Обобщенная модель контакт-центра и частные случаи ее использования Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Обобщенная модель контакт-центра и частные случаи ее использования

Ключевые слова: контакт-центры, вероятностные характеристики, итерационный метод, вычислительная сложность.

Построено семейство моделей, которые можно использовать для оценки характеристик качества обслуживания заявок в действующих и перспективных контакт-центрах. Приведенные модели являются частными случаями обобщенной модели, которая была построена и изучена в предыдущих работах. Для каждого частною случая, после проведения процедуры формализации, разработана соответствующая математическая модель. Сделаны предположения о выборе модели взаимодействия абонента с контакт-центром. Рассмотрены такие основные ее параметры, как: функция распределения интервалов времени между последовательными повторными вызовами, дисциплина ожидания обслуживания, формирование потока первичных вызовов и функция распределения длительности выдачи информации. Характеристики качества функционирования модели приводятся через значения стационарных вероятностей пребывания модели в различных состояниях. Каждая из построенных моделей позволяет решить одну из задач, относящихся к повышению эффективности работы контакт-центра. Среди них учет: V, повторных вызовов, наличия мест ожидания, разделения операторов по квалификации. Приведены описания моделей, перечислены значения входных параметров обобщенной модели, при которых она сводится к одному из приведенных частных случаев.

Степанов М.С.,

Аспирант кафедры Сети связи и системы коммутации МТУСИ, mihstep@yandex.ru

1. Введение

Расчет оптимальной численности операторов является одной из ключевых задач при организации контакт-центров [1-3]. Его невозможно осуществить без использования математической модели, учитывающей все особенности современных справочно-информационных служб. Одна из подобных моделей построена и исследована в [4-5]. Процесс планирования основан на инженерных методиках, которые используют упрощенные схемы оценки характеристик. Упрощение необходимо, поскольку процесс планирования достаточно трудоемок и требует расчета и сравнения большого количества характеристик. В этом контексте обобщенная модель используется как средство оценки приближенных методов. Целью работы является построение семейства упрощенных моделей, каждая из которых предназначена для оценки одной из структурных компонент контакт-центра: количества линий доступа, числа операторов и консультантов. Будучи частными случаями эти модели обладают более простыми алгоритмами оценки показателей обслуживания заявок. В работе помимо описания моделей, также будут приведены оценки степени уменьшения вычислительной сложности для каждого из представленных частных случаев.

2. Модель с ограниченным числом мест

и временем ожидания

Начнем с наиболее известной модели, в которой рассматривается процесс обслуживания поступающих заявок группой операторов. Для заявок, получивших отказ, предусматривается возможность ожидания освобождения оператора. Время пребывания на ожидании ограничено. Данную модель можно получить специальным выбором значений входных параметров. Для этого достаточно положить а, = <ю (при проведении вычислений можно взять а^Ю10), </ = I, /; = 0, // = 0. Первое и второе из приведенных соотношений устраняют из рассмотрения линии доступа и устройства 1УЯ, третье - возможность продолжения обслуживания у консультантов, четвертое - возможность повторения заблокированной заявки. Для оптимизации процесса оценки показателей обслуживания заявок в анализируемом частном случае лучше отдельно построить и исследовать соответствующую модель контакт-центра.

Рассмотрим систему, состоящую из и операторов, на которую поступает пуассоновский поток заявок интенсивности Я. Время обслуживания заявки имеет экспоненциальное распределение с параметром а. Если в момент поступления заявки свободных операторов нет, то она становится на ожидание. Число мест ожидания обозначим через »V. Время ожидания ограничено случайной величиной, также имеющей экспоненциальное распределение, но с параметром а. Если по завершении этого времени заявка не попала на обслуживание, то она покидает систему. Будем считать, что заявки выбираются на обслуживание в порядке постановки в очередь (первый пришел, первый на обслуживание). Схема функционирования введенной модели показана на рис. 1.

Отказ от обслуживания из-за отсутствия свободных операторов и мест ожидания

Первичные заявки

Свободные

оп-ры

ИЛИ М.О.?

Да

і і_2| • • • і ^

Места ожидания

©, ®| • ф ©8

обслуживания

Отказ от обслуживания из*за

превышения допустимого

времени ожидания

Рис. 1. Модель контакт-центра с ограниченным числом мест

и временем ожидания

Введенная модель описывается процессом рождения и гибели, поэтому расчет ее характеристик не вызывает больших затруднений. Для этого необходимо дать определение характеристик через значения стационарных вероятностей модели. Пусть />(/)— стационарная вероятность того, что в упрощенной системе занято / операторов и мест ожидания.

