CC BY
10
2010 УДК 517.977
Доклады БГУИР
№4 (50)
К УСЛОВИЯМ РЕГУЛЯРНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ПО НАПРАВЛЕНИЯМ ФУНКЦИИ ОПТИМАЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ
СВ. АКТАНАРОВИЧ, ЛИ. МИНЧЕНКО, АН. ТАРАКАНОВ
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь
Поступила в редакцию 16 марта 2010
Обобщен один из результатов А. Ауслендера и Р. Коминетти, касающийся дифференцируе-мости по направлениям функции оптимального значения в параметрических задачах нелинейного программирования при наличии условия регулярности Мангасаряна-Фромовица по направлению. Показывается, что достаточно жесткие дополнительные требования, использованные в работе А. Ауслендера и Р. Коминетти, могут быть заменены ослабленным условием регулярности постоянного ранга.
Ключевые слова: оптимизация, многозначные отображения, псевдолипшицевость отображений.
Введение
Производные по направлениям функции оптимального значения широко используются в исследовании устойчивости и чувствительности экстремальных задач относительно возмущений параметров, при построении алгоритмов решения минимаксных задач, в квазидифференциальном исчислении и в его приложениях [1-6].
Пусть fix, у), /г(х,у) i — 1,..., р — непрерывно дифференцируемые функции из R" х Rm в i?. В данной работе мы рассматриваем функцию оптимального значения ф(х) = inf fix, у) I j' e /' (x) , определенную для задачи минимизации fix, у) —» inf
у
на множестве F(x)= yeRm\ ^{рс,у)< О i el , к{(х,у) = О /е/0 , где х е R" — вектор параметров, / = {l,...,s}, /0 = {s +1,.,.,р).
Обозначим через со(х) = у е l'(x) \ fipc, у) = ф(х) множество оптимальных решений поставленной задачи, через F — многозначное отображение, ставящее в соответствие каждой точке xeR" множество /' (л*) с R"'. Будем предполагать, что для точки х0 е dom/' существуют окрестность F(x0) и ограниченное множество Y0 a R"' такие, что со(х) с Y0 для всех xeF(x0).
Введем понятия и обозначения, необходимые для вывода и формулировки результатов. Пусть z - (х.у). z0 = (х0,у0), z = (х,у) . Введем функцию Лагранжа L{z,X) = f{z) + (/.,h(z)), где
Обозначим через А (г) = leRp\ VxZ(z, X) = О, > О и X friz) = 0, i el множество множителей Лагранжа и через I(z) = {i el \ h¡(z) = 0} множество индексов активных ограничений в точке z = (л-, у) е grF.
Пусть хей". Для функции оптимального значения изучим существование производной по направлению х в точке х0:
<р'(*0; х) = НтГ^срОо <р(*0)) .
Известно, что дифференцируемость по направлениям функции оптимального значения требует выполнения определенных условий регулярности в оптимальных точках и некоторых дополнительных предположений о структуре многозначного отображения ¥ . Таким образом, в работах, посвященных исследованию дифференцируемости функции оптимального значения, получены результаты, дающие достаточные условия дифференцируемости по направлениям функции ф . В виду сложности изучаемой проблемы, наряду с достаточными условиями, обеспечивающими дифференцируемость функций оптимального значения по всем направлениям, в литературе представлены результаты, гарантирующие их дифференцируемость по некоторым конкретным направлениям, удовлетворяющим определенным требованиям. К такого рода результатам в первую очередь следует отнести известную работу А. Ауслендера и Р. Коминетти [3], использующую понятие регулярности Мангасаряна-Фромовица по направлению, введенное Б. Голланом в [6], и так называемые сильные достаточные условия второго порядка по направлению (8808С х) А. Шапиро [4]. В данной статье показывается, что последнее требование можно заменить на введенное в [7, 8] ослабленное условие регулярности постоянного ранга.
Следуя [3], будем говорить, что в точке — {х(пу(]) е ^г/' выполнено условие регулярности Мангасаряна-Фромовица по направлению хей" (коротко МБх), если система векторов V /гг-(г0) / е /п линейно независима и существует вектор у0 такой, что
<УА,.(г0), (х,у0)> = 0 /е/0, <УЛ1.(г0),(х,у0)><0 /е/(г0).
В [7, 8] предложено ослабленное условие регулярности постоянного ранга (ЯСЯ), которое представляет собой ослабленный вариант условия Р. Жане на [9] и по своей природе отлично от условия Мангасаряна-Фромовица. Напомним [7], что в точке г0 = (л*0, у()) е grF выполнено ослабленное условие регулярности постоянного ранга, если для любого подмножества индексов ./такого, что /0 с 3 с: 1(г0), система векторов V,./?(г), / е./ имеет постоянный ранг в некоторой окрестности точки г0.
Изучим условия существования производной
ф'(х0;х) - НшГЧфОо фО0))
функции ф в точке х0 по направлению хей".
Производные функции оптимального значения
Следуя [2], введем нижнюю производную Дини многозначного отображения Р в точке г0 = (х0, у0) е по направлению х :
х) = {у е Я™ \ 3 функция о(/) такая, что о(/)/1 —» О для I и Уо + + е Р(хо + -
и множество
Г(20;х)=уеГ|{У/г,(70),г}<0 /е/(70), <УА> (70),2> = 0 / е/0 , г = (х,У) .
Лемма 1 ([3]). Если в точке z0 = ,_у0) е grF выполнено условие регулярности Ман-гасаряна-Фромовица по направлению х, то I)I'(zinx) = Г(г0;х) ^ 0.
Лемма 2 ([7]). Пусть в точке z0 = (jc0 , _у0) е gr/' выполнено условие регулярности RCR. Тогда существуют окрестности V(x0), V(y0) точек x0, y0 и число M >0 такие, что для любого xeF(x0) и любого у GV(y0)r^F(x) найдется точка y01 eF(x0), для которой выполнены условия:
a) I У ~ У011 -М | х-х01 , М = const > О,
b) Ъг (х, у) < h£x0, у01) < О / £ 1(х0, у0).
Теорема 1. Пусть во всех точках z0 = (Xq,^) таких, что у0 е со(х0), выполнены условия RCR и MFх Тогда функция ф дифференцируема в точке х0 по направлению х, причем
у'(х0;х)= min min <V/(z0),z> = min max <VxZ(z0,l),x>. (1)
y0&o(x0) jer (z0-x) y0&o(x0) AeA(z0)
Доказательство. 1) Пусть yt] e o>(xri). В силу леммы 1 имеем r(z0;x) = = DF(z0;x) Ф 0. Тогда для любого у еГ(г0;х) существует функция о(1) такая, что o(t)/t 0 при i —» 0 и y0+ty + o(t) е F(x0 + tx) для всех t > 0. Следовательно, ф(х0 + ix) --фОо) ^ Яхо + ■Ь,Уо + ■¿У + °(0) -f(x0,y0), откуда £>>(х0; х) = lim sup Г1 ф(х0 + tx) - ф(х0) < < (V/(z0),z) для всех z = (х,у) таких, что у е Г(г0;х) . Из данного неравенства следует
D+Ф(х0;х)< inf inf <V/(z0),z). (2)
2) Пусть предел /)^p(x0;x) = liminf/_1(ф(х0 + /х)— ф(х0)) достигается на последовательности t kX 0 и пусть хк — х0 +tkx, ук е со(хк) к= 1, 2,... Не ограничивая общности, можно считать последовательность ук сходящейся. Более того, ук J',, е /' ( хп) вследствие замкнутости многозначного отображения F . Поскольку ф(хАг) < ф(х0) + ^/)+ф(х0;х) + о(^), то переход к пределу в равенстве /(хк,ук) = ф(хА.) даст нам f(x0,y0) = lim sup ср(л"л.) < ф(х0),
«i
откуда следует, что у0 е ю(х0).
В силу леммы 2 найдется последовательность уок такая, что y0keF(x0), \Уок-Ук\^м\хк-хо\> М = const > 0, Ъ(хк,ук)<1г£х0,у0к)<0 itl(x0,y0).
Не убавив общности, можно считать, что ^{ук — уак) —> у0 и, следовательно, У к ~ Уок + ^Уо + °(fk) • Тогда
Мхк,Ук)-Мхо,Уок)^° i^i(x0,y0l Мхк,Ук)-Мхо,Уок) = ° 1 еА,,
откуда после перехода к пределу получим
(Щ (х0, у0), (х, у о )> < О г е I(x0, у0), (V кг (х0, у0), (ж, у 0 )> = 0 / е 10,
то есть у0 er((x0,j)0);x). С другой стороны,
Аф(*о ;х) = {даinf Ч1 (Д* о /О о, у о)) ^
- +tk^yok+tky0 +o(tk))-f(x0,y0k)) = <V/(x0, j)0),(x,y0)>,
следовательно,
D#0;x)>{V/(i0j0),(xj0))> inf inf <V/(W),z), где z = (x,y) .
Сравнивая последнее неравенство с оценкой (2), получаем, что существует конечная производная по направлению
ф'(х0;х) = min min <V/(z0),z>.
у0есо(х0) yeT(z0;x)
Применяя теорему двойственности линейного программирования [10], получаем (1).
Выводы
Получены достаточные условия дифференцируемости по направлениям функции оптимального значения, которые позволяют избежать более жестких предположений работы [3], заменяя требование выполнения в оптимальной точке так называемых сильных достаточных условий оптимальности второго порядка по направлениям [4], более приемлемым во многих случаях ослабленным условием постоянного ранга. Полученные результаты являются обобщением теоремы 1 [3] для достаточно широкого круга задач нелинейного программирования.
ON CONSTRAINT QUALIFICATIONS AND DIFFERENTIABILITY OF VALUE
FUNCTION
S.V. AKTANAROVICH, L.I. MINCHENKO, A.N. TARAKANOV
Abstract
Parametric programming problems are studied and the existences of the first directional derivatives for value function are proved under the directional version of Mangasarian-Fromovitz constraint qualifications without second order sufficient optimality conditions.
Литература
1. Bonnans J.F., Shapiro A. Perturbations analysis of optimization problems. Springer-Verlag, New York, 2000.
2. Luderer B., Minchenko L., Satsura T. Multivalued analysis and nonlinear programming problems with perturbations. Kluwer Acad Publ. Dordrecht, 2002.
3. Auslender A., Cominetti R. // Optimization. 1990. Vol. 21, P. 351-363.
4. Shapiro A. // SIAM J. Control and Optimization. 1988. Vol. 26. P. 628-645.
5. Minchenko L., Tarakanov A. // Optimization. 2005. Vol. 54. P. 433-442.
6. Gollan B. // Mathematics of Operation Research. 1984. Vol. 9. P. 208-221.
7. Минченко Л.И., Стаховский С.М. // Докл. НАН Беларуси. 2009. № 5. С. 6-10.
8. Minchenko L., Stakhovski S. // Optimization. 2010.
9. Janin R. // Mathematical Programming Study. 1984. Vol. 21. P. 110-126.
10. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование. М., 1963.
