necessary and sufficient condition that a uniformly connected metrizable space to be an absolute retract in this paper

Литература

[1] Fox R. On fiber spaces,II// Bull. Am. Math. Soc. 1943. T. 49. P. 733-738.

[2] Dugundji J. Locally equiconnected spaces and absolute neighborhood retracts// Fund. Math. 1965. T. 57. P. 187-193.

[3] Cauty R. Un espace metrique lineaire qui n’est pas un retracte absolu// Fund. Math. 1994. T. 146. P. 85-99.

[4] Борсук К. Теория pempanmoe. М.: Мир, 1971.

[5] Ташметов У. О связности и локальной связности гиперпространств // Сиб. мат. журнал. 1974. Т. 15. №25. С. 1115-1130.