CC BY
13
Доклады БГУИР
2013 № 2 (72)
УДК 517.977
ОСЛАБЛЕННОЕ УСЛОВИЕ РЕГУЛЯРНОСТИ МАНГАСАРЯНА-ФРОМОВИЦА И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
СВ. АКТАНОРОВИЧ, С.А. БОГДАНОВ, А.Е. ЛЕЩЕВ, ЛИ. МИНЧЕНКО
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь
Поступила в редакцию 9 ноября 2012
Условия регулярности играют важную роль в задачах математического программирования поскольку гарантируют выполнение необходимых условий оптимальности Куна-Таккера и построение на их основе двойственных алгоритмов для вычисления оптимальных решений. В то же время условия регулярности различаются между собой общностью, сравнительной простотой проверки и условиями применения. Наряду с классическими условиями регулярности (в первую очередь это известное условие Мангасаряна-Фромовица), в последнее время вызывают значительный интерес более слабые условия регулярности, применимые в задачах, для которых не имеют места классические условия. Целью данной работы является исследование ослабленного условия регулярности Мангасаряна-Фромовица и его связи с другими условиями регулярности.
Ключевые слова: математическое программирование, оптимальность, условия регулярности, ослабленные условия.
Введение
Пусть hi i = 1,..., p - непрерывно дифференцируемые функции из R™ в R. Введем непустое множество допустимых точек
С = { y е Rm\h1 (y) < 0 i е I, h, (y) = 0 i е I0 },
где I = { 1, ..., 5 }, Io = { s+1,...,p } или Io = 0,
и рассмотрим задачу (Р) минимизации непрерывно дифференцируемой целевой функции fy) на множестве С.
Пусть I (y) = { i е I | hi (y) = 0 } - множество индексов, активных в точке y е C ограничений-неравенств. Для задачи (Р) определим в точке y е C множество множителей Лагранжа:
Л(у) = |хе Rр \ V/ (y) + £ Х,Щ (у) = 0, X, > 0 i е I(y), X, = 0 i е I \ I(y) |
и множество
Гс (y) = { y е Rm \ (Vh, (y), y) < 0 i е I(y), (Vh, (y), y) = 0, i е I0 },
которое будем называть линеаризованным касательным конусом к множеству С в точке y е C. Известно, что широко применяемое условие регулярности Мангасаряна-Фромовица (MFCQ) [1] требует, чтобы в точке y е C система векторов Vhi (y) i е I0 была линейно независимой и существовал вектор y0такой, что (Vh;(y),y0) = 0, i е I0,...... (Vh;(y),y0) < 0, i еI(y).
В литературе известны условия регулярности, независимые от MFCQ. Наиболее известные из них условия постоянного ранга CRCQ Р. Жанена [2] и ослабленное условие посто-
янного ранга RCRCQ [3,4] (более простое для проверки и одновременно более общее, чем CRCQ).
Говорят, что множество С удовлетворяет в точке у0 е C ослабленному условию постоянного ранга (RCRCQ), если для любого множества индексов J = K u I0, где K с Ду0), система векторов { Vhi (у), i е J } имеет постоянный ранг в некоторой окрестности точки у0.
Существует также ряд прямых обобщений MFCQ (условия псевдонормальности и квазинормальности [5], условие ^-регулярности [3,4,6-9]), условие CPLD [10,11] обобщает одновременно MFCQ и CRCQ. Наконец, в недавно опубликованной работе [12] предложено условие RCPLD, обобщающее MFCQ и RCRCQ. Взаимосвязи различных условий регулярности посвящены работы [13-15].
В статье [16] было введено ослабленное условие регулярности Мангасаряна-Фромовица, ослабляющее и RCRCQ, и целый ряд других условий регулярности, включая классическое условие Мангасаряна-Фромовица. Несколько позже в работе [17] было предложено достаточно общее условие регулярности CRSC. В данной заметке показывается, что CRSC не является новым условием регулярности, а представляет собой другую форму записи ослабленного условия регулярности Мангасаряна-Фромовица. Дополнительно доказывается, что утверждение [17] о том, что выполнение условия CRSC влечет выполнение условия Л-регулярности (часто именуемого в литературе «error bound property»), справедливо при менее жестких предположениях об ограничениях задачи, чем в [17].
