CC BY
42
7 декабря 2011 г. 17:35
ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА
Асимптотические модели оценки показателей качества обслуживания вызовов саІІ-центрами
Исследованы две марковские модели функционирования саИ-цвнтров, учитывающие возможность повторения вызова при занятости всех обслуживающих устройств и мест ожидания обслуживания. Показатели качество обслуживания вызовов получены с учетам асимлтотичесхих свойств модели при интенсивности повторения, стремящейся к нулю {первая модель) и к бесконечности (вторая модель/
Пшеничников А П., Степанов М.С.,
МТУСИ
Введение
Высокое качество обслуживания клиентов является важным конкурентным преимуществом компании и необходимым условием сохранения ее позиций на рынке. Для многих компаний, бизнес которых выстраивается на контактах с большим числом клиентов, механизмом такого взаимодействия являются саН-центры. Они используются во многих сферах бизнеса, будь то торговые компании, информационно-справочные службы и другие подобные им системы. Обобщенная архитектура са11-центра представлена на рис. 1.
Важным фактором, влияющим на характеристики пропускной способности информационно-справочных служб с доступом через операторов, является учет экономических аспектов. Известно, что основную часть эксплуатационных расходов на их содержание составляет заработная плата операторов. Низкая доступность некоторых сервисов са 11-центра вынуждает абонентов делать многочисленные повторные вызовы. Поскольку абоненты, во всяком случае до определенного времени, проявляют настойчивость в своем желании дозвониться до службы, это влечет за собой появление большого потока повторных обращений в са11-центр, на которые тратится существенная доля времени работы систем, управляющих установлением соединений.
Неудобства, связанные с необходимостью повторения заявки, могут быть уменьшены путем организации обслуживания абонентов по системе с ожиданием. Учет рассмотренных особенностей функционирования информационно-справочных служб проводится с использованием моделей с повторными вызовами и ограниченным числом мест ожидания обслуживания (2-5).
Рк. 1. Обобщенная архитектура саіі-цеитра
Математическая модель
Разработке математической модели предшествует процесс формализации работы системы связи, под которым будем понимать выделение перечня событий, имеющих существенное значение при использовании услуг информационной системы. Помимо составления перечня событий необходимо указать их взаимосвязь, т.е. последовательность реализации. Соответствующая схема приведена на рис.2[1].
Математическая модель строится в соответствии со схемой, показанной на рис. 2. Имеется полнодоступная система из Ъ обслуживающих устройств (операторов) с I местами для ожидания обслуживания. На систему поступает пуассоновский поток первичных вызовов с интенсивностью X. Если обслуживающее устройство свободно, оно занимается на случайное время обслуживания (выдачи справочной информации), имеющее экспоненциальное распределение со средним 1 /а. Если все обслуживающие устройства заняты, но имеется свободное место ожидания, то заблокированный вызов занимает его. Для упрощения модели будем в дальнейшем предполагать, что занятие свободных мест ожидания происходит с вероятностью равной единице. Время ожидания ограничено случайной величиной, имеющей экспоненциальное распределение со средним 1 /р. Если заняты все обслуживающие устройства и места ожидания или неудачно завершилось время ожидания обслуживания, то абонент с вероятностью Н повторяет вызов через случайное время, имеющее экспоненциальное распределение со средним 1 /V, ас дополнительной вероятностью 1 - Н покидает систему необслуженным и не возобновляет вызов.
Построенная модель взаимодействия абонента с информационной системой описывается марковским процессом ^(/) = (Д/), ДО) с бесконечным числом состояний 5, задаваемым соотношениями
(У./)б5. у = 0,1..... / = 0,1....и + /,
где Ц1} — число абонентов, повторяющих в момент времени (вызов по причине занятости всех обслуживающих устройств и мест ожцдания, а также из-за неудачного завершения времени ожидания обслуживания;
М — суммарное число занятых в момент времени I мест ожидания и обслуживающих устройств.
Исследование построенной модели будем вести в стационарном режиме. Для его существования достаточно убедиться в наличии свойства эргодичности у марковского процесса £(/). Исследование этой проблемы облегчается тем обстоятельством, что в рассматриваемой модели абоненты, повторяющие вызов, не являются
Т-Сотт, #7-2010
93
ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА
Лс 2. Блок<хема установления соединения абонента с оператором саікдентра
абсолютно настойчивыми т.е. Н < 1. Это означает, что как бы сильно система не была загружена, с вероятностью, стремящейся к единице, абонент, повторяющий вызов, покинет систему необслужен-ным, проведя в ней время, имеющее ограниченное среднее.
При условии выполнения свойства эргодичности для марковского процесса«;(/) можно выписать систему уравнений статистического равновесия, связывающую стационарные вероятности РЦ/) нахождения марковского процесса в состоянии (),/).
