К условию постоянной положительно-линейной зависимости в задачах математического программирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

Доклады БГУИР

2009 № 4 (42)

УДК 517.977

К УСЛОВИЮ ПОСТОЯННОЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНО-ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ В ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

СИ. СИРОТКО, СМ. СТАХОВСКИЙ, ЛИ. МИНЧЕНКО

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь

Поступила в редакцию 21 апреля 2009

Условия регулярности (constraint qualifications) играют важную роль в задачах математического программирования. В то же время условия регулярности различаются между собой общностью и условиями применения. Ввиду этого вызывает интерес исследование взаимосвязи различных типов условий регулярности. Целью статьи является доказательство, что известное в литературе условие регулярности постоянной положительно-линейной зависимости (CPLD) влечет выполнение более общего условия ^-регулярности (называемого также error bound property).

Ключевые слова: условия регулярности, множители Лагранжа, нелинейное программирование.

Введение

Рассмотрим задачу (P) математического программирования: /0>)-> min, уеС,

с непустым множеством допустимых точек С= yeRm\h,(y)<0 /е/, ht(y) = 0 /е/0 ,

где у eRm , I={1, ...,s}J0={s+\,...,p} или/о=0,

и /,/гг i = \,2,...p—непрерывно дифференцируемые функции из Rm в R. С задачей (Р) связана функция Лагранжа

Ь(УА) = КУ) + {ЛЛУ)) ,где Х = {\,...,Хр), h = (hl,...,hp)

и множество множителей Лагранжа в точке y

A0>)= XsRp\ VxL(y,X) = 0, А, > 0 и А. ДО = 0, iel .

Условиями, существенно влияющими на возможность эффективного решения задачи (Р), являются условия регулярности, обеспечивающие непустоту множества А(_у) в точках локального минимума задачи (Р) [1-9]. Одним из наиболее известных условий регулярности в точке у е С является условие Мангасаряна-Фромовица (RMF) [2], требующее, чтобы система

векторов V/з! (у) i е /0 была линейно независимой, и существовал вектор уп такой, что <УШ, уо) = 0, iel0, (Щ(у\ уо)<0, г е 1{у). (Здесь и далее 1{у) = {/' е / | //г (у) = 0}).

Наряду с (RMF) наиболее часто используется условие регулярности постоянного ранга [3], которое по своей природе отлично от условия Мангасаряна-Фромовица. Напомним [3], что в точке у0 множество С удовлетворяет условию постоянного ранга, если для любого подмножества индексов J cz I()',,) ^J /,, система векторов V/t (у), i е ./ имеет постоянный ранг

в некоторой окрестности точки yo .

В работе [4] было предложено условие постоянной положительно-линейной зависимости (CPLD), обобщающее одновременно условие регулярности Мангасаряна-Фромовица и условие постоянного ранга.

Определение 1. Будем говорить, что точка у0 удовлетворяет условию CPLD, если для

всех подмножеств индексов ./, cz /(_>'„), ,/2 cz/0, и чисел Х( / Е,/, U ,/2 таких, что

Д > О / G Jl и

X ^IvhI(y0)=o, 2>г+Х1Ч>0>

ieJluJ2 ¿eJj ieJ2

система векторов V/? (у) ( £ J, U ,/2 является линейно зависимой при всех у из некоторой окрестности yo.

Авторы работы [4] выдвинули предположение, что CPLD должно быть условием регулярности, т.е. гарантировать существование множителей Лагранжа в точках локального экстремума задачи (Р). Позже Andreani, Martinez и Schuverdt доказали справедливость данной гипотезы [5].

Поскольку условие CPLD обладает широкой общностью, возникает вопрос о его соотношении с известными ранее условиями регулярности очень общего характера — условием квазинормальности [6] и условием R-регулярности (часто именуемым в литературе error bound property) [1, 7-9]. В [5] было доказано, что из выполнения CPLD в какой-либо точке вытекает квазинормальность в этой точке. Вопрос о взаимосвязи CPLD с R-регулярностью остался нерешенным.

Пусть р(х, С) = inf be — у, где \у \ — евклидова норма вектора, В — открытый еДИНИЧ-

уеС

ный шар с центром в 0 в пространстве Rm.

Определение 2. Будем говорить, что множество С R-регулярно в точке у0, если найдутся числа а>0, 5>0 такие, что

р(у,С)<атах 0, ht(y) г'е/, |/z,(y)| для всех у е yo+SB.

Основной целью нашей статьи является доказательство того факта, что выполнение CPLD в точке yo гарантирует R-регулярность множества C в этой точке.

