К УСЛОВИЯМ РЕГУЛЯРНОСТИ В ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

10

Трулы БГТУ, 2022, серия 3, № 1, с. 10-14

УДК 517.977

С. И. Сиротко, А. В. Пашук

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

К УСЛОВИЯМ РЕГУЛЯРНОСТИ В ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Условия регулярности играют важную роль в исследовании задач математического программирования, поскольку гарантируют выполнение необходимых условий оптимальности Каруша -Куна - Таккера. Несмотря на сравнительную эффективность известных условий регулярности, существуют достаточно широкие классы задач оптимизации, в которых эти условия не выполняются. С другой стороны, можно указать иные более слабые условия регулярности, гарантирующие справедливость необходимых условий Каруша - Куна - Таккера. Одним из таких условий является ослабленное условие постоянной положительно линейной зависимости (RCPLD). В данной заметке предлагается модификация RCPLD, позволяющая ослабить требования к ограничениям задачи математического программирования. Также в заметке доказываются достаточные условия R-регулярности (error bound property).

Ключевые слова: условия регулярности, оптимизация, множители Лагранжа.

Для цитирования: Сиротко С. И., Пашук А. В. К условиям регулярности в задачах математического программирования // Труды БГТУ. Сер. 3, Физико-математические науки и информатика. 2021. № 1 (254). С. 10-14.

S. I. Sirotko, A. V. Pashuk

Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics

ON CONSTRAINT QUALIFICATIONS IN MATHEMATICAL PROGRAMMING

Constraint qualifications play an important role in investigation of mathematical programs since they guarantee the validity of the Karush - Kuhn - Tucker necessary optimality conditions. In spite of effec-tivity of known constraint qualifications there are vast classes of optimization problems in which these conditions are not fulfilled. On the other hand one can point other weaker constraint qualifications which provide the validity of Karush - Kuhn - Tucker conditions. One of such CQs is the relaxed constant positive linear dependence constraint qualification (RCPLD). In this article we propose a modification of RCPLD which allows to weaken the requirements to constraint in mathematical programs. We also prove sufficient conditions of error bound property.

Key words: constraint qualifications, optimization, Lagrange multipliers.

For citation: Sirotko S. I., Pashuk A. V. On constraint qualifications in mathematical programming. Proceedings ofBSTU, issue 3, Physics and Mathematics. Informatics, 2021, no. 1 (254), pp. 10-14 (In Russian).

Введение. Пусть f и h i = 1, ...,p - непрерывно дифференцируемые функции из Rm в R. Рассмотрим задачу математического программирования

f(y) ^ min, yeC с непустым множеством допустимых точек

C = (ye Rm | hi(y) < 0 iel, h(y) = 0 ielc},

где I = (1, ..., 5}, Ic = (5 + 1, ..., p}.

Основным необходимым условием оптимальности в задачах математического программирования является условие Каруша - Куна - Таккера (ККТ) [1]. Однако ККТ справедливо лишь при наличии условий регулярности ограничений задачи.

Наиболее известным из условий регулярности является условие Мангасаряна - Фромовица (MFCQ) [2]. В литературе известны также более слабые условия регулярности, имеющие отличный

от MFCQ характер. К таким условиям, в частности, относится ослабленное условие положительно-линейной зависимости (RCPLD) [3].

Важную роль в построения численных алгоритмов решения задачи оптимизации, в анализе их сходимости, в анализе устойчивости и чувствительности решений играет условие R-регулярности (error bound property) [4-7]. В данной публикации предлагается новая модификация условия RCPLD с более слабыми требованиями к ограничениям и новое достаточное условие R-ре-гулярности.

Основные определения и вспомогательные утверждения. Обозначим У| евклидову норму вектора y и положим

dc(y) = inf |v - y|.

veC

Через I(y) обозначим множество активных в точке ye C индексов из I.

Определение 1. Множество С будем называть R-регулярным в точкеy0e C, если найдутся число а > 0 и окрестность V(y0) такие, что

dc(y)< а max {0, h(y) ieI, \hi(y)\ ieI0}

для всех ye V(y0). Множество

Гс(у) = {y eRm \ (Vhi(y), y > < 0 ieI(y) (Vhi(y), y > = 0 ie/0}

будем называть линеаризованным касательным конусом к множеству C в точке ye C.