Ослабленное условие регулярности Мангасаряна-Фромовица
Пусть у е C . Представим множество индексов I(у) активных ограничений в виде I(y) = Ia (у) u I (у), где Г (у) = { i е I(y)\(Vh, (у), у) = 0 V еГС (у) }, I (у) = I(y)\Ia (у).
Определение 1 [13]. Говорят, что в точке у е C выполняется ослабленное условие регулярности Мангасаряна-Фромовица, если система векторов { Vhi i е I0uI a (у) } имеет постоянный ранг в некоторой окрестности этой точки и существует вектор у0 такой, что
т(у), уо > = 0 i е Io u Г (у), {Vhi уо >< 0 i е Г(у) .
Лемма 1. Пусть у е C. Следующие утверждения равносильны:
а) система векторов { Vhi i е I0uI a(y) } имеет постоянный ранг в некоторой окрестности точки у и существует вектор у0 такой, что
т(у), уо > = 0 i е Io u Г (у), {Vhi уо >< 0 i е Г(у) ;
б) система векторов { Vhi i е I0uI a (у) } имеет постоянный ранг в некоторой окрестности точки у .
Доказательство. Очевидно, что из утверждения (а) вытекает утверждение (б).
Обратно, пусть выполнено (б). Тогда система векторов { Vhi i е I0uI a(y) } имеет постоянный ранг в окрестности точки у и первое условие утверждения (а) выполнено. Проверим выполнение второго условия из утверждения (а). В случае, если I "(у) = 0, оно будет выполнено тривиально. Пусть I"(у) = 0. Возьмем любой индекс i е I"(у). Тогда (Vfy(у),у) < 0 для всех
у еГс(у) , но индекс i <t Ia^), то есть найдется вектор у' еГс(у) такой, что (Vfy(у),у') < 0 .
Построим вектор у0 = X^ук ,где все tk > 0. Тогда у0 е Г (у) и для любого i еI"(у) получим
(Vh, (у), у°) =Х tk(vhi (у), f) = X t^Vh, (у), f) + ^(у), у') < 0 .
кеI ~ кеI ~ \i
Следовательно, и в этом случае второе условие из утверждения (а) выполнено.
Таким образом, определению условия RMFCQ можно придать следующий вид.
Определение 2. Будем говорить, что в точке у е С выполнено условие регулярности RMFCQ, если система векторов { Укг- г е 10и1а (у) } имеет постоянный ранг в некоторой окрестности этой точки.
Под таким определением в работе [3] введено условие регулярности, коротко называемое CR.SC. Лемма 1 показывает, что условие CR.SC является другой формой записи условия RMFCQ.
Условие RMFCQ очевидно выполняется при выполнении условия ослабленного постоянного ранга RCRCQ (а, следовательно, и CRCQ). Частным случаем условия RMFCQ являются условие регулярности Мангасаряна-Фромовица (MFCQ), а также его легкая модификация (обозначим ее EMFCQ), которая сводится к требованиям:
1) система векторов { У к, г е 10 } имеет постоянный ранг в некоторой окрестности точки у;
2) существует вектор у0 такой, что (УИ,(у),у0) = 0 / е 10, (УИ, (у),у0) < 0 / е 1(у) .
Из результатов [3] следует, что ослабленное условие Мангасаряна-Фромовица является также более слабым условием регулярности по сравнению с условиями CPLD и RCPLD [1, 2].
Следуя [12], будем называть условие регулярности в точке у е С хорошо обусловленным, если из его выполнения в точке у следует выполнение в любой точке из некоторой окрестности у.
Следующее важное утверждение доказано в [3] (лемма 5.3).
Утверждение 1. Пусть в точке у0 е С выполнено условие RMFCQ. Тогда существует окрестность ¥(у0) точки у0 такая, что Iа (у) = Iа (у0) для всех у е Со¥(у0).
Непосредственно из данного утверждения вытекает
Следствие 1. Условие RMFCQ является хорошо обусловленным в любой точке, в которой оно выполняется.
Ослабленное условие Мангасаряна-Фромовица и ^-регулярность
Пусть |y| - евклидова норма вектора y, d(х, C) = inf|х - у|. При исследовании задач оптимизации важную роль играет следующее условие, являющееся само по себе достаточно общим условием регулярности и связывающее расстояние до множества C с точностью выполнения ограничений задачи.
Будем говорить, что в точке y0 е C выполняется условие R-регулярности (имеет место «error bound property»), если найдутся число а > 0 и окрестность V(y0) точки y0 такие, что d(y,C) < а max { 0, hi (y) iel, |h (y)| ieI0 } для всех y е V (y0).
