К теории трансзвуковых течений около профиля Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И Т о м IV 197 3

№ 5

УДК 533.6.011.35.001:629.7.025.73

К ТЕОРИИ ТРАНСЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ ОКОЛО

ПРОФИЛЯ

Ю. Б. Лифшиц

В работе рассматриваются некоторые свойства трансзвуковых течений идеального газа около трех различных крыловых профилей. Исследуется изменение параметров потока при переходе от расчетного режима, характеризующегося изэнтропическим сжатием в местной сверхзвуковой зоне, к течению со скачком уплотнения. Анализируются особенности положения и формы скачка уплотнения.

1. При изучении свойств трансзвуковых потоков около профиля весьма полезным оказывается появившееся в последнее время понятие расчетного режима течения. При обтекании профиля с платообразным распределением давления скачок уплотнения образуется практически сразу при возникновении местной сверхзвуковой зоны. Поэтому начиная с момента достижения критиче* ского значения скорости набегающего потока сопротивление профиля возрастает. При обтекании профиля с пикообразным распределением давления существует некоторый диапазон чисел М,», при которых течение в местной сверхзвуковой зоне практически не содержит ударных волн. Сопротивление такого профиля в этом диапазоне Моо пренебрежимо мало. Режим с максимальным значением скорости, при котором поток обладает описанными свойствами, будем называть расчетным режимом обтекания.

Другим предельным трансзвуковым течением является поток с Моо~1. В этом случае распределение параметров существенно отличается от упомянутого выше. В потоке появляются сравнительно сильные ударные волны, и начинает действовать закон стабилизации, связанный со структурой течения на большом расстоянии от профиля. Исследование перехода от первого из указанных типов течения ко второму составляет предмет предлагаемой работы. Вообще говоря, в литературе (см., например, [1]) под расчетным режимом понимается такой, которому соответствует непрерывное решение уравнения С. А. Чаплыгина, описывающее трансзвуковое течение около некоторого замкнутого контура с ограниченной кривизной в области сверхзвуковых скоростей и

заданным значением величины скорости потока на бесконечности. Доказательство разрушения потенциального характера такого течения при бесконечно малом изменении скорости набегающего потока отсутствует. Поэтому приведенное выше определение расчетного режима более предпочтительно, так как оно более точно описывает характер изменения свойств потока около профиля.

2. Ниже будут рассмотрены плоские стационарные трансзвуковые течения идеального газа, лишенного вязкости и теплопроводности, около профиля крыла, помещенного в равномерный на бесконечности поток с заданными значениями величины и направления

скорости. Возникающие в поле течения ударные волны будем считать настолько слабыми, что изменением энтропии при переходе через них можно пренебречь. Поэтому в качестве уравнений, определяющих движение газа, возьмем уравнение для потенциала и уравнение Бернулли. Граничными условиями являются условие непротекания на профиле и условие выхода величины скорости на заданное значение при удалении на бесконечность. Кроме того, для несимметричных потоков нужно удовлетворить условию Жуковского на задней кромке профиля, которая считается острой. Оно заключается в требовании ограниченности скорости в этой точке.

В такой постановке задача обтекания была рассмотрена для уравнения Кармана в работе [2], где для ее численного решения был успешно применен метод релаксаций вдоль линий, совмещенный с различной записью конечных разностей, аппроксимирующих производные потенциала в точках с дозвуковой и сверхзвуковой скоростью потока. Используемая ниже разностная схема опирается на основные идеи работы [2], но применяется для полного уравнения потенциала и нелинеаризованных граничных условий. Она не излагается здесь, поскольку лишь в некоторых деталях отличается от описанной в работе [3], хотя разработка схем проводилась независимо. Все приведенные в настоящей работе результаты получены путем численного решения поставленной краевой задачи при помощи этой разностной схемы.

3. Каждый из трех рассмотренных профилей имеет соответствующий порядковый номер 1, 2 или 3 (см. соответственно фиг. 2, 3 и 6). Он расположен вдоль оси х декартовой системы координат ху от л; = 0 до х = \. Поток набегает слева и характеризуется числом Моо и углом атаки а.

На фиг. 1 построены значения кривизн передних частей контуров каждого из профилей в зависимости от координаты у. Согласно данным работы [4], эта характеристика играет важную роль при изучении свойств трансзвукового течения. Ее влияние на поток при Моо=1 было выяснено в работе [5].