Следуя источникам [8, 9], введем множество Ia(y) всех существенно активных индексов из I(y), т. е. таких, что (Vhi(y), y >=0 для любого y eTc(y).

Лемма 1 [9]. Пусть y0e C. Тогда существует вектор y eTc(y) такой, что

(Vhi(y0), y > = 0 для всех i eh u Ia(y0); (Vhi(y°), y > < 0 для всех i e I(y0) \ Ia(y0). Lemma 2 [9]. Пусть y0e C. Тогда Ia(y0) = {i e I(y0) \ 3 heЛо(y0) такой, что h > 0},

где

Л0(y0) = {X e Rp\

X XVh (y) = 0, X, > 0 и X,h (y0) = 0 i e I}.

ieI0 u

Нам нужна также следующая лемма Каратеодори. Lemma 3 [3]. Пусть

0 ф y = X aV + X аУ

ieJ ieK

для всех ieK, где векторы {V ieJ} линейно независимы. Тогда существуют множество S с K и числа Pi i e Ju S такие, что векторы {V i e Ju S} линейно независимы, и

y=X РУ+XP/,

ieJ ieS

где аг- Pi > 0 при всех ie S.

Пусть S0 с I0, S с I. Система векторов

{ V hi( y ) i e S0 u S}

называется положительно-линейно зависимой, если найдутся не все равные нулю числа { h i e S0 u S } такие, что hi > 0 для i e S и

X X Vh (y )=0.

ieS0 uS

Определение 2. Пусть множество I00 с I0 такое, что {Vhi(y0) ie I00} является базисом системы

векторов {Vhi(y0) ie I0}. Точкаy0e Cудовлетворяет формулы (1) следует

условию ЯСРЬБ, если найдется окрестность У(у0) точки у0 такая, что:

1) ранг системы {УЛ/(у) /е/о} один и тот же для любого уе У(у0);

2) при любом К с /(у0) К с I (у0) , если система векторов {УЛ/(у0) / е /оо и К} положительно-линейно зависима, то {УЛ/(у) / е /оо и К} является линейно зависимой при всех уе У(у0).

Следующее определение мотивировано определением ЯСРЬБ [3], рассматривающим положительно-линейно зависимые системы.

Определение 3. Пусть для множества /оо с /о векторная система {УЛ/(у0) /е/оо} является базисом системы {УЛ/(у0) /е/о}. Будем говорить, что точкауое С удовлетворяет условию положительно-линейной зависимости (РЬБ), если найдется окрестность У(у0) такая, что

1) {УЛ/(у) /е/о} имеет одинаковый ранг для всех уе У(у0);

2) для любого К с /а(у0), если система {УЛ/(у0) /е /оо и К} положительно-линейно зависима, то система {УЛ/(у) /е/оо и К} линейно зависима для всех у0е У(у0).

Будем говорить, что точкау0е С удовлетворяет условию положительно-линейной зависимости на множестве С (РЬБс), если оба требования определения РЬБ выполняются для всех у е У(у0) п С.

Основная часть. Рассмотрим задачу

(Р): /у)—шп, уеС,

и докажем, что РЬБ является условием регулярности.

Определение 4. Следуя источнику [3], будем говорить, что точкау0е С удовлетворяет аппроксимативному условию Каруша - Куна - Таккера (АККТ) в задаче (Р), если существуют последовательности у —^у0, Х/кеЯ /е/о, Х/к>0 /е/такие, что

У/ (ук) + X ^УЛ,. (ук) + х (ук) — 0.

ieI0

ieI (У)

Известно (см. [3]), что любое решение задачи (Р) удовлетворяет АККТ.

Теорема 1. Пусть у0 является решением задачи (Р). Если у0 удовлетворяет условию РЬБ, то ККТ выполняется в данной точке.

Доказательство. Из определения АККТ следует существование последовательностей у — у0, ХкеЯ /е/о, Х/к>0 /е/, для которых

- у/ (ук) - х ^к ул (ук) - в к =

/е/ (у0)\^ (у0)

=х^кулдук) + х^кУйдук), (1)

ieI0 ieIa (y0 )nK

где £к — 0.