Чтобы воспользоваться введенными определениями, необходимо найти значения P(i). Они связаны системой уравнений статистического равновесия, имеющей вид Р(0)Л = Р(\)а;

Р(\)(Л + а) = Р(0)Л + Р(2)2а;

(I)

Р(и - 1)(Я + (и - 1)а) = Р(и - 2)Л + Р(и)иа ; Р(и)(Л + иа) = Р(и - \)Л + Р(и + I)(t> + ег); Р(и +1 )(Л + va + <т) = Р(и)Л + Р(и + 2 )(иа + 2а) ;

Р(и + и’- 1)(Я + иа + (и'- 1)ст) = = Р(и + vr - 2)Я + Р(и + w)(va + wa); P(u+w)(a + wa) = P(u+w-l)A.

Для P(¡) выполнено условие нормировки.

U+W

1*0-1.

1=0

Рассмотрев (1) последовательно при / = 0,1,...,D + н>, получаем рекуррентные формулы для вычисления Р(і)

Р(і)Л = Р(і + \)(і+\)а, / = 0,1,...,и-1; (2)

Р(і)Л = P(i+l)(ua + (/+1 -v)<j), i = v,v+\,...,v + w-l. Используя (2), все P(i) можно выразить через одну, например, через Р(0). Получаем такие выражения

Р( 0 =

ДО Р( 0)

01. Í-0.I.™«

t

a“vl(va + <j)...(va + (i-u)cr)

í = D + 1,...,D + W.

обслуживания (выдачи справочной информации), имеющее

1 с

экспоненциальное распределение со средним —. Если все

а

операторы заняты, но имеется свободное место ожидания, то заблокированная заявка занимает его. Время ожидания ограничено случайной величиной, имеющей экспоненциальное распределение со средним —. Если заняты все операторы

а

и места ожидания начала обслуживания или неудачно завершилось время ожидания обслуживания, то абонент с вероятностью Н повторяет вызов через случайное время,

1

имеющее экспоненциальное распределение со средним —, а с

V

дополнительной вероятностью 1 - Н покидает систему необ-служенным и не возобновляет вызов. Схема функционирования введенной модели контакт-центра показана на рис. 2.

Построенная модель взаимодействия клиента с информационной системой описывается марковским процессом /•(/) = (У(/),/(/)) с бесконечным множеством состояний 5, задаваемым соотношениями

(У,0 6 у = =о.1,...,б>+»V.

Здесь /(/) - число клиентов контакт-центра, повторяющих в момент времени / вызов по причине занятости всех операторов и мест ожидания, а также из-за неудачного завершения времени ожидания обслуживания; /(/) - суммарное число занятых в момент времени ( мест ожидания и операторов

Повторение ЗАЯВКИ

(3)

Таким образом, для модели с ожиданием оценка показателей обслуживания заявок не вызывает больших затруднений и сводится к использованию простых рекуррентных зависимостей (2).

3. Модель с ожиданием и повторением

заблокированной заявки

Далее добавим к рассмотренной модели возможность повторения заявки в ситуации отказа в обслуживании из-за занятости операторов и мест ожидания или превышения допустимого времени ожидания начала обслуживания. Важность учета повторных вызовов при планировании контакт-центра отмечена в [6-7]. Данная модель также является частным случаем исследуемой обобщенной модели контакт-центра. Эту модель можно получить специальным выбором значений входных параметров. Для этого достаточно положить ог, = ос (при проведении

вычислений можно взять а, =Ю10), <у = 1, р = 0. Первое и второе из приведенных соотношений устраняет из рассмотрения линии доступа и устройства 1УЯ, третье - возможность продолжения обслуживания у консультантов. Для оптимизации процесса оценки показателей обслуживания заявок в анализируемом частном случае лучше отдельно построить и исследовать соответствующую модель контакт-центра.

Рассматриваемая модель устроена следующим образом. Имеется полнодоступная система из и операторов с и? местами для ожидания обслуживания. На систему поступает пу-ассоновский поток первичных заявок с интенсивностью Л. Если оператор свободен, он занимается на случайное время

Первичные заявки

Свободные ол-ры или и.о.?

1-Н

Отказ от обслуживания из-за отсутствия свободных операторов и мест ожидания

©,

©

dj i_2j . . . ,W| /-N

Места ожидания

обслуживания

Отказ от обслуживания из-за превышения допустимого 1-Н времени ожидания

Рис. 2. Модель контакт-центра с ожиданием и повторением заблокированной заявки

При условии выполнения свойства эргодичности (для этого достаточно потребовать, чтобы н < I, у > О) для марковского процесса /•(/) можно выписать систему уравнений статистического равновесия, связывающую стационарные вероятности /-’(/,/) нахождения марковского процесса в состоянии (у,/). Здесь в стационарном состоянии; у - число клиентов контакт-центра, повторяющих вызов по причине занятости всех операторов и мест ожидания, а также из-за неудачного завершения времени ожидания; / - число занятых мест ожидания и операторов.