Анализ структуры множества множителей Лагранжа

Множество множителей Лагранжа в задаче (Р)

р

A(y) = {XeR?\^>0,XA(y) = 0 '"е/, £W(y) + V/(y) = 0}

i=\

является многогранным множеством. Если оно не пусто, строение его может быть исследовано, используя общие утверждения о многогранных множествах [1o]. Не ограничивая общности можно принять, что активными в точке у являются первые г из ограничений неравенств. Тогда А(у) задается ограничениями

-А,<0 / =

х. =0 ¿ = Г +1,...,5,

р

г= 1

Следовательно, полная матрица ограничений для Л(_у) имеет вид:

'-10. 0-10

d =

0 0

-1

0

о

Эй,

Эйг

0 1

dh

dh

0

dh

_p_

dhx dy

* m

dh dy

* m

dh _£_

dy

* m

dh

dy

* m

dh

_p

dy

* m

где на главной диагонали последовательно расположено г элементов, равных -1 и s — r , равных 1. Ранг системы линейных ограничений совпадает с рангом матрицы D и, очевидно, равен р , если векторы V/гДу) i е/0 линейно независимы. В этом случае в силу теоремы 2.3 [10] множество Л(_у) имеет хотя бы одну вершину. В общем случае, когда ранг системы линейных ограничений неполный, т.е. равен 1<р, то по лемме 2.1 [10] множество A(j') представимо в виде А(_у) = М0 + Р, где Р — подпространство размерности р—1, М0 — многогранное множество, определяемое условием

ХеЛО), А,. =0 /е/0\/00,

где ioocio — такое множество индексов из /о, что система векторов V/? {у) i е /00 является максимальной линейно независимой подсистемой системы V/г (у) i е /0.

Не ограничивая общности, можно считать, что ограничения с индексами i е /0 \ /00 являются первыми в системе ограничений равенств У/гг (_у) i е /0. Тогда матрица системы ограничений многогранного множестваM0 имеет вид:

0

0

1

0

0

D0 =

-1 0 .

0-10

0 0

о ^

-1 . 0 1

о ÖÄ, öVi

8h _r_

8h

_s

0 1

0

8h _q_

0 0

0

8h

_p_

SA,

А

8h _r_

8y

У m

8h _

s m

8h _q_

8y

s m

8h _£

ty,

m /

Очевидно, что ранг системы ограничений для многогранного множества М0 равен р и, следовательно, оно имеет вершины. В частности, точка X будет вершиной тогда и только тогда, когда ([10], с. 71, теорема 1.4) она удовлетворяет ограничениям

Хг > 0 ie 1(у), Хг = 0 7 «Ё 1(у), Хг =0 7 € /0 \ /,

р

+ v/oo = о,

/—1

среди которых р линейно независимых ограничений выполняются как точные равенства.

Отсюда следует, что, если ранг системы векторов V// ( j/ ) i e.l0^jl(y) равен q, то точка X будет вершиной в М0 тогда и только тогда, когда не менее р - q ее компонент /.( равны нулю.

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть множество множителей Лагранжа Л(Ч') не пусто. Тогда для любой максимальной линейно независимой подсистемы V/?; (у) i eJ а (/0 и /(>')) из системы векторов (>') i е /0 (Jl(y) множество Л(Ч') содержит точку у которой отличными от нуля могут быть только компоненты /., / е./.

Связь CPLD с ^-регулярностью

Пусть vgR"2, vi С. Обозначим Пс(у) множество точек из С, ближайших к точке V. Очевидно, эти точки являются решениями задачи нелинейного программирования

/Xу) -> min , у е С, где /v0>) = |>< - v|.

Обозначим

0

0

о

о

А,оа)=лоо+(моо),

\(у)= А, е | (у,X) = О, > О, (у) = 0, / е / .

Лемма 2. ([11]). Пусть уо е //' (и существуют числа М > О и до > О такие, что при всех V е _уо + ¿о Д V <£ С, в точках у(у) е Пс (V) выполнено условие

л?оо= А,елУоо

¿=1

Тогда множество С Л-регулярно в точке уо. Покажем, из СРЬБ следует .К-регулярность.

Лемма 3. Пусть уо е А" С удовлетворяет условию СРЫ). Тогда существуют числа М > 0 и ё > 0 такие, что для всех V <£ С, V & уо + ё В условие

л?оо= А,елУоо

имеет место во всех точках у — у(у) е Пс (V).

Доказательство. Предположим, что утверждение леммы неверно. В этом случае существует последовательность 1'д. —» у0 такая, что \'д. <£ (" и р(0, Л^ (ук)) —» оо для

У к = У (ук ) е Пс (ук ) • Поскольку | ук - ук \ < | Ук - 1, в этом случае ук = у(ук ) -> .

