К вопросу эффективности контакт-центров на базе IP-телефонии по критерию качества функционирования с учетом процесса отказов и восстановлений Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 004.77+004.052+519.872+519.873

А. В. Малое

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет "ЛЭТИ"

К вопросу эффективности контакт-центров на базе IP-телефонии по критерию качества функционирования с учетом процесса отказов и восстановлений

Описана методика оценки качества функционирования актуальных на сегодняшний день контакт-центров на базе IP-телефонии с учетом процесса отказов и восстановлений (ПОВ) оборудования. Рассмотрены математические модели процесса функционирования и характеристики контакт-центра как системы массового обслуживания с учетом ПОВ.

Контакт-центры, IP-телефония, надежность вычислительных комплексов, методики оценки качества функционирования контакт-центров с учетом ПОВ

В настоящее время все большую популярность набирают технологии Internet protocol (IP) multimedia subsystem (IMS), позволяющие объединить и унифицировать доступ к услугам из различных сетей связи, в том числе из телефонной сети общего пользования (ТСОП), Интернета, сотовых сетей [1]. Одновременно растет популярность подобных технологий среди пользователей. В связи с этим возрастает интенсивность проводимых через Интернет IP-вызовов, в том числе в различные центры обслуживания вызовов (ЦОВ). Одним из наиболее современных и перспективных видов ЦОВ являются контакт-центры на базе IP-телефонии [2], [3].

Абоненты используют современные телекоммуникационные сети, как стационарные, так и мобильные, не только для голосовых вызовов, но и для обмена почтовыми сообщениями, общения посредством мгновенных текстовых сообщений с помощью различных интернет-пейджеров (Instant messaging). Благодаря современным технологиям данные способы обмена информацией становятся достаточно простыми и удобными. Логично предоставить такой способ связи и абонентам контакт-центров, что и наблюдается в последнее время.

В рассмотренном случае запрос, как правило, не требует немедленной обработки. Распределение времени обслуживания подобных запросов носит медленно затухающий характер, в отличие от традиционных голосовых вызовов, время обслуживания которых подчинено показательному закону [2], [4]. В последнее время появилось достаточно большое число работ, посвященных проектированию подобных систем и определению их вероятностно-временных характеристик, но данные типы запросов выходят за пределы данной статьи.

Существуют работы [5], в которых рассматриваются простые модели системы массового обслуживания (СМО), пригодные для быстрой оценки параметров контакт-центров без учета некоторых особенностей процесса обслуживания вызовов. Работы [4], [6] посвящены оценке эффективности контакт-центров по критерию качества функционирования, расчету их вероятностно-временных характеристик с учетом вызовов, использующих как ТСОП, так и IP-телефонию. В таких работах учитываются пользователи, покидающие очередь до начала обслуживания, и прочие особенности, связанные с процессом обслуживания вызовов в со© Малов А. В., 2010 37

временных ЦОВ. Однако в приведенных работах не учитываются возможные технические сбои. Настоящая статья посвящена моделям, позволяющим оценить качество функционирования контакт-центров с учетом возможных отказов оборудования.

При обращении абонента в контакт-центр возможны различные варианты обслуживания его вызова. Если вызов пользователя через ТСОП застанет контакт-центр в состоянии, когда все входные линии его учрежденческой автоматической телефонной станции или шлюза ГР-телефонии заняты, то абонент получит сигнал "занято". Аналогичная ситуация возможна, ечли вызов пользователя идет через Интернет и застает систему в состоянии, когда для передачи голосового мультимедийного трафика и поддержки связи с абонентами, осуществившими ГР-вызов ранее, используется вся или почти вся пропускная способность линий связи выхода в Интернет. В данном случае не будет возможности предоставить трафик для обслуживания нового вызова, и пользователи, осуществляющие ГР-вызовы, также получат сигнал "занято". Возможна ситуация, когда пользователь застает систему контакт-центра в состоянии отказа: в этом случае вызов также не будет принят. Дальнейшее развитие событий зависит от реакции пользователя, который может немедленно перезвонить, перезвонить через некоторое время, а также вообще отказаться от повторного вызова [2], [4].