Вероятности Р(у,/) определяются решением системы уравнений равновесия г(1). Приравняв интенсивности выхода и входа для всех состояний (/',/') исследуемого марковского процесса /■(/), получаем следующую бесконечную систему уравнений статистического равновесия, связывающую стационарные вероятности />(у,/)

(Я/(/ <и + н’) + АН 1(1 = и + и») + (4)

+ у VI(/ < и + и’) + у у(1 - Н)/(/ = V + н1) +

+ (/ - и)<т/(/ > у) + /«/(/ < и) + иа/(/ > о))РО\П =

= Я/(/>0)/,(у,/-1) +

+ АН1( у > 0,/ = и+ »г) Р(/ -1,/) + + (У + 1М(/>0)/,(У + 1,/-1) + + (У + 1М1 - Я)/(/ = и + и>)/>(У +1,/) +

+ (/-и +1)оЯ/(у >0,/>1л/ <и+и')/>(у-1,/ + 1) + +((/-и+1)сг(1-Я)/(/>1»,/<о+и') +

+ (/ + 1)а/(/ < и) + иа/и >и,1 <и+и'))/>(у,/ +1), где у = 0,1,...; / = 0,1,...,и + м>.

Для /■’( /,/) выполнено следующее условие нормировки

X У+И'

1Еду.о=ь

;=о ;=о

Таким образом, для модели с ожиданием и возможностью повторения заблокированной заявки, точная оценка показателей обслуживания заявок сводится к решению системы уравнений равновесия. Поскольку она не обладает какими-либо специальными свойствами делать, это лучше с использованием итерационной процедуры Гаусса-Зейделя. Для данной модели можно построить эффективные приближенные алгоритмы оценки показателей обслуживания заявок, основанные на замене потока повторных заявок на пуассоновский с неизвестной интенсивностью, вычисляемой из решения неявного уравнения, полученного из законов сохранения.

4. Модель без дифференциации операторов по квалификации

В качестве следующего важного частного случая рассмотрим модель, в которой отсутствуют группы консультантов. Данную модель можно получить специальным выбором значений входных параметров. Для этого достаточно положить р = 0.

В исследуемой модели отсутствует возможность перехода клиента на обслуживание к консультанту. Схема функционирования введенной модели контакт-центра показана на рис. 3. Введем компоненты случайного процесса г(/), описывающего динамику изменения во времени состояний модели. Обозначим через /'(/) число клиентов, находящихся в момент времени/в состоянии повторения запроса заявки на информационное обслуживание, через /(/) обозначим число занятых в момент времени 1 линий доступа, через 1(1) обозначим число занятых в момент времени / операторов и мест ожидания их освобождения. Таким образом, динамика изменения состояний модели в зависимости от момента времени / описывается случайным процессом /•(/) = (у(/),/(/),/(/)), определенным на пространстве состояний Б. Построенный процесс будет марковским поскольку все случайные величины, определяющие длительности времени пребывания модели в различных состояниях, имеют экспоненциальное распределение и не зави-

сят друг от друга так же как и вероятности перехода из состояния в состояние. Обозначим через Р( /,/,/) вероятности стационарных состояний модели.

Определение показателей обслуживания заявок совершается с использованием вероятностей Р( /,/,/) и соответствует исходной модели, поэтому приводить их не будем. Точная оценка показателей обслуживания заявок сводится к решению системы уравнений равновесия. Поскольку она не обладает какими-либо специальными свойствами делать это лучше с использованием итерационной процедуры Гаусса-Зейделя. В рассматриваемом случае число неизвестных существенно меньше, чем для исходной модели, поэтому оценку показателей можно вести для практически интересных случаев.

Рис. 3. Модель контакт-центра без дифференциации операторов по квалификации

5. Модель без предварительного операторского обслуживании

Последним рассмотренным частным случаем будет модель, в которой отсутствуют операторы. Абонент после получения обслуживания на IVR переходит на обслуживание в выбранную группу консультантов. Данную модель можно получить специальным выбором значений входных параметров. Дтя этого достаточно положить a¡ = оо, q = 1 (при проведении вычислений можно

взять a¡ = 1010). В исследуемой модели отсутствует возможность предварительного операторского обслуживания. Схема функционирования введенной модели контакт-центра показана на рис. 4. Определение показателей обслуживания заявок и алгоритм их оценки соответствует исходной модели и здесь не приводятся.

6. Оценка вычислительной сложности обобщенной модели и ее частных случаев

Вычислительная сложность математической модели оценивается исходя из числа неизвестных в системе уравнений, составленной с ее использованием. Из-за сложной структуры процесса, которым описывается функционирование обобщенной математической модели контакт-центра найти точное аналитическое выражение для числа состояний не представляется возможным. Однако можно определить верхнюю и нижнюю оценку количества неизвестных, воспользовавшись методами комбинаторики.

fO- - Свободны«

доступе

l¿>- y>

©

© p

¿

1-р

Свободны* комс-ты ИЛИ М-О М*т ©г ©I * г

JLj uL » « . Места ожидания ©• Ко«

llllJj.