Из выполнения СРЬБ в точке у0 е /К" следует, что С будет Г' 14,1)-регулярны м во всех точках некоторой окрестности . Не ограничивая общности, можно считать, что

Ач(ук)Ф0,Ь1(ук) = 0 /е/0и/(Л), /е(/0 и/00), ¿ = 1,2,....

Более того, выделяя, если необходимо, подпоследовательность из {^ } и обозначая ее также [ук], мы можем считать, что I (ук) = I, где I не зависит отук.

Тогда //, (ук ) - 0 /е/*, (ук ) < 0 /е(/\/*). Обозначим ./ = /,, и /. Очевидно, для любого _>'/; существует / е./ . для которого V/? (у,.) ^ 0, иначе из определения Л^ (у,.) следует У/^ (у,.) = 0 , что невозможно.

В системе {У^(ук) / £ /,,} выберем максимальную линейно-независимую подсистему {У^(ук) /е/00}, где /00 сг/0, и дополним ее до максимальной линейно-независимой подсистемы {V//. 0^ ) / е /00 и /д} в системе {V//. ) / е /0 и /*}, где /,, с / \ Без потери общности мы можем предполагать, что ./" = /00 и /0 не зависит от к. В силу леммы 1 при ЛУ4(ук)ф0 система

(1)

г

1=1

Хг>0 /' е /, А,г=0 /£/*, А,г = 0 7й/00, имеет решение ^ такое, что л* = 0 для всех / £ /п и всех / £ /00 .

Не ограничивая общности, можно предположить, что А,^ |л/1 —> А,. Тогда, поскольку А/ е Лу ОО и —>• со , из (1) следует:

=1

^ XtVht.(y0) = 0, Xj>0 iel, А,г=0 для всех/'e/\/*, /'e/0\/00 ,

где = 1. Последнее означает, что система векторов i V//( ( j/n) ie.J° =/00 ^ /,, { положительно линейно зависима и, значит, вследствие условия CPLD векторы V/? (j-^.) / е ./" должны быть линейно зависимы. Но это противоречит определению этой системы векторов. Полученное противоречие доказывает справедливость утверждения леммы.

Теорема 1. Пусть в точке уо е С выполняется условие CPLD. Тогда С /¿-регулярно в этой точке.

Доказательство. Если у0 eintC, то р(у, С) = 0 для всех у из некоторой окрестности

уо и, следовательно, в точке имеет место ^-регулярность. В случае, когда у о е //' (справедливость утверждения теоремы следует применением леммы 2 и леммы 3.

Следующий пример показывает, что обратное утверждение к теореме 1 не верно, т.е. из R-регулярности не следует выполнение условия CPLD. Пример 1. Пусть

С= y^R2\ h1(y) = y1-y22<0, h2{y) = -yY-yl<0, h3(y)=y2=0 ,у0=(0,0). Тогда

Щ(у) = (1,-2у2), Щ(у) = (-1,-2у2), Щ(у) = (0,1).

Нетрудно проверить, что CPLD не выполняется в точке Jo е С в то время как множество С R-регулярно в данной точке.

ON CONSTANT POSITIVE LINEAR DEPENDENCE CONDITION IN MATHEMATICAL PROGRAMMING

S.I. SIROTKO, S.M. STAKHOVSKI, L.I. MINCHENKO

Abstract

The relation between the constant positive linear (CPLD) constraint qualification and R-regularity (error bound property) is studied. The main result is that the CPLD constraint qualification implies Р-regularity.

Литература

1. Luderer B., Minchenko L. and Satsura T. Multivalued analysis and nonlinear programming problems with perturbations. Kluwer Publ., Dordrecht, 2002.

2. Mangasarian O.L., Fromovitz S. // J. Math. Analysis and Appl. 1967. Vol. 17. P. 37-47.

3. JaninR. // Mathematical Programming Study. 1984. Vol. 21. P. 110-126.

4. Qi L., Wei Z. // SIAM Journal on Optimization. 2000. Vol. 10. P. 963-981.

5. Andreani R., Martinez J.M., SchverdtM.L. // J. Optimiz. Theory and Appl. 2005. Vol. 125. P. 473-485.

6. HestenesM.R. Optimization theory — the finite dimensional case. John Wiley, N.-Y., 1975.

7. Федоров В.В. Численные методы максимина. М., 1979.

8. Ioffe A.D. // Trans. American Math. Soc. 1979. Vol. 251. P.61-69.

9. Bosch P., Jourani A., Henrion R. // Applied Mathematics and Applications. 2004. Vol. 50. P.161-181.

10. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование. М., 1963.

11. Минченко Л.И., Гвоздь Е.Н. // Докл. НАН Беларуси. 2008. Т. 51, № 3. С.5-9.