После успешного приема вызова в зависимости от загрузки операторов контакт-центра, требуемой услуги и некоторых других факторов возможны различные варианты дальнейшего обслуживания абонента (рис. 1). Если пользователю требуется обслуживание агента контакт-центра, то при наличии свободных агентов его вызов будет передан одному из них. В противном случае вызов ставится в очередь для ожидания. Пользователя может не удовлетворить время ожидания в очереди, он прервет вызов, и данный вызов будет потерян. Для всех поте-

^Вызов абонента ^ через ТСОП или через Интернет у

Отсутствие свободных линий или возможности увеличения

трафика

Наличие свободных линий или возможности увеличения трафика

Отсутствие свободных агентов

Долгое время ожидания в очереди

Наличие свободных агентов

Постановка

вызова в очередь на обслуживание

I

Освобождение ресурсов

Обслуживание вызова оператором или системой IVR

Отказы, техническая неисправность

Повторный вызов

Прерывание вызова

Окончание вызова

Рис. 1

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2010. Вып. 2

рянных вызовов возможны повторные попытки в зависимости от предпочтений пользователя. Если пользователю для обслуживания требуется какая-либо автоматизированная система, например система Interactive voice response и т. п., то, как правило, обслуживание начинается сразу, без ожидания в очереди. Обслуженные вызовы могут уйти из системы или возвратиться в нее для дальнейшего обслуживания в зависимости от желаний абонента.

Таков классический сценарий обслуживания вызовов. В нем не отражены возможные отказы оборудования контакт-центра. Наиболее критичными являются отказы, при которых имеющийся вызов будет потерян или система вообще не сможет принимать вызовы. Как правило, таковыми являются отказы внутреннего оборудования системы контакт-центра, а не конечного оборудования его операторов, поскольку в последнем случае правильно построенная система переключит абонента на оператора с работоспособным оборудованием либо поставит в очередь на ожидание при отказе оборудования агента, обслуживающего пользователя. По этой причине отказы оборудования агентов контакт-центра можно не учитывать. После отказа системы, затронувшего пользователя, абонент может отказаться от повторного вызова или перезвонить через некоторое время.

Таким образом, отказы оборудования, несмотря на то что они при правильной организации контакт-центра достаточно редки, при их возникновении могут существенно повлиять на показатели качества обслуживания и некоторые другие характеристики. Оценить влияние отказов оборудования на показатели качества функционирования позволяют соответствующие модели. В настоящей статье рассматриваются наиболее простые базовые модели контакт-центров, при этом уделяется внимание проблеме учета процесса отказов и восстановлений (ПОВ) оборудования.

Математическая модель процесса обслуживания вызовов с учетом ПОВ. Как уже отмечалось, для контакт-центров наиболее критичными являются отказы, связанные с его центральными модулями, а не выход из строя оборудования операторов. Отказ одного из центральных модулей может привести к потере связи операторов со всеми обслуживаемыми в данный момент абонентами либо с частью из них. Будем считать, что вызовы, при обслуживании которых произошел отказ, удается сохранить в системе, возможно, передав соответствующее информационное сообщение абонентам. При восстановлении работоспособности данные вызовы будут обслуживаться заново, а не дообслуживаться.

Пусть время наработки системы на отказ подчиняется экспоненциальному закону с функцией распределения (ФР) V (t) = 1 - , а время восстановления - произвольному закону распределения с ФР U (t). Время обслуживания вызовов без учета ПОВ описывается ФР G (t).

Используя имеющиеся характеристики системы, определим среднее время обслуживания вызовов с учетом ПОВ. Обслуживание поступившего вызова за время t может проходить по двум сценариям [7]:

• Обслуживание завершается за время t без отказов системы. Вероятность такого собы-

t _

тия определяется как J dG (х )[1 - V (х)].

0

• Во время обслуживания возникает п отказов, однако общее время их устранения и обслуживания не превосходит г. Вероятность такого процесса вычисляется по формуле

/ / - X /

{Сш(п)(х) | до(у)[1 -V(у)], где ш(п)(I) = {ш(п-1)(I-х)Сш(х) - вероятность того, 0 0 о

что за время обслуживания вызовов будет наблюдаться по крайней мере п циклов "обслуживание вызова - отказ - восстановление" и суммарная длительность данных собы-

г _

тий не превысит времени г. При этом ш (I) = |dV(х)[1 - О(х(I - х) - вероятность

о

того, что за время обслуживания вызова произойдет отказ и система восстановится при суммарной длительности событий не более г.