Здесь в стационарном состоянии:
/ — число абонентов, повторяющих вызов по причине занятости всех обслуживающих устройств и мест ожидания, а также из-за неудачного завершения времени ожидания;
I — число занятых обслуживающих устройств и мест ожидания.
Показатели качества обслуживания заявок и их оценка
Основываясь на физическом смысле характеристик качества обслуживания заявок в исследуемой модели, дадим им определение через значения доли времени пребывания модели в различных состояниях (из теории известно, что это — значения стационарных вероятностей соответствующих состояний) и через отношение интенсивностей соответствующих потоков. При практическом использовании введенной модели представляют интерес следующие характеристики:
• Кс — коэффициент общих потерь (или доля всех потерянных вызовов), определяемый отношением суммы интенсивностей потерянных первичных и повторных вызовов, а также вызовов, ушедших с ожидания обслуживания, к интенсивности поступления первичных и повторных вызовов
/’(/'.і> +/XА + /Ю+ £
• і — среднее число занятых мест ожидания
Ь+{
/=0 /=Ъ+1
Возможность точного численного анализа построенной модели реализуется только для малых значений структурных параметров: числа операторов и мест ожидания. Инженерные задачи решаются на основе приближенных методов. Большинство приближенных методов, применяемых в теории телетрафика, основаны на асимптотических свойствах исследуемых моделей, когда в качестве оценок вероятностных характеристик берутся их предельные значения, полученные при стремлении одного или нескольких входных параметров к своим предельным значениям. Выбор параметров, используемых для построения асимптотических методов, диктуется тем, насколько область изменения входных параметров анализируемой модели близка к асимптотической, какова численная сложность оценки характеристик получаемой упрощенной модели, а также тем, чему равна погрешность расчета. Понятно, что решение этих проблем во многом опирается на качественные свойства модели, которые обсудим при рассмотрении каждою конкретного алгоритма.
Расчет показателей качества обслуживания заявок для малых значений V
«. и+/
я+ХХ/ч/.о/у
/=0/=0
Известно, что при V —» О поток повторных вызовов по свойствам приближается к пуассоновскому с некоторой неизвестной интенсивностью [2-5]. Понятно, что точность метода зависит от величины V, Чем меньше V, тем она выше. При реализации метода важно, чтобы зависимость между моментами последовательных поступлений повторных вызовов от одного абонента стремилась к нулю, поэтому хорошую точность метода можно ожидать и для достаточно больших V, если на интервале времени длины 1 /\' система часто изменяет свое состояние. Последнее свойство выполняется для моделей со сложной структурой: большим числом каналов и входных потоков. Именно такая ситуация характерна для модели са31-центра. Эти обстоятельства позволяют ожидать хорошую точность оценки характеристик, что и будет далее показано на численных пр^иерах.
Рассмотрим систему, состоящую из Ъ обслуживающих приборов, на которую поступает пуассоновский поток вызовов неизвестной интенсивности х. Входной поток состоит из пуассоновского потока первичных вызовов интенсивности А. и пуассоновского потока повторных вызовов интенсивности х - X. Чтобы упростить запись промежуточных выкладок и окончательных формул, примем долее, если это не оговорено особо, в качестве единицы времени среднюю продолжительность выдачи справочной информации 1/а, Таким образом, время занятия обслуживающего устройства имеет экспоненциальное распределение с параметром, равным единице.
Если свободных обслуживающих устройств нет, то вызов занимает одно из / мест ожидания. Время ожидания ограничено случайной величиной, также имеющей экспоненциальное распределение, но с параметром р. Если по завершении этого времени вызов не попал но обслуживание, то он покидает систему. Будем считать, что вызовы выбираются на обслуживание в порядке постановки в очередь (первый пришел, первый поступает на обслуживание).
Введенная модель описывается марковским процессом рожде-
94
Т-Сотт, #7-2010
ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА
ния и гибели, поэтому расчет ее характеристик не вызывает больших затруднений. Воспользовавшись упрощенной моделью, выпишем оценки для основных характеристик исходной модели, обозначив их теми же символами, которые были использованы в основной модели. Пусть Р(0 — стационарная вероятность того, что в упрощенной системе занято / обслуживающих устройств и мест ожидания. Тогда искомые оценки находятся из соотношений
Велкнина х находится из решения неявного уравнения
_ Я + р///.(.г)
Д~ 1 -/Утг(л) где Цх) и тс(х) — зависящие от х значения, соответственно, среднего числа ожидающих и обслуживающих абонентов и доли времени занятости всех обслуживающих устройств и мест ожидания.
Проведем численное исследование точности рассмотренной вычислительной процедуры. Результаты вычислений показаны на рис 3 на примере модели со значениями входных параметров: \) = 50,1=30, р =1, Н = 0,8, а =1Д =50. Величина изменяется от 0,1 до 1. Точные значения коэффициента общих потерь Кс найдены после решения систем уравнений равновесия итерационным методом. Величина параметра Ы, ограничивающего максимально возможное число абонентов, одновременно повторяющих вызов, была принята равной 800. Приближенное значение ТС _ показано на рисунке прямой горизонтальной линией. Полученные результаты говорят о хорошей точности приближенной процедуры.
Расчет показателей качества обслуживания заявок для больших значений V
Если значение вероятности повторения заявки Н меньше единицы, то с уменьшением длительности интервала времени между последовательными повторениями, абонент с вероятностью, стремящийся к единице, отказывается от попытки соединения. В данной ситуации для приближенного расчета можно использовать чостный случай исследуемой модели, когда вероятность повторения заблокированной заявки принята равной нулю. Соответствующая модель описывается марковским процессом рождения и гибели. Показатели качества обслуживания заявок могут быть найдены с использованием простых рекуррентных соотношений. Наедем значения вход-
0<2Т
0.18 ■
в 0.16 ■
$ 0.14 -
X 0.12 ■
г - 0.1 -
орд ■
е 0 рь -
5 0.04 -
о 0Д2 ■
0
Приближенный
расчет
Точный
расчет
0.1 0.25 0.4 055 0.7 0.85 I
Интенсивность повторения заявки абонентом
Рис 3. Точный и приближенный расчет доли потерянных заявок при малых значениях V
ных параметров упрощенной модели. Рассмотренный подход является обобщением результатов, полученных в [3,4].
В упрощенной модели имеется V) операторов и /мест для ожидания заблокированных заявок. Интенсивность поступления первичных заявок равна X. При V —> абонент после неудачного завершения времени ожидания с вероятностью Н опять занимает место ожидания. Чтобы учесть донный переход будем гредполагатъ, что в упрощенной модели интенсивность ухода из очереди принимает значение р( 1 - Н). Аналогично рассмотренному ранее асимптотическому случаю малой интенсивности повторения примем что время обслуживания заявки имеет экспоненциальное распределение с параметром равным 1. Воспользовавшись упрощенной моделью, выпишем оценки для основных характеристик исходной модели, обозначив их теми же символами, которые были использованы в основной модели. Пусть Р|г) — стационарная вероятность того, что в упрощенной системе занято I обслуживающих устройств и мест ожидания.
Если рассмотреть исходную модель в ситуации, когда величина
> оо при условии, что значение Н меньше единицы, то можно утверждать, что каждая заблокированная первичная заявка приводит к появлению в среднем М повторных заявок. Величину М в рассматриваемой ассимптотической области можно приближенно найти из выражения
М = У Р. х* = (1-Я)х0+Я0-//)х1+Н:(1-Я1х2+...+ =
1-11
|гО ' "
где — вероятность того, что абонент сделает ровно к повторных попыток.
Для оценки доли потерянных заявок используется выражение
я _ интенсивность ыанжированных первичных иповюрных шявок 1Н11СИСНВНОС1Ь ПОСТУПИВШИХ первичных и повторных ыявок
Найдем отдельные компоненты, участвующие в записи приведенного выражения. Пусть в упрощенной модели величина Р(г> /) обозначает долю потерянных первичных заявок из-за занятости операторов и мест ожидания, а I — число занятых мест ожидания. Начнем с числителя. Тогда интенсивность заблокированных первичных заявок определяется из выражения Я,Р(\) + 1); интенсивность заблокированных повторных заявок определяется из выражения \МР\\) + 1); интенсивность потока заявок, покинувших места ожидания, находится из выражения 1р. Теперь рассмотрим знаменатель. Интенсивность потока первичных заявок равна X. Интенсивность потока повторных заявок складывается из интенсивности потока заблокированных повторных заявок ХМР(\) + 1) и потока повторных заявок, попавших с ожидания опять на ожидание, — 1рН. В итоге получаем
_ ЯР(У + /) + ЯЛ(у + 1)М + /.р ’ Я + ЯЛи + /)А/ + Ар// '
Проведем численное исследование точности рассмотренной вычислительной процедуры. Результаты выполненных вычислений показаны на рис 4 на примере модели с теми же значениями входных параметров, которые были использованы при расчете данных, приведенных на рис 3. Величина и изменяется от 10 до 100. Точные значения коэффициента общих потерь Кс найдены после решения системы уравнений равновесия итерационным методом. Величина параметра /Ч огран^ивающего максимально возможное число абонентов, одновременно повторяющих вызов, была принята ровной 50. Приближенное значение к. показано на рисунке прямой
Т-Сотт, #7-2010
95