Пусть векторная система {УЛ/(у0) / е /оо} является базисом системы {УЛ/(у0) / е/оо}. Тогда из

-Vf(yk) - X (/) - 8k =

ieI(y0)\Ia (y0)

= X ukVhi (yk) + X Wh (yk), (2)

ieI00 ieIa(y0)

, ,0\ ™ k

где X,k > 0 i e I(y0), ake R i e I00. 1) Предположим, что

-V/(yk ) + X ^ Щ (yk ) - 8 k * 0

ieI (y0)\7° (y0)

для всех k = 1, 2, ..., начиная с некоторого k0.

В соответствии с леммой 3 для любого k найдется множество J(k) с Ia(y0), при котором

- у/(yk) - x ^kщ (yk) - 8k =

ieI (y°)\Ia (y0)

= X ak yhi (yk) + X ak yhi (yk), (3)

ieI00

ieJ (k)

где ak^ 0 ie J(k) и векторы {Vhi(/) iel00 u J(k)} линейно независимы.

Ввиду конечности индексного множества I можно, не ограничивая общности, считать, что J(k) одно и то же при всех к, т. e. J(k) = J.

Пусть

Mk=max {Xk ieI(y°)\ Ia(y0); ak ieJ, |агк| ieI00} ^

Тогда, разделив (3) на Mk и перейдя к пределу, получим

X w (yo) + х w (уо)+

ieI (y 0)\Ia (y0) ieI00

+ X x Vh (y0) = 0,

(4)

ieJ

где не все X/ равны нулю.

Пусть у удовлетворяет условиям леммы 1. Тогда

X хAVh(y0),y) = 0,

Л „ Л * '

/е1 (у0)\ 1а (у0)

где (УИг(у0), у > < 0 для всех /е 1(у0)\ 1а(у0).

Отсюда X/ = 0 при / е 1(у0) \ 1а(у0), и из равенства (4)следует

X х гУИг (у0) + X х (у0) = 0,

/е100 /е 1

т. е. векторы {УЛ/(у0) / е 100 и 7} линейно зависимы, что противоречит условию РЬБ.

Следовательно, существует ограниченная подпоследовательность в {Мк} (для простоты обозначим ее также {Мк}), и без потери общности можно считать

Xk ^ X, > 0 / е 1(у0) \ 1а(у0); а/к ^ X/ > 0 / е 7;

а/к ^ X/ е Я / е 100.

Тогда предел в формуле (3) дает

.k\ , Х-1 Л Y71. Í..0

Vf (yk) + X Wh (y0) +

ieI (y 0)\ Ia (y0)

+ X X УК (y0) + X X i Vh (y0) = 0,

т. е. ККТ выполняется в точке у0. 2) Предположим, что

-V/(y*) - X (ук) - 8k = 0 (5)

ieI (у0)\Ia (у 0)

при бесконечно большом наборе к (для простоты при всех к). Тогда, если {Хк} ограниченна, то без потери общности можно принять Хк^ Х ^ 0 и, значит,

V/ (у0) + X ^ Vh (у0) = 0.

ieI (у0)\ Ia (у0)

Следовательно, ККТ выполняется в у0. Если {Хк} не ограниченна, то из формулы (5) следует, что

X\Vht (у0) = 0,

,eI (у°)\1" (у0)

где среди Хi найдутся Хi Ф 0.

Последнее невозможно ввиду леммы 2. Теорема 2. Пусть у0е C. Предположим, что существует окрестность У(у°) такая, что

а) некоторое условие регулярности справедливо в любой допустимой точке из У(у°);

б) точка у0 удовлетворяет PLDc.

Тогда условие R-регулярности выполняется в точке Ну0).

Доказательство. Предположим, что условие R-регулярности не выполняется в У(у°). Тогда существует последовательность Vе V£ C такая, что

dc(V) > к max {0, hi(V) ieI, jh^V^)! ieI0}

для всех к = 1, 2, ... .

Пусть у - решение задачи

|у-/| ^ min, уе C.

Тогда V-Zj < |ук-у0| и, следовательно, ук^ у0. Положим

-к vк - ук _

ук = к к ^ V;

V - ук| ' I(ук) = K с I(у0).