Вероятность обслуживания вызова за время I с учетом ПОВ определяется как сумма вероятностей реализации описанных сценариев:

I __да I , ч г - X _

О (г) = | дО (х )[1 -V(х)]+£/Сш(п)(х) | дО(у)[1 -V(у)].

0 п=10 0

да

Введем преобразование Лапласа L [/ (I)] = _[ (I) Сг произвольной функции / (I)

0

и обозначим £(5) = L[О'(0], £(5) = L[О'(t)], и(5) = L[^'(0]. Найдем £(5). Используя свойство данного преобразования для свертки [8] получим

и),

х д ш п ( х )

и=1

£ (5 ) = L [О'( г )] = L {СО (г )[1 - V (г )]}|1+L С учетом определения V (г), используя теорему смещения [8] упростим выражение

да да

L {дУ(г)[1 - О(г)]}= | e-5tdV(х)[1 - О(х)]= | в~51 уе"уС[1 - О(х)], 00

откуда окончательно получим

L {дУ (г)[1 - О(г)]} = [^(у + 5)][1 - £(у + 5)] = V (у + 5). Преобразование Лапласа для ш'( г) получим аналогично:

L [ш'(г )] = 5L |{СУ ( х )[1 - Е ( х (г - х )| = V (у + 5 ) и ( 5 ).

Можно показать, что при любых допустимых значениях у и 5 справедливо неравен-

да п

ство V (у + 5) и (5)< 1, поэтому для суммы X [V (у + 5) и (5)] можно использовать форму-

п=1

лу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

да ()

Найдем преобразование Лапласа для суммы X Сш (х):

п=1

L

I dш("Чх) ."=1

^ г-г \ ( V + 5)и(5)

= 1^ +5) и (5)] = \ ( ) .

"=1 1 - V (у + 5)и (5)

С учетом полученных результатов окончательно запишем

£(5 ) = g (У + 5)

1 + -

V (у + 5) и (5)

£ (У + 5)

1 - V (у + 5) и (5)

1 - V (у + 5) и (5)

При наличии известных распределений ПОВ системы, а также времени обслуживания вызова без учета ПОВ, используя приведенное выражение, можно найти математическое ожидание (МО) и другие начальные моменты распределения времени обслуживания вызова с учетом ПОВ.

Приведем выражение для МО времени обслуживания Тоб с учетом ПОВ:

м (Тоб ) = - ¿( 0) = - d|ds

V (у + 5) и (5) 1 - V (у + 5)и (5)

5 =0

откуда, учтя, что и (0) = 1; V (у) = 1 - £ (у) и v'(у) = - V (у)/у- £ (у), имеем

£ '(у) + ?(у) + V (у) и'( 0 )

М (Тоб ) = -Окончательно упростив, получим

М (Тоб ) =

£ (у)

[1 - £ (у)][1/ у-и' (0)] £ (у)

Экспериментально доказано, что распределение времени обслуживания голосовых вызовов, а также интервалов между ними подчинено показательному закону [2]. Учитывая данный факт, далее для ФР времени обслуживания голосового вызова в предположении

идеальной надежности примем G (I) = 1 - в_|. Соответственно £ (5) = |/(| + 5).

С учетом последнего равенства выражение для МО распределения времени обслуживания примет вид

М (Тоб ) = [1 - и'(0)у]/|Д. (1)

Предположим, что распределение времени восстановления подчинено показательному закону, тогда среднее время восстановления системы М (Твст ) = -и' (0) = 1/ $, где $ - интенсивность потока восстановления. Стационарная вероятность исправного состояния

системы Рис вычисляется по формуле Рис =(1 + у/$) 1 =[1 - и' (0 )у] 1.

С учетом приведенных выражений и формулы (1) для МО распределения времени обслуживания вызова в системе можно записать

М(Тоб ) = 1/(|Рис). (2)

Рассмотренная математическая модель обслуживания вызовов с учетом ПОВ, а также полученные выражения для времени обслуживания далее использованы при определении характеристик качества функционирования контакт-центра с учетом ПОВ.

1-1

Математическая модель и характеристики контакт-центра как СМО вида

М/М/ш/да. В зависимости от целей моделирования и своих характеристик контакт-центр может быть представлен в виде различных СМО. Одним из наиболее простых способов моделирования контакт-центра является применение модели СМО вида М/М/ш/ю с ш рабочими местами операторов (третий символ в обозначении вида) и неограниченным числом мест для ожидания (четвертый символ)*. Модель не учитывает потери вызовов по причине занятости линий. В подобных моделях характеристики потоков входящих вызовов и обслуживания на рассматриваемом интервале времени считаются стационарными [5], [4]. Существуют выражения, позволяющие вычислить основные характеристики данной СМО, однако выражения и методы для оценки этих характеристик с учетом отказов оборудования отсутствуют.

Введем обозначения: X - интенсивность поступления вызовов на рассматриваемом временном интервале; д - интенсивность обслуживания вызовов на данном интервале; 7оч - среднее время пребывания вызова в очереди на обслуживание; 7ож - среднее время

ожидания начала обслуживания; Я = ^/д = - поступающая нагрузка; р = ^/(шд) =

= Яш - коэффициент использования системы.

Для описываемой СМО интенсивность поступления заявок не зависит от числа вызовов и равна X. Интенсивность обслуживания зависит от числа заявок в системе:

Гпд, п = 1, 2, ..., ш -1;

Дп =1 ^

[шд, п = ш, ш +1, ..., да.

Для такой системы известно выражение, называемое С-формулой Эрланга, определяющее вероятность ожидания вызовом обслуживания Р (гож > 0) [5], [4]:

ш-1 яi

X Я

Р (гож > 0) = С (ш, Я) = 1--. 1=0 1'-.

^ож } к 1 ш-1 я яш

X + -

i =0 i! m !(1 - R/m)

Весьма важной характеристикой качества функционирования ЦОВ является среднее время ожидания обслуживания 7ож. Время пребывания абонентов в очереди на обслуживание распределено по экспоненциальному закону со средним значением 7оч = (тд - 1. С учетом этого значения и того факта, что пользователь ждет обслуживания только в том случае, если все агенты заняты, т. е. tож > 0, среднее время ожидания обслуживания вычисляется по формуле 7ож = P(Тож > 0) 7^ = C (m, R)[l/(тд-^)].

Доля пользователей, время ожидания для которых составит не более T, определяется

как P (< T) = 1 - P ( V > 0) P (tm > T) = C (m, R) е

-( mд-X)T

* Первые два символа в обозначении вида СМО обозначают распределения времен поступления и обслуживания заявок одним прибором, причем "М" соответствует экспоненциальному распределению.

Для учета ПОВ системы в данной модели следует в качестве параметра интенсивности обслуживания вызовов ц использовать параметр |', обратный среднему времени обслуживания вызовов с учетом ПОВ, вычисленному по выражению (2). Используя (2) запишем выражение для интенсивности обслуживания вызовов с учетом ПОВ:

Время обслуживания вызовов с учетом ПОВ может не подчиняться экспоненциальному закону распределения, однако для получения характеристик в установившемся режиме это распределение заменяется экспоненциальным с эквивалентным математическим ожиданием. В силу указанных обстоятельств данное предположение существенно не исказит результаты.

Будем считать, что вызовы, поступающие на систему, находящуюся в состоянии отказа, принимаются и ожидают восстановления системы.

Рассматриваемая модель не учитывает достаточно важных особенностей функционирования реальных ЦОВ, где абоненты могут иметь различные приоритеты, время доступа может зависеть от требуемой услуги или группы операторов, квалификации оператора и пр. Таким образом, время ожидания может существенно различаться для разных типов вызовов. Есть и другие факторы, не учитываемые данной моделью, но, тем не менее, она вполне приемлема для получения примерных оценок времени, в течение которого среднестатистические пользователи, осуществляющие голосовой вызов, ожидают начала обслуживания и т. п.