Фиг. 2

На фиг. 2 приведены линии распределения местного числа М в зависимости от величины Моо при а = 0 для профиля 1, который является симметричным профилем Жуковского. Это типичный профиль с платообразной эпюрой давления. На нем сразу же после достижения звуковой скорости возникает скачок уплотнения. С ростом Мм увеличивается его интенсивность и длина, и скачок быстро смещается к задней кромке. Величина скорости перед скачком уплотнения ПОЧТИ не меняется С изменением Моо, что и составляет существо закона стабилизации при трансзвуковых скоростях потока.

4. Монотонный рост скорости между носком профиля 1 и скачком уплотнения находится в соответствии с медленным уменьшением кривизны контура. Немонотонность изменения скорости вдоль профиля, соответствующая пику разрежения, может быть получена, если кривизна контура быстро убывает в области, где скорость уже достаточно велика. Этот эффект достигается, в частности, на профилях 1 и 2 смещением точки торможения на нижнюю поверхность, например при обтекании под углом атаки.

з

На фиг. 3 приведены распределения местного числа М на профиле 2 при а = 2° и различных значениях Моо. При малых Моо на его верхней поверхности образуется пик разрежения, при увеличении Моо он пропадает. Это явление объясняется фиг. 4, на которой изображено изменение ординат у0 и у* точки торможения и звуковой точки, цифрами 2 и 3 отмечены номера профилей. Быстрое смещение точки торможения к носку профиля при увеличении Моо сдвигает звуковую точку в область малых кривизн, что приводит, согласно сказанному выше, к платообразной эпюре изменения параметров.

Однако переход от расчетного режима с пикообразным распределением скорости на верхней поверхности, соответствующего Моо ~ 0,675, к течению с ударными волнами при больших числах Моо для профиля 2 при а — 2° является весьма необычным. Как видно из фиг. 3 и 5, в потоке возникают две сверхзвуковые зоны. Первая из них содержит скачок уплотнения, а во второй сжатие Происходит непрерывно. При увеличении Мао размер второй зоны уменьшается, и, наконец, при Ми = 0,8 она пропадает совсем. Размер первой зоны и величина разрыва в ней растет с увеличением Моо. Сказанное подтверждается фиг. 5, на которой приведены линии М = const для некоторой области рассматриваемого течения при Моо = 0,72.

5. Из фиг. 1 сразу можно заключить, что профиль 3 характеризуется пикообразным изменением параметров. Действительно, у него имеется большая область почти постоянного значения кривизны, следом за которой идет ее быстрый спад. Разгоняясь вдоль контура с мало меняющейся кривизной, частица приобретает большую скорость. Последующий резкий спад кривизны

необходимо приводит к интенсивному торможению. Это видно из приведенных на фиг. 6 кривых местных чисел М, полученных в результате расчета симметричного обтекания при различных значениях Моо.

У

SJ

0,2

0,1

0,2 0,3 0,4

Фиг. 5

Фиг. 6

Расчетный режим течения около профиля 3 при а = 0 получается при Moo=s0,78. В этом случае на профиле впервые возникает зона с почти постоянной скоростью. Последующее увеличение числа Моо приводит к возрастанию скорости вдоль профиля и появлению скачка уплотнения. Распределения скорости при

больших числах Moo показывают, как расчетное течение приобретает закономерности потока с Mco^l. При Моо = 0,85 и 0,9 значения скорости перед скачком уплотнения различаются весьма мало, а сам он быстро движется к задней кромке, причем интенсивность его растет. Таким образом, трансзвуковые течения около профилей с пиком разрежения также стабилизируются при близких

м

t,о

OF

’ о ffj 1,0 X

ff

Фиг. 7

к звуковой скоростях набегающего потока. Пик скорости около передней кромки при этом сохраняется, так как его возникновение связано только с геометрией профиля вблизи нее. Дальнейшее изменение скорости вдоль контура определяется главным образом геометрией его остальной части и скоростью набегающего потока. Такой же результат был получен в работе [6] при изучении дозвуковых сжимаемых течений. Сказанное выше о стабилизации параметров, подтверждается, в частности, поведением ординаты звуковой ТОЧКИ профиля при изменении Мсо.

Рассмотрим теперь несимметричное течение около профиля 3. Распределение чисел М на обеих его поверхностях при различных Мсо и а = 2° показано на фиг. 7. В этом случае величина скорости в пике разрежения на верхней поверхности значительно выше соответствующего значения при симметричном течении. На нижней поверхности также имеется пик разрежения, хотя там он очень слабый. Учитывая теперь положение точки торможения, ордината которой изображена на фиг. 4, можно прийти к выводу о сущест-

венном влиянии величины области больших кривизн на значение максимальной скорости в пике разрежения. Данные, приведенные на фиг. 7, снова указывают на раздельное влияние носовой и хвостовой частей профиля на распределение скорости. Быстрый разгон у передней кромки определяет согласно закону изменения кривизны интенсивное изэнтропическое сжатие. [Дальнейшее увеличение скорости перед скачком уплотнения определяется формой остальной части профиля. Между ними лежит сравнительно небольшая область, течение в которой зависит от ее собственной формы и формы носка.

Отметим еще два момента, связанные с нелинейным влиянием сжимаемости. Коэффициент подъемной силы cy — 2D0T возрастает с увеличением числа Moo (D0 определяется геометрией контура, Г—циркуляция). Согласно линейной теории Прандтля—Глауэрта, Г]/1—М^ = const. Как показывают расчеты, при появлении местных сверхзвуковых зон эта величина не остается постоянной, а увеличивается с ростом Моо. Рассмотрим далее влияние циркуляции и числа Моо на положение точки торможения. Увеличение М^ вызывает ее движение в сторону носка профиля по его нижней поверхности. Это видно из фиг. 4. В то же время увеличение циркуляции при неизменном Мсо приводит к смещению точки тормо-. жения в противоположном направлении. Отсюда легко заключить, что ее положение более чувствительно к изменению числа Моо, чем к изменению циркуляции.

6. Положение и форма скачка уплотнения, возникающего в местной сверхзвуковой зоне, показаны на фиг. 5 для профиля 2 при а = 2° и Моо = 0,72. Скачок уплотнения на самом контуре нормален к его поверхности, а затем искривляется в сторону набегающего потока. Из данных фиг. 2, 3, 6 и 7 следует, что примененная численная схема не позволяет выполнить условие Гюгонио в основании скачка. Это обстоятельство было отмечено еще в работе [2] и является следствием бесконечности величины ускорения, которое приобретает частица, движущаяся вдоль выпуклого контура на задней стороне фронта скачка [7]. При удалении от поверхности профиля получаемые результаты становятся более достоверными, но, как видно из фиг. 5, они все-таки недостаточно точны, чтобы выяснить характер поведения скачка в окрестности точки его появления внутри зоны сверхзвуковых скоростей.

Рассматриваемый вопрос не является простым. Предпринятые до сих пор попытки построить локальное решение в окрестности точки возникновения скачка на звуковой линии не привели к успеху. Более того, для автомодельных решений уравнений Кармана в указанной области удалось доказать теорему несуществования искомого течения [6]. Естественной альтернативой является возникновение скачка внутри сверхзвуковой зоны, при сохранении сверхзвукового течения по обе стороны его фронта. Тогда в звуковой точке скачок имеет конечную интенсивность. Приведенное на фиг. 5 поле линий постоянного числа М и построенный по ним фронт скачка уплотнения, казалось бы, подтверждают высказанное предположение. Однако это не может служить его доказательством из-за отсутствия дивергентности примененной разностной схемы. Тем не менее, указанный результат получается весьма стабильно и сохраняется при увеличении числа узлов сетки. Он имеет место и для полей течения около профилей 1 и 2.

1. Nieuwland G. Y. Transonic potential flow around a family of quasi-elliptical aerofoil sections. NRL-TR T. 172, 1967.

2. Mur man E. М., Cole J; D. Calculation of plane steady transonic flows. A1AA Paper, No 70—188.

3. GarabedlanP. R., Korn D. G. Analysis of transonic airfoils. Comm, on P^re and Appl. Math., vol. 24., No 6, 1971.

4. De Paul М. V., Dyment A. Recherches sur les profils d’ailes en 6coulement subsonlque 61ev6. L’Agronautique et l’Astronautique, No 19, 1970.

5. Лифшиц Ю. Б. Об обтекании носовой части крылового профиля звуковым потоком. .Ученые записки ЦАГИ*, т. II, № 4, 1971.

6. Л ифшиц Ю. Б., Шагаев А. А. О быстром методе расчета

дозвукового течения около профиля. .Ученые записки ЦАГИ\ т. III, № 3, 1972. , , .

7. , QswaUtsch К., Zierep J. Das Problem des senkrechten

Stosses an eJner gekrOmmten Wand. Zeit. ang. Math, und Mech., Bd. 40, S- 143, 1960,’ :

8.. Л кфог и ц Ю. Б. О течении в окрестности точки встречи звуковой линии со скачком уплотнения. .Инженерный журнал*, т. 5, вып. 1, 1965.

Рукопись поступила 8)1X 1972