Вследствие условия а) существуют векторы

X eRp такие, что

V - y

= X XkVhl (yk),

V - ye! it

где Xik> 0 при ieI и X k=0 при i e I\ K.

ieJ

00

Тогда

vk = £ (yk);

ieI0 uK (6)

Xk > 0 i e K, Xk = 0 i e I \ K. Из(6)следует

Vk - £ X^h (yk) =

ieK \ Ia (y 0)

= £ акЩ (yk) + £ aкЩ (yk), (7)

ieI00 ieIa (y 0)пK

где Xik > 0 ie K, arke R i e I00.

1) Предположим, что в формуле (7)

vk - II XktVht(yk) * 0

ieK\Ia (y0)

для всех k = 1, 2, ..., начиная с некоторого k0.

Тогда, исходя из леммы 3, для любого k найдется множество J(k) с Ia(y0) п K такое, что

vk - I] xfvh, (yk) =

ieK \ Ia (y 0)

= £ akVh1 (yk) + £ afVh (yk),

ie I00 ie J (k)

где ak > 0 для всех i e J(K), и векторы {Vhi(yk) i e I00 u J(k)} линейно независимы.

Без потери общности можно считать J(k) не зависящим от k, т. е. J(k) = J. Тогда

vk = I] ak Vh (yk) +

ieK\Ia (y0)

+ £ aV (yk) + £ akVhi (yk), (8)

ie I00 ie J

где векторы {Vhi(yk) i e I00 u J} линейно независимы, aik > 0 i e K и ak > 0 для всех i e J.

Так как уравнение (8) представляет собой условие ККТ в точке yk, то в соответствии с критерием R-регулярности [10, 11] последовательность {ak} является неограниченной, т. е. |ak| ^ <».

Тогда, разделив (8) на jak| и перейдя к пределу, получим

X (y0) + X Fh (y0) +

ieK \Ia (y0) ieI00

+ X W (y0) = 0, (9)

ieJ

где Xi > 0 i e J и (K\ Ia(y0)), XieR ieloo, и найдутся

X Ф 0.

В соответствии с леммой 2, X=0 при i e K\Ia(y°), следовательно, уравнение (9) принимает вид

X X Fh (y0) + X X i Щ (y0) = 0,

iel00 ieJ

где среди Xi есть ненулевые.

Поскольку {Vhi(yk) i e I00 и J} линейно независимы, последнее противоречит PLDc.

2) Пусть в уравнении (7) для бесконечного множества индексов k (для простоты для всех k)

vk = X^Щ(yk) Ф 0. (10)

ieK \ Ia (y0)

Тогда в соответствии с критериями [10, 11] последовательность {Xk} не ограниченна. Разделив (10) на max {Xik ieK \ Ia(y0)} и перейдя к пределу, получим

XX Хг Vht (y0) = 0,

ieK \ Ia (y0)

где присутствуют Xi ф 0.

Но, исходя из леммы 2, Xi = 0 для всех i e e K\Ia(y0). Таким образом, условие (10) невозможно.

Заключение. В статье получена новая модификация известного условия регулярности RCPLD. Это условие регулярности содержит более слабые требования к ограничениям задачи математического программирования, а также меньший объем вычислений при его проверке. Также доказаны достаточные условия R-регулярности в задаче оптимизации, которые расширяют известные ранее результаты, посвященные R-регулярности (error bound property).

Список литературы

1. Kuhn H. W., Tucker A. W. Nonlinear Programming // Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematics, Statistics and Probability. Berkeley: University of California Press, 1951. P. 481-492.

2. Mangasarian O. L., Fromovitz S. The Fritz-John necessary optimality conditions in presence of equality and inequality constraints // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1967. Vol. 7. P. 37-47.

3. A relaxed constant positive linear dependence constraint qualification and applications / R. Andreani [et al.]. Mathematical Programming. 2012. Vol. 135. P. 255-273.

4. Pang J. Error bounds in mathematical programming // Mathematical Programming. 1997. Vol. 79. P.299-332.

5. Luderer B., Minchenko L, Satsura T. Multivalued analysis and nonlinear programming problems with perturbations. Dordrecht: Kluwer Academic Publisher, 2002. 220 p.