Математическая модель и характеристики контакт-центра как СМО вида М/М/^Л. Широкое распространение в программном обеспечении модулей предсказания поведения характеристик контакт-центров получили модели с ограниченными буферами, в том числе модель СМО вида М/М/т/к с ограниченной очередью. Распространенность объясняется их близостью к существующим реалиям и относительной простотой. Рассмотрим подробнее модель СМО вида М/М/т/к. В данной модели т - число обслуживающих приборов, а к - общее число мест в системе. Модель М/М/т/к близка по своим свойствам к рассмотренной ранее модели М/Мт/ю, за исключением ограниченного числа мест для ожидания, при превышении которого поступающие заявки теряются. Заявки не могут быть потеряны после поступления в очередь.

Для данной системы интенсивность поступления заявок не зависит от числа вызовов и равна X. Интенсивность обслуживания зависит от числа заявок в системе:

Г"|, " = 1, 2, ..., т-1;

I" = 1 ^ /

[т|, " = т, т +1, ..., к.

Для описываемой системы известны соотношения, определяющие вероятность Рп нахождения в системе числа заявок " [5]:

1 |рис.

(3)

Вероятность р можно найти из условия ^ Рп = 1.

п=0

Для учета ПОВ системы в данных выражениях следует использовать подход, примененный для предыдущей модели. В качестве параметра интенсивности обслуживания вызовов ц следует использовать параметр |', обратный среднему времени обслуживания вызовов с учетом ПОВ (3). Таким образом, выражения, определяющие с учетом ПОВ вероятность Рп, примут вид

Рп =

{хп/[п !(|дРИс )п ]} Ро, п

{хп/[т!тп-т (|Рис)п ]}Ро,

= 1, 2,..., т -1;

п = т, т +1, ..., k.

На основе данных выражений можно найти N = ^ пРп - среднее число вызовов в

п=1

k

системе и = ^ (п - т) Рп - среднее число вызовов в очереди.

п =т+1

Вызовы, поступающие на систему, когда она находится в состоянии п = k, теряются. Действительная (эффективная) интенсивность поступления заявок в систему X' вычисля-

k-1

ется по формуле X ' = X ^ Рп = Х(1 - Pk ), а интенсивность потока теряющихся заявок - как

п=0

Хтер = Х - Х ' = ^ .

По формуле Литтла [6], найдем среднее время ожидания обслуживания для вызовов, находящихся в очереди:

Тож = ^ч/Х' = [х(1 - Рк )] . На рис. 2 приведены характеристики, отражающие зависимость среднего времени ожидания обслуживания от коэффициента использования системы р при интенсивности

потока обслуживания для одного оператора | = 40 ч-1, количестве операторов т = 3 и суммарном числе мест в системе k = 12. Кривая 1 построена без учета возможных отказов системы, а кривая 2 - с использованием приведенной методики и учитывает возможные отказы оборудования (для нее принято Рис = 0.9). Из графиков видно, что относительно высокая,

но не единичная вероятность исправного состояния системы может довольно существенно влиять на значение среднего времени ожидания. Данная характеристика имеет большее значение при учете возможных отказов оборудования. При этом наблюдается рост абсолютной разницы между значениями при увеличении коэффициента использования системы.

Т, мин

1.6

0.8

0.25 0.5

Рис. 2

0.75

Рассмотренные модели не позволяют учесть возможность ухода вызова из очереди, например, когда пользователь кладет трубку, не дождавшись обслуживания. Этот недостаток устраняется применением модели СМО вида MIMImlk + G, в которой учитывается как возможность сигнала "занято", так и максимальное время ожидания пользователя. Если время ожидания превысит данное значение, то пользователь положит трубку. В работах [9], [10] рассматриваются модели СМО вида MIMImlk + G, которые позволяют учесть этот параметр при распределении его по произвольному закону. Работа [10] является дальнейшим развитием работы [9], которое главным образом заключается в построении моделей, позволяющих учесть в процессах гибели - размножения изменяющуюся интенсивность потока поступления заявок и обслуживания при смене состояния.

Отдельный случай представляют модели СМО вида MIMImlk + M, в которых предполагается, что время ожидания пользователя подчиняется экспоненциальному закону распределения. Такие модели рассматриваются, например, в [11] и некоторых других работах.

На практике при внедрении контакт-центров стараются обеспечить достаточное число входных линий, поэтому наличие сигнала "занято" по причине отсутствия свободных линий - достаточно редкое событие. В таком случае логично рассматривать СМО вида MIMImlk + M (или, что эквивалентно, M/Mlmlœ+ M ). Модели СМО данного вида обозначаются как Erlang A [5]. Можно считать, что данные модели содержат в себе и расширяют модели СМО вида MZMImlœ (Erlang C) и MIMIm с отказами (Erlang B).

В настоящей статье рассмотрена математическая модель процесса обслуживания вызовов в контакт-центре с учетом ПОВ его оборудования. Приведены математические модели процесса функционирования и получены характеристики контакт-центра как СМО с учетом ПОВ. При этом предполагался экспоненциальный характер распределения времени обслуживания вызовов в контакт-центре, что, как утверждают указанные в статье источники, подтверждено большим числом экспериментальных исследований.

Кроме рассмотренных моделей контакт-центра как СМО существуют и другие, требующие более сложного математического аппарата для их описания. Указанные модели выходят за рамки настоящей статьи. Для учета ПОВ в данных моделях можно применять подходы, использованные для рассмотренных моделей, или, возможно, следует выработать специальные подходы.

Приведенные в статье математические модели контакт-центров с учетом ПОВ как отдельно, так и в сочетании с другими моделями и методиками, не рассмотренными в настоящей статье, могут применяться для оценки эффективности контакт-центров по критерию качества функционирования как на стадии их проектирования, так и для анализа характеристик разработанных систем.

Список литературы

1. Малов А. В. Современные IMS услуги и домашние мультимедиа сети II Изв. СПбГЭТУ "ЛЭТИ". 2008. Вып. 10. С. 21-26.

2. Зарубин А. А. Исследование контакт-центров NGN: Автореф. дис. ... канд. техн. наук I СПбГУТ. СПб., 2004. 19 с.

3. Малов А. В. Контакт-центры на базе IP-телефонии II Изв. СПбГЭТУ "ЛЭТИ". 2008. Вып. 8. С. 26-32.

4. Gans N., Koole G., Mandelbaum A. Telephone call centers: tutorial, review, and research prospects Il Manuf. & serv. operat. man. 2003. P. 79-141.

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2010. Вып. 2======================================

5. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. М.: Машиностроение, 1979. 432 с.

6. Bernett H., Fischer M., Masi D. Internet protocol/Public switched telephone network blended call center performance analysis // Telecom. rev. 2001. P. 51-60.

7. Алтарев В. П., Шакун Г. И., Трофимов П. И. Процессы отказов и восстановлений в системах ПД. М.: Связь, 1977. 113 с.

8. Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д. Математические методы в теории надежности. М.: Наука, 1965. 524 с.

9. Baccelli F., Hebuterne G. On queues with impatient customers // Proc. of the 8th int. symp. on computer performance modeling, measurement, and evaluation. Amsterdam, 4-6 Nov. 1981. Amsterdam: North-Holland publishing company, 1981. P. 159-179.

10. Brandt A., Brandt M. On the M(n)/M(n)/s queue with impatient calls // Perform. eval. 1999. Vol. 35. P. 1-18.

11. Garnett O., Mandelbaum A., Reiman M. Designing a call center with impatient customers // Manuf. & serv. operat. man. 2002. Vol. 4. P. 208-227.

A. V. Malov

Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"

To the question of the effectiveness of the contact-centers on the basis of the IP-telephony by criteria quality of functioning subject to fault-repair process

Method for evaluating the functioning quality of actual contact centers based on IP-telephony with equipment of failure and recovery process (FRP) is described. Mathematical operation models and contact center characteristics as a queuing system with FRP equipment are observed.

Contact-centers, IP-telephony, computers complexes reliability, methods for functioning quality evaluating of the contact-centers with FRP equipment

Статья поступила в редакцию 30 ноября 2009 г.