В [3] при дополнительном условии дважды дифференцируемости функций hi, i = 1,...,p доказано, что из выполнения в точке y0 е C условия CRSC (то есть RMFCQ) следует наличие условия R-регулярности в этой точке. Используя утверждения, доказанные в [3], и двойственное описание R-регулярности, полученное в [11], можно улучшить данный результат.
Пусть v е Rm , vi C. Обозначим nC (v) множество точек из С ближайших к точке v. Очевидно, эти точки являются решениями задачи нелинейного программирования fv (y) ^ min, y е C, где fv (y) = |y-V.
Отметим, что функция fv (y) дифференцируема по y во всех точках, отличных от y = v.
Пусть fr C - граница множества C,
\ (У) = \ к е Rр | y/v (y) + £ (у) = 0, к, > 0 i е I(y), кг = 0 i е I \ I(y) 1,
* <(у) = |^еЛу(у) | ±\Х,\<М |.
Лемма 2 ([11]). Пусть градиенты Ук{ (у) локально липшицевы в окрестности точки у0 е & С и существуют число М > 0 и окрестность У(у0) точки у0 такие, что при всех V е К(у0), не лежащих в С, справедливо условие ЛМ (у) Ф0 для любой точки у = у^) е Пс^). Тогда в точке у0 выполняется условие Р-регулярности.
i=i
Теорема 1. Пусть градиенты Vhi (i) локально липшицевы в окрестности точки y0 е C, в которой выполняется условие RMFCQ. Тогда в этой точке выполняется условие R-регулярности.
Доказательство. Отметим вначале, что при y0 е int C для всех y из некоторой окрестности y0 справедливо равенство p(y,C) = 0 и, следовательно, имеет место R-регулярность.
Пусть y0 е fr C. Будем рассуждать от противного и предположим, что множество С не удовлетворяет условию R-регулярности. Тогда в силу леммы 2 и следствия 1 для любой последовательности vk ^ y0 такой, что vk i C, расстояние d(0, \ (yk)) ^ж для yk = y(vk) е nC(vk).
При этом yk = y(vk) ^ y0, поскольку |vk-yk\ < |vk-y0|. Не ограничивая общности, можно считать, что I(yk) = I, где I не зависит от yk. Тогда
\k (yk ) Ф0,... h, (yk ) = 0 i е Io u I", h (yk ) < 0 i i (Io u I"), где k = 1,2,_ .
Отсюда hi (yk) = 0 iеf, hi (yk) = 0 iе(I\f). Поскольку в силу утверждения 1, не ограничивая общности, можно считать, что Ia (yk) = Ia (y0) и не зависит от k = 1,2, ..., то положим I a(yk) = I ay) = I a^i*. Отметим, что для любого yk существует iе(I0uf), для которого Vhi(yk) Ф 0, иначе из определения \ (yk) следовало бы VfVk (yk) = 0, что невозможно. В системе { Vhi(y0) iеI0 } (если i0 Ф 0 и существует индекс iеI0, для которого Vhi (y0) Ф 0) выберем максимальную линейно независимую подсистему { Vhi (y0) iеI00 }, где I00c I0, и дополним ее до максимальной линейно-независимой подсистемы { Vhi (y0) iеI00 u I a0 } в системе { Vhi(y0) iеI0 u Ia }, где I a0c Ia. В силу RMFCQ можно, не ограничивая общности, считать, что система векторов { Vhi (yk) iеI00 u Ia } будет максимальной линейно-независимой подсистемой в системе { Vhi (yk) iеI0 u Ia }. Также не ограничивая общности, можно дополнить систему векторов { Vhi (yk) iеI00 u Ia0 } до { Vhi (yk) iеI00 u Ia0 u I-0 }, где I-0c (f\I a), которая будет максимальной линейно-независимой подсистемой в системе векторов { Vhi (yk) iеI0 u I }. Тогда найдется вектор X е Л^ (yk) такой, что Xk ^ ж и
¿hkVhi (yk) + Vfvi (yk) = 0, Xk, > 0 i е I, X) > 0 i i (I00 uIa0 uГ0) . (1)
i=1
Не ограничивая общности, можно предположить, что Xk irr1 ^ X. Тогда, поскольку X е \ (yk) и Xk ^ ж, из (1) следует
Y^XVh, (y0) +ZX,Vh, (y0) = 0, X, > 0 i е Ia0 u Г0 , (2)
iG^0 uIa0 iGI
где \X\ = 1 и Xi = 0 для i i ( 100 u Ia0 u I - 0).