6. Kruger A. Y. Error Bounds and Metric Subregularity // Optimization. 2015. Vol. 64, no. 1. P. 49-79.

7. Error bounds: necessary and sufficient conditions / M. J. Fabian [et al.] // Set-Valued and Variational Analysis. 2010. Vol. 18, no. 2. P. 121-149.

8. Kruger A. Y., Minchenko L. I., Outrata J. V. On relaxing the Mangasarian-Fromovitz constraint qualification // Positivity. 2014. Vol. 18. P. 171-189.

9. Minchenko L. I. Note on MFCQ-like constraint qualifications // Journal of Optimization Theory and Applications. 2019. Vol. 182, no. 3. P. 1199-1204.

10. Bednarchuk E. M., Minchenko L. I., Rutkowski K. E. On Lipschitz-like continuity of a class of set-valued mappings // Optimization. 2020. Vol. 69, no. 12. P. 2535-2549.

11. Minchenko L., Stakhovski S. Parametric nonlinear programming problems under relaxed constant rank regularity condition // SIAM Journal on Optimization. 2011. Vol. 21, no. 1. P. 314-332.

References

1. Kuhn H. W., Tucker A. W. Nonlinear Programming. Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. Berkeley, University of California Press, 1951, pp. 481-492.

2. Mangasarian O. L., Fromovitz S. The Fritz-John necessary optimality conditions in presence of equality and inequality constraints. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1967, vol. 7, pp. 37-47.

3. Andreani R., Haeser G., Schuverdt M.L., Silva P. J. S. A relaxed constant positive linear dependence constraint qualification and applications. Mathematical Programming, 2012, vol. 135, pp. 255-273.

4. Pang J. Error bounds in mathematical programming. Mathematical Programming, 1997, vol. 79, pp. 299-332.

5. Luderer B., Minchenko L, Satsura T. Multivalued analysis and nonlinear programming problems with perturbations. Dordrecht, Kluwer Academic Publisher, 2002. 220 p.

6. Kruger A. Y. Error Bounds and Metric Subregularity. Optimization, 2015, vol. 64, no. 1, pp. 49-79.

7. Fabian M. J., Henrion R., Kruger A. Y., Outrata J. V. Error bounds: necessary and sufficient conditions. Set-Valued and Variational Analysis, 2010, vol. 18, no. 2, pp. 121-149.

8. Kruger A. Y., Minchenko L. I., Outrata J. V. On relaxing the Mangasarian-Fromovitz constraint qualification. Positivity, 2014, vol. 18, pp. 171-189.

9. Minchenko L. I. Note on MFCQ-like constraint qualifications. Journal of Optimization Theory and Applications, 2019, vol. 182, no. 3, pp. 1199-1204.

10. Bednarchuk E. M., Minchenko L. I., Rutkowski K. E. On Lipschitz-like continuity of a class of set-valued mappings. Optimization, 2020, vol. 69, no. 12, pp. 2535-2549.

11. Minchenko L., Stakhovski S. Parametric nonlinear programming problems under relaxed constant rank regularity condition. SIAM Journal on Optimization, 2011, vol. 21, no. 1, pp. 314-332.

Информация об авторах

Сиротко Сергей Иванович - кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры информатики. Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники (220013, г. Минск, ул. П. Бровки, 6, Республика Беларусь,). E-mail: sergeyis@bsuir.by

Пашук Александр Владимирович - старший преподаватель кафедры информатики. Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники (220013, г. Минск, ул. П. Бровки, 6, Республика Беларусь). E-mail: pashuk@bsuir.by

Information about the authors

Sirotko Sergey Ivanovich - PhD (Physics and Mathematics), Associate Professor, Assistant Professor, the Department of Informatics. Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics (6, P. Brovki str., 220013, Minsk, Republic of Belarus). E-mail: sergeyis@bsuir.by

Pashuk Aleksandr Vladimirovich - Senior Lecturer, the Department of Informatics. Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics (6, P. Brovki str., 220013, Minsk, Republic of Belarus). E-mail: pashuk@bsuir.by

Поступила после доработки 04.01.2022