К теории поглощения электромагнитного излучения при межподзонных переходах электронов в сверхрешетках Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.315.592:537.311.322

К ТЕОРИИ ПОГЛОЩЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ПРИ МЕЖПОДЗОННЫХ ПЕРЕХОДАХ ЭЛЕКТРОНОВ В СВЕРХРЕШЕТКАХ

В. А. Чуснков

Получено точное решение уравнения Шредингера для, электронов в сверхрешетка,х с прямоугольными потенциальными барьерами и периодическим потенциалом. В первом, порядке теории возмущений получено точное аналитическое выражение для, коэффициента поглощения, электромагнитного излучения при межподзонных переходах электронов в подобного рода сверхрешетках с произвольными параметрами. Рассмотрен ряд предельных случаев.

Ключевые слова: межттодзонные переходы, сверхретпетка. поглощение излучения.

Принципиально важным свойством межподзонных переходов электронов в сверхре-тттетках. как известно, является большая величина матричных элементов оптических переходов. Коэффициент поглощения электромагнитного излучения при таких переходах в области частот и > 1013 сек-1 достигает значений 103 — 104 см-1. Таким образом. даже небольшая степень инверсии в распределении носителей заряда в нижних состояниях должна приводить к резкому возрастанию интенсивности вынужденного излучения. Это обстоятельство, характерное для межподзонных оптических переходов, является весьма существенным с точки зрения лазерной проблематики и стимулирует поиск условий, приводящих к возникновению инвертированных распределений и лазерной генерации в полупроводниковых гетероструктурах с квантовыми ямами.

Теоретическому и экспериментальному исследованию этого вопроса посвящено большое число работ, подробный перечень и анализ которых приведен в [1 4]. Мы не будем на этом останавливаться.

Цель настоящей работы найти точные аналитические выражения для одно-электронньтх функций Блоха в сверхретттетках с прямоугольными потенциальными барьерами и произвольными значениями параметров (шириной КВАНТОВЫХ ЯМ5 IIIири-НОИ И ВЫСОТОЙ ПОТ6НЦИШ1БНЫХ барьеров, значениями эффективных масс электронов

в ямах и барьерах), а также в первом порядке теории возмущений получить точное аналитическое выражение для коэффициента поглощения электромагнитного излучения при межподзонньтх переходах электронов в указанных выттте типах сверхретттеток. В сверхретттетках с бесконечно широкими или бесконечно высокими потенциальными барьерами полученные нами выражения для функций Блоха и коэффициента поглощения электромагнитного излучения совпадают с выражениями, приведенными в [1. 2, 4]. В работе [3] явные выражения для функций Б лоха в свврхрвIIIвтк<~ьх отсутствуют.

1. Волновые функции Блоха и энергетический спектр электронов в сверхрешетках с произвольными значениями параметров.

В модели Кронига Пенни ВОЛНОВсШ функция электронов в сверхретттетке

Ф(х,у,г) = -=вг(кхХ+куу) • Ф(г), (1)

V Б

где Б - площадь сверхрешетки в плоскости (х, у) а - ширина квантовых ям, Ь - ширина барьеров, Т = а + Ь - период сверхрешетки, кХ,ку - составляющие волнового вектора электронов вдоль осей х и у, а функция Ф(г) подчиняется уравнению Шредингера

Ь2 а2 Ф

-ттл ТГ + V(^)Ф = Ек)Ф, (2)

2ш(г) аг2

в котором ш(г) - эффективная масса электронов, V(г) ПОТ6НЦИШ1? Е(кх) - энергия поперечного движения электронов, кх - составляющая волнового вектор а вдоль оси г. Предположим, что в квантовых ямах масса ш(г)

— потенциал V(г) = 0; в барьерах

- ш(г) = шр, V(г) = V (см. рис. 1). Введем обозначения: функция

Ф(г) = Ф;(г) при - Ь - а < г <-^ (3)

Ф(г) = Ф2(г) при - а < г < 2, (4)

Ф(г) = Фз(г) при а < г < а + Ь. (5)

г

ВИЯХ

Ф1 (-а) = Ф2 (-а), —ф; (-а) = (-а

Ч 2) Ч 2)' шр Ч 2) ша 2 V 2

Ф2 (2)=Фз (2) ч Ф2 (а)=ш фз (а) <«»

Рис. 1: Схема периодической структуры с квантовыми ямами и барьерами.

и условиях Блоха

Ф1 (—ь—а)=е-^ ^ • ф^ ,

1 ' • ач 1 d• Ф2(а

те

—Ф! —ь —т:) = — е

тп

(7)

ф (—2) = е—к*d • фз (ь + 2) ,

—Ф2 (—а) =— е-к*d • Ф3 (ь + а

та 2 V 2/ тв 3 V 2

выражающих равенство функций Ф5(г) (в = 1, 2, 3) и потоков электронов на границах барьеров, для четных состояний (отметим их индексом I = 1, 3, 5,...) принимают вид:

где

Фи (г) = С ехр {А (г + } + А ехр { —А (г + } ,

Ф21 (г) = Б1 {(1 + ¡1) собац г — г(1 — ¡1 )8шагг}, Ф31 (г) = С ехр { —в1 (г — 2) } + О ехр {в (г — } ,

С1 = ЯеСг + г1тС\, С = ДеСг — г/тСг, О ^ ( а1 а 1 . а а

КеС1 = у(1 + ¡1) ( — + Т П Б / .а а 1 а а

С = Т(1 — ¡1 — & С08^2~

Б1 = ЯеБ1 + ИтВ1, В\ = КеВ1 — ИтБ-,

(8)

(9) (10)

(11) (12)

(13)

(14)

ЯП Вп , е \ ( ага 1 • ага\ ЯеОг = -(1 + ¡1) I сое — - -8т —\ ,

т п В(л £\( ■ ага , 1 ага\ 1шБг = у(1 - ¡г) ( эт— + - сое—} ,

в = 1 {2шр[V - Ег(кг)]}1/2, а = \[2шаЕ1(к*)]1/2, Ь Ь

7г

ша Уз - Ег к) шр Ег(кх)

1/2

1 сов(ага + кгТ) 11/2 Г сов(ага - кгТ) | 1/2 сЬД Ь / I Афг Ь

Нормировочная постоянная, определяемая из условия

(15)

(16)

(17)

(18)

Тг | Ф 1г (г) |2 + аг|Ф2г(г)|2 + Тг|Фзг (г)|2 = 1,

(19)

а + Ь ' 2

равна

Вг

(1 + ¡г)2 1 +

зтага\

ага

1

+ (1 - ¡г)2 х

1

зтаг а аг а

+ 4Й(1 - ^

X

^ аг а 1 . аца .

(1 + ¡г) ( «ой — + -8Ш — ) +

2 I 1 ага . ага

+ (1 - ¡г) ( ^

+ 4вг ^ - 1)Х

X

^ ага 1 . ага . (1 + ¡г) ( сой — - -зш — ) +

2 ! 1 ага : . ага

+ - 'б С08^+8111^~

+

Ь + 2

(1 + ¡г)8!«»' ^ - аа) -

2 1 1 2 ага . 2 ага

- (1 - ¡г) ( 72 «ой —--81П —

Лг

2

2

-1/2

Ь

2

2

2

2

а

2

2

2

Зависимость энергии El(kz) от волнового вектора kz, соответствующего распространению электронной волны вдоль оси сверхрешетки г, определяется дисперсионным соотношением (см. (17))

£2 _ !

cos kzd = сh@lb cos ala +—l——sh@lMnala (21)

2£i

(нижней границе четной минизоны соответствует kz = 0 верхней - kz = n/d). Для нечетных состояний (отметим их индексом n = 2, 4, 6,...):

Фщ(г) = Cn exp jвп (z + } + Dn exp {_рп (г + } , (22)

Ф2п(г) = Bn{(1 + fn)siKanZ + i(1 _ fn) cos anz}, (23)

2)} _d exp{ en (z _ 2

Cn = ReCn + ilmCn, _cn = _ReCn + ilmCn, (25)

Фз^г) = _Cn exp {_Pn (z _ 2)} _ D*n exp {Pn (z _ } , (24)

ReCn = Bn (1 + fn) (cos _sin, (26)

ImCn = B2n (1 _ fn) (cos + ^, (27)

Dn = ReDn + iImDn, _D*n = _ReDn + iImDn, (28)

ReDn = _ B2n (1 + fn) (sinО2 + cos , (29)

Bn ana 1 ana ImDn = —(1 _ /W ( cos —--£"sm~Y) ' (30)

Pn = ^{2me[Vq _ En(kz)]}1/2, an = ^[2maEn(kz)]1/2,

^ = ~ma Vq _ En (kz )n 1/2

n me En(kz) _

(31)

_ Г сойаа+кан1/2 /1 «ой(агаа - кхТ) ) 1/2 ¡п I1 АфпЬ I 11 Ь I • (32)

Нормировочная постоянная Вп и энергия En(кz) определяются соотношениями (19)-(21), в которых функции Фзг(г) (в = 1,2,3) заменяются функциями Ф5п(г), а величины аг, вг, 7г - соответственно вели чинами ап,/Зп,7п (нижней границе минизоны соответствует kz — п/верхней kz — 0^.

2. Коэффициент поглощения, электромагнитного излучения, при межподзонных перехода,х электронов в сверхрешетках.

Оператор взаимодействия электронов с электромагнитным излучением определяется выражением [5]

H' = ^—Ар =--AV, (33)

m(z)c m(z)c

где e - заряд электрона, c - скорость света, р- оператор импульса,

A(r,t) = A0s cos(k^r — ut) =

= + e-i(k^r-ut)^ (34)

- векторный потенциал, кш и u - соответственно волновой вектор и частота электромагнитной волны, s - единичный вектор в направлении A.

Суммарное число переходов электронов из подзоны l в подзону n (число переходов

ИЗ подзоны ln

объема под действием плоской монохроматической электромагнитной волны частоты u равно

Win = d'k • у\(К\Н'\%)\2х

x{F (Ei (к)) — F (En(k))]5{En(k) — Ei(k) — hu], (35)

F (Ei,n(k)) = < 1 + exp

Ein(k) — EF koT

(36)

- функция распределения Ферми, Ер - энергия Ферми, к0 - постоянная Больцмана, Т

- температура, 8{Еп(к) — ЕДк) — Ни} - ¿-функция. Матричный элемент перехода из подзоны с энергией Е1 (к) в подзону с энергией Еп(к) с поглощением фотона с энергией Ни равен (см. (1), (8)-(10), (22)-(24), (33))

(К(т '|Ф, (г)) = — х

3 1 Г д

ХЕ 3 ^Фп(г)дгФАг)- (37)

3 = 1 3

Здесь вг - проекция вектора в та ось г, а функции Ф3(г) и Ф]п(г) определяются выражениями (8)-(32).

При вычислении матричного элемента (37) учитывалось литтть первое слагаемое в правой части формулы (34). обеспечивающее закон сохранения энергии; вклад второго слагаемого пренебрежимо мал.

Выразим квадрат амплитуды векторного потенциала через плотность фотонов N. Векторный потенциал А и напряженность электрического поля Е в электромагнитной волне связаны соотношением

* 1 дА и . ^ .

Е =---— =--А0в тп(кшг — иЬ).

с дЬ с

(38)

В выражениях, квадратичных относительно полей (например, ПЛОТНОСТИ энергии); еле-дует использовать вещественные значения полей [6]. Следовательно, средняя по времени плотность энергии в электромагнитной волне равна

1 _ _ 1 _ п2и2

± 2+2 ^¿^2=8С А0

где п - показатель преломления. Из (39) получим

8пПс2

N Пи,

(39)

А2 А0

N.

ип2

(40)

Подставив в (35) выражения (37), (40) и поделив на плотность потока фотонов в веществе Nc/n, получим коэффициент поглощения

к1п

е2П2в2

ппси

й3к

£ т í )дад

3=1

д.

х

х[Е (Е (к)) — ^ (Еп(к))}8{Еп(к) — Щ(к) — Пи}.

(41)

В модели сильно связанных электронов зависимость энергии от волнового вектора в подзонах может быть представлена в виде!

П2к2

Е1,п(к) = Е,п(кх) +

2та

(42)

Ег(к2) = Еи — Д сое кгй, Еи = Ею + Д,

Еп (кг) = Епс + Дг сое кгй, Е,

Ап

Еп0 + —)

(43)

где Ею, Еп0 - энергии дна подзон; Ес = Е^кг), Епс = Еп(кг) - энергии средних (центральных) уровней в подзонах; Д^, Дп - ширина подзон. Выражения (42), (43) легко

2

получить путем разложения дисперсионного соотношения (21) в ряд в окрестности дна ПОДЗОН ; эффективная масса электронов для поперечного движения принята равной эффективной массе электронов в долинах, так как в долинах электроны имеют большую амплитуду вероятности, чем в барьерах. После подстановки в (41) выражений (42). (43), интегрирования по кх, ку и замены ¿-функции Лоренцианом Ь(кг), который феноменологически учитывает утттирение линии поглощения, получим

К1п = 4

е2коТв

п/й

псита

dkz К(кх )Ь(кг),

(44)

)

£ та! т.

х

х1п

Ь(К)

1 + ехр ( )

1 + ехр( )'

Г/п

[Епс — Е1с — Ни + сое кzd]2 + Г2;

(45)

(46)

Г

электронов возможны лишь в том случае, если электрическое поле электромагнитной г

г

координат находится в центре квантовой ямы; см. (8)-(10), (22)-(24)):

а + Ь а а а а а + Ь

-< г <—, —< г ^ ^ < г <-.

2 << 2' 2 << 2 2 << 2

(47)

г

ванне по kz в общем случае может быть выполнено лишь численным методом. В связи с этим представляет интерес рассмотреть ряд предельных случаев, в которых коэффициент поглощения может быть выражен через элементарные функции. Эти случаи представляют практический интерес, поскольку могут быть реализованы в эксперименте.

3. Коэффициент поглощения, электромагнитного излучения, в сверхрешетка,х с силъ ними барь ерам/и.

Под сильными барьерами подразумеваются барьеры. вероятность туннелирования через которые достаточно мала. т.е. для которых выполняются неравенства (см. (17),

2

(31), (12). (43))

exp(-Ac • b) << 1, ехр(-впС • b) << 1,

в1с = А (Е (к*)), впс = вп(Епк)), (48)

а ширина подзон при этом удовлетворяет неравенствам

Д Д1 << 1 Дп Дп << 1 (49)

Ес У0 — Е1с Епс У0 — Епс

Все величины в (8)-(32). (44)-(46) разложим в ряд по малым параметрам, указанным в (48), (49), с учетом членов нулевого и первого порядков малости. Запишем в форме упомянутых выше рядов лишь некоторые выражения, входящие в (8)-(32), ( 11)-( 10). а именно (см. (17), (31), (42). (43)):

а а ±&с Г , 2

sin-

2 лЛТёП 1 + el

1---гe-eicb cos kzd+

+ 4(1+1) (I + V0^>cos kz(50)

cos ^ = (1 + -^L e-^b cos kz d-

2 л/ГТ^! 1 + e2 z

z

elc

1 Й Ml , Д1

4 1 + йд K + vTK) cos kz T (51)

= упЫ1 - 1тке-л"Ь coskz d+

+ Tтfk (k+^)cos kzd}' (52)

cos ^ = (1 + е-впсЬ cos kzd-

2 1+end 1+ei z

n + Tj—^^ ) cos kz, (53)

4(1+ei) \Enc v - Enc ma Vo - ЕЛ 1/2 f ma V0 - 1/2

e г ' ,ua vo ^ic \ / '' ua yo ^nc \ (54)

lc \m@ Eic J ' nc \m@ Enc J ' Знак правых частей равенств (50)-(53) определяется знаком их левых частей. Ряды (50)-(53) получены с помощью дисперсионного уравнения (21). в котором все величины (см. (17); (31); (42), (43)) разложены, в свою очередь, в ряд по параметрам (48), (49). Будем предполагать далее, что

\EF - Eld >> у, \EF - End >> %• (55)

1

При условии (55) логарифмические члены в (45) могут быть представлены в виде (см. (42), (43))

(56)

ln{1+exp[(EF - En(kz))/koT]} ln{1 + exp[(EF - El(kz))/koT]}

makoT nh2Nsl

(57)

такоТ

где и Мзп - поверхностная концентрация электронов соответственно в "/"и "п"

подзоне.

Подставив в (44)-(46) выражения (56), (57) и волновые функции электронов (8)-(10), (22)-(24), представленные в форме рядов по параметрам (48), (49), выполнив интегриро-ванне по х в интервалах (47) и интегрирование по кх, получим коэффициент поглощения (см. (17), (18), (31), (32), (42), (43), (48), (54)) в виде

Kln

16ne2ñ2 • (Nsi — Nsn)Sz

СоВ?сВПсРП,

ncwm.

a?dV

B2c =< i + —— +

sinalca 2 — exp(-f]lc b)

-i

±

Bn

Prn = maPlc

i

alc

alca Aca(1 + )

sina^a 2 — exp(—(3ncb)

1 — - -

anca Pnca(1 + £пс)

"sin(alc + anc) 22 sin(anc — alc) f

(58)

(59)

(60)

alc + ar¡

anc alc

±

me (Plc + Pnc)

[(1 + íl )(1 + &)]-i/2

b

2 — exp ( —(plc + enc)^

alc = al (El (kz)), anc = an(En(kz)),

ж/d

(61) (62)

Go = rd

dkz L(kz) =

1 + 7 П

x

x

1 + gi/2 — 72 — n2 L g[(1 + 7)2 + n2]

i/2

+

(gi/2 + 72 + n2 — 1)i/2 gi/4[(1 + 7)2 + П2]

g = (1 + 7 + n2)2 — 47 , n =

2Г

Al + An

7 = 2-

. Enc — Elc — ñw

(63)

(64)

(65)

Аг + Дп

Три замечания к формулам (58)-(65). Заметим, во-первых, что члены первого порядка малости, входящие в выражение (45) в результате разложения его в ряд по малым

2

параметрам (48), (49), пропорциональны cos kzd; после интегрирования по kz эти члены, наряду с малыми параметрами (48), (49), будут содержать в качестве множителя еще один малый параметр

n/d

Gi = TdJ dkzL(kz) cos kzd = x 0

J (g1/2 + Y2 + n2 - 1)1/2 Y (1+ Y) + n2

X ' - — -

1 + g1/2 - y2 - n2

g[(1+ Y )2 + П2]

1/2

<< G0. (66)

\ ^1/4[(1 + 7 )2 + П2] П

Эти члены, как и другие члены второго порядка малости, а также, естественно, члены более высоких порядков малости, не учитывались. Заметим также, что в (63) и (66) представлены точные значения интегралов Go и G1; поскольку Лоренциан (46) не содержит малых параметров (48), (49). Заметим, наконец, что знак перед вторым слагаемым в (61) определяется знаком произведения

ai a 1 . ai a\ f 1 ana . a,na\ cos--+ —sin- — cos--sin- . (67)

2 & 2 ) \Ín 2 2 ) K }

4- Сверхрешетки с предельно высок/ими (широкими) потенциальными барьерами. В этом случае будем считать выполненными условия (см. (17), (31))

Picb, Pncb, &ic,&nc ^ ж, Al, An ^ 0. (68)

При условиях (68) (см. (8)-(20), (22)-(32), (43), (59)-(62))

1П П о2 D2 I

aic = l-, anc = П-, B¡c = Bnc = 1, aa

l П l П

Pin =——rsin(n + l)----sin(n - l)-, (69)

n + l 2 n — l 2

Г2

Go = 7E-E-h )2 + Г2, Gi = 0, (70)

(Eno — Eio — hw)2 + Г 2

а коэффициент поглощения равен

к = 16ne2h2(Nsi — NSn) • s2z__Г!_x

n ncwmaa2dr (En0 — Eio — hw)2 + Г2

xl —l—-sin(n + l)П--l—?sin(n — l). (71)

\n +1 V 2 n — l У 2 J v ;

l = 1 n = 2 совпадает с формулой (3.26), приведенной в [41. с. 46.

Таблица 1

Структура I II III

а, А 70 71 250

b, А 150 81 40

V0, meV 202 240 240

N 100 50 100

Ns1 — Ns2,CM_2 7 • 1011 7.1 • 1011 4 • 1011

E1c, meV 55 57.09 7.34

E2c, meV 179.4 196.25 29.18

Д15 meV «0 0.5 0.27

Д2, meV 3.2 11.5 1.25

KiH(th^M_1 2.68 • 103 2.85 • 103 1.29 • 103

hu%(th), meV 124.4 139.16 21.84

Г, meV 7.5 9.3 7.5

Km1(exp^^M_1 2.25 • 103 2.86 • 103

h^m1(exp), meV 128.4 151.84

b21 0.86 0.9 0.95

5. Сравнение теории с экспериментом при T = 300 К.

Рассмотрим три типа (I, II, III) GaAs/Al^Gai_^As MQW (multiple quantum wells) структур, для которых x = 0.25 — 0.3, объемная концентрация электронов Nv « 1018 см_3, показатель преломления n = 3.54, эффективные массы электронов в квантовых ямах и барьерах равны, соответственно, гт,а = 0.067m0, me = 0.092m0. В таблице 1 приведены другие параметры структур (первые 9 строк), характеризующие различие между ними: ширина квантовых ям а; ширина b и высота V0 барьеров; число периодов N

рой подзонах Ns1 — Ns2; вычисленные по формуле (21) значения энергии центральных уровней в подзонах E1c, E2c; ширина подзон Д1; Д2. Легко убедиться в том, что при указанных выше значениях параметров структур выполняются неравенства (48), (49), (55) и, следовательно, условия применимости формул (58)-(66). Вычисленные по формулам (58)-(66) максимальные значения коэффициентов поглощения ¿^(th) и соответствую~ щие энергии фотонов HuV,\(th) = E2c — E1c при переходах электронов из первой подзоны во вторую приведены в 10-й и 11 -и строках таблицы 1.

В 12-й 14-й строках таблицы 1 приведены полученные в [1] (для структуры I) и в [2] (для структуры II) экспериментальные значения Г кЩ1(ехр), НиЩ1(ехр). В 15-й строке таблицы 1 приведены вычисленные по формуле [4] (см. (59)-(62))

bin = m a2(E ET BiBncP2a (72)

Шаа2(ЬПс — Eic)

значения сил осцилляторов b2i при переходах электронов из первой подзоны во вторую. Для структуры III вычислены также: пиковое значение коэффициента поглощения при переходе электронов из первой подзоны в четвертую кЩ^К) = 80 см-1 {кЩ(th)/^(th) = 16}, соответствующая этому переходу энергия фотонов hw^Kth) = 106.72 meV, сила осциллятора b4i = 0.03 сумм a b2i + b4i = 0.98 (b4i/b2i ~ 32). Выводы.

1. Теория поглощения электромагнитного излучения сверхретттетками с прямоугольными барьерами, основанная на модели Кронига Пенни и граничных условиях Бастарда (Bastard), удовлетворительно согласуется, как следует из текста статьи и таблицы 1, с имеющимися в литературе экспериментальными данными.

2. Приближенные аналитические формулы (58)-(61) могут быть использованы для вычисления с достаточной степенью точности коэффициента поглощения электромагнитного излучения в сверхретттетках, представляющих по своим свойствам (параметрам) практический интерес. В формулах (58)-(61) наглядно отражено влияние барьеров на поглощение излучения сверхретттетками, которое, как показали численные оценки, является существенным.

3. Частотная зависимость коэффициента поглощения определяется множителем

Go(hw)/hw. (73)

Из (46), (63)-(65); (73) следует, что кривая поглощения практически симметрична, если расстояние Enc — Elc между центрами подзон много больше полуширины кривой Г.

4. Кривая поглощения имеет единственный пик, а не два, как утверждалось ранее в ряде работ, например, в [7].

5. Пиковое значение коэффициента поглощения достигается при энергии фотона, равной НиЩ = Enc — Enl (см. (43)), т.е. разности энергий центральных уровней подзон, между которыми происходят переходы электронов.

6. Численные значения коэффициента п о г л о ще н и я для рассмотренных в статье сверхретттеток с различающимися в довольно широких пределах параметрами лежат в интервале (1 ^ 3) • 103 см-1.

7. Теоретические значения сил осцилляторов для всех рассмотренных сверхретттеток находятся в хорошем согласии с теоремой сумм.

Автор благодарен В.Н. Мурзину за плодотворное обсуждение работы и ценные мечания.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (X 08-02-00513); ПФИ Президиума РАН "Основы фундаментальных исследований нанотехнологий и наноматериа-лов", НП ОФН РАН "Современные проблемы радиофизики".

ЛИТЕРАТУРА

[1] Semiconductor interfaces, micro structures and devices. Properties and applications Ed. by Z.C. Feug (Bristol and Philadelphia, Institute of Physics, 1993).

[2] G. Pikus, E. Ivcheuko, Superlatties and other Heterostructures: Symmetry and Optical Phenomena. Springer Series in Solid-State Sciences. Vol. 110 (Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 1995); Second Edition, 1997, 372 p.

[3] M. Helm, Semicond. Sci. Technol. 10, 557 (1995).

[4] Л. E. Воробьев, E. Л. Ивченко, Д. А. Фпрсов, В. А. Шалыгнн, Оптические свойства наноструктур (Санкт-Петербург, Наука, 2001).

[5] А. И. Ансельм, Введение в теорию полупроводников (Москва, Наука, 1978), с. 406.

[6] И. Е. Тамм, Основы, теории электричества (Москва, Ленинград, 1946), с. 386, 501.

[7] М. Helm et al., Phys. Rev. В 43, 13983 (1991).

Поступила в редакцию 21 июня 2010 г.