i =
найдется Xi > 0 при i е I ~ 0. Тогда в силу леммы 1 существует вектор y0 такой, что
(Vh, y), Уо) = 0 i е I0 u Ia (y0), (Vh, y^ < 0 i е I y), и, следовательно, из равенства (2) следует
^ХДVh,(y0),Ус) + ZX,(Vh,(y0),УО) = 0 ,
iG^0 uIa0 iGI
откуда
£Xi(Vh,(Уо),Уо) = o,
что невозможно.
Таким образом, все Xi = 0 для i е I- 0 и равенство (2) принимает вид:
Покажем, что X, = 0 также для всех I е I 0. Действительно, допустим противное:
Х^УИ,(уо) = 0, > 0 г е Iм,
,е100^1а0
где среди множителей А,г- есть ненулевые. Последнее противоречит линейной независимости системы векторов { У к, (у0) г е 100 и I а0 }. Полученное противоречие доказывает справедливость утверждения теоремы.
Заключение
В статье показано, что введенные недавно Андреани, Хезером, Шувердт и Силва условие регулярности CR.SC не является новым и представляет собой другую форму записи ослабленного условия регулярности Мангасаряна-Фромовица, опубликованного в 2010 году Л.И. Минченко и С.М. Стаховским. Дополнительно доказывается, что ослабленное условие регулярности Мангасаряна-Фромовица обеспечивает Р-регулярность задачи оптимизации при нежестких дополнительных предположениях об ограничениях.
RELAXED MANGASARIAN-FROMOVITZ CONSTRAINT QUALIFICATION
AND ITS APPLICATIONS
S.V. AKTANAROVICH, S.A. BOGDANOV, A.E. LESCHOV, L.I. MINCHENKO
Abstract
Nonlinear programming problems are considered under the relaxed Mangasarian-Fromovitz constraint qualification. It was established that a new constraint qualification CRSC is another form of relaxed Mangasarian-Fromovitz constraint qualification and proved that the relaxed Mangasarian-Fromovitz constraint qualification implies the local error bound property under not essential additional assumptions.
Список литературы
1. Mangasarian, O.L., Fromovitz, S. // Mathematical Analysis and Appl. 1967. №17. P. 37-47.
2. Janin R. // Mathematical Programming Study. 1984. № 21. P. 110-126.
3. Minchenko L., Stakhovski S. // Optimization. 2011. № 60 (4). P. 429-440.
4. Minchenko L., Stakhovski S. // SIAM Journal on Optimization. 2011. № 21 (1). P. 314-332.
5. BertsekasD.P. Convex analysis and optimization. Athens, 2003.
6. Федоров В.В. Численные методы максимина. М., 1979.
7. loffe A.D. Regular points of Lipschitz functions. // Transactions of American Mathematical Society.
8. Luderer B., Minchenko L., Satsura T. Multivalued analysis and nonlinear programming problems with perturbations. Dordrecht/Boston/London, 2002.
9. Minchenko L., Tarakanov A. // Optimization Theory and Appl. 2011. № 148. P. 571-579.
10. Andreani R., Martinez J.M., SchverdtM.L. // Optimization Theory and Appl. 2005. №125. P.473-485.
11. Qi L., Wei A. // SIAM Journal on Optimization. 2000. № 10 (4). P. 963-981.
12. AndreaniR., Haeser G., SchuverdtM.L., et. al. // Mathematical Programming, Ser. A 135. 2012. P. 255-273.
13. Shu Lu. // Mathematical Programming. 2009. №126 (2). P. 365-392.
14. Shu Lu. Relation between the constant rank and the relaxed constant rank constraint qualifications // Optimization, 2010. DOI:10.1080/02331934.2010.527972.
15. Solodov M.V. Wiley Encyclopedia of Operations Research and Management Science, chapter Constraint Qualifications. NJ, USA, 2011.
16. Минченко Л.И., Стаховский С.М. // Докл. БГУИР. 2010. №8. С. 104-109.
17. R.Andreani, G. Haeser, M.L.Schuverdt, et. al. Two new weak constraint qualifications and applications // Optimization Online Preprint, 2011-07-3105.