Места о

©г

®s

j = 0,1,/ = 0,1,...,п; I = 0.1,...,u + »г, 1к = 0,1,...,и* + »vt; к = 1,2,..., т.

(5)

Параметр п V v-> Vi W н>( її-, ^ т

Набор I 56 18 3 3 3 8 1 1 1 8

Набор 2 56 20 4 4 4 10 2 2 2 II

Набор 3 60 20 4 4 А 10 2 2 2 14

Набор 4 60 22 5 4 4 II 3 2 2 15

зультатов следует, что эти оценки дают возможность определить порядок числа состояний в системе уравнений равновесия.

Таблица 2

№ набора Нижним граница Точное значение Верхняя граннца

[ 577 125 1 154 250 1 731 375

2 1 148 364 4 210 668 7 272 972

3 2 073 435 5 901 315 9 729 195

4 1 919 232 8 276 688 14 634 144

1-Н Опы от

обе лужи ВЛМ ИЯ

Рис. 4. Модель контакт-центра без предварительного операторского обслуживания

В соответствии с правилом построения процесса г(1) компоненты (у, /,/,/, ,...,/)(>) меняются в следующих интервалах.

Примем число групп консультантов т = 3. Число состояний z лежит в пределах:

z < (и +1 )(/•„, + 1)(и + + w, )(l>, + и», )(ü3 + н’,), (6)

z > (я +1 - n )(гя + 1 )(t> + H')(U, + w, )(v: + w, )(u, + H', ),

где П = V + И’ + ü, + W, + Vi + W, + V} + Wj

Таблица 1

В табл. 1 приведены значения структурных параметров обобщенной модели для 4 вариантов расчета характеристик.

В табл. 2 приведены значения верхних и нижних оценок, полученных с использованием соотношений (6). Из анализа ре-

Выводы

Приведено описание четырех важных частных случаев обобщенной модели контакт-центра, построенной в [4]: модель с ограниченным числом мест и временем ожидания, модель с ожиданием и повторением заблокированной заявки, модель без дифференциации операторов по квалификации, модель без предварительно операторского обслуживания. В каждом из рассмотренных случаев алгоритм оценки показателей обслуживания заявок требует- существенно меньше вычислительных усилий, чем при анализе исходной модели. Помимо анализа частных случаев предложенные модели можно использовать для приближенной оценки показателей обслуживания заявок в исходной модели.

Литература

1. Slollelz R.. Helber S. Perfomance analysis of an inbound call-center with skills-based routing. - Hannover: Springer-Vellag, 2004.

2. Гольдштейн B.C.. Фрейнкман В.A. Call-центры и компьютерная телефония.-СПб.: БХВ-Санкт-Петербург, 2002.

3. Зарубин A.A. Call- и контакт центры: эволюция технологий и математических моделей // Вестник связи, 2003. - №8. - С. 85-89.

4. Пшеничников А.П., Степанов М.С. Обобщенная модель call-центра // T-Comm - Телекомуникации и транспорт, 2011. - №7. -С.125-129.

5. Степанов М.С. Оценка характеристик работы контакт-центра с использованием итерационных методов // T-Comm - Телекоммуникации и транспорт, 2012. - №7. - С. 188-192.

6. Пшеничников А. П.. Степанов М.С. Асимптотические свойства модели с учетом повторения заблокированых заявок // Труды конференции “Телекоммуникационные и вычислительные системы”, 2009. -С. 44-46.

7. Степанов М.С. Использование асимптотических свойств модели с повторениями заявок для оценки показателей качества их обслуживания // Труды конференции “Телекоммуникационные и вычислительные системы”, 2009. - С.46-47.

THE GENERALIZED MODEL OF CONTACT-CENTER AND PARTICULAR CASES OF ITS USING

Stepanov M.S.

Abstract

A family of models which can be used for quality of serving calls estimation in modern and perspective contact-centers is built. The given models are special cases of generalized model which was designed and studied in previous works. For each of special cases mathematical model was developed after formalization procedure. An assumption about interaction between client and operator is made. The following parameters of the model are considered: the distribution function of time intervals between successive repeated attempts; the discipline of waiting for service, the forming of primary calls flow and distributions function of service. The quality of service characteristics are given through values of model states probabilities.

Each of designed models allows to fulfil tasks of increasing contact-centers efficiency such as using of IVR system and skill-based routing, presence of repeated calls and opportunity of waiting for service if all agents are busy. Descriptions of models are given, values of input parameters which turns generalized model into one of the special cases with are enumerated.

Keywords: contact--centers, probabilistic characteristics, iteration method, calculating complexity: