CC BY
37
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том VI 1975
М 3
УДК 533.6.011.34:629.7.025.73
ПОСТРОЕНИЕ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ БЕССКАЧКОВОГО ОБТЕКАНИЯ СИММЕТРИЧНОГО ПРОФИЛЯ С МЕСТНОЙ СВЕРХЗВУКОВОЙ ЗОНОЙ
В. В. Вышинский
С помощью метода, основанного на продолжении переменных годографа в комплексное четырехмерное пространство, получен ряд симметричных квазиэллиптических профилей, обтекаемых трансзвуковым потоком газа без скачков уплотнения. Доказывается возможность построения решений, обладающих некоторыми наперед заданными свойствами, посредством вариации параметров краевой задачи в нужном направлении. Приводятся результаты расчета обтекания одного из полученных профилей при нерасчетных режимах.
Развитие функциональных теоретических методов, основанных на преобразовании годографа, и их приложение к задаче трансзвукового обтекания профиля привело к созданию в последнее время ряда методов для расчета профилей, имеющих бесскачковое трансзвуковое обтекание. Обзор этих методов приводится в работе [1], в которой рассматривается плоское, стационарное, изэнтропичес-кое, безвихревое течение невязкого политропического газа. Уравнения, описывающие такое течение в физической плоскости, имеют вид
(а2 - и2) их -
И2 + V2
2иъи и
У 1 V
(а2 — Vі) г»у = 0; = 0;
2 * + * а2 = а
2 .
а*
Р - Ар*;
О)
здесь х — отношение удельных теплоемкостей; а* — критическая скорость; и, V — проекции скорости на оси х, у; а, р, р — соответственно скорость звука, давление и плотность.
. Ставится задача построения точных решений обтекания симметричного профиля с местной сверхзвуковой зоной под нулевым углом атаки без скачка уплотнения.
При решении этой задачи возникают две основные трудности.
Первая трудность состоит в том, что уравнения движения являются. нелинейными уравнениями в частных производных. Она преодолевается применением преобразования годографа. В плоскости годографа уравнения (1)становятся линейными. Это позволяет суммировать их частные решения.
Вторая трудность состоит в том, что в данном случае решается некорректная задача. Решение задачи не зависит непрерывным образом от граничных условий. Подробно этот вопрос рассматривается в работах [2, 3]. Данная трудность во всех функциональных теоретических методах преодолевается посредством решения обратной задачи. Находится гладкое решение уравнений движения, удовлетворяющее условиям на бесконечности. По нему строится поле течения. Если оно содержит замкнутую линию тока, вне которой отсутствуют особенности течения, то эту замкнутую линию тока можно отождествить с искомым профилем, а полученное решение рассматривать как его обтекание при заданных условиях в набегающем потоке.
1. В данной работе численные решения выполнены с помощью метода Гарабедяна [4 — 6]. Уравнения движения (1) в плоскости годографа записываются в обычной характеристической форме:
_У5= Уц= хГ1, (2)
где Х+, Х_ — корни характеристического уравнения.
Переменные годографа, а следовательно, и характеристические переменные ¡¡, т) продолжаются аналитически в комплексное .четырехмерное пространство. При этом понятие типа уравнений теряет смысл. Во всей области течения уравнения можно считать гиперболическими, Это позволяет осуществить построение решения обратной задачи посредством решения краевой задачи для уравнений (2) на комплексных характеристиках (задача Гурса).
Окончательный выбор характеристических переменных проводится по аналогии с несжимаемым течением, для которого решение, содержащее особенность набегающего потока, может быть представлено в .виде простого полюса с соответствующей характеристической координатой т). В сжимаемом случае ищется решение в виде -
2= -^- + £(6, V]);
здесь 2(1, ^ — регулярное решение краевой задачи на комплексных характеристиках.
Выбор особого решения гарантирует единственность решения
задачи. и
Определение функционального вида граничных условий на исходных характеристических поверхностях 50 и т)0 для нахождения Z(t, т]) проводится также по аналогии с несжимаемым течением. В последнем случае наряду с данным методом можно использовать классическую теорию течения несжимаемой жидкости с единичной скоростью на бесконечности. В случае обтекания несжимаемой жидкостью эллиптического цилиндра под нулевым углом
все выкладки, включая преобразование годографа, могут быть проведены до конца в конечном виде. То же решение может быть получено посредством решения краевой задачи в комплексном четырехмерном пространстве. При этом вид граничных условий на комплексных характеристиках заранее очевиден. Граничные условия содержат один параметр Е, связанный с относительной толщиной эллипса. Этот вид граничных условий берется за основу в случае сжимаемого течения. При добавлении логарифмических особеностей с интенсивностями е0 и еь расположенных в точках а0 и <Х] внутри профиля, получаются граничные условия, дающие решение исходной задачи для семипараметрического семейства симметричных квазиэллиптических профилей
(£т)2 + 1 — £)1/2___________________________________________У\ — Е
т\ (£у + 1 — £)1/2 т)
— е0 1п (а0 — т]) — 1п (т] — а4).
Решение краевой задачи осуществляется посредством конечноразностного метода Массау, который имеет второй порядок точности и гарантирует устойчивость [6]. На исходных характеристических поверхностях £0 и т]0 наносятся пары одномерных путей. По ним строятся обычные двумерные сетки, вдоль которых организуется вычислительный процесс. Выбор одномерных путей и исходных характеристических поверхностей производится с целью получения максимального числа действительных точек решения при выполнении вычислительной процедуры.
2. Параметрами задачи являются число М набегающего потока Мм, 50, который с целью экономии машинного времени выбран действительным и равным т|0, Е, а0, е0, а^, Все параметры действительны. На основании аналогии с несжимаемым течением, а также используя опыт построения более двух десятков точных решений, сделан вывод о влиянии отдельных параметров на форму профиля получаемого решения.
Параметр Е влияет на относительную толщину профиля С. Его уменьшение приводит к увеличению С. При этом необходимо следить, чтобы предельная линия, на которой кривизна линий тока бесконечна и которая с увеличением относительной толщины профиля приближается изнутри к контуру тела, не оказалась во внешнем течении. Предельная линия представляет собой единственный тип особенности, которая может появиться в сверхзвуковой области течения при выполнении данной вычислительной процедуры.
Параметр Е0 влияет, прежде всего, на симметрию профиля относительно оси у. При &0<0 увеличение |£0| затупляет носовую часть профиля, увеличивает заостренность задней кромки, а также смещает точку максимальной толщины профиля хс и положение пика разрежения хм ближе к передней кромке профиля. Одновременно происходит увеличение максимального значения числа М В ПИКе раЗрежеНИЯ Мщах-
Для очень больших отрицательных значений £0 невозможно построить решение с замкнутым профилем. Это происходит из-за присутствия точки ветвления в дозвуковой части внешнего течения и представляет единственный тип особенности, которая может возникнуть в процессе счета в дозвуковой области.
Влияние логарифмических особенностей эквивалентно действию источников и стоков. Точки а0 и оц указывают положения логарифмических особенностей, которые должны быть помещены вне области течения. -
При а0>0 соответствующая особенность расположена в области задней кромки профиля. Уменьшение s0 приводит к утолщению хвостовой части профиля. При отрицательных значениях возможно решение с незамкнутым профилем в хвостовой части. Увеличение е0, наоборот, вытягивает хвостовую часть профиля, увеличивая заостренность задней кромки.
При аг<;0 соответствующая логарифмическая особенность расположена в области передней кромки профиля. Увеличение ^ приводит к затуплению этой части профиля. При этом возрастает Мгаах и уменьшается хж. Чрезмерное увеличение ej приводит к не-замкнутости передней кромки профиля. Как видно, не всякое задание параметров приводит к решению, содержащему в поле течения замкнутую линию тока 4^ = 0.
Построение решения начинается с задания семи действительных параметров краевой задачи. Вычислительная процедура для получения полного решения занимает 30 мин машинного времени для ЭЦВМ БЭСМ-6. Используется шаг разностной сетки, равный 0,01. Наряду с полем течения при правильном выборе параметров находится замкнутая нулевая линия тока, которая представляет собой искомый бесскачковый профиль. Наносятся характеристики в сверхзвуковой области течения, определяется положение звуковой линии по точкам возврата характеристик обоих семейств, а также положение предельной линии по точкам возврата характеристик одного из семейств. Полученное решение может быть использовано в качестве исходного приближения. Зная влияние модификации параметров на изменение формы профиля, шаг за шагом изменяя параметры в нужном направлении в пределах допустимых значений, можно получить профиль, обладающий некоторыми желаемыми свойствами. В частности, можно получить как затупленную, так и заостренную переднюю кромку профиля (вплоть до точки возврата). Задняя кромка может иметь вид точки возврата или угловой точки. Уменьшая Е и увеличивая относительную толщину профиля, можно добиться того, что предельная линия подойдет достаточно близко к контуру профиля, и на кривой распределения давления возникнет пик разрежения в области передней кромки. За счет подбора параметров логарифмической особенности в области задней кромки можно получить профиль с небольшим градиентом давления в диффузорной части.
Когда желаемое решение получено, оно может быть просчитано с большей точностью. Уменьшение шага разностной сетки до 0,005 дает решение с точностью до пяти десятичных знаков после запятой. Полное решение в данном случае получается приблизительно за 1,5 ч машинного времени. Применение описанной вычислительной процедуры позволило получить ряд точных решений бесскачкового обтекания симметричного профиля с местной сверхзвуковой зоной. Для примера приводятся три решения с закругленной передней кромкой.
Решение краевой задачи с параметрами Мм = 0,7255, £' = 0,35, £0 — — 0,45, г0 = е1=0 дает профиль с относительной толщиной С —25,2%. Параметр Е в процессе выполнения ряда вычислитель-
ных процедур был уменьшен при неизменных остальных параметрах краевой задачи до такого значения (Я = 0,35), что кривая распределения давления в получившемся решении приобрела пикообразный вид. Пик разрежения расположен на 14,2% хорды. Максимальное значение числа М в пике разрежения Мшах= 1,337. Сверхзвуковая зона на профиле достигает 65% по хорде и 45% по высоте. Положение точки максимальной толщины профиля Зсс = 43%. Радиус носовой части профиля р„ = 5%.
Характерной особенностью данного класса профилей является притупленность носовой части профиля. Кривизна & достигает мак-
симального значения при х порядка нескольких десятых процента хорды. Приводимые здесь значения рн определены, как обычно, по радиусу вписанной в носовую часть окружности и, естественно, ниже значения 1/А на передней кромке.
На задней кромке профиль имеет угловую точку, и скорость уменьшается до нуля, давление восстанавливается до значения давления в точке торможения. Полученное решение представлено на фиг. 1. -
Введение положительной логарифмической особенности £0 в хвостовой части профиля приводит к решению с заостренной до точки возврата задней кромкой профиля. Одновременно с целью ликвидации возникающего при этом нежелательного заострения передней кромки профиля вносится вторая логарифмическая особенность &х в области носовой части. Примером такого профиля
может служить решение со следующими параметрами: = 0,7625,
£■ = 0,5, £0 = — 0,4, е0 = 0,4, а0 = 0,59, г! = 0,15, а1 = — 1,5; оно представлено в стандартных координатах на фиг. 2. Профиль имеет следующие аэродинамические и геометрические характеристики: максимальное значение числа М в пике разрежения равно 1,142» положение пика разрежения хм = \8%, относительная толщина профиля С =14,4%, положение точки максимальной толщины
-0,5
0
0,5
Ь0
Фиг. 2
хс = 38%. Радиус передней кромки профиля рн=1%. Задняя кромка заострена до точки возврата, так что давление не восстанавливается до давления торможения, и кривая распределения давления в диффузорной части имеет плавный вид. На кривой распределения давления ср(х) отсутствует ярко выраженный пик разрежения. Это объясняется дальним расположением предельной линии от контура профиля, что позволяет получить решение с большей относительной толщиной профиля, уменьшив £. При этом предельная линия, подойдя ближе к контуру профиля, вызовет заостренность пика разрежения.
В результате проведения ряда вычислительных процедур и вариации параметров логарифмических особенностей в нужном направлении получено решение с пикообразным распределением давления при Моэ = 0,7906. Окончательные значения параметров краевой задачи следующие: £ = 0,5, £0 = — 0,4, е0 = 0,4, <х0 = 0,59, е1 = 0,15, а, = —1,5. Это решение в стандартных координатах представлено на фиг. 3. Относительная толщийа профиля С=12,8%, радиус передней кромки рн=1,4%. Задняя кромка заострена до точки возврата, что уменьшает градиент давления в диффузорной части. Максимальное значение числа М в пике разрежения равно 1,224, положение пика разрежения л;м=11,3%.
м
(
, / N ч4 \
/ / ч \ \
/ ч \
1 ! Ч
1
0,5 \
> N.
\
\
ч
*7» М
лукавая линия
3. Последний из представленных профилей был исследован при нерасчетных режимах обтекания с помощью численного метода, изложенного в работах [7, 8]. В результате выглаживания, которое является первой частью вычислительной процедуры, контур профиля был деформирован в пределах дорожки выглаживания (шаг выглаживания равен 2-10~4), так что при расчете по программе Ю. Б. Лифшица [7, 8] рассматривается несколько видоизмененный профиль. Для него практически бесскачковый режим
обтекания устанавливается при Моо = 0,78. Этот режим назван расчетным для деформированного контура. Отсутствие ярко выраженного пика разрежения объясняется деформацией профиля на этаце сглаживания в области резкого изменения кривизн (до 10% хорды), геометрия которой и определяет пик разрежения в носовой части профиля. При Моо = 0,7906 (расчетный бесскачковый режим обтекания для точного решения) возникает скачок Дср=0,25, расположенный при х = 55%, который с ростом М» увеличивается по величине и смещается к задней кромке. Так, при Моо = 0,8 перепад давления на скачке Ас =0,45, и скачок расположен на 60% хорды.
Уменьшение числа М набегающего потока ниже расчетного значения для деформированного контура (Моо<0,78) не приводит к возникновению скачка. Несмотря на наличие местной сверхзвуковой зоны, течение остается бесскачковым.
Результаты расчета приведены на фиг. 4.
Проведенные расчеты подтверждают тот факт, что полученные решения являются очень чувствительными к форме контура, незначительная деформация которого приводит к существенному перестроению течения. Более детальное обсуждение этого вопроса может быть найдено в работах [9, 10].
Как видно из приведенных результатов, необходимо налагать очень жесткие требования на точность изготовления бесскачковых профилей при их экспериментальном исследовании.
В заключение автор приносит благодарность Я- М. Серебрий-скому и Ю. Б. Лифшицу за полезное обсуждение результатов работы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Yoshihara Н. Some recent developments in planar inviscid transonic airfoil theory. AGARD-AG-156, 1972.
2. Никольский А. А., Таганов Г. И. Течение газа с местной сверхзвуковой зоной и некоторые условия разрушения потенциального течения. ПММ, X, № 4, 1946.
3. М о г a w е t z С. S. On the non-existence of continuous transonic flows past profiles I, II and III. Comm. Pure Appl. Math., vol. 9, 1956; vol. 10, 1957; vol. 11, 1958.
4. Garabedian P. R. and Lieberstein H. M. On the numerical calculation of detached bow shock waves in hypersonic flow. J. Astro-nautical Sci., vol. 25, 1958.
5. В a u e r F., Garabedian P., Korn D. A theory of supercritical wing sections, with computer programs and examples. Lecture Notes in Economics and Mathematical systems, New York, 1972.
6. Korn D. G. Computation of shock-free transonic flows for airfoil design. New York, 19S9.
7. Лифшиц Ю. Б. О расчете трансзвукового обтекания симметричного профиля в свободной струе. „Изв. АН СССР. МЖГ“,
1969, № 1.
8. Лифшиц Ю. Б. К теории трансзвуковых течений около профиля. „Ученые записки ЦАГИ“, т. IV, № 5, 1973.
9. N 1 е u w 1 a n d G. Y. and S р е е В. М. Transonic shock-free flow, fact or fiction? R. Report, MP 68004, 1968.
10. NieuwlandG. Y. Theoretical design of shock-free transonic flow around aerofoil sections. ICAS Congress, London, 1966.
Рукопись поступила lOjXII 1974